§ 3.4 二维随机变量函数的分布
上一章已经讨论过一维随机变量函数的分布，
同样，我们可以讨论二维随机变量函数的分布．
一、问题的提法
设 是 n维随机变量，其联合分布已知
,是 n元实连续函数，则
的分布称为 函数的分布．
需要注意的是,n维随机变量函数形成的随
机变量仍然是一维随机变量，这里我们主要讨论
二维随机变量函数的分布问题，解决这类问题的
关键是掌握其基本思想方法．
? ?nXXX,,,21 ?
? ?nxxxgz,,,11 ?? ),,,( 21 nXXXgZ ??
? ?nXXX,,,21 ?
二、二维随机变量函数的分布
1,离散型随机变量函数的分布
若 X与 Y相互独立，且,，则
．
这种性质称为 可加性,因此泊松分布具有
可加性．类似地，二项分布也具有可加性,
若 相互独
立，则
．
)(~ 1?PX )(~ 2?PY
)(~ 21 ?? ??? PYXZ
? ? ? ? YX，pnBYpmBX 与且,~,,~
? ?pnmBYX,~ ??
2.连续型随机变量函数的分布
设 为联合概率密度函数，当
是连续函数时，则 的概率密度函数
可如下获取：
第一步：求出, 对任意,
第二步：根据上式，利用分布函数与概率密
度的关系，或对 求导，即可得到
．
上述做法就是求二维随机变量函数分
布的一般方法，应充分理解和熟练掌握．
),( yxf ),( yxgz ?
),( yxgz ? )(zfZ
? ?的分布函数YXgZ,? Rz ?
? ?? ?zZ DYXPzYXgPzZPzF ??????,}),({}{)( ? ?
? ?
yxyxf
zyxgD z
dd,
,:
??
?
?
)(zFZ
）（ zFzf ZZ ??)(
下面讨论几个具体的随机变量函数的
分布：设是二维连续型随机变量，是其联
合概率密度函数, 图 3.6Dz
（ 1）和的分布
求 的概率密度函数．对于任
意的实数 Z，根据定义，由（ 3－ 11）有
YXZ ??
}{}{)( zYXPzZPzF Z ?????
? ???
??
?
zyxD Z
yxyxf
:
dd,
? ? yxyxfyz dd,??????? ?? ?
??
??
??
y
x
图 3.6
Dz
zyx ??
o
对固定的 z和 y，先作变换
由连续型随机变量概率密度函数的定义可得
（ 3— 27）
同理
（ 3— 28）
特别当与相互独立时，,于是
yux ??
? ?
? ?? ?
? ?
??
?
??
?
?? ??
??
?
??
? ??
??
?
??
? ??
z
z
Z
uyyyuf
yuyyufzF
dd,
dd,)(
? ? yyyzfzf Z d,)( ? ??
??
??
? ? xxzxfzf Z d,)( ? ???? ??
)()(),( yfxfyxf YX ??
（ 3— 29）
（ 3－ 30）
定理 3.5 若 X与 Y相互独立，且,
，则,（ 3— 31）
更进一步，还有
推论 1 若,,…,相互独立且
,i =1,2,…,n,则
（ 3— 32）
由于正态随机变量的线性函数是正态随机变
量，因而我们还有
? ? ? ? yyfyzfzf YXZ d)( ??? ? ????
? ? ? ?( ) dZ X Yf z f x f z x x????? ? ??
),(~ 211 ??NX ),(~ 222 ??NY
),(~ 222121 ???? ??? NYX
1X 2X nX ),(~ 2iii NX ??
? ? ?
? ? ?
n
i
n
i
n
i
iii NX
1 1 1
2 ),(~ ??
推论 2 相互独立的正态随机变量的线性组合
仍然是正态随机变量．
（ 2） 商的分布
求 （ Y≠0）的概率密度函数．
对于任意的实数 z，根据定义 2.8，由（ 3－
11）有
Y
XZ ?
}{)( zZPzF Z ??
? ???
?
???
z
y
x
D z
yxyxfz
Y
X
P
:
dd,}{
? ? ? ??? ??
?
?
?
?
??
0
:
0
:
dd,dd,
y
yzx
D
y
yzx
Dz z
yxyxfyxyxf
? ? ? ? yxyxfyxyxf zyzy dd,dd,00 ? ?? ? ?? ???? ?? ??????????????
对固定的 y和 z，先作变换,
则有，
,所以
（ 3— 33）
若 X与 Y相互独立，则
（ 3－ 34）
图 3.7
o
y yzx ?
x
0?Z
uyx ?
? ? ? ? yuyuyfyyuyuyfyzF zzZ dd,dd,)( 00 ? ?? ? ?? ???? ?? ?????? ???????? ??
? ?? ????? ?? ?????? ?? yuyuyfy dd,ｚ
? ?? ??? ???? ?????? ?? z uyyuyfy dd，
? ? yyzyfyzf Z d,)( ? ??
??
??
yyfzyfyzf YXZ d)]()(|[|)( ??? ? ??
??
类似可以求得 的概率密度函数为,
（请读者自己证明）．
（ 3）, 随机变量最大值和最小值的分布
设 的联合分布函数为,与的
边缘分布函数分别为,,若 X与 Y相
互独立，求 及 的分布函数．
由于 等价于 且,因此,
对于任意的实数 z，
,即 （ 3— 35）
XYZ ?
yyyzfyzf YX d),(1)( ?? ? ??
??
),( YX ),( yxF
)(xFX )( yFY
),m ax ( YXM ? ),m in ( YXN ?
zYXM ?? ),m a x ( zX ? zY ?
}{}{},{}{)(m a x zYPzXPzYzXPzMPzF ????????? )()( zFzF YX ??
?)(m a x zF )()( zFzF YX ?
类似地，由 ＞ z 等价于 且
可得
,即
（ 3— 36）
更一般地，设,,…,相互独立，它们的
分布函数分别是,则
的分布函数为
,
的分布函数为
),m in ( YXN ?
zX ? zY ?
}]{1[}]{1[1
}{}{1},{1}{1}{)(m i n
zYPzXP
zYPzXPzYzXPzNPzNPzF
???????
??????????????
)(m in zF )](1) ] [(1[1 zFzF YX ????
1X 2X nX
nixF iX i ?,2,1,)( ? ? ?nXXM,,m a x 1 ??
?
?
?
n
i
X zFzF i
1
m a x )()(
? ?nXXN,,m in 1 ??
? ?? ??
?
???
n
i
X zFzF i
1
m i n 11)(
进而, 若诸 的分布相同,分布函数为
,则
iX
nixF,,2,1),( ??
,)]([)(m a x nzFzF ? nzFzF )](1[1)(m i n ???