第四章 随机变量的数字特征
从第二章和第三章可知,只要知道了随机变量的概率分就
能完整地刻画随机变量的性质．然而在许多实际问题中一方
面确定一个随机变量的概率分布常常比较困难，另一方面有
时也并不需要知道随机变量的完整性质，而只要了解了随机
变量的某种特征就可以了．用来描述随机变量某种特征的量
称之为随机变量的数字特征,
本章主要介绍用于刻画随机变量取值平均程度的数学期
望、用于刻画随机变量取值分散程度的方差及用于刻画两个
随机变量之间内在关联性的协方差和相关系数以及矩等念．
§ 4.1 数学期望
一、数学期望的概念
某射手在每次射击中命中的环数服从如下布：
可以看出,该射手在一次射击中平均命中的环数等于随机
变量 X的可能取值与其对应的概率乘积之和．一般地，为刻
画随机变量所取的平均值，我们给出如下定义
二、离散型随机变量的数学期望
定义 4.1 设 X为离散型随机变量，其分布列为
若级数 绝对收敛,即,则称级数 的和
为随机变量 X的 数学期望 (Expectitiong),记为,即
（ 4— 1）
若级数 不绝对收敛，则称 X的数学期望不存在．
在定义中，要求 绝对收敛是必须的，因为 X的数学
期望是一个确定的量，应不受 在级数中的排列次序的影
响，这在数学上就是要求级数绝对收敛．
??
?1k
kk px ????
?
?
＜px k
k
k
1
??
?1k
kk px
EX
?
?
?
?
1k
kk pxEX
??
?1k
kk px
??
?1k
kk px
kk px
由（ 4－ 1）知,X的数学期望实际上是其所有取值 关于
其相应概率 为权重的加权平均．当 X的取值为有限个,一
定存在，但当 X的取值为无限多个时，就必须要求级数
绝对收效,才存在．
设 X是一维随机变量,是 X的函数，则 的数学期望
可由（ 4— 1）求出，但此时需要知道 的概率分布律．不过,由
于 是 X的函数，还可以通过 X的概率分布律间接求出 的数学
期望，这就是下面的公式：
若 绝对收敛，则
,（ 4— 2）
（证略）
类似地，我们还有
kx
kp
EX
??
?1k
kk px
EX
)( XgY ? Y
Y
Y Y
??
?1
)(
k
kk pxg
??
?
???
1
)()]([
k
kk pxgXgEEY
若 的联合分布律为
是二元连续函数，则 的数学期望 为
（ 4— 3）（证略）
当然,我们也可以先求出 的分布律,再计算 的
数学期望．
三、连续型随机变量的数学期望
定义 4.2 设 X为连续型随机变量，其概率密度函数为,若
积分 绝对收敛，则称积分 的值为随机变量
X的数学期望，记为,即
（ 4— 4）
否则 X称的数学期望不存在．
? ?YX,,,2,1,,},{ ????? jipyYxXP jiji ),( yxg
),( yxg ? ?),( YXgE
? ??
j i
jiii pyxgYXgE ),()],([
),( YXg ),( YXg
)(xf
? ???? ? xxfx d)( ? ???? ? xxfx d)(
EX
? ????? xxxfEX d)(
类似地，设 X是连续型随机变量，其概率密度函数为,
是一元已知函数，若 绝对收敛，则
的数学期望为
（ 4— 5）
设 是二维连续型随机变量，其联合概率密度函数为
是二元已知函数,若 绝对
收敛，则 的数学期望为
（ 4— 6）
四、数学期望的性质
性质 1,设 c是常数，则 ； （ 4— 7）
性质 2,若 X和 Y相互独立，则 ； （ 4— 8）
性质 3,； （ 4— 9）
性质 4,; (4— 10)
)(xf
)(xgy ? ? ???? ? xxfxg d)()( )( XgY ?
? ???? ??? xxfxgXEgYE d)()()()(
? ?YX,
),(),( yxgyxf, ? ???
??
??
?? yxyxfyxg dd),(),(
),( YXg
? ????? ????? yxyxfyxgYXgE dd),(),()],([
ccE ?)(
)()( XcEcXE ?
)()()( YEXEYXE ???
)()()( YEXEXYE ??
性质 2可推广到任意有限多个相互独立的随机变量之积的
情形上，即
若,, …,相互独立，则
（ 4－ 11）
上式简记为 =,
证明 只给出性质 3和性质 4在连续型情形下的证明,
设 是连续型随机变量，概率密度函数为,边
缘概率密度函数为,,于是
1X 2X nX
? ? ? ? ? ? ? ?nn XEXEXEXXXE ?? ??? 2121
???
?
???
??
?
n
i
iXE
1
?
?
n
i
iEX
1
? ?YX,),( yxf
)(xf X )( yfY
? ????? ???? ??? yxyxfyxYXE dd),()()(
? ? ? ????? ???? ???? ?????? yxyxyfyxyxxf dd),(dd),(
又若 X和 Y相互独立,则 =,于是，
)()( YEXE ??
),( yxf )(xf X )( yfY?
yxyfxfxyyxyxfxyXYE YX dd)()(dd),()( ? ? ? ???
??
??
??
??
??
??
??
?????
EYEXyyfyxxfx YX ???????? ???????? ?? ?? ??
??
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