§ 5.2 中心极限定理
人们已经知道，在自然界和生产实践中遇到的大量随机
变量都服从或近似服从正态分布，正因如此，正态分布占有
特别重要的地位。那么，如何判断一个随机变量服从正态分
布显得尤为重要。如经过长期的观测，人们已经知道，很多
工程测量中产生的误差 X都是服从正态分布的随机变量。分
析起来，造成误差的原因有仪器偏差 X1、大气折射偏差 X2,
温度变化偏差 X3、估读误差造成的偏差 X4等等，这些偏差 Xi
对总误差 的影响都很微小，没有一个起到特别突出
的影响，虽然每个 Xi的分布并不知道，但 却服从正态
分布。类似的例子不胜枚举。
设 为一随机变量序列，其标准化随机变量
?? iXX
?? iXX
}{ nX
,（ 5-6）
在什么条件下，,这是十八世纪以来概率论研究
的中心课题，因而，从二十世纪二十年代开始，习惯上把研究
随机变量和的分布收敛到正态分布的这类定理称为 中心极限定
理 （ Central Limit Theorems）。这里仅介绍独立同分布场合
下的中心极限定理。
定理 5.2 (林德伯格 — 莱维（ Lindeberg-Lévy）中心极限定
理 ) 设 是一相互独立同分布随机变量序列，
则对任意的实数，总有
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)(
1
1 1
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n
i
i
n
i
n
i
ii
n
XD
XEX
Y
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}{ nX
?,2,1,0,,22 ??????? iDXEX ii ???
,(5-7)
本定理的证明在 20世纪 20年代由林德伯格和莱维给出，因
证明较复杂，在此从略。
由定理 5.2可知，当 n充分大时，
,(5-8)
从而，
2
1 1 1 2
1
1
l i m l i m d ( )
2
n n n
x ti i i
i i i
nnn
i
i
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n
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n
nX
n
i
i 近似
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),( ~ 2
1
?? nnNX
n
i
i
近似?
?
或
另外，对于任意的实数 和较大的 n，由（ 5-8）可知
,(5-10)
定理 5.2在概率论中占有特别重要的地位，由于它对 的
分布形式没有要求，因而得到广泛使用。对于应用者来讲，只
要能把问题抽象为独立同分布的随机变量之和，且这些随机变
量的均值和方差均存在，便可用（ 5-9）式近似计算概率。
),( ~ 1
2
1 n
NX
n
n
i
i
??近似?
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)ba(b,a ?
)()(1 abb
n
nX
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}{ nX
推论 1 (棣莫佛 — 拉普拉斯（ De Moivre - Laplace）定理 )
设 为相互独立的随机变量序列，且, 0＜ p＜ 1,
，则对任意实数,有
,（ 5-11）
证明 只需将,,,代入 ( 5-7 )
式便得（ 5-11）式, ?
这是历史上最早的中心极限定理，棣莫佛在 1716年证明了
的情形，后来拉普拉斯将结果推广到一般情形。对较大
的 n，由（ 5-11）或（ 5-8）可知
}{ nX ),1(~ pBX i
??,,,2,1 ni ? x
)(d
2
1
)1(
lim
21
2
xtex
pnp
npX
P
x
t
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2
1?p
,（ 5-12）
令,则, 于是，对于任意的实数 和较
大的 n，有
,（ 5-13）
其中
.
因为对较大的 n,和 的值很小,可忽略不计,所以
我们还有
)1(
1
pnp
npX
n
i
i
?
??
? )1,0( ~ N近似
?
?
? n
i
in XZ
1
),(~ pnBZ n )(,,baba ?
? ? ?
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???
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???
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????
)1()1()1( pnp
npb
pnp
npZ
pnp
npaPbZaP n
n
)()( 11 ab ????
)1(
,
)1( 11 pnp
npbb
pnp
npaa
?
??
?
??
}{ aZP n ? }{ bZP n ?
，
，
,
关于这些近似公式的使用，现作如下说明：
（ 1）注意到,则（ 5-13）表明，对固定的 p和较
大的 n，二项分布可用正态分布逼近；
（ 2）“较大的 n”是一个较为模糊的概念，究竟多大才是较
“大”要依据实际问题来定。一般地,如果 n≥50（有时亦可放
宽到 n≥30），就可认为是较大的 n；
（ 3）第二章泊松定理表明，当 p很小（可设想成 p随 n的变
化趋于 0）,n较大且 np不太大时，二项分布可用泊松分布逼
近。在实际中，当 p≤0.1,n较大且 np≤5时，常用泊松分布
(见附表 1)逼近二项分布；当 n较大且 np>5时，常用正态分布
做二项分布的近似计算。
? ?bZaP n ?? )()( 11 ab ????
? ?bZaP n ?? )()( 11 ab ????
? ?bZaP n ?? )()( 11 ab ????
),(~ pnBZ n
最后，我们指出大数定律与中心极限定理的区别：
设 为独立同分布随机变量序列，且,,
则由定理 5.1的推论 1，对于任意的 ε＞ 0有
.
大数定律并未给出 的表达式,但保证了其极限是 1.
而在以上条件下，中心极限定理 5.2（林德伯格 — 莱维）亦
成立，这时，对于任意的 ε＞ 0及某固定的 n，有
.
由于,因此，在所给条件下，中心极限定理不
仅给出了概率的近似表达式，而且也能保证了其极限是 1，可
见中心极限定理的结论更为深入。
}{ nX ??iEX 02 ?? ?iDX
11lim
1
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