投影法基础第三章 点、直线和平面的投影
P
b?●
●A
P
采用多面投影 。
过空间点 A的投射线与投影面 P的交点即为点
A在 P面上的投影。
B1
●B2
●B3
●
点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置。
一、点在一个投影面上的投影
a?●
3·1点的投影解决办法？
二、点的两面投影
点的两面投影体系
点在第一分角内的投影
点在其他分角内的投影
点在特殊位置的投影
H
V
投影面
◆ 正立投影面（简称正面或 V面）
◆ 水平投影面（简称水平面或 H面）
投影轴
oX
OX轴 V面与 H面的交线 两个投影面互相垂直
V
H
●
●
●
X O
V
H
A
a
a?
xa
向下翻不动点的两面投影体系
a
a?
aX O
●
●
●
●
●
X
V
H
A
a
a
点的两面投影规律,
① a?a⊥ OX轴
② aax= A到 V面的距离
a?ax= A到 H面的距离
xa
●
X
a
ax
a? ●
H
W
V
三、点的三面投影投影面
◆ 正立投影面（简称正面或 V面）
◆ 水平投影面（简称水平面或 H面）
◆ 侧立投影面（简称侧面或 W面）
投影轴
oX
Z
OX轴 V面与 H面的交线
OZ轴 V面与 W面的交线
OY轴 H面与 W面的交线
Y
三个投影面互相垂直
W
H
V
oX
空间点 A在三个投影面上的投影
a? 点 A的正面投影
a 点 A的水平投影
a? 点 A的侧面投影空间点用大写字母表示，点的投影用小写字母表示。
a?●
a●
a?●
A●
Z
Y
WV
H
● ●
●
●
X
Y
Z
O
V
H
W
A
a
a?
a?
xa
az
a y
向右翻向下翻不动投影面展开
a
a
Z
a
a?
y
a
y
a
X
Y
YO
●
●
az ●
x
● ●
●
●
X
Y
Z
O
V
H
W
A
a
a?
a
点的投影规律,
① a?a⊥ OX轴
② aax= a?az=y=A到 V面的距离
a?ax= a?ay=z=A到 H面的距离
aay= a?az=x=A到 W面的距离
xa
az
a y●
●
Y
Z az a?
X
Y
ayO
a
ax
ay
a?●
a?a?⊥ OZ轴
●
●
a?
a
ax
例：已知点的两个投影，求第三投影。
● a?●
●
a?
a
ax
az
az
解法一,
通过作 45° 线使 a?az=aax
解法二,
用圆规直接量取 a?az=aax
a?●
点在四个分角中的投影点在特殊位置的投影三、两点的相对位置两点的相对位置指两点在空间的 上下、前后、
左右 位置关系。
判断方法：
▲ x 坐标大的在左
▲ y 坐标大的在前
▲ z 坐标大的在上
b?
a
a? a?
b?
b
●
●
●
●
●
●
B点在 A点之前、之右、之下。
X
YH
YW
Z
重影点：
空间两点在某一投影面上的 投影重合为一点 时，则称此两点为 该投影面 的重影点。
A,C为 H面的重影点
●
●
● ●
●
a? a?
c?c?
被挡住的投影加 ( )
( )
A,C为哪个投影面的重影点呢？
a c
a
a? a?
b?b?
b
●
●
●
●
●
●
3·2 直线的投影两点确定一条直线，将两点的同名投影用直线连接，
就得到直线的同名投影。
⒈ 直线对一个投影面的投影特性一、直线的投影特性
A
B
●
●
●
●
a
b
直线倾斜于投影投影比空间线段
ab=AB
直线平行于投影面投影反映线段实长
ab=AB 真实性直线垂直于投影投影重合为一点
ab=0 积聚性
●
●
A
B
●
●
a
b
α
A
M
B●
a≡b≡m●
●
●
cos
⒉ 直线在三个投影面中的投影特性投影面平行线 平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜投影面垂直线正平线（平行于Ｖ面）
侧平线（平行于Ｗ面）
水平线（平行于Ｈ面）
正垂线（垂直于Ｖ面）
侧垂线（垂直于Ｗ面）
铅垂线（垂直于Ｈ面）
一般位置直线 与三个投影面都倾斜的直线统称特殊位置直线垂直于某一投影面
(1) 一般位置直线投影特性：
三个投影都缩短了。即,
都不反映空间线段的实长及与三个投影面夹角，且与三根投影轴都倾斜。
a
b
b?
a?
b?
a?
H
X
V
a '
W
A
a
O
"a
Y
B
b'
b
b"
一般位置直线求实长
直角三角形法求实长投影面平行线
B
a
H
X
V
b'
O
a
b
b"
Y
A
'
"a
W
b?
a?
ab
a?
b? b?
a
a?
b?
b
a?
(2) 投影面平行线
① 在其平行的那个投影面上的投影反映实长，
并反映直线与另两投影面倾角。
② 另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。
水平线 侧平线正平线
γ
投 影 特 性：
与 H面的夹角,α 与 V面的角,β
与 W面的夹角,γ
实长实长 实长
β
γ
α α
β
b
a?
a
a? b? b?
投影面垂直线
H
b'
X
V
'a
W
b
O
a
B
A
a "
b"
Y
反映线段实长。且垂直于相应的投影轴。
(3) 投影面垂直线铅垂线 正垂线 侧垂线
② 另外两个投影,
① 在其垂直的投影面上,投影有积聚性 。
投影特性,
●
c?(d?)
c
d
d? c?
●
a?
b?
a(b)
a?
b?
●e?
f?
e f
e?(f?)
例题：判断下列直线的位置
a' b'
a
b
a'
b'
a
b
二、直线与点的相对位置
◆ 若点在直线上,则点的投影必在直线的同名投影上。并将线段的同名投影分割成与空间相同的比例。即：
◆ 若点的投影有一个不在直线的同名投影上,则该点必不在此直线上。
判别方法,
AC/CB=ac/cb= a?c? / c?b?
A
B
C
V
H
b
c
c?
b?
a?
a
定比定理点 C不 在直线 AB上例 1：判断点 C是否在线段 AB上。
a
bc
a?
b?
c?① c?
②
a
b
c
a?
b?
●
点 C在直线 AB上例 2：判断点 K是否在线段 AB上。
a?
b?
● k?
因 k?不在 a?b?上，
故点 K不在 AB上。
应用定比定理
a
b
k
a?
b?
k?
●
●
另一判断法?
直线的迹点
定义 直线与投影面的交点
基本特性 迹点是直线上的点，又是投影面上的点三、两直线的相对位置空间两直线的相对位置分为：
平行,相交,交叉 。
⒈ 两直线平行 投影特性：
空间两直线平行，则其各 同名投影 必相互平行，反之亦然。
a
V
H
c?
b
c
d
A
B
C D
b? d?
a?
a
b
c
d
c?a?
b? d?
例 1：判断图中两条直线是否平行。
对于一般位置直线，只要有两个同名投影互相平行，空间两直线就平行。
AB//CD
①
b? d?
c?
a?
c
b
ad
d?
b?
a?
c?
对于投影面平行线，
只有这两个同名投影互相平行，空间直线不一定平行。 要用两个投影判断，其中应包括反映实长的投影。
求出侧面投影后可知：
AB与 CD不平行。
例 2：判断图中两条直线是否平行。
②
求出侧面投影如何判断？
H
V
A B
C
DK
a
bc
d
k
a?
b?c? k?
d?
a
bc
d
b?
a?
c?
d?
k
k?
⒉ 两直线相交判别方法：
若空间两直线相交,则其同名投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律 。
交点是两直线的共有点
●
●
c
a
b
b?
a?
c? d?k?
k
d
例：过 C点 作水平线 CD与 AB相交。
先作正面投影
d?
b?
a?
a
b
c
d
c?
1?(2? )
3(4 )
⒊ 两直线交叉投影特性,
★ 同名投影可能相交，
但,交点” 不符合空间一个点的投影规律 。
★,交点” 是两直线上的一 对 重影点的投影,
用其可帮助判断两直线的空间位置。
●
●
Ⅰ,Ⅱ 是Ｖ面的重影点，
Ⅲ,Ⅳ 是 H面的重影点。
为什么？
1
2●
●
3?
4?●
● 两直线相交吗？
小 结?
★ 点与直线的投影特性，尤其是 特殊位置直线的投影特性 。
★点与直线及两直线的相对位置的判断方法及投影特性。
★定比定理。
重点掌握：
一、点的投影规律
a
a
Z
a y
a
y
a
X
Y
YO
●
●
●
x
a? z a
① a?a⊥ OX轴
② aax= a?az=y=A到 V面的距离
a?ax= a?ay=z=A到 H面的距离
aay= a?az=x=A到 W面的距离
a?a?⊥ OZ轴二、各种位置直线的投影特性
⒈ 一般位置直线三个投影与各投影轴都倾斜。
⒉ 投影面平行线在其平行的投影面上的投影反映线段实长及与相应投影面的夹角。另两个投影平行于相应的投影轴。
⒊ 投影面垂直线在其垂直的投影面上的投影积聚为一点。
另两个投影反映实长且垂直于相应的投影轴。
三、直线上的点
⒈ 点的投影在直线的同名投影上。
⒉ 点分线段成定比，点的投影必分线段的投影成定比 ——定比定理。
四、两直线的相对位置
⒈ 平行
⒉ 相交
⒊ 交叉（异面）
同名投影互相平行。
同名投影相交，交点是两直线的共有点，
且符合空间一个点的投影规律。
同名投影可能相交，但“交点”不符合空间一个点的投影规律。“交点”是两直线上一对重影点的投影。
3.3 平面的投影一,平面的表示法
●
●
●
●
●
●
a
b
c
a?
b?
c?
不在同一直线上的三个点
●
●
●
●
●
●
a
b
c
a?
b?
c?
直线及线外一点
a
b
c
a?
b?
c?
●
●
●
●
●
●
d●
d?
●
两平行直线
a
b
c
a?
b?
c?
●
●
●
●
●
●
两相交直线
●
●
●
●
●
●
a
b
c
a?
b?
c?
平面图形二、平面的投影特性平行 垂直 倾斜投 影 特 性
★ 平面平行投影面 -----投影就把实形现
★ 平面垂直投影面 -----投影积聚成直线
★ 平面倾斜投影面 -----投影类似原平面实形性类似性积聚性
⒈ 平面对一个投影面的投影特性
⒉ 平面在三投影面体系中的投影特性平面对于三投影面的位置可分为三类,
投影面垂直面投影面平行面一般位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，
倾斜于另两个投影面平行于某一投影面，
垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜正垂面侧垂面铅垂面正平面侧平面水平面投影面垂直面
b
H
B
b'
V
a
c'
'
c"
O
a
c
A
C
"a
Y
b"
W
a
b
c
a? c?
b?
c?
b?
a?
⒈ 投影面垂直面类似性 类似性积聚性铅垂面投影特性：
在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。
另外两个投影面上的投影有类似性。
为什么？
γ
β
是什么位置的平面？
投影面平行面
B
b
H
b'
V
c'
c"
a
c
A
C
'a
"a
O
Y
W
b"
Z
a? b? c? a? b?c?
a
b
c
⒉ 投影面平行面积聚性 积聚性实形性 水平面投影特性：
在它所平行的投影面上的投影反映实形。
另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。
一般位置平面 X
H
V
Z
a'
b'
c'
A
a
B
b
c
a"
c"
b"
C
Y
a?
b?
c?
a?
c?
b?
a
b
c
⒊ 一般位置平面三个投影都类似。
投影特性：
平面的迹线表示法
1.一般位置直线
2.特殊位置平面三、平面上的直线和点判断直线在平面内的方法定 理 一若一直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内。
定 理 二若一直线过平面上的一点，且平行于该平面上的另一直线，则此直线在该平面内。
⒈ 平面上取任意直线
a
b
c
b?
c?
a?
a
b
c
b?
c?
a?
d?
m
n
n?m?
d
例 1：已知平面由直线 AB,AC所确定，试在平面内任作一条直线。
解法一 解法二根据定理二根据定理一有多少解？有无数解。
例 2：在平面 ABC内作一条水平线，使其到
H面的距 离为 10mm。
n?m?
nm
10 c?
a?
b?
c
a
b
唯一解！
有多少解？
⒉ 平面上取点先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。
例 1：已知 K点在平面 ABC上，求 K点的水平投影。
b
①
a
c
c?
a?
k?
b?
●
k●
面上取点的方法：
首先面上取线
②
●
a
b
c
a?
b?
k?
c?
d?
k● d
利用平面的积聚性求解 通过在面内作辅助线求解
b
c
ka
d
a?
d?
b?
c?
a
d
a?
d?
b?
c?k?
b
c
例 2：已知 AC为正平线，补全平行四边形
ABCD的水平投影。
解法一 解法二
小 结
重点掌握：
二、如何在平面上确定直线和点。
三、两平面平行的条件一定是分别位于两平面内的 两组相交直线对应平行。
四、直线与平面的交点及平面与平面的交线是两者的共有点或共有线。
解题思路：
★ 空间及投影分析目的是找出交点或交线的已知投影。
★ 判别可见性 尤其是 如何利用重影点判别。
一、平面的投影特性,尤其是特殊位置平面的投影特性。
要 点一、各种位置平面的投影特性
⒈ 一般位置平面
⒉ 投影面垂直面
⒊ 投影面平行面三个投影为边数相等的类似多边形 ——类似性 。
在其垂直的投影面上的投影积聚成直线
——积聚性 。
另外两个投影类似。
在其平行的投影面上的投影反映实形
——实形性 。
另外两个投影积聚为直线。
二、平面上的点与直线
⒈ 平面上的点一定位于平面内的某条直线上
⒉ 平面上的直线
⑴ 过平面上的两个点。
⑵ 过平面上的一点并平行于该平面上的某条直线。
P
b?●
●A
P
采用多面投影 。
过空间点 A的投射线与投影面 P的交点即为点
A在 P面上的投影。
B1
●B2
●B3
●
点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置。
一、点在一个投影面上的投影
a?●
3·1点的投影解决办法？
二、点的两面投影
点的两面投影体系
点在第一分角内的投影
点在其他分角内的投影
点在特殊位置的投影
H
V
投影面
◆ 正立投影面（简称正面或 V面）
◆ 水平投影面（简称水平面或 H面）
投影轴
oX
OX轴 V面与 H面的交线 两个投影面互相垂直
V
H
●
●
●
X O
V
H
A
a
a?
xa
向下翻不动点的两面投影体系
a
a?
aX O
●
●
●
●
●
X
V
H
A
a
a
点的两面投影规律,
① a?a⊥ OX轴
② aax= A到 V面的距离
a?ax= A到 H面的距离
xa
●
X
a
ax
a? ●
H
W
V
三、点的三面投影投影面
◆ 正立投影面（简称正面或 V面）
◆ 水平投影面（简称水平面或 H面）
◆ 侧立投影面（简称侧面或 W面）
投影轴
oX
Z
OX轴 V面与 H面的交线
OZ轴 V面与 W面的交线
OY轴 H面与 W面的交线
Y
三个投影面互相垂直
W
H
V
oX
空间点 A在三个投影面上的投影
a? 点 A的正面投影
a 点 A的水平投影
a? 点 A的侧面投影空间点用大写字母表示，点的投影用小写字母表示。
a?●
a●
a?●
A●
Z
Y
WV
H
● ●
●
●
X
Y
Z
O
V
H
W
A
a
a?
a?
xa
az
a y
向右翻向下翻不动投影面展开
a
a
Z
a
a?
y
a
y
a
X
Y
YO
●
●
az ●
x
● ●
●
●
X
Y
Z
O
V
H
W
A
a
a?
a
点的投影规律,
① a?a⊥ OX轴
② aax= a?az=y=A到 V面的距离
a?ax= a?ay=z=A到 H面的距离
aay= a?az=x=A到 W面的距离
xa
az
a y●
●
Y
Z az a?
X
Y
ayO
a
ax
ay
a?●
a?a?⊥ OZ轴
●
●
a?
a
ax
例：已知点的两个投影，求第三投影。
● a?●
●
a?
a
ax
az
az
解法一,
通过作 45° 线使 a?az=aax
解法二,
用圆规直接量取 a?az=aax
a?●
点在四个分角中的投影点在特殊位置的投影三、两点的相对位置两点的相对位置指两点在空间的 上下、前后、
左右 位置关系。
判断方法：
▲ x 坐标大的在左
▲ y 坐标大的在前
▲ z 坐标大的在上
b?
a
a? a?
b?
b
●
●
●
●
●
●
B点在 A点之前、之右、之下。
X
YH
YW
Z
重影点：
空间两点在某一投影面上的 投影重合为一点 时，则称此两点为 该投影面 的重影点。
A,C为 H面的重影点
●
●
● ●
●
a? a?
c?c?
被挡住的投影加 ( )
( )
A,C为哪个投影面的重影点呢？
a c
a
a? a?
b?b?
b
●
●
●
●
●
●
3·2 直线的投影两点确定一条直线，将两点的同名投影用直线连接，
就得到直线的同名投影。
⒈ 直线对一个投影面的投影特性一、直线的投影特性
A
B
●
●
●
●
a
b
直线倾斜于投影投影比空间线段
ab=AB
直线平行于投影面投影反映线段实长
ab=AB 真实性直线垂直于投影投影重合为一点
ab=0 积聚性
●
●
A
B
●
●
a
b
α
A
M
B●
a≡b≡m●
●
●
cos
⒉ 直线在三个投影面中的投影特性投影面平行线 平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜投影面垂直线正平线（平行于Ｖ面）
侧平线（平行于Ｗ面）
水平线（平行于Ｈ面）
正垂线（垂直于Ｖ面）
侧垂线（垂直于Ｗ面）
铅垂线（垂直于Ｈ面）
一般位置直线 与三个投影面都倾斜的直线统称特殊位置直线垂直于某一投影面
(1) 一般位置直线投影特性：
三个投影都缩短了。即,
都不反映空间线段的实长及与三个投影面夹角，且与三根投影轴都倾斜。
a
b
b?
a?
b?
a?
H
X
V
a '
W
A
a
O
"a
Y
B
b'
b
b"
一般位置直线求实长
直角三角形法求实长投影面平行线
B
a
H
X
V
b'
O
a
b
b"
Y
A
'
"a
W
b?
a?
ab
a?
b? b?
a
a?
b?
b
a?
(2) 投影面平行线
① 在其平行的那个投影面上的投影反映实长，
并反映直线与另两投影面倾角。
② 另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。
水平线 侧平线正平线
γ
投 影 特 性：
与 H面的夹角,α 与 V面的角,β
与 W面的夹角,γ
实长实长 实长
β
γ
α α
β
b
a?
a
a? b? b?
投影面垂直线
H
b'
X
V
'a
W
b
O
a
B
A
a "
b"
Y
反映线段实长。且垂直于相应的投影轴。
(3) 投影面垂直线铅垂线 正垂线 侧垂线
② 另外两个投影,
① 在其垂直的投影面上,投影有积聚性 。
投影特性,
●
c?(d?)
c
d
d? c?
●
a?
b?
a(b)
a?
b?
●e?
f?
e f
e?(f?)
例题：判断下列直线的位置
a' b'
a
b
a'
b'
a
b
二、直线与点的相对位置
◆ 若点在直线上,则点的投影必在直线的同名投影上。并将线段的同名投影分割成与空间相同的比例。即：
◆ 若点的投影有一个不在直线的同名投影上,则该点必不在此直线上。
判别方法,
AC/CB=ac/cb= a?c? / c?b?
A
B
C
V
H
b
c
c?
b?
a?
a
定比定理点 C不 在直线 AB上例 1：判断点 C是否在线段 AB上。
a
bc
a?
b?
c?① c?
②
a
b
c
a?
b?
●
点 C在直线 AB上例 2：判断点 K是否在线段 AB上。
a?
b?
● k?
因 k?不在 a?b?上，
故点 K不在 AB上。
应用定比定理
a
b
k
a?
b?
k?
●
●
另一判断法?
直线的迹点
定义 直线与投影面的交点
基本特性 迹点是直线上的点，又是投影面上的点三、两直线的相对位置空间两直线的相对位置分为：
平行,相交,交叉 。
⒈ 两直线平行 投影特性：
空间两直线平行，则其各 同名投影 必相互平行，反之亦然。
a
V
H
c?
b
c
d
A
B
C D
b? d?
a?
a
b
c
d
c?a?
b? d?
例 1：判断图中两条直线是否平行。
对于一般位置直线，只要有两个同名投影互相平行，空间两直线就平行。
AB//CD
①
b? d?
c?
a?
c
b
ad
d?
b?
a?
c?
对于投影面平行线，
只有这两个同名投影互相平行，空间直线不一定平行。 要用两个投影判断，其中应包括反映实长的投影。
求出侧面投影后可知：
AB与 CD不平行。
例 2：判断图中两条直线是否平行。
②
求出侧面投影如何判断？
H
V
A B
C
DK
a
bc
d
k
a?
b?c? k?
d?
a
bc
d
b?
a?
c?
d?
k
k?
⒉ 两直线相交判别方法：
若空间两直线相交,则其同名投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律 。
交点是两直线的共有点
●
●
c
a
b
b?
a?
c? d?k?
k
d
例：过 C点 作水平线 CD与 AB相交。
先作正面投影
d?
b?
a?
a
b
c
d
c?
1?(2? )
3(4 )
⒊ 两直线交叉投影特性,
★ 同名投影可能相交，
但,交点” 不符合空间一个点的投影规律 。
★,交点” 是两直线上的一 对 重影点的投影,
用其可帮助判断两直线的空间位置。
●
●
Ⅰ,Ⅱ 是Ｖ面的重影点，
Ⅲ,Ⅳ 是 H面的重影点。
为什么？
1
2●
●
3?
4?●
● 两直线相交吗？
小 结?
★ 点与直线的投影特性，尤其是 特殊位置直线的投影特性 。
★点与直线及两直线的相对位置的判断方法及投影特性。
★定比定理。
重点掌握：
一、点的投影规律
a
a
Z
a y
a
y
a
X
Y
YO
●
●
●
x
a? z a
① a?a⊥ OX轴
② aax= a?az=y=A到 V面的距离
a?ax= a?ay=z=A到 H面的距离
aay= a?az=x=A到 W面的距离
a?a?⊥ OZ轴二、各种位置直线的投影特性
⒈ 一般位置直线三个投影与各投影轴都倾斜。
⒉ 投影面平行线在其平行的投影面上的投影反映线段实长及与相应投影面的夹角。另两个投影平行于相应的投影轴。
⒊ 投影面垂直线在其垂直的投影面上的投影积聚为一点。
另两个投影反映实长且垂直于相应的投影轴。
三、直线上的点
⒈ 点的投影在直线的同名投影上。
⒉ 点分线段成定比，点的投影必分线段的投影成定比 ——定比定理。
四、两直线的相对位置
⒈ 平行
⒉ 相交
⒊ 交叉（异面）
同名投影互相平行。
同名投影相交，交点是两直线的共有点，
且符合空间一个点的投影规律。
同名投影可能相交，但“交点”不符合空间一个点的投影规律。“交点”是两直线上一对重影点的投影。
3.3 平面的投影一,平面的表示法
●
●
●
●
●
●
a
b
c
a?
b?
c?
不在同一直线上的三个点
●
●
●
●
●
●
a
b
c
a?
b?
c?
直线及线外一点
a
b
c
a?
b?
c?
●
●
●
●
●
●
d●
d?
●
两平行直线
a
b
c
a?
b?
c?
●
●
●
●
●
●
两相交直线
●
●
●
●
●
●
a
b
c
a?
b?
c?
平面图形二、平面的投影特性平行 垂直 倾斜投 影 特 性
★ 平面平行投影面 -----投影就把实形现
★ 平面垂直投影面 -----投影积聚成直线
★ 平面倾斜投影面 -----投影类似原平面实形性类似性积聚性
⒈ 平面对一个投影面的投影特性
⒉ 平面在三投影面体系中的投影特性平面对于三投影面的位置可分为三类,
投影面垂直面投影面平行面一般位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，
倾斜于另两个投影面平行于某一投影面，
垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜正垂面侧垂面铅垂面正平面侧平面水平面投影面垂直面
b
H
B
b'
V
a
c'
'
c"
O
a
c
A
C
"a
Y
b"
W
a
b
c
a? c?
b?
c?
b?
a?
⒈ 投影面垂直面类似性 类似性积聚性铅垂面投影特性：
在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。
另外两个投影面上的投影有类似性。
为什么？
γ
β
是什么位置的平面？
投影面平行面
B
b
H
b'
V
c'
c"
a
c
A
C
'a
"a
O
Y
W
b"
Z
a? b? c? a? b?c?
a
b
c
⒉ 投影面平行面积聚性 积聚性实形性 水平面投影特性：
在它所平行的投影面上的投影反映实形。
另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。
一般位置平面 X
H
V
Z
a'
b'
c'
A
a
B
b
c
a"
c"
b"
C
Y
a?
b?
c?
a?
c?
b?
a
b
c
⒊ 一般位置平面三个投影都类似。
投影特性：
平面的迹线表示法
1.一般位置直线
2.特殊位置平面三、平面上的直线和点判断直线在平面内的方法定 理 一若一直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内。
定 理 二若一直线过平面上的一点，且平行于该平面上的另一直线，则此直线在该平面内。
⒈ 平面上取任意直线
a
b
c
b?
c?
a?
a
b
c
b?
c?
a?
d?
m
n
n?m?
d
例 1：已知平面由直线 AB,AC所确定，试在平面内任作一条直线。
解法一 解法二根据定理二根据定理一有多少解？有无数解。
例 2：在平面 ABC内作一条水平线，使其到
H面的距 离为 10mm。
n?m?
nm
10 c?
a?
b?
c
a
b
唯一解！
有多少解？
⒉ 平面上取点先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。
例 1：已知 K点在平面 ABC上，求 K点的水平投影。
b
①
a
c
c?
a?
k?
b?
●
k●
面上取点的方法：
首先面上取线
②
●
a
b
c
a?
b?
k?
c?
d?
k● d
利用平面的积聚性求解 通过在面内作辅助线求解
b
c
ka
d
a?
d?
b?
c?
a
d
a?
d?
b?
c?k?
b
c
例 2：已知 AC为正平线，补全平行四边形
ABCD的水平投影。
解法一 解法二
小 结
重点掌握：
二、如何在平面上确定直线和点。
三、两平面平行的条件一定是分别位于两平面内的 两组相交直线对应平行。
四、直线与平面的交点及平面与平面的交线是两者的共有点或共有线。
解题思路：
★ 空间及投影分析目的是找出交点或交线的已知投影。
★ 判别可见性 尤其是 如何利用重影点判别。
一、平面的投影特性,尤其是特殊位置平面的投影特性。
要 点一、各种位置平面的投影特性
⒈ 一般位置平面
⒉ 投影面垂直面
⒊ 投影面平行面三个投影为边数相等的类似多边形 ——类似性 。
在其垂直的投影面上的投影积聚成直线
——积聚性 。
另外两个投影类似。
在其平行的投影面上的投影反映实形
——实形性 。
另外两个投影积聚为直线。
二、平面上的点与直线
⒈ 平面上的点一定位于平面内的某条直线上
⒉ 平面上的直线
⑴ 过平面上的两个点。
⑵ 过平面上的一点并平行于该平面上的某条直线。
