投影法基础第四章 几何元素间的相对关系相对位置包括 平行,相交 和 垂直 。
（一）、平行问题直线与平面平行平面与平面平行包括
⒈ 直线与平面平行定理：
若一直线平行于平面上的某一直线，则该直线与此平面必相互平行。
直线与平面及两平面的相对位置
n?
●
●
a?
c?
b?
m?
a
b
c m
n
例 1：过 M点作直线 MN平行于平面 ABC。
有无数解有多少解？
正平线例 2：过 M点作直线 MN平行于 V面和平面
ABC。
c?
●
●
b?
a? m?
a
b
c
m n
唯一解
n?
⒉ 两平面平行
① 若一平面上的 两相交直线 对应平行于另一平面上的 两相交直线,则这两平面相互平行。
② 若两 投影面垂直面相互平行，则它们 具有积聚性 的那组投影必相互平行。
f?
h?
a bc
d
e
f h
a?
b?
c?
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c?
f?b?
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a?
a
b
c
d e
f
例：过点 K作一平面与相交两直线决定的平面平行
k’
k
b’
c’a’
a
b
c n
m
n’
m’
直线与平面相交平面与平面相交
⒈ 直线与平面相交直线与平面相交，其 交点是直线与平面的共有点。
要讨论的问题：
● 求 直线与平面的 交点。
● 判别两者之间的相互遮挡关系，即 判别可见性。
（ 二 ）,相交问题
a b
cm
n
c?
n?b?
a?
m?
⑴ 平面为特殊位置例：求直线 MN与平面 ABC的交点 K并判别可见性。
空间及投影分析平面 ABC是一铅垂面，
其水平投影积聚成一条直线，该直线与 mn的交点即为 K点的水平投影。
① 求交点
② 判别可见性由水平投影可知,KN
段在平面前，故正面投影上 k?n?为可见。
还可通过重影点判别可见性。
k?●1?
(2?)
作 图
k
●
●
2●
1●
k
m(n)
b
●
m?
n?
c?
b?
a?
a
c
⑵ 直线为特殊位置空间及投影分析直线 MN为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，
故交点 K的水平投影也积聚在该点上。
① 求交点
② 判别可见性点 Ⅰ 位于平面上，在前；点 Ⅱ 位于 MN上，在后。故 k?2?为不可见。
1?(2?)
k?●
2●
1●
●
作图 用面上取点法
⒉ 两平面相交两平面相交其交线为直线,交线是两平面的共有线,同时 交线上的点都是两平面的共有点。
要讨论的问题：
① 求 两平面的 交线方法,⑴ 确定两平面的 两个共有点。
⑵ 确定 一个共有点及交线的方向。
② 判别两平面之间的相互遮挡关系，
即,判别可见性。
可通过正面投影直观地进行判别。
a
b
c
d
e
f
c?
f?
d?
b? e?a?
m?(n?)
空间及投影分析平面 ABC与 DEF都为 正垂面,它们的正面投影都积聚成直线。 交线必为一条正垂线,只要求得交线上的一个点便可作出交线的投影。
① 求交线
② 判别可见性作 图从正面投影上可看出，
在交线左侧，平面 ABC
在上，其水平投影可见。
n●
m●
●
能否不用重影点判别？ 能 !
如何判别？
例：求两平面的交线
MN并判别可见性。
⑴
b?
c?
f? h?
a?
e?
a
b
c
e
f
h
1(2)
空间及投影分析平面 EFH是一水平面，它的正面投影有积聚性。 a?b?与 e?f?
的交点 m?,b? c?与 f?h?的交点
n?即为两个共有点的正面投影，
故 m?n?即 MN的正面投影 。
① 求交线
② 判别可见性点 Ⅰ 在 FH上，点 Ⅱ 在 BC上，
点 Ⅰ 在上，点 Ⅱ 在下，故 fh
可见,n2不可见。
作 图
m●
●
n?●
2?●
n●
m?● 1?●
⑵
c?
d?
e?
f?
a?
b?
a
b
cd
e
f
⑶ 投影分析
N点的水平投影 n
位于 Δdef的外面，说明点 N位于 ΔDEF所确定的平面内，但不位于 ΔDEF这个图形内。
所以 ΔABC和
ΔDEF的交线应为 MK。n●
n?
●
m?
●
k●
m●
k?
●
互交
3.求一般位置直线和一般位置平面的交点方法：辅助平面法求解过程：
N
M
F
E
C
A
B
R
K
1.作辅助平面 R
2.求出交线 MN
3.求交线与 EF的交点，即为所求交点 K
k
b
●
m?
n?
c?
b?
a?
a
c
1?(2?)
k?●
2
●
1● f
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RH
m
n ●
●
●
●
●
k
b
●
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a
c
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f
e
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f?
求解过程,1.作辅助平面 R
2.求出交线 MN
3.求交线与 EF的交点，即为所求交点 K
4.判断可见性
4.求两一般位置平面的交线方法 1：线面交点法 方法 2：三面共点法方法 1：线面交点法方法 2：三面共点法
（三）垂直问题一、两直线垂直直角投影定理二、直线与平面相互垂直三、两平面垂直直角的投影特性：
若直角有一边平行于投影面，则它在该投影面上的投影仍为直角。
设 直角边 BC//H面因 BC⊥ AB,同时 BC⊥ Bb
所以 BC⊥ ABba平面直线在 H面上的投影互相垂直即 ∠ abc为直角因此 bc⊥ ab
故 bc ⊥ ABba平面又因 BC∥ bc
A
B
C
a
b
c
H
a? c?
b?
a
b
c
.
证明：
一 两直线垂直相交（或垂直交叉）
d?
a b
c
a?
b?c?
●
●
d
例：过 C点作直线与 AB垂直相交。
AB为正平线,正面投影反映直角。
.
二、直线与平面垂直如果一直线垂直于平面上的两条相交直线，则此直线垂直于该平面；如果一直线垂直于一平面，则此直线垂直于该平面内的所有直线。
定理若一直线垂直于一平面，则该直线正面投影垂直于该平面内正平线的正面投影；
该直线水平投影垂直于该平面内水平线的水平投影；该直线侧面投影垂直于该平面内侧平线的侧面投影。
推论：若一直线垂直于一平面，则该直线的各投影必垂直于该平面的同名迹线作直线垂直于平面作平面垂直于直线判断直线与平面是否垂直求点 K到平面△ ABC的距离三、两平面垂直
若一平面通过另一平面的垂线，则此两平面相互垂直
作相互垂直平面的方法：
1、通过一平面的垂线作平面
2、垂直一平面内的一直线作平面例子
（四）平面上的最大斜度线
平面上和某投影面倾角最大的直线，称为该平面 对某投影面的 最大斜度线 。
特性
1.平面对某投影面的最大斜度线与平面内该投影面的平行线相垂直。
2.平面对某投影面的最大斜度线与该投影面的夹角，就是平面与该投影面的夹角。
证明求平面倾角
（五）综合问题求解点、线、面综合题，是指在解题过程中需要综合运用前述点、直线、平面，特别是直线、平面相对位置的基本概念和作图方法。
1)直角三角形法求线段的实长相对投影面的倾角 ;
2)点将线段定比分割；
3)一条边平行于投影面的直角投影定理；
4)平面上取点、取直线；
5)过点或直线作平面 ;
6 )作平面的最大斜度线；
7)两直线问的相对位置关系 (平行、相交、交叉、垂直 )
8)直线与平面之间的相对位置关系 (平行、相交、垂直 )
9)平面与平面之间的相对位置关系 (平行、相交、垂直 )
常用的基本作图原理和方法解题的一般步骤
弄清题意
空间分析
投影分析
拟定解题方法举例试过点 K作直线 KL，使其同时垂直于两相错直线 AB,CD
空间分析
投影分析
拟定解题方法
（一）、平行问题直线与平面平行平面与平面平行包括
⒈ 直线与平面平行定理：
若一直线平行于平面上的某一直线，则该直线与此平面必相互平行。
直线与平面及两平面的相对位置
n?
●
●
a?
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m?
a
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例 1：过 M点作直线 MN平行于平面 ABC。
有无数解有多少解？
正平线例 2：过 M点作直线 MN平行于 V面和平面
ABC。
c?
●
●
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a
b
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唯一解
n?
⒉ 两平面平行
① 若一平面上的 两相交直线 对应平行于另一平面上的 两相交直线,则这两平面相互平行。
② 若两 投影面垂直面相互平行，则它们 具有积聚性 的那组投影必相互平行。
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例：过点 K作一平面与相交两直线决定的平面平行
k’
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直线与平面相交平面与平面相交
⒈ 直线与平面相交直线与平面相交，其 交点是直线与平面的共有点。
要讨论的问题：
● 求 直线与平面的 交点。
● 判别两者之间的相互遮挡关系，即 判别可见性。
（ 二 ）,相交问题
a b
cm
n
c?
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m?
⑴ 平面为特殊位置例：求直线 MN与平面 ABC的交点 K并判别可见性。
空间及投影分析平面 ABC是一铅垂面，
其水平投影积聚成一条直线，该直线与 mn的交点即为 K点的水平投影。
① 求交点
② 判别可见性由水平投影可知,KN
段在平面前，故正面投影上 k?n?为可见。
还可通过重影点判别可见性。
k?●1?
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作 图
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⑵ 直线为特殊位置空间及投影分析直线 MN为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，
故交点 K的水平投影也积聚在该点上。
① 求交点
② 判别可见性点 Ⅰ 位于平面上，在前；点 Ⅱ 位于 MN上，在后。故 k?2?为不可见。
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k?●
2●
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●
作图 用面上取点法
⒉ 两平面相交两平面相交其交线为直线,交线是两平面的共有线,同时 交线上的点都是两平面的共有点。
要讨论的问题：
① 求 两平面的 交线方法,⑴ 确定两平面的 两个共有点。
⑵ 确定 一个共有点及交线的方向。
② 判别两平面之间的相互遮挡关系，
即,判别可见性。
可通过正面投影直观地进行判别。
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空间及投影分析平面 ABC与 DEF都为 正垂面,它们的正面投影都积聚成直线。 交线必为一条正垂线,只要求得交线上的一个点便可作出交线的投影。
① 求交线
② 判别可见性作 图从正面投影上可看出，
在交线左侧，平面 ABC
在上，其水平投影可见。
n●
m●
●
能否不用重影点判别？ 能 !
如何判别？
例：求两平面的交线
MN并判别可见性。
⑴
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a
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1(2)
空间及投影分析平面 EFH是一水平面，它的正面投影有积聚性。 a?b?与 e?f?
的交点 m?,b? c?与 f?h?的交点
n?即为两个共有点的正面投影，
故 m?n?即 MN的正面投影 。
① 求交线
② 判别可见性点 Ⅰ 在 FH上，点 Ⅱ 在 BC上，
点 Ⅰ 在上，点 Ⅱ 在下，故 fh
可见,n2不可见。
作 图
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⑶ 投影分析
N点的水平投影 n
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所以 ΔABC和
ΔDEF的交线应为 MK。n●
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互交
3.求一般位置直线和一般位置平面的交点方法：辅助平面法求解过程：
N
M
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K
1.作辅助平面 R
2.求出交线 MN
3.求交线与 EF的交点，即为所求交点 K
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求解过程,1.作辅助平面 R
2.求出交线 MN
3.求交线与 EF的交点，即为所求交点 K
4.判断可见性
4.求两一般位置平面的交线方法 1：线面交点法 方法 2：三面共点法方法 1：线面交点法方法 2：三面共点法
（三）垂直问题一、两直线垂直直角投影定理二、直线与平面相互垂直三、两平面垂直直角的投影特性：
若直角有一边平行于投影面，则它在该投影面上的投影仍为直角。
设 直角边 BC//H面因 BC⊥ AB,同时 BC⊥ Bb
所以 BC⊥ ABba平面直线在 H面上的投影互相垂直即 ∠ abc为直角因此 bc⊥ ab
故 bc ⊥ ABba平面又因 BC∥ bc
A
B
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证明：
一 两直线垂直相交（或垂直交叉）
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d
例：过 C点作直线与 AB垂直相交。
AB为正平线,正面投影反映直角。
.
二、直线与平面垂直如果一直线垂直于平面上的两条相交直线，则此直线垂直于该平面；如果一直线垂直于一平面，则此直线垂直于该平面内的所有直线。
定理若一直线垂直于一平面，则该直线正面投影垂直于该平面内正平线的正面投影；
该直线水平投影垂直于该平面内水平线的水平投影；该直线侧面投影垂直于该平面内侧平线的侧面投影。
推论：若一直线垂直于一平面，则该直线的各投影必垂直于该平面的同名迹线作直线垂直于平面作平面垂直于直线判断直线与平面是否垂直求点 K到平面△ ABC的距离三、两平面垂直
若一平面通过另一平面的垂线，则此两平面相互垂直
作相互垂直平面的方法：
1、通过一平面的垂线作平面
2、垂直一平面内的一直线作平面例子
（四）平面上的最大斜度线
平面上和某投影面倾角最大的直线，称为该平面 对某投影面的 最大斜度线 。
特性
1.平面对某投影面的最大斜度线与平面内该投影面的平行线相垂直。
2.平面对某投影面的最大斜度线与该投影面的夹角，就是平面与该投影面的夹角。
证明求平面倾角
（五）综合问题求解点、线、面综合题，是指在解题过程中需要综合运用前述点、直线、平面，特别是直线、平面相对位置的基本概念和作图方法。
1)直角三角形法求线段的实长相对投影面的倾角 ;
2)点将线段定比分割；
3)一条边平行于投影面的直角投影定理；
4)平面上取点、取直线；
5)过点或直线作平面 ;
6 )作平面的最大斜度线；
7)两直线问的相对位置关系 (平行、相交、交叉、垂直 )
8)直线与平面之间的相对位置关系 (平行、相交、垂直 )
9)平面与平面之间的相对位置关系 (平行、相交、垂直 )
常用的基本作图原理和方法解题的一般步骤
弄清题意
空间分析
投影分析
拟定解题方法举例试过点 K作直线 KL，使其同时垂直于两相错直线 AB,CD
空间分析
投影分析
拟定解题方法
