第 七 章平面体及回转体的截切本章及下一章是我们这门课的难点第七章 平面体及回转体的截切截切：
用一个平面与立体相交，截去立体的一部分。
截平面 —— 用以截切物体的平面。
截交线 —— 截平面与物体表面的交线。
截断面 —— 因截平面的截切，在物体上形成的平面。
讨论的问题：截交线的分析和作图 。
7.1 平面体的截切一、平面截切的基本形式
截交线是一个由直线组成的 封闭的平面多边形,其形状取决于平面体的形状及截平面对平面体的截切位置。
截交线的每条边是 截平面与棱面的交线 。
求 截交线的实质是求两平面的交线截交线的性质：
二、平面截切体的画图
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点 → 棱线法 。
★ 求各棱面与截平面的交线 → 棱面法 。
关键是正确地画出截交线的投影 。
⒉ 求截交线的步骤：
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置确定截交线的投影特性确定截交线的形状★ 空间及投影分析
★ 画出截交线的投影分别求出截平面与棱面的交线，并连接成多边形。
截交线的形状
1.分析截平面与立体的相对位置以决定截交线形状：多边形，其边数取决于截平面截到的 棱面数 。
2,分析截平面与投影面的相对位置以决定截交线的投影形状。
例 1：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
3?
2?
1?
(4?) 1?● 2?●4?●
3?●
1
●
2●
4●
★ 空间分析交线的形状？3
●
★ 投影分析
★ 求截交线
★ 分析棱线的投影
★ 检查 尤其注意检查截交线投影的类似性截平面与体的几个棱面相交？ 截交线在俯、
左视图上的形状？
例 1：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
我们采用的是哪种解题方法？
棱线法！
例 2：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1
2
1?(2?)
Ⅰ,Ⅱ 两点分别同时位于三个面上。
三面共点：
2?● 1?●
注意：
要逐个截平面分析和绘制截交线。当平面体只有局部被截切时，先假想为整体被截切，求出截交线后再取局部。
例 2：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
例 3,求八棱柱被平面 P截切后的俯视图。
P?
截交线的形状？
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
Ⅴ
ⅥⅦ
Ⅷ1?
5? 4?
3? 2?
8?
7? 6?
截交线的投影特性？
2?≡ 3?≡ 6?≡ 7?
1?≡ 8?
4?≡ 5?
求截交线
1
5
4
7
6
3
2
8
分析棱线的投影检查截交线的投影例 3,求八棱柱被平面 P截切后的俯视图。
7.2 回转体的截切一、回转体截切的基本形式截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的 共有线 。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及截平面与回转体轴线的相对位置 。截交线都是 封闭的平面图形（封闭曲线或由
直线和曲线围成） 。
二、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线的相对位置，以便 确定截交线的形状 。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置,明确 截交线的投影特性,如积聚性、类似性等。 找出截交线的 已知 投影,予见未知 投影。
⒉ 画出截交线的投影当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可见性。
☆ 先找特殊点，补充中间点 。
㈠ 圆柱体的截切截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截平面与圆柱轴线的相对位置垂直圆 椭圆平行两平行直线倾斜
PV
P
PV
P
PV
P
例 1：求左视图
★ 空间及投影分析
★ 求截交线
★ 分析圆柱体轮廓素线的投影截平面与体的相对位置截平面与投影面的相对位置
●
● 解题步骤：
同一立体被多个平面截切，要逐个截平面进行截交线的分析和作图。
●
●
例 1：求左视图
★ 空间及投影分析
★ 求截交线
★ 分析圆柱体轮廓素线的投影截平面与体的相对位置截平面与投影面的相对位置解题步骤：
例 2：求左视图
●
●
●
●
例 2：求左视图例 3：求俯视图例 3：求俯视图截交线的已知投影？
●
●●
●
● ●
●
●
●
●
●●
例 4：求左视图
★ 找特殊点
★ 补充中间点
★ 光滑连接各点
★ 分析轮廓素线的投影截交线的侧面投影是什么形状？
截交线的空间形状？
例 4：求左视图
★ 找特殊点
★ 找中间点
★ 光滑连接各点
★ 分析轮廓素线的投影椭圆的长、
短轴随截平面与圆柱轴线夹角的变化而改变。
45°
什么情况下投影为圆呢？截平面与圆柱轴线成 45° 时。
例 5：求左视图例,求左视图虚实分界点
㈡ 圆锥体的截切根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，截交线有五种形状。
过锥顶两相交直线
PV
圆
PVθ
θ = 90°
PV
椭圆
α
θ
θ ＞ α
抛物线
PVθ
α
θ =α
双曲线
PV
α
θ = 0° ＜ α
例,圆锥被正垂面截切，求截交线，并完成三视图。 截交线的空间形状？
截交线的投影特性？
★ 找特殊点如何找椭圆另一根轴的端点？
★ 补充中间点
★ 光滑连接各点
★ 分析轮廓线的投影例,圆锥被正垂面截切，求截交线，并完成三视图。
㈢ 球体的截切平面与圆球相交,截交线的形状都是圆,但根据截平面与投影面的相对位置不同，其 截交线的投影可能为圆、椭圆或积聚成一条直线 。
例：求半球体截切后的俯视图和左视图。
水平面截圆球的截交线的投影，在俯视图上为部分圆弧，在侧视图上积聚为直线。
两个侧平面截圆球的截交线的投影，在侧视图上为部分圆弧，在俯视图上积聚为直线。
例：求半球体截切后的俯视图和左视图。
●● ● ● ●●
●●
●
●
㈣ 复合回转体的截切
●
●
●
●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成以及它们的连接关系，然后 分别求出这些基本回转体的截交线，并依次将其连接。
例：求作顶尖的俯视图
小 结
一、平面体的截交线一般情况下是由直线组成的封闭的平面多边形，多边形的边是 截平面与棱面的交线 。
求截交线的方法,棱线法 棱面法二、平面截切回转体，截交线的形状取决于截平面与被截立体轴线的相对位置。
截交线是截平面与回转体表面的 共有线 。
当截交线的投影为非圆曲线时，要 先找特殊点，再补充中间点,最后光滑连接各点。
注意分析平面体的棱线和回转体轮廓素线的投影。
⑵ 分析截平面与被截立体对投影面的相对位置，以 确定截交线的投影特性 。
⒉ 求截交线三、解题方法与步骤
⒈ 空间及投影分析
⑴ 分析截平面与被截立体的相对位置，以确定截交线的形状 。
⒊ 当单体被多个截平面截切时，要 逐个 截平面 进行截交线的分析与作图 。当只有局部被截切 时，先 按整体被截切求出截交线,然后 再取局部 。
⒋ 求 复合回转体 的截交线，应首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成以及它们的连接关系，然后 分别求出 这些 基本回转体的截交线,并依 次将其连接 。
用一个平面与立体相交，截去立体的一部分。
截平面 —— 用以截切物体的平面。
截交线 —— 截平面与物体表面的交线。
截断面 —— 因截平面的截切，在物体上形成的平面。
讨论的问题：截交线的分析和作图 。
7.1 平面体的截切一、平面截切的基本形式
截交线是一个由直线组成的 封闭的平面多边形,其形状取决于平面体的形状及截平面对平面体的截切位置。
截交线的每条边是 截平面与棱面的交线 。
求 截交线的实质是求两平面的交线截交线的性质：
二、平面截切体的画图
⒈ 求截交线的两种方法：
★ 求各棱线与截平面的交点 → 棱线法 。
★ 求各棱面与截平面的交线 → 棱面法 。
关键是正确地画出截交线的投影 。
⒉ 求截交线的步骤：
☆ 截平面与体的相对位置
☆ 截平面与投影面的相对位置确定截交线的投影特性确定截交线的形状★ 空间及投影分析
★ 画出截交线的投影分别求出截平面与棱面的交线，并连接成多边形。
截交线的形状
1.分析截平面与立体的相对位置以决定截交线形状：多边形，其边数取决于截平面截到的 棱面数 。
2,分析截平面与投影面的相对位置以决定截交线的投影形状。
例 1：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
3?
2?
1?
(4?) 1?● 2?●4?●
3?●
1
●
2●
4●
★ 空间分析交线的形状？3
●
★ 投影分析
★ 求截交线
★ 分析棱线的投影
★ 检查 尤其注意检查截交线投影的类似性截平面与体的几个棱面相交？ 截交线在俯、
左视图上的形状？
例 1：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
我们采用的是哪种解题方法？
棱线法！
例 2：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1
2
1?(2?)
Ⅰ,Ⅱ 两点分别同时位于三个面上。
三面共点：
2?● 1?●
注意：
要逐个截平面分析和绘制截交线。当平面体只有局部被截切时，先假想为整体被截切，求出截交线后再取局部。
例 2：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
例 3,求八棱柱被平面 P截切后的俯视图。
P?
截交线的形状？
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
Ⅴ
ⅥⅦ
Ⅷ1?
5? 4?
3? 2?
8?
7? 6?
截交线的投影特性？
2?≡ 3?≡ 6?≡ 7?
1?≡ 8?
4?≡ 5?
求截交线
1
5
4
7
6
3
2
8
分析棱线的投影检查截交线的投影例 3,求八棱柱被平面 P截切后的俯视图。
7.2 回转体的截切一、回转体截切的基本形式截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的 共有线 。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及截平面与回转体轴线的相对位置 。截交线都是 封闭的平面图形（封闭曲线或由
直线和曲线围成） 。
二、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线的相对位置，以便 确定截交线的形状 。
☆ 分析截平面与投影面的相对位置,明确 截交线的投影特性,如积聚性、类似性等。 找出截交线的 已知 投影,予见未知 投影。
⒉ 画出截交线的投影当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可见性。
☆ 先找特殊点，补充中间点 。
㈠ 圆柱体的截切截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截平面与圆柱轴线的相对位置垂直圆 椭圆平行两平行直线倾斜
PV
P
PV
P
PV
P
例 1：求左视图
★ 空间及投影分析
★ 求截交线
★ 分析圆柱体轮廓素线的投影截平面与体的相对位置截平面与投影面的相对位置
●
● 解题步骤：
同一立体被多个平面截切，要逐个截平面进行截交线的分析和作图。
●
●
例 1：求左视图
★ 空间及投影分析
★ 求截交线
★ 分析圆柱体轮廓素线的投影截平面与体的相对位置截平面与投影面的相对位置解题步骤：
例 2：求左视图
●
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例 2：求左视图例 3：求俯视图例 3：求俯视图截交线的已知投影？
●
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例 4：求左视图
★ 找特殊点
★ 补充中间点
★ 光滑连接各点
★ 分析轮廓素线的投影截交线的侧面投影是什么形状？
截交线的空间形状？
例 4：求左视图
★ 找特殊点
★ 找中间点
★ 光滑连接各点
★ 分析轮廓素线的投影椭圆的长、
短轴随截平面与圆柱轴线夹角的变化而改变。
45°
什么情况下投影为圆呢？截平面与圆柱轴线成 45° 时。
例 5：求左视图例,求左视图虚实分界点
㈡ 圆锥体的截切根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，截交线有五种形状。
过锥顶两相交直线
PV
圆
PVθ
θ = 90°
PV
椭圆
α
θ
θ ＞ α
抛物线
PVθ
α
θ =α
双曲线
PV
α
θ = 0° ＜ α
例,圆锥被正垂面截切，求截交线，并完成三视图。 截交线的空间形状？
截交线的投影特性？
★ 找特殊点如何找椭圆另一根轴的端点？
★ 补充中间点
★ 光滑连接各点
★ 分析轮廓线的投影例,圆锥被正垂面截切，求截交线，并完成三视图。
㈢ 球体的截切平面与圆球相交,截交线的形状都是圆,但根据截平面与投影面的相对位置不同，其 截交线的投影可能为圆、椭圆或积聚成一条直线 。
例：求半球体截切后的俯视图和左视图。
水平面截圆球的截交线的投影，在俯视图上为部分圆弧，在侧视图上积聚为直线。
两个侧平面截圆球的截交线的投影，在侧视图上为部分圆弧，在俯视图上积聚为直线。
例：求半球体截切后的俯视图和左视图。
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㈣ 复合回转体的截切
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首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成以及它们的连接关系，然后 分别求出这些基本回转体的截交线，并依次将其连接。
例：求作顶尖的俯视图
小 结
一、平面体的截交线一般情况下是由直线组成的封闭的平面多边形，多边形的边是 截平面与棱面的交线 。
求截交线的方法,棱线法 棱面法二、平面截切回转体，截交线的形状取决于截平面与被截立体轴线的相对位置。
截交线是截平面与回转体表面的 共有线 。
当截交线的投影为非圆曲线时，要 先找特殊点，再补充中间点,最后光滑连接各点。
注意分析平面体的棱线和回转体轮廓素线的投影。
⑵ 分析截平面与被截立体对投影面的相对位置，以 确定截交线的投影特性 。
⒉ 求截交线三、解题方法与步骤
⒈ 空间及投影分析
⑴ 分析截平面与被截立体的相对位置，以确定截交线的形状 。
⒊ 当单体被多个截平面截切时，要 逐个 截平面 进行截交线的分析与作图 。当只有局部被截切 时，先 按整体被截切求出截交线,然后 再取局部 。
⒋ 求 复合回转体 的截交线，应首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成以及它们的连接关系，然后 分别求出 这些 基本回转体的截交线,并依 次将其连接 。
