第五章 投影变换
本章介绍投影变换，仅介绍变换投影面法，它是解决空间几何元素定位和度量的一种简单有效的方法。
图解问题的难易程度不仅取决于问题本身的复杂程度，而且在很大程度上．还取决于几何元素与投影面以及投射方向的相对位置。
一般位置元素和特殊位置元素求解方法比较换面法基本原理投影变换基本方法：
1、换面法
2、旋转法
5.1 换面法一、问题的提出
★ 如何求一般位置直线的实长？
★ 如何求一般位置平面的真实大小？
换 面 法：
物体本身在空间的位置不动，而用某一新投影面（辅助投影面）代替原有投影面，使 物体相对新的投影面处于解题所需要的有利位置,然后将物体向新投影面进行投射。
解决方法：更换投影面。
V
H
A
B
a?
b?
a
b
二、新投影面的选择原则
1,新投影面必须对空间物体处于 最有利的解题位置。
平行于新的投影面
垂直于新的投影面
2,新投影面必须 垂直于 某一保留的原投影面，
以构成一个相互垂直的两投影面的新体系。
P
a1
b1
V
H
Aa?
a
ax
X
⒈ 更换一次投影面
旧投影体系 X — VH?新投影体系 P1HX1 —
A点的两个投影,a,a? A点的两个投影,a,a1
⑴ 新投影体系的建立三、点的投影变换规律
X1
P1
a1
ax1
V
HX
P1H
X1
a?
a
a1
ax
ax1.
ax1
V
HX
P1H
X1
a?
a
a1V
H
A
a
ax
X
X1
P1
a1
ax1
⑵ 新旧投影之间的关系
aa1? X1
a1ax1 = a?ax
点的新投影到新投影轴的距离等于被代替的投影到原投影轴的距离。
axa?
一般规律：
点的新投影和与它有关的原投影的连线，必垂直于新投影轴。
.
XVH
a
a?
ax
更换 H面
⑶ 求新投影的作图方法
V
HX
P1H
X1
由点的不变投影向新投影轴作垂线，
并在垂线上量取一段距离，使这段距离等于被代替的投影到原投影轴的距离。
a
a?
X1P1
H?a1
ax ax1
ax1
更换 V面
● a1
作图规律：
.
.
⒉ 更换两次投影面先把 V面换成平面 P1,P1?H，得到中间新投影体系,P1HX1 —
再把 H面换成平面 P2,P2? P1，得到新投影体系,X2 —P1P
2
⑴ 新投影体系的建立按次序更换
A
a
V
H
a?
ax
X
X1
P1
a1
ax1
P2
X2
ax2a2
ax2
a?
a
X VH
⑵ 求新投影的作图方法
a2
X1
H
P1 X2P1
P2
作图规律
a2a1? X2 轴
a2ax2 = aax1
a1?
ax
ax1
.
.
V
H
A
B
a?
b?
a
b
四、换面法的四个基本问题
1,把一般位置直线变换成投影面平行线用 P1面代替 V面，在 P1/H投影体系中,AB//P1。
X1 HP
1
P1a
1
b1
空间分析,
换 H面行吗？ 不行！
作图：
例：求直线 AB的实长及与 H面的夹角。
a?
b?
a
b
X V
H
新投影轴的位置？
a1● b1●
与 ab平行。
.
a1● b
1
●
V
H
a?
aX
B
b?
b
A
2,把一般位置直线变换成投影面垂直线空间分析：
a?
b?
a
b
XVH
X1
H1
P1
作图：
X1
P1
a1
b1
X2
P2
二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线 。
X2轴的位置？
a2?b2 ax2
a2?b2?
.
与 a1b1垂直一次换面把直线变成投影面平行线；
一般位置直线变换成投影面垂直线，需经几次变换？
a? b?
c?
a b
c
d
V
H
A
B
C
D
X
d?
3,把一般位置平面变换成投影面垂直面如果把平面内的一条直线变换成新投影面的垂直线，那么该平面则变换成新投影面的垂直面。
P1
X1
c1
b1
a1?d1
空间分析：
在平面内 取一条投影面平行线,经一次换面后变换成新投影面的垂直线，则该平面变成新投影面的垂直面。
作图方法：
两平面垂直需满足什么条件？
能否只进行一次变换？
思考：
若变换 H面，需在面内取什么位置直线？
正平线！
α
a?
b?
c?
a
c
b
X VH
例：把 三角形 ABC变 换 成投影面垂直面。
H
P1X1
作 图 过 程：
★ 在平面内取一条水平线 AD。
d?
d
★ 将 AD变换成新投影面的垂直线。
d1●a1?d1●c1● 反映平面对哪个投影面的夹角？
.
a1?b1
●
需经几次变换？一次换面,把一般位置平面变换成新投影面的垂直面；
二次换面，再变换成新投影面的平行面。
4,把一般位置平面变换成投影面平行面
a
b
a?
c?
b?
X VH
c
作 图,AB是水平 线空间分析：
a2
●
c2●
b2●
c1●
X2轴 的位置？
平面的实形
.
X1
H P
1
.
与其平行
b1?
距离
d
d1
X1
H
P1
X2
P1 P2 c2
d?
例 1：求点 C到直线 AB的距离，并求垂足 D。
c
c? b?
a?
a
b
X V
H
五、换面法的应用如下图：当直线 AB
垂直于投影面时,CD平行于投影面，其投影反映实长。 A
P
B
D
C
c
a?b?d
作图,
求 C点到直线 AB的距离，
就是求垂线 CD的实长。
空间及投影分析：
c1?
a1? a2?b2?d2?
过 c1作线平行于 x2轴。
.
..
如何确定 d1
点的位置？
b?a?
a
b
c
d
●c?
例 2：已知两交叉直线 AB和 CD的公垂线的长度 为 MN，
且 AB为水平线，求 CD及 MN的投影。 M N
● m?
● d?
●
a1≡b1≡m1
● n1
●c
1
●
d1
● n
空间及投影分析：
V
HX
H P1
X1
圆半径 =MN
●n?
● m
当直线 AB垂直于投影面时,MN平行于投影面，
这时它的投影 m1n1=MN,且
m1n1⊥ c1d1。
P1
A
C
D
N M
c1 d
1
a1m1b1
n1
B
作图：
请注意各点的投影如何返回？
求 m点是难点。
.
.
空间及投影分析,AB与 CD都平行于投影面时，其投影的夹角才反映实大（ 60° ），因此需将 AB与 C点所确定的平面变换成投影面平行面。
例 3,过 C点作直线 CD与 AB相交成 60o角。
d?
X1
H P1 X
1
P1
P2
a
b
a?
c?
b?
X VH
c
作 图：
c2●
●
●
c1●
a1?b1●
a2●
d2
●d
●
b2●
几个解？
两个解！
已知点 C是等边三角形的顶点，另两个顶点在直线 AB上，
求等边三角形的投影。
思考：
如何解？
解法相同！
60°
D点的投影如何返回？
.
.
c?
d? b?
a?
d
a
c
b
●
d1
●c
1
●
a1
● d2
● b1
c2●
●a2≡b2
θ
VHX θ
例 4：求平面 ABC和 ABD的两面角。
空间及投影分析,
由几何定理知：两面角为两平面同时与第三平面垂直相交时所得两交线之间的夹角。
在投影图中,两平面的交线垂直于投影面时，则两平面垂直于该投影面，它们的投影积聚成直线，直线间的夹角为所求。
.
.
小 结?
本章主要介绍了投影变换的一种常用方法
—— 换面法 。
一,换面法就是 改变投影面的位置,使它与所给物体或其几何元素处于 解题所需的特殊位置 。
二,换面法的关键是要注意 新投影面的选择条件,
即必须使 新投影面与某一原投面保持垂直关系,
同时又有利于解题需要，这样才能使正投影规律继续有效。
三,点的变换规律是换面法的作图基础,四个基本问题是解题的基本作图方法，必需熟练掌握。
换面法的四个基本问题：
2,把一般位置直线变成投影面垂直线
1,把一般位置直线变成投影面平行线
3,把一般位置平面变成投影面垂直面
4,把一般位置平面变成投影面平行面变换一次投影面变换一次投影面变换两次投影面变换两次投影面需先在面内作一条投影面平行线四、解题时一般要注意下面几个问题：
⒈ 分析已给条件的空间情况，弄清原始条件中物体与原投影面的相对位置,并把这些条件抽象成几何元素（点、线、面等）。
⒉ 根据要求得到的结果，确定出有关几何元素 对新投影面应处于什么样的特殊位置 （垂直或平行），据此选择正确的解题思路与方法。
⒊ 在具体作图过程中，要注意新投影与原投影在变换前后的关系,既要在新投影体系中正确无误地求得结果，又能将结果 返回到原投影体系中去。
本章介绍投影变换，仅介绍变换投影面法，它是解决空间几何元素定位和度量的一种简单有效的方法。
图解问题的难易程度不仅取决于问题本身的复杂程度，而且在很大程度上．还取决于几何元素与投影面以及投射方向的相对位置。
一般位置元素和特殊位置元素求解方法比较换面法基本原理投影变换基本方法：
1、换面法
2、旋转法
5.1 换面法一、问题的提出
★ 如何求一般位置直线的实长？
★ 如何求一般位置平面的真实大小？
换 面 法：
物体本身在空间的位置不动，而用某一新投影面（辅助投影面）代替原有投影面，使 物体相对新的投影面处于解题所需要的有利位置,然后将物体向新投影面进行投射。
解决方法：更换投影面。
V
H
A
B
a?
b?
a
b
二、新投影面的选择原则
1,新投影面必须对空间物体处于 最有利的解题位置。
平行于新的投影面
垂直于新的投影面
2,新投影面必须 垂直于 某一保留的原投影面，
以构成一个相互垂直的两投影面的新体系。
P
a1
b1
V
H
Aa?
a
ax
X
⒈ 更换一次投影面
旧投影体系 X — VH?新投影体系 P1HX1 —
A点的两个投影,a,a? A点的两个投影,a,a1
⑴ 新投影体系的建立三、点的投影变换规律
X1
P1
a1
ax1
V
HX
P1H
X1
a?
a
a1
ax
ax1.
ax1
V
HX
P1H
X1
a?
a
a1V
H
A
a
ax
X
X1
P1
a1
ax1
⑵ 新旧投影之间的关系
aa1? X1
a1ax1 = a?ax
点的新投影到新投影轴的距离等于被代替的投影到原投影轴的距离。
axa?
一般规律：
点的新投影和与它有关的原投影的连线，必垂直于新投影轴。
.
XVH
a
a?
ax
更换 H面
⑶ 求新投影的作图方法
V
HX
P1H
X1
由点的不变投影向新投影轴作垂线，
并在垂线上量取一段距离，使这段距离等于被代替的投影到原投影轴的距离。
a
a?
X1P1
H?a1
ax ax1
ax1
更换 V面
● a1
作图规律：
.
.
⒉ 更换两次投影面先把 V面换成平面 P1,P1?H，得到中间新投影体系,P1HX1 —
再把 H面换成平面 P2,P2? P1，得到新投影体系,X2 —P1P
2
⑴ 新投影体系的建立按次序更换
A
a
V
H
a?
ax
X
X1
P1
a1
ax1
P2
X2
ax2a2
ax2
a?
a
X VH
⑵ 求新投影的作图方法
a2
X1
H
P1 X2P1
P2
作图规律
a2a1? X2 轴
a2ax2 = aax1
a1?
ax
ax1
.
.
V
H
A
B
a?
b?
a
b
四、换面法的四个基本问题
1,把一般位置直线变换成投影面平行线用 P1面代替 V面，在 P1/H投影体系中,AB//P1。
X1 HP
1
P1a
1
b1
空间分析,
换 H面行吗？ 不行！
作图：
例：求直线 AB的实长及与 H面的夹角。
a?
b?
a
b
X V
H
新投影轴的位置？
a1● b1●
与 ab平行。
.
a1● b
1
●
V
H
a?
aX
B
b?
b
A
2,把一般位置直线变换成投影面垂直线空间分析：
a?
b?
a
b
XVH
X1
H1
P1
作图：
X1
P1
a1
b1
X2
P2
二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线 。
X2轴的位置？
a2?b2 ax2
a2?b2?
.
与 a1b1垂直一次换面把直线变成投影面平行线；
一般位置直线变换成投影面垂直线，需经几次变换？
a? b?
c?
a b
c
d
V
H
A
B
C
D
X
d?
3,把一般位置平面变换成投影面垂直面如果把平面内的一条直线变换成新投影面的垂直线，那么该平面则变换成新投影面的垂直面。
P1
X1
c1
b1
a1?d1
空间分析：
在平面内 取一条投影面平行线,经一次换面后变换成新投影面的垂直线，则该平面变成新投影面的垂直面。
作图方法：
两平面垂直需满足什么条件？
能否只进行一次变换？
思考：
若变换 H面，需在面内取什么位置直线？
正平线！
α
a?
b?
c?
a
c
b
X VH
例：把 三角形 ABC变 换 成投影面垂直面。
H
P1X1
作 图 过 程：
★ 在平面内取一条水平线 AD。
d?
d
★ 将 AD变换成新投影面的垂直线。
d1●a1?d1●c1● 反映平面对哪个投影面的夹角？
.
a1?b1
●
需经几次变换？一次换面,把一般位置平面变换成新投影面的垂直面；
二次换面，再变换成新投影面的平行面。
4,把一般位置平面变换成投影面平行面
a
b
a?
c?
b?
X VH
c
作 图,AB是水平 线空间分析：
a2
●
c2●
b2●
c1●
X2轴 的位置？
平面的实形
.
X1
H P
1
.
与其平行
b1?
距离
d
d1
X1
H
P1
X2
P1 P2 c2
d?
例 1：求点 C到直线 AB的距离，并求垂足 D。
c
c? b?
a?
a
b
X V
H
五、换面法的应用如下图：当直线 AB
垂直于投影面时,CD平行于投影面，其投影反映实长。 A
P
B
D
C
c
a?b?d
作图,
求 C点到直线 AB的距离，
就是求垂线 CD的实长。
空间及投影分析：
c1?
a1? a2?b2?d2?
过 c1作线平行于 x2轴。
.
..
如何确定 d1
点的位置？
b?a?
a
b
c
d
●c?
例 2：已知两交叉直线 AB和 CD的公垂线的长度 为 MN，
且 AB为水平线，求 CD及 MN的投影。 M N
● m?
● d?
●
a1≡b1≡m1
● n1
●c
1
●
d1
● n
空间及投影分析：
V
HX
H P1
X1
圆半径 =MN
●n?
● m
当直线 AB垂直于投影面时,MN平行于投影面，
这时它的投影 m1n1=MN,且
m1n1⊥ c1d1。
P1
A
C
D
N M
c1 d
1
a1m1b1
n1
B
作图：
请注意各点的投影如何返回？
求 m点是难点。
.
.
空间及投影分析,AB与 CD都平行于投影面时，其投影的夹角才反映实大（ 60° ），因此需将 AB与 C点所确定的平面变换成投影面平行面。
例 3,过 C点作直线 CD与 AB相交成 60o角。
d?
X1
H P1 X
1
P1
P2
a
b
a?
c?
b?
X VH
c
作 图：
c2●
●
●
c1●
a1?b1●
a2●
d2
●d
●
b2●
几个解？
两个解！
已知点 C是等边三角形的顶点，另两个顶点在直线 AB上，
求等边三角形的投影。
思考：
如何解？
解法相同！
60°
D点的投影如何返回？
.
.
c?
d? b?
a?
d
a
c
b
●
d1
●c
1
●
a1
● d2
● b1
c2●
●a2≡b2
θ
VHX θ
例 4：求平面 ABC和 ABD的两面角。
空间及投影分析,
由几何定理知：两面角为两平面同时与第三平面垂直相交时所得两交线之间的夹角。
在投影图中,两平面的交线垂直于投影面时，则两平面垂直于该投影面，它们的投影积聚成直线，直线间的夹角为所求。
.
.
小 结?
本章主要介绍了投影变换的一种常用方法
—— 换面法 。
一,换面法就是 改变投影面的位置,使它与所给物体或其几何元素处于 解题所需的特殊位置 。
二,换面法的关键是要注意 新投影面的选择条件,
即必须使 新投影面与某一原投面保持垂直关系,
同时又有利于解题需要，这样才能使正投影规律继续有效。
三,点的变换规律是换面法的作图基础,四个基本问题是解题的基本作图方法，必需熟练掌握。
换面法的四个基本问题：
2,把一般位置直线变成投影面垂直线
1,把一般位置直线变成投影面平行线
3,把一般位置平面变成投影面垂直面
4,把一般位置平面变成投影面平行面变换一次投影面变换一次投影面变换两次投影面变换两次投影面需先在面内作一条投影面平行线四、解题时一般要注意下面几个问题：
⒈ 分析已给条件的空间情况，弄清原始条件中物体与原投影面的相对位置,并把这些条件抽象成几何元素（点、线、面等）。
⒉ 根据要求得到的结果，确定出有关几何元素 对新投影面应处于什么样的特殊位置 （垂直或平行），据此选择正确的解题思路与方法。
⒊ 在具体作图过程中，要注意新投影与原投影在变换前后的关系,既要在新投影体系中正确无误地求得结果，又能将结果 返回到原投影体系中去。
