第二章 一维随机变量及其分布
在第一章里，我们研究了随机事件及其概率，建
立了概率论中的一些基本概念，通过随机事件的概
率计算使我们初步了解了如何定量描述和研究随机
现象及其统计规律的基本方法．然而实际中由一个
随机试验导出的随机事件是多种多样的，因此，想
通过随机事件概率的计算来达到了解随机现象的规
律性显得很不方便．
本章，我们将引进概率论中的一个重要概念 —
随机变量．随机变量的引进是概率论发展史上的
重大事件，它使概率论的研究从随机事件转变为随
机变量，使随机试验的结果数量化，这有利于我们
用分析的方法来研究随机现象的统计规律．
本章我们将介绍随机变量的概念、随机变量的分
布及一些常见的典型分布，给出分布函数的概念及
计算，最后给出随机变量函数的分布．
§ 2.1 随机变量及其分布
一、随机变量的概念
直观上，我们将随机现象的每一种表现，即随机试验
的每一个可能观察到的结果叫随机事件．随机试验的结果
本身有两种表达形式：一种是数值型，一种是描述型．为
了全面地研究随机试验的结果，揭示客观存在着的统计规
律性，我们将随机试验的结果数量化，引入随机变量的概
念,
实际中试验的结果不管是哪种形式，我们总可以设法
使其结果与唯一的实数对应起来，将它转化为数值型．这
样，不管随机试验可能出现的结果是否为数值型，我们总
可以在试验的样本空间上定义一个函数，使试验的每一个
结果都与唯一的实数对应起来．为此我们引入以下定义：
定义 2.1 设 E是一个随机试验,是由 E产生的样
本空间，对于任意的,X= 是定义在 上的单
值实值函数，则称 X= 为一个定义在 上的 随机
变量 （ Random Variable），简记为 X．
一般地，随机变量用大写字母 X,Y,Z表示，其取
值用小写字母 x,y,z,… 表示．
设 E是一个随机试验,是由 E产生的样本空间,若
X= 为一个定义在 上的随机变量，则对任意的
X、,（ ），形如； ； ；
?
??ω )(?X ?
?
)(?X ?
1x 2x 21
xx ?
? ?? ?21,xXx ?? ?? ? ?? ?xX ???, ? ?? ?21,xXx ?? ??
)(?X ?； ； ；； ；
的都是随机事件．
随机变量引入后，任意随机事件 的概率
以后就简记为,或简记为,
即 ＝ ＝,
类似地,＝ ＝ ;
…; ＝ ＝,
? ?? ?21,xXx ?? ?? ? ?? ?21,xXx ?? ?? ? ?? ?2,xX ???
? ?? ?xX ???, ? ?? ?xX ???,
? ? }:{ xX ???
? ? }:{ xXP ???
? ?xXP ? ? ?? ?xXP ?? ? ? }:{ xXP ???
? ?21 xXxP ?? ? ?? ?21 xXxP ?? ? ? ?? ?21,xXxP ?? ??
? ?xXP ? ? ?? ?xXP ?? ? ?? ?xXP ???,
? ?xXP ?
二、随机变量的特征
1,随机变量引进以后，任一随机事件就可以用随机变量在实
数轴上的某一集合中的取值来表示，而随机变量是定义在
样本空间上的 (样本空间的元素不一定是实数 ) 一个函数，
它不同于普通函数，普通函数是定义在实数轴上的一个函
数，这是二者的差别之一,
2．作为样本空间上的函数，随机变量的取值随试验的结果而
定，而试验的各个结果出现有一定的概率，因而，随机变
量的取值也有一定的概率，这是随机变量与普通函数的差
别之二,
3．随机变量的引入，使随机事件的发生可以用随机变量的取
值表示．这样，我们可以用随机变量取值的概率来研究随
机事件发生的概率，从而将随机事件概率的研究转化为随
机变量取值概率的研究，使我们用分析的方法来研究随机
试验成为可能．随机变量是研究随机试验的有效工具．
一般地，随机变量 X取值的概率称为该随机变量 X
的概率分布．要研究随机变量 X的概率分布，我们
就要完成如下两件事：
1．随机变量的取值范围是什么？
2．它取每个值或在某个范围内取值的概率是多
少？
按随机变量的取值特征常把随机变量分为如下两
种形式：离散型随机变量和非离散型随机变量，非
离散型随机变量中最主要的是连续型随机变量，我
们将分别讨论它们的概率分布．
