第 八 章立体与立体相贯平面体与回转体相贯回转体与回转体相贯 多体相贯
8.1 概 述
1.相贯的形式两立体相交叫作相贯，其表面产生的交线叫做 相贯线 。
本章主要讨论常用不同立体相交时其 表面相贯线的投影特性及画法。
2.相贯线的主要性质其作图实质是找出相贯的两立体表面的若干 共有点 的投影。
★ 共有性
★ 表面性相贯线位于两立体的表面上。
相贯线是 两立体表面的共有线 。
★ 封闭性相贯线一般是 封闭的空间折线 （通常由直线和曲线组成） 或空间曲线 。
1.相贯线的性质相贯线是 由若干段平面曲线（或直线）所组成的 空间折线,每一段是平面体的棱面与回转体表面的交线 。
8.2 平面体与回转体相贯
2.作图方法
分析各棱面与回转体表面的相对位置，从而确定交线的形状。
求出各棱面与回转体表面的截交线。
连接各段交线，并判断可见性。
求交线的实质是 求各棱面与回转面的截交线 。
例 1,补全主视图空间分析：
四棱柱的四个棱面分别与圆柱面相交，前后两棱面与圆柱轴线平行，截交线为两段直线；左右两棱面与圆柱轴线垂直，截交线为两段圆弧。
投影分析：
由于相贯线是两立体表面的共有线，所以相贯线的侧面投影积聚在一段圆弧上，
水平投影积聚在矩形上。
例 1,补全主视图例 2：求作主视图例 2：求作主视图
1,相贯线的性质相贯线一般为 光滑封闭的空间曲线,它是两回转体表面的共有线 。
8.3 回转体与回转体相贯
2.作图方法
利用投影的积聚性直接找点 。
用辅助平面法。
先找特殊点。
⒊ 作图过程
补充中间点。
确定交线的弯曲趋势确定交线的范围例 1,圆柱与圆柱相贯，求其相贯线。
●
●●
● ● ● ●
● ●
空间及投影分析：
小圆柱轴线垂直于 H面，水平投影积聚为圆，根据相贯线的共有性，相贯线的水平投影即为该圆。大圆柱轴线垂直于 W面，
侧面投影积聚为圆，相贯线的侧面投影在该圆上。
求相贯线的投影：
利用积聚性，采用表面取点法。
☆ 找特殊点
☆ 补充中间点
☆ 光滑连接例 1,圆柱与圆柱相贯，求其相贯线。
当圆柱直径变化时，相贯线的变化趋势。
交线向大圆柱一侧弯交线为两条平面曲线（椭圆）
例 2：补全主视图
● ●
● ●●●
●
● ●
● ●
● ●
● ●
●●
● ●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯例 2：补全主视图无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是一样的。
小 结：
两圆柱正交时的相贯线
x xx
z z
o' o' o'
x
y
x
y
x o
y
oo
例 2：证明两圆柱正交时，在其对称面上的投影为双曲线。
轴线为侧垂线的圆柱面方程
222 Rzy
轴线为铅垂线的圆柱面方程
222 ryx
（ 1）
（ 2）
因正面投影不含 y坐标，（ 1） — （ 2）消去得相贯线的正面投影方程
2222 rRxz
接上页
（ 1） R>r时,正面投影为以 z轴为实轴的等轴双曲线
122
2
22
2
rR
x
rR
z
（ 2） R=r时,正面投影为通过原点,且与轴线成角的两直线 （ 空间相贯线为两椭圆 ） 。
xz
接上页
（ 3） R<r时,正面投影仍为双曲线,但以 x轴为实轴
122
2
22
2
rR
z
Rr
x
接上页
（ 3） R<r时,正面投影仍为双曲线,但以轴为实轴
122
2
22
2
rR
z
Rr
x
例 2：求内外圆柱正交时的相贯线（用简化画法）
分析与作图与上例完全相同,但应注意：
这时的大圆柱轴线为铅垂线,小圆柱轴线为侧垂线,所以相贯线正面投影方向不同,而且有两支 。 另外,圆柱内表面的轮廓线投影应画成虚线 。
以上证明：当圆柱正交时,相贯线在两圆柱公共对称面上的投影 （ 此时为正面投影 ） 为双曲线 。 当两圆柱直径相差较大时,允许采用近似画法,即用圆弧代替双曲线 。
内外圆柱正交简化画法
2
2'
1
3
1'
3' 2" 3"
1"
2R
2r
R
内、外圆柱表面正交
●
例 3：求主视图
● ●
●
●
●
相切处无线
×
外表面与外表面相贯，内表面与内表面相贯。分别求其相贯线。
例 3：求主视图例 4：圆柱与圆锥相贯，求其相贯线的投影。
◆ 空间及投影分析：
相贯线为一 光滑的封闭的空间曲线 。
它的侧面投影有积聚性，正面投影、水平投影没有积聚性，应分别求出。
◆ 解题方法,辅助平面法辅助平面法：
根据 三面共点 的原理，利用辅助平面求出两回转体表面上的若干共有点，从而画出相贯线的投影。
作图方法：
假想用辅助平面截切两回转体,分别得出两回转体表面的截交线。由于截交线的交点既在辅助平面内，又在两回转体表面上，
因而是相贯线上的点。
辅助平面的选择原则：
使 辅助平面与两回转体 表面的截交线 的投影 简单易画,例如直线或圆。
一般选择 投影面平行面例 4：圆柱与圆锥相贯，求其相贯线的投影。
假想用水平面 P截切立体,P面与圆柱体的截交线为两条直线，与圆锥面的交线为圆，圆与两直线的交点即为交线上的点。
P
●
●
●
●
●
例 4：圆柱与圆锥相贯，求其相贯线的投影。
● ●
●
●
●●
●●
●●
● ●
解题步骤：
★ 求特殊点
★ 用辅助平面法求中间点
★ 光滑连接各点例 4：圆柱与圆锥相贯，求其相贯线的投影。
解题步骤：
★ 求特殊点
★ 用辅助平面法求中间点
★ 光滑连接各点
1
23
例 5：补全主视图
●
●
● ●
●
●● ●
这是一个多体相贯的例子，首先分析它是由哪些基本体组成的，这些基本体是如何相贯的，然后 分别进行相贯线的分析与作图。
例 5：补全主视图三面共点 ●
●
●
作图时要抓住一个关键点，相贯线汇交于这一点。
●
●
● ●
●
●
●
●
● ●
例 6：求俯视图
● ●
● ●●
● ●
●
例 6：求俯视图
小 结
一、本章的基本内容
⒈ 立体表面相贯线的概念
⒉ 求相贯线的基本方法相贯线的性质,表面性 共有性 封闭性二、解题过程
⒈ 交线分析
⑴ 空间分析：
⑵ 投影分析：
是否有积聚性投影？ 找出 相贯线的 已知投影,
预见未知投影,从而 选择解题方法。
面上找点法 辅助平面法分析相交两立体的表面形状,形体大小及相对位置,预见交线的形状 。
特殊点包括：最上点、最下点、最左点、
最右点、最前点、最后点、
轮廓线上的点等。
⒉ 作图
⑴ 找点
⑵ 连线
⑶ 检查、加深尤其注意检查回转体轮廓素线的投影。
当相贯线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点
☆ 补充若干中间点三、平面体与圆柱体相贯
⒈ 相贯线的产生：
⒉ 求相贯线的方法：
⒊ 相贯线的形状及投影：
外表面与外表面相交，
外表面与内表面相交，
内表面与内表面相交。
求平面体的 棱面与圆柱面的截交线,依次连接起来。
相贯线为 封闭的空间折线 。相贯线在非积聚性投影上总是 向被穿的圆柱体里面弯折,而且在两体 相交区域内不应有圆柱体轮廓线的投影 。
四、两圆柱体相贯
⒈ 相贯线的产生,
⒉ 求相贯线的方法：
⒊ 相贯线的形状及投影：
外表面与外表面相交，
外表面与内表面相交，
内表面与内表面相交。
常用的方法是 利用积聚性表面取点,也可用 辅助平面法 。
相贯线为 光滑封闭的空间曲线 。当两圆柱正交，
小圆柱穿大圆柱时，相贯线在非积聚性投影上总是向大圆柱里弯曲,当 两圆柱直径相等 时，相贯线在空间为两个椭圆，其 投影变为直线 。
在两体 相交区域内不应有圆柱体轮廓线的投影 。
五、多体相贯每个局部都是两体相贯,首先分析它是由哪些基本体组成的，然后 两两进行相贯线的分析与作图 。
8.1 概 述
1.相贯的形式两立体相交叫作相贯，其表面产生的交线叫做 相贯线 。
本章主要讨论常用不同立体相交时其 表面相贯线的投影特性及画法。
2.相贯线的主要性质其作图实质是找出相贯的两立体表面的若干 共有点 的投影。
★ 共有性
★ 表面性相贯线位于两立体的表面上。
相贯线是 两立体表面的共有线 。
★ 封闭性相贯线一般是 封闭的空间折线 （通常由直线和曲线组成） 或空间曲线 。
1.相贯线的性质相贯线是 由若干段平面曲线（或直线）所组成的 空间折线,每一段是平面体的棱面与回转体表面的交线 。
8.2 平面体与回转体相贯
2.作图方法
分析各棱面与回转体表面的相对位置，从而确定交线的形状。
求出各棱面与回转体表面的截交线。
连接各段交线，并判断可见性。
求交线的实质是 求各棱面与回转面的截交线 。
例 1,补全主视图空间分析：
四棱柱的四个棱面分别与圆柱面相交，前后两棱面与圆柱轴线平行，截交线为两段直线；左右两棱面与圆柱轴线垂直，截交线为两段圆弧。
投影分析：
由于相贯线是两立体表面的共有线，所以相贯线的侧面投影积聚在一段圆弧上，
水平投影积聚在矩形上。
例 1,补全主视图例 2：求作主视图例 2：求作主视图
1,相贯线的性质相贯线一般为 光滑封闭的空间曲线,它是两回转体表面的共有线 。
8.3 回转体与回转体相贯
2.作图方法
利用投影的积聚性直接找点 。
用辅助平面法。
先找特殊点。
⒊ 作图过程
补充中间点。
确定交线的弯曲趋势确定交线的范围例 1,圆柱与圆柱相贯，求其相贯线。
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空间及投影分析：
小圆柱轴线垂直于 H面，水平投影积聚为圆，根据相贯线的共有性，相贯线的水平投影即为该圆。大圆柱轴线垂直于 W面，
侧面投影积聚为圆，相贯线的侧面投影在该圆上。
求相贯线的投影：
利用积聚性，采用表面取点法。
☆ 找特殊点
☆ 补充中间点
☆ 光滑连接例 1,圆柱与圆柱相贯，求其相贯线。
当圆柱直径变化时，相贯线的变化趋势。
交线向大圆柱一侧弯交线为两条平面曲线（椭圆）
例 2：补全主视图
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★ 外形交线
◆ 两外表面相贯
◆ 一内表面和一外表面相贯
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯例 2：补全主视图无轮是两外表面相贯，
还是一内表面和一外表面相贯，或者两内表面相贯，
求相贯线的方法和思路是一样的。
小 结：
两圆柱正交时的相贯线
x xx
z z
o' o' o'
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x o
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oo
例 2：证明两圆柱正交时，在其对称面上的投影为双曲线。
轴线为侧垂线的圆柱面方程
222 Rzy
轴线为铅垂线的圆柱面方程
222 ryx
（ 1）
（ 2）
因正面投影不含 y坐标，（ 1） — （ 2）消去得相贯线的正面投影方程
2222 rRxz
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（ 1） R>r时,正面投影为以 z轴为实轴的等轴双曲线
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x
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（ 2） R=r时,正面投影为通过原点,且与轴线成角的两直线 （ 空间相贯线为两椭圆 ） 。
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（ 3） R<r时,正面投影仍为双曲线,但以 x轴为实轴
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（ 3） R<r时,正面投影仍为双曲线,但以轴为实轴
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例 2：求内外圆柱正交时的相贯线（用简化画法）
分析与作图与上例完全相同,但应注意：
这时的大圆柱轴线为铅垂线,小圆柱轴线为侧垂线,所以相贯线正面投影方向不同,而且有两支 。 另外,圆柱内表面的轮廓线投影应画成虚线 。
以上证明：当圆柱正交时,相贯线在两圆柱公共对称面上的投影 （ 此时为正面投影 ） 为双曲线 。 当两圆柱直径相差较大时,允许采用近似画法,即用圆弧代替双曲线 。
内外圆柱正交简化画法
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内、外圆柱表面正交
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例 3：求主视图
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相切处无线
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外表面与外表面相贯，内表面与内表面相贯。分别求其相贯线。
例 3：求主视图例 4：圆柱与圆锥相贯，求其相贯线的投影。
◆ 空间及投影分析：
相贯线为一 光滑的封闭的空间曲线 。
它的侧面投影有积聚性，正面投影、水平投影没有积聚性，应分别求出。
◆ 解题方法,辅助平面法辅助平面法：
根据 三面共点 的原理，利用辅助平面求出两回转体表面上的若干共有点，从而画出相贯线的投影。
作图方法：
假想用辅助平面截切两回转体,分别得出两回转体表面的截交线。由于截交线的交点既在辅助平面内，又在两回转体表面上，
因而是相贯线上的点。
辅助平面的选择原则：
使 辅助平面与两回转体 表面的截交线 的投影 简单易画,例如直线或圆。
一般选择 投影面平行面例 4：圆柱与圆锥相贯，求其相贯线的投影。
假想用水平面 P截切立体,P面与圆柱体的截交线为两条直线，与圆锥面的交线为圆，圆与两直线的交点即为交线上的点。
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例 4：圆柱与圆锥相贯，求其相贯线的投影。
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解题步骤：
★ 求特殊点
★ 用辅助平面法求中间点
★ 光滑连接各点例 4：圆柱与圆锥相贯，求其相贯线的投影。
解题步骤：
★ 求特殊点
★ 用辅助平面法求中间点
★ 光滑连接各点
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例 5：补全主视图
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这是一个多体相贯的例子，首先分析它是由哪些基本体组成的，这些基本体是如何相贯的，然后 分别进行相贯线的分析与作图。
例 5：补全主视图三面共点 ●
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●
作图时要抓住一个关键点，相贯线汇交于这一点。
●
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例 6：求俯视图
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例 6：求俯视图
小 结
一、本章的基本内容
⒈ 立体表面相贯线的概念
⒉ 求相贯线的基本方法相贯线的性质,表面性 共有性 封闭性二、解题过程
⒈ 交线分析
⑴ 空间分析：
⑵ 投影分析：
是否有积聚性投影？ 找出 相贯线的 已知投影,
预见未知投影,从而 选择解题方法。
面上找点法 辅助平面法分析相交两立体的表面形状,形体大小及相对位置,预见交线的形状 。
特殊点包括：最上点、最下点、最左点、
最右点、最前点、最后点、
轮廓线上的点等。
⒉ 作图
⑴ 找点
⑵ 连线
⑶ 检查、加深尤其注意检查回转体轮廓素线的投影。
当相贯线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点
☆ 补充若干中间点三、平面体与圆柱体相贯
⒈ 相贯线的产生：
⒉ 求相贯线的方法：
⒊ 相贯线的形状及投影：
外表面与外表面相交，
外表面与内表面相交，
内表面与内表面相交。
求平面体的 棱面与圆柱面的截交线,依次连接起来。
相贯线为 封闭的空间折线 。相贯线在非积聚性投影上总是 向被穿的圆柱体里面弯折,而且在两体 相交区域内不应有圆柱体轮廓线的投影 。
四、两圆柱体相贯
⒈ 相贯线的产生,
⒉ 求相贯线的方法：
⒊ 相贯线的形状及投影：
外表面与外表面相交，
外表面与内表面相交，
内表面与内表面相交。
常用的方法是 利用积聚性表面取点,也可用 辅助平面法 。
相贯线为 光滑封闭的空间曲线 。当两圆柱正交，
小圆柱穿大圆柱时，相贯线在非积聚性投影上总是向大圆柱里弯曲,当 两圆柱直径相等 时，相贯线在空间为两个椭圆，其 投影变为直线 。
在两体 相交区域内不应有圆柱体轮廓线的投影 。
五、多体相贯每个局部都是两体相贯,首先分析它是由哪些基本体组成的，然后 两两进行相贯线的分析与作图 。
