§ 4.2 方差
一、方差的概念
引例,现有甲、乙两位射手，甲射手射击中命中的环数
用 X表示，乙射手射击中命中的环数用 Y表示，甲、乙两射
手射击中命中的环数分布分别为：
现在问甲、乙两位射手谁的射击水平谁更稳定些？
易知，甲、乙两位射手每次射击命中的平均环数分别为
，
,（环）92.0106.092.08 ???????EX
)(91.0108.091.08 环???????EY
可见，甲、乙两位射手每次射击命中的平均环数相等，这
表明这两位射手的射击水平相当．但是，谁的射击水平谁更稳
定呢？通常的想法是，看谁命中的环数 与其平均环数 的
偏差绝对值 的平均值最小,即 最小,
愈小,X的值就愈集中于 附近，表明此射手发挥愈稳定 ;
愈大,X的值在 附近就愈分散，表明此射手发挥
愈不稳定．然而在实际中 带有绝对值，在数学运算
上不方便，因而，通常用 来表达随机变量 X取值的
分散程度或集中程度．
据此分析，我们可以算得
，
．
由于,因此,我们认为乙的射击水平更
稳定一些．
ix
EX
EXx i ? EXXE ? EXXE ?
EX
EXXE ? EX
EXXE ?
? ?EXXE ?
4.02.0)910(6.0)99(2.0)98()( 2222 ??????????? EXXE
2.01.0)910(8.0)99(1.0)98()( 2222 ??????????? EYYE
? ? ? ? 22 EYYEEXXE ???
可以看出,是用来描述随机变量 X与其平均值 偏
离程度的一种量，为此我们给出如下定义
定义 4.3 设 X是一个随机变量，若 存在，则称
为 X的 方差 （ Variance），记为 或,即
,（ 4— 12）
而称 为 X的 标准差 （ Standard Deviation）或 均方差,记为
,即,它与 X有相同的量纲．
随机变量 X的方差 刻画的是 X的取值关于其数学期望
的分散或集中程度,愈小,X的取值关于 愈集中；
愈大,X的取值关于 愈分散．
由定义可知，随机变量 X的方差是其函数 的数学
期望，因此，从计算上讲，方差与数学期望没有质的区别，通
常用下列公式计算方差：
（ 4— 13）
这是因为,所以
2)( EXXE ? EX
2)( EXXE ?
? ? 2EXXE ? DX )(Var X
2)()(V a r EXXEXDX ???
DX
)(X? ? ? DXX ??
DX EX
DX EX DX
EX
2)( EXX ?
?DX ?2EX 2)(EX
222 )(2)]([ EXXEXXXEX ????
二、离散型随机变量的方差
设 X为离散型随机变量，其分布列为
若 存在，且 收敛，则
（ 4— 14）
或
（ 4— 15）
? ? 2)( XEXEDX ?? 22222 )()()(2 EXEXEXEXEX ?????
EX
ii
i
pEXx 2
1
)( ??
?
?
ii
i
pEXxDX ??? ?
?
?
2
1
)(
2
1
2 )( EXpxDX
i
i
i ??? ?
?
?
三、连续型随机变量的方差
设 X为连续型随机变量，其概率密度函数为, 存在,
若 收敛，则
（ 4— 16）
或
（ 4— 17）
四、方差的性质
设 X是一个随机变量,c为常数，则有
性质 1,；
性质 2,；
? ?xf EX
xxfEXx d)()( 2? ???? ?
.d)()( 2 xxfEXxDX ? ??
??
??
22 )(d)( EXxxfxDX ?? ? ??
??
? ? 0?cD
? ? DXccXD 2?
性质 3,若 相互独立，则 ;特别地
．
证明 1,；
2,；
3,
因为 相互独立，所以 与 也相互独立,于是
（ 4— 18）
因此
□
YX与 ? ? DYDXYXD ???
? ? DXcXD ??
? ? ? ? ? ? 0)( 22 ????? ccEcEcEcD
? ? ? ?? ? ? ? ])([ 2222 EXXcEc E XcXEcXEcXEcXD ??????
? ? DXcEXXEc 222 ???
? ? ? ? ? ?? ? 2YXEYXEYXD ????? ? ? ? ?? ? 2EYYEXXE ????
? ? ? ?? ? ? ? ]2[ 22 EYYEYYEXXEXXE ???????
? ? ? ?? ?? ? ? ?
? ?? ?? ? DYEYYEXXEDX
EYYEEYYEXXEEXXE
?????
???????
2
2 22
YX与 EXX ? EYY ?
? ?? ?? ? ? ? ? ? 0??????? EYYEEXXEEYYEXXE
? ? DYDXYXD ???
此性质可以推广到 n维随机变量的情形, 设 相互
独立,是常数，则
（ 4－ 19）
性质 4,的充分必要条件是 X以概率 1取常数
即,（证略）
五、几类重要随机变量的数学期望和方差
1,( 0 — 1 )分布
设 X的分布列为
由例 4.8知：,,
nXXX,,,21 ?
nccc,21 ?，，
??
??
?
n
i
ii
n
i
ii DXcXcD
1
2
1
)(
0?DX EX
? ? 1?? EXXP
pEX ? )1( ppDX ??
2,二项分布
设,由二项分布的定义,X是 n重贝努里试验中事件
A发生的次数,且在每次试验中 A发生的概率为 p,引入随机变量
则 相互独立，且均服从分布列
显然,又,, 因此
= = = ；
．
利用定义也可以直接求得二项分布的数学期望和方差，但
过程较繁琐，有兴趣的读者不妨一试．
? ?pnBX,~
?
?
??
,,0
,,1
次试验中不发生在第
次试验中发生在第
iA
iAX
i
iX
?
?
?
n
i
iXX
1
pEX i ? ? ?ppDX
i ?? 1
EX ?
?
??
?
??
?
n
i
iXE
1
?
?
n
i
iEX
1
np
? ?ppnDXXDDX n
i
i
n
i
i ???? ??
??
1
11
）（
3, 泊松分布
设,由于,因此，；
，
．
.
4,均匀分布
设,则其概率密度函数
根据定义，
)(~ ?PX ?,2,1,0,!λ}{ ????
?
ii eiXP
i ?
)!1(
λ
!
λ
!
λ 1
110 ?
???????
??
?
?
??
?
??
?
??? ieieii eiEX i
i
i
i
i
i
?
??
??? ?? ???? ? ee
)!1(
λ
!
λ
!
λ i
1
i
1
2
i
0
22
?
????????? ??
?
??
?
??
?
??? i eii eii eiEX
iii
???
)!1(]1)1[(1 ?????
??
?
? i ei i
i
??
? ??? ?
?
?
?
???
?
???
?
????????????
1
2
111 )!1()!2()!1()!1(
)1(
i i
ii
i
ii
i i
e
i
e
i
e
i
ei ?????? ????
???? ?????? 2222 )( EXEXDX
),(~ baUX
??
?
?
? ?
??
其它,0
),(,1)( bax
abxf
．
5,指数分布
设,则其概率密度函数,根据定义，
（令 ）；
2dd)(
bax
ab
xxxfxEX b
a
??
???? ??
??
??
)(31dd)( 22
2
22 babax
ab
xxxfxEX b
a ??????? ??
??
??
222222 )(
12
1)
2()(3
1)( abbababaEXEXDX ?????????
)(~ ?EX
?
?
?
?
?? ?
0,0
0,)(
x
xexf x??
? ? xexxxfxEX x dd 0 ?? ??????? ???? ??
xu ??
??
1d1
0 ???? ?
?? ? ueu u
? ? ??? ?? ?????? ?? ??????? 0 20 222 ddd xx exxexxxfxEX ???
? ? 2002 2d2 ??? ????? ? ?? ???? xexex xx
.
6,正态分布
设,则其概率密度函数,
根据定义，
2
2
2
22 1)1(2)(
??? ????? EXEXDX
),(~ 2??NX
? ?
2
2
2
2
1)( ??
??
??
?
x
exf Rx ?