§ 6.1 总体与样本
一、总体
一般我们把研究对象的全体称为总体（或母体），而
把每一个研究对象称为个体, 例如，在研究某灯泡厂生产
的灯泡质量时，该厂生产的灯泡全体构成的一个总体，其
中每只灯泡都是个体；研究某班高等数学课程的成绩时，
该班每个同学都是个体，全体同学构成一个总体,
在实际问题中，人们主要关心的往往是研究对象的某
个（或某些）数量指标及其在总体中的分布情况, 如研究
灯泡的质量时，关注的是灯泡的使用寿命这一指标；在研
究大学生的体质时，则主要关心的是大学生的身高、体重、
视力等指标, 由于每个个体都有一个（或多个）数量指标
值，那么，所有个体的这些指标值就形成一个集合，该集
合包含了研究指标在总体中的所有可能取值．
比如，某厂灯泡的寿命指标，其所有可能的取值
就是所有具体灯泡寿命值；某班的高等数学成绩
这一指标的取值就是该班所有同学的高等数学成
绩．数理统计中，我们关心的并不是每个个体的
具体指标特征，而关心的正是象某厂灯泡寿命、
某班高数成绩这样的总体指标特征．要研究总体
的指标，就要进行试验或观察,由于预先不知道
观察到的是哪个个体，因而观察到的相应指标值
也就不能预先确定，完全是随机的，这样，总体
的指标就是一个随机变量，其分布完全描述了指
标在总体中的分布状况．于是，在数理统计中就
把 总体 定义为服从某一分布的随机变量 X（数量
指标），其概率分布称为 总体的分布,而每个 个体 对应随机变量 X一个具体观察值．前面谈到的
所有个体的指标值集合就是总体 X的所有可能取
值的集合．
二、样本
我们知道，研究总体离不开研究它的体．但
在许多实际问题中，不可能对所有个体逐一进行
研究，而只能从总体中抽取一部分个体进行观察
（或试验），根据对这部分个体的观察结果来推
断总体的分布情况．
一般地，如果从总体中按一定规则抽取 n个
个体进行观察（或试验），则称这 n个个体为总体
的一个 样本 （ Sample），样本中所含个体的数目
n称为 样本容量 （ Sample Size），抽取一个样本
的过程称为 抽样 （ Sampling）．
本书所涉及的抽样均指随机抽样，即，在具
体的抽样之前，哪些个体被抽取，不能预先确定
而应由观察（或试验）来定．如果用 表示样本
中的第 i个个体的数量指标,那么一个容
量为 n的样本就可以表示为,这是一个
n维随机向量．如果用 表示 的观察值
，那么,便是样本 的一个观察
值，称其为 样本观察值 或 样本值,它是一组具体
的数据．今后，为了方便起见，记号
有时也表示样本值，这可以从上下文的联系来区
分：如果在一次具体抽样之前，那么，
表示样本，它是一个 n维随机向量
iX
),,2,1( ni ??
),,,( 21 nXXX ?
ix ix ),,2,1( ni ??
),,,( 21 nxxx ? ),,,( 21 nXXX ?
),,,( 21 nXXX ?
),,,( 21 nXXX ?
（这种情形多出现在理论研究或推导中）；
如果在一次具体抽样之后，则 表
示样本值，它是一个具体的数值向量（在
实际应用中就是这种情形）,
要想由样本推断总体，就应当使样本
既能够反映出总体的特点，又便于数学上
的处理．为此，要求样本具有以下两个特
性：
（ 1）同分布性，即，样本 的各分
量与总体 X有相同的分布；
（ 2）独立性，即，样本 的各分量
相互独立．
),,,( 21 nXXX ?
),,,( 21 nXXX ?
),,,( 21 nXXX ?
我们把满足以上两个特性的样本称为 简单随
机样本,把获得简单随机样本 的过程，
称为 简单随机抽样, 由于简单随机样本实际上是由
一组独立同分布的随机变量构成的，因此，简单
随机抽样就是独立地、重复地对总体 X做抽样试
验, 就具体的方法而言，有放回抽样与不放回抽样
之分, 对于有限总体（即总体中个体的数量有限），
我们通常采用放回抽样，这样随机抽取的样本便
是一个简单随机样本；对于无限总体（即总体中
个体的数量无限），放回抽样与不放回抽样几乎
没什么差别，因此 通常采用不放回抽样, 在实
用上，即使对有限总体,只要抽取的
),,,( 21 nXXX ?
的个体数目 n与总体中个体的总数目 N之比
很小（通常要小于 0.1），仍可用不放回抽
样，这样得到的样本可近似地看成一个简
单随机样本,
今后，如不特别申明，我们所说的样本均
指简单随机样本．
由于样本 的各分量独立且每
个分量的分布都与总体 X的分布相同，所以，
对密度函数 为的连续型总体 X而言，样
本 的联合密度函数
,(6-1)
N
n
),,,( 21 nXXX ?
)(xf
),,,( 21 nXXX ?
?
?
?
n
i
in xfxxxf
1
21 )(),,,( ?
而当总体 X是离散型的且其概率函数
（ ）时，样本 的联合概率函
数（或分布为）,
(6-2)
不论是联合密度函数，还是联合概率函数，
它们都是样本信息最全面的概括，非常适
合在某些场合（如第七章的参数估计）中
使用．但这种概括有时也不便或也没必要
使用，这时就需要引入能反映样本信息某
个侧面的专门特征刻画,
)(}{ xpxXP ??
?,,21 aax ?
),,,( 21 nXXX ?
},,,{ 2211 nn xXxXxXP ??? ? ??
??
???
n
i
i
n
i
ii xpxXP
11
)(}{
三、统计量与样本数字特征
1．统计量
完全由样本决定的量就称为 统计量
（ Statistic），它只依赖于样本，而不依赖
任何未知参数．统计量可以看作是对样本
的一种“加工”，是对样本中所含有用信
息的一种“提炼”和“集中”, 比如对正态
总体
中抽取的样本 来说，每个
都含有 的信息，而统计量 就是对这种
信息的一个集中，在做统计推断时，我们
),( 2??N ),,,( 21 nXXX ?
iX
? X
2．样本数字特征
主要利用的正是这种集中信息的统计量，而
不直接利用样本，可以说，统计量是进行统
计推断的一个基本工具,
设 是来自总体 X的容量为 n的
样本，为提炼样本所反映的总体信息，简单
的方法就是引进刻画样本特征的数量指标即
样本的数字特征, 常用的样本数字特征有：
（ 1） 样本均值 （ Sample Mean）：
（ 6-3）
),,,( 21 nXXX ?
?
?
?
n
i
iXnX
1
1
它反映了样本各分量取值的平均状态，是
对样本位置特征的一个刻画，可作为总体
均值 的一个近似值,
（ 2） 样本方差 （ Sample Variance）：
，（ 6-4）
以及 样本标准差 （ Sample Standard
Deviation）（或 样本均方差 ）：
.样本方差反映了样本中各分量取值的离散程
度，可用来作为总体方差的一个近似值, 在
)(XE
?
?
???
n
i
i XXnS
1
22 )(
1
1
?
?
?
?
?
n
i
i XXnS
1
2)(
1
1
具体计算时，通常选用其简化公式
（ 6-5）
类似地，还有公式
,
其中 a为任意常数,
（ 3）样本的 k阶 原点矩 (Sample Raw Moment，
Sample Moment)：
,；
?
?
???
n
i
i XXnS
1
22 )(
1
1 ?
?
????
n
i
ii XXXXn
1
22 )2(
1
1
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?
??
?
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?? ? ?? ?
n
i
n
i
ii XnXXXn
1
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2 2
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??
?
? ?
?? ??
n
i
i XnXn
1
22
1
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?
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? ???
?? ??
n
i
i aXnaXnS
1
222 )()(
1
1
?
?
?
n
i
k
ik XnA
1
1
?,2,1?k
显然，样本均值 就是样本的 1阶原点矩,
（ 4）样本的 k阶 中心矩 (Sample Central
Moment)：
,；
可见，样本方差 与样本的 2阶中心矩
只相差一个常数因子,,为明确这种
联系与区别，样本的 2阶中心矩 有时还
可用以下记号来表示
,（ 6-6）
X 1A
k
n
i
ik XXnB )(
1
1
?
?
?? ?,3,2?k
2S
2B
2
2
1 Bn
nS
??
2B
2
1
2 )(1 ?
?
??
n
i
in XXnS