7 正弦稳态分析
7－ 1 正弦量
7－ 2 正弦量的相量表示法
7－ 3 正弦稳态电路的相量模型
7－ 4 阻抗和导纳
7－ 5 正弦稳态电路的相量分析法
7－ 6 正弦稳态电路的功率
7－ 7 三相电路
7－ 8 非正弦周期电路的稳态分析本章研究线性动态电路在正弦电源激励下的响应 。 线性时不变动态电路在角频率为 ω的正弦电压源和电流源激励下
,随着时间的增长,当暂态响应消失,
只剩下正弦稳态响应,电路中全部电压电流 都是 角频率为 ω 的正弦波时,称电路处于正弦稳态 。 满足这类条件的动态电路 (渐近稳定电路 )通常称为正弦电路或正弦稳态电路 。
正弦稳态分析的重要性在于,(1) 正弦信号是最基本的信号，它容易产生
、加工和传输； (2) 很多实际电路都工作于正弦稳态。例如电力系统的大多数电路。 (3) 用相量法分析正弦稳态十分有效。 (4) 已知电路的正弦稳态响应，可以得到任意波形信号激励下的响应。
分析正弦稳态的有效方法 —— 相量法。
7－ 1 正 弦 量正弦量 —— 按正弦规律随时间变化的物理量 。
)c o s ()( m tFtf
7-1-1 正弦量的三要素函数式表示：
Fm—— 振幅；
ω —— 角频率； rad/s
ωt+? —— 相位；弧度（ rad）或度 (?)；
—— 初相位。 |? |
波形图表示如下 （ 以电流为例 ）,
f—— 频率；赫（ Hz） ω =2?f
T—— 周期；秒（ s） T=1 / f
(a)? >0 (b)? =0 (c)? <0
由于已知 振幅 Fm,
角频率 ω
和 初相?,
就能完全确定一个正弦量，
称它们为正弦量的三要素。
例 1 已知正弦电压的振幅为 10伏,周期为 100ms,初相为?/6。 试写出正弦电压的函数表达式和画出波形图 。
解：角频率 r a d / s 20
101 0 0
22
3T
函数表达式为
V )301 0 c o s ( 6 2,8
)
6
20c o s (10)c o s ()( m
t
ttUtu
波形如右图。
例 2 试求正弦量的振幅 Fm,初相?与频率 f 。 )61 0 0s i n (10)(
ttf
解：将正弦量表达式化为基本形式：
)65100s i n (10)6100s i n (10)( tttf
)3100c o s (10)265100c o s (10 tt
所以 Fm =10,? =?/3rad,
=100?rad/s,f =?/2?=50Hz
正弦稳态电路中,各电压电流都是频率相同的正弦量,常常需要将这些正弦量的相位进行比较 。 两个正弦电压电流相位之差,称为相位差?。 如两个 同频率 的正弦电流
)c o s ()(
)c o s ()(
22m2
11m1
tIti
tIti
电流 i1(t)与 i2(t)间的相位差为
2121 )()( tt
7-1-2 正弦量间的相位差相位差?反映出电流 i1(t)与电流 i2(t)在时间上的超前和滞后关系：
当?=?1-?2>0时，表明 i1(t)超前 i2(t)，
超前的角度为? 。
当?=?1-?2<0时，表明 i1(t)滞后 i2(t)，
滞后的角度为 |?|。
上式表明两个同频率正弦量在任意时刻的相位差均等于它们初相之差，与时间 t
无关。
(a) 电流 i1超前于电流 i2,
(b) 电流 i1滞后于电流 i2
当?=?1-?2 =0时,i1(t)与 i2(t)同相。
当?=?1-?2 =时,i1(t)与 i2(t)反相。
当?=?1-?2 =/2时,i1(t)与 i2(t)正交
(c) 同相 (d) 正交 (e) 反相注意：角频率不同的两个正弦间的相位差为
)()()()( 2121 tttt 2121)(
是时间 t的函数，不再等于初相之差。
例 3 已知正弦电压 u(t)和电流 i1(t),
i2(t)的表达式为
A )60c os (10)(
A )45c os (5)(
V )180c os (311)(
2
1
tti
tti
ttu
试求,u(t)与 i1(t)和 i2(t)的相位差 。
1 3 5)45()1 8 0(
u(t)与 i2(t)的相位差为
2 4 060)1 8 0(
解,u(t)与 i1(t)的相位差为习惯上 将相位差的范围控制在
-180° 到 +180° 之间。
如：我们不说电压 u(t)与电流 i2(t)
的相位差为 -240?,而说电压 u(t)
与电流 i2(t)的相位差为 (360?- 240?)
=120?,即,u(t)超前于 i2(t) 120?
。
将直流电流 I和正弦电流 i(t)通过电阻 R时的功率和能量作一比较,导出正弦电压电流的有效值 。
7-1-3 正弦量的有效值电阻 R通过直流电流 I时,吸收的功率
P=I2R,在 时 间 T 内 获 得 的 能 量 为
W=PT=I2RT,
通过周期电流信号 i(t)时，电阻吸收的功率 p(t)= i2(t)R是时间的函数，在一个周期 T内获得的能量为
T tRtiW 0 2 d)(
当直流电流 I或者电流 i(t)通过同一电阻
R时，假设它们在一个周期的时间内获得相同的能量，即
T tRtiRTIW 0 22 d)(
由此解得 T tti
TI
0
2 )d(1
电流 i(t)的方均根值，称为有效值。
m
m
0
2
m
0
22
m
0
2
707.0
2
)]d2t(2c o s1[
2
11
)dt(c o s
1
)d(
1
I
I
tI
T
tI
T
tti
T
I
T
TT
对于正弦电流 i(t) =Imcos(?t+?),方均根值 (有效值 ):
结果表明，振幅为 Im的正弦电流与数值为 I=0.707Im的直流电流，在一个周期内，对电阻 R提供相同的能量。也就是说正弦电压电流的有效值为振幅值的
0.707倍，或者说正弦电压电流的振幅是其有效值的 倍正弦电压 u(t)=Umcos(?t+?)的有效值为
m
0
22
m
0
2 707.0 )d(c o s1 )d(1 UttU
TttuTU
TT
2
对于半波整流波形，其表达式,
)2/s i n)( TtAth t(0 ω
可得半波整流波形的有效值是振幅值的 0.5倍。
A
A
t
T
A
tA
T
tth
T
H
T
TT
5.0
2
t]d2c o s1[
2
1
tds i n
1
)d(
1
2/
0
2
2/
0
22
0
2
由此可见：
(1)正弦量的有效值只与振幅值有关，
与角频率和初相无关；
(2)非正弦周期量的有效值没有上述关系，需要单独计算。
当然，还有平均值的定义。即：一个周期内取其平均。
7-2 正弦量的相量表示法复数直角坐标形式,A=a1+ja2
三角形式,A =a (cos? +jsin?)
指数形式,A =a e j?
极坐标形式,A =a
+1
j
a?
a1
a2
0
复数的复平面表示
a1=acos? a2=asin?
1
22
2
2
1 a
aa r c t gaaa
分析正弦稳态的有效方法是相量法
(Phasor method),相量法的基础是用相量 （ 向量 ） 或复数来表示正弦量的振幅和初相 。 注意：其频率不变 。
mjmm e FFF?
称为,f (t)的振幅相量正弦量的相量表示
]eeR e [
)c o s ()(
m
m
tjjF
tFtf
+1
j
Fm
0
相量图
Fm sin?
Fm cos?
FFF je?
正弦量 f (t) 的有效值相量有效值相量
FF 2m?
正弦量有效值与复值的关系：
FFtFtf
FFtFtf
)c o s (2)(
)c o s ()( mmm
正弦量 f(t)是 以角速度 ω 沿反时针方向旋转的旋转相量 在实轴投影。即：
]eRe [)( m tjFtf
tjF?em?
1
j
mF?
tjF?em?
t2
t2
t
f(t)
正弦量与其相量的对应关系：
可见，一个按正弦规律变化的电压和电流，可以用一个相量 (复常数 )来表示。
已知正弦量的时间表达式，可得相应的相量。反过来，已知电压电流相量，也就知道正弦电压电流的振幅和初相，再加上角频率，就能写出正弦电压电流的时间表达式 (两者存在 一一对应 关系 )。
即
immim
ummum
)c o s ()(
)c o s ()(
IItIti
UUtUtu
或：
i
iim
u
uum
c o s2c o s
c o s2c
φII
)φt( ωI)φt( ωIi ( t )
φUU
)φt( ωU)φto s ( ωUu( t )
显然，有
IIUU 2,2 mm
一般地：可以任意选用 振幅相量 或有效值相量 来表示同一个正弦量；但选用 有效值相量 更为普遍些。
在没有特指的情况下，指的是 有效值相量 。
相量：用复平面 (二维空间 )中的复常数 表示 正弦量的 振幅或有效值,初相 。
}2R e {}R e {
}R e {}R e {)(
m
umum
tUtU
tUtUtu
以正弦电压为例：
相量图,为了形象描述各个相量 (表示正弦量 )之间的相位关系，把一些相量画在同一张复平面内。
参考相量：上图中假设为零相位的相量。
例 4 已知电流 i1(t)=5cos(314t+60?)A,
i2(t)=-10sin(314t+60?)A。 写出它们的相量,画出 相量图,并求 i(t)=i1(t)+
i2(t) 。
A605Ae5 60jm1I解：
A15010)150314c o s (10
)30314c o s (10 )60314s i n (10)(
m2
2
It
ttti
相量图 如图所示 。
相量图的另一个好处是可以用向量和复数的运算法则求同频率正弦电压或电流之和。平行四边形法则。
从相量图容易看出各正弦电压电流的相位关系：
i2(t)超前于 i1(t)
90° 。
A4.1 2 38.11)33.9j16.6(
)5j66.8()33.4j5.2(
1 5 010605m2m1m
III
可得电流的表达式为
A)4.1 2 33 1 4c o s (8.11
)3 1 4c o s ()()()( m21
t
tItititi?
7－ 3 正弦稳态电路的相量模型
n
k
k ti
1
0)(
电路中全部电流都具有同一频率 ω,则可用振幅相量或有效值相量表示：
]e2R e []eR e [)( jjm tktkk IIti
7-3-1 基尔霍夫定律的相量形式
KCL:
代入 KCL中得,
n
k
t
k
n
k
k
n
k
t
k
n
k
k
Iti
Iti
1
j
1
1
j
m
1
0]e2R e [)(
0]eR e [)(
n
k
k
n
k
k II
11
m 0 0 或相量形式的 KCL定律：对于 具有相同频率的正弦电路中的任一节点,流出该节点的全部支路电流相量的代数和等于零 。
1 流出节点的电流取,+”号，流入节点的电流取,-”号。
2 流出任一节点的全部支路电流振幅 (或有效值 )的代数和并不一定等于零。即,一般情况下,
注 意,
n
k
k
n
k
k II
11
m 0 0
例 5 已知 As i n25)(,A)60c o s (210)( 21 ttiω tti
试求电流 i(t)及其有效值相量。
解：根据图 (a)电路的时域模型，得图
(b)所示的相量模型 —— 将时域模型中各电流符号用相应的相量符号表示。
i
i1 i2
(a)
iS
(b)
I?
1I? 2
I?
SI?
列图 (b)相量模型中节点 1的 KCL方程，
021 III
由此可得
A2.362.666.3j5j5j 8,6 65
905601021
III
则：
A)2.36c o s (22.6)( tti?
相量图如右图所示，
用来检验复数计算的结果是否基本正确。
A905 A6010 21 II有效值相量
í
í2
í1
+1
j
KVL:
n
k
k tu
1
0)(
相量形式的 KVL定律：对于 具有相同频率的正弦电流电路中的任一回路,沿该回路全部支路电压相量的代数和等于零 。
n
k
k
n
k
k UU
11
m 00
或相量形式为：
n
k
k
n
k
k UU
11
m 0 0
1 与回路绕行方向相同的电压取
” +”号，相反的电压取,-”号。
2 沿任一回路全部支路电压振幅 (或有效值 )的代数和并不一定等于零，
即一般来说注意例 6 求 uS(t)和相应的相量，并画出相量图。已知
Vc os212)(
V)90c os (28)(
Vc os26)(
3
2
1
ωttu
ωttu
ωttu
解：根据电路的时域模型，画出右图相量模型,并计算出电压相量。
+ u1 -
- u3 +
+
u2
-
+
uS
-
+ -
- +
+
-
+
-
2U?
1U?
3U?
SU?
V012 V908 V1806 321 UUU
图 (b)，以顺时针为绕行方向，列出的相量形式 KVL方程 0
221S UUUU
V.15310j8612j86
0129081806221S
UUUU
由相量得时间表达式
V)1.53c o s (210)(S ωttu
各相量的关系如右图
j
+1
3U?
2U?
1U?
SU?
1 电阻元件伏安关系的相量形式
)()( tiRtu?
当电流 i(t)=Imcos(?t+?i)时，电阻上电压电流关系：
)c o s ()()c o s ()( imum tRItRitUtu
电压和电流是同频率的正弦时间函数。其振幅或有效值之间服从欧姆定律，其相位差为零 (同相 )，即
7-3-2 电路元件伏安关系的相量形式时域：
iu
mm
RIURIU 或电阻元件的时域模型及反映电压电流关系的波形如下图示。可见，在任一时刻，电压的瞬时值是电流的 R倍，电压与电流同相位。
由上述推导，得 在关联参考方向下电阻电压电流的相量形式为这是复数方程，同时提供振幅之间和相位之间的两个关系，即：
(1) V=RI (2)?u =?i。
或
mm IRU
IRU
相量模型如图 (a)所示，反映电压电流相量关系的相量图如图 (b)所示，由此可看出电阻电压与电流的相位相同。
2 电容元件伏安关系的相量形式
t
uCti
d
d)(?
当 u(t)=Umcos(?t+?u )时
)90c o s ()s i n (
)]c o s ([
d
d
)c o s ()(
umum
umim
ωtω C Uωtω C U
ωtU
t
CωtIti
电容的电压和电流是同频率。其振幅或有效值以及相位间的关系为
90
ui
mm
ω C UIω C UI 或电容电压电流关系为电容元件的时域模型如图 (a)所示，电压电流的波形图如图 (b)所示。由此可看出电容电流超前于电容电压 90° 。
由上述推导，得在关联参考方向下电容元件电压和电流相量的关系式这个复数方程包含振幅间与幅角间的关系。电容元件的相量模型如图 (a)
所示，其相量关系如图 (b)所示。
UωCI j?
U?
ωCj
1
I?
(a)
1
j
U?
u?
UωCI j?
i?
(b)
或
ICUj 1?
mm j
1 I
CU
3 电感元件伏安关系的相量形式
t
iLtu
d
d)(?
当 i(t)=Imcos(?t+?i) 时
)90c o s (ω)s i n (ω
)]c o s ([
d
d
)c o s ()(
imim
imum
ωtLIωtLI
ωtI
t
LωtUtu
90
iu
mm
ω LIUω LIU 或电感上电压电流关系：
伏安关系的波形如图 (b)。可看出电感电压超前于电流 90°,当电感电流由负值增加经过零点时，其电压达到正最大值
。
电感元件的时域模型如图 (a)所示由上述推导，得在关联参考方向下电感元件电压和电流相量的关系式
IωLU j?
电感元件的相量模型如图 (a)，伏安相量关系的相量图如图 (b)所示。
KCL,KVL和元件 VCR的时域和相量形式：
1
d
d
1
d
d
e )c os (2)(
e )c os (2)(
0 0
0 0
j
SiS
j
SvS
11
11
i
v
UYIIZU
i dt
C
u
t
u
Ci
u dt
L
i
t
i
Lu
GuiRiu
IItIti
UUtUtu
Uu
Ii
t
t
n
k
k
n
k
k
n
k
k
n
k
k
电容电感电阻电流源电压源基尔霍夫电压定律基尔霍夫电流定律相量形式时域形式
例 7 图示电路，已知 A2c o s2)(
S tti?
求,u1(t),u2(t),u(t)及有效值相量 。
解：相量模型如图 (b)，根据相量形式的 KCL求电流相量 1AA01
S II
根据相量形式的 VCR，得：
V9044j0122jj
V03013
2
S1
IωLU
IRIRU
根据相量形式的 KVL，得到
V1.5354j321 UUU
时域表达式
V )1.532c os (25)(
V )902c os (24)(
V 2c os23)(
2
1
ttu
ttu
ttu
相量图如图 (c)所示。
(串联电路选取电流为参考相量 )
例 8 电路如图 (a)所示,已知求,i1(t),i2(t),i (t)及其有效值相量。 V5c o s210)(,F1.0,4 S ttuCR
解,相量模型如图 (b),电压相量根据 RLC元件相量形式的 VCR方程求电流。
V010SV
A905j50100,1j5ωj
A5.205.2
4
010
S2
S
1
UCI
R
U
I
相量形式的 KCL，得到
A4.6359.5j55.221 III
时域表达式：
A)4.635c o s (259.5)(
A)905c o s (25)(
A5c o s25.2)(
2
1
tti
tti
tti
相量图如图 (c)所示。
(并联电路选取电压为参考相量 )
一,R,L,C元件 VCR的相量关系如下：
设电流,电压的参考方向关联,由
7-4 阻抗与导纳
ILULI
C
UCIRUR
j:,
j
1
:,,
R
C
L1
电阻 容抗 (与?成反比 ) 感抗 (成正比 )
R,L,C元件电压与电流相量间的关系类似欧姆定律，
电压与电流相量之比是一个与时间无关的量 (单位,?)
阻抗：
I
UZ
)j(?
可得欧姆定律的相量形式：
UYIIZU
一般无源二端网络 N0
导纳：
U
IY
)j(?
ZYYZ
11显然：
N0+
-U?
I?
G,C,L元件的导纳以下
jj
j
1
j
1
C
C
CC
L
L
LL
R
R
RR
称为容纳称为感纳称为电导
C
U
I
YUCI
LU
I
YU
L
I
G
U
I
YUGI
C
L
R
G,C,L元件的导纳是一个与时间无关的量，它是一个复数。
ZZXRI
UZ ||j
阻抗是复数，实部 R称为电阻分量，虚部 X称为电抗分量,?Z=?v-?i称为阻抗角,阻抗的模 |Z| = U/I
一般情况：
R
Xa r c t gXRZ
Z
22 ||?
ZZ s i n|| cos|| ZXZR
R
X
|Z|
Z
阻抗三角形,
当 X>0时,?Z>0，端口电压超前电流，网络呈感性，电抗元件可等效为一个电感；
当 X <0时,?Z<0，端口电流超前电压，网络呈容性，电抗元件可等效为一个电容；
当 X =0时,?Z=0，端口电压与电流同相，网络呈电阻性，可等效为一个电阻。
YYBGU
IY ||j
实部 G称为电导分量，虚部 B称为电纳分量
，导纳角?Y=?i-?u=-?Z。
G
Ba r c t gBG
U
IY
Y
22 ||?
YY s i n|| cos|| YBYG
G
B
|Y |
Y
导纳三角形,
当 B>0时,?Y>0，端口电流超前电压，网络呈容性，电纳元件可等效为一个电容；
当 B <0时,?Y<0，端口电压超前电流，网络呈感性，电纳元件可等效为一个电感；
当 B =0时,?Y=0，端口电压与电流同相，网络呈电阻性，可等效为一个电阻。
无源网络相量模型有两种等效电路,一种是根据阻抗 Z=R+jX得到的电阻 R与电抗 jX串联 电路,如图 (c)；另一种是根据导纳 Y=G+jB得到的电导 G与电纳 jB的并联,如图 (e)。
且，一般情况下均为? 的函数；阻抗角或导纳角在一、四象限内。
由于
iu
i
u
I
U
I
U
I
UZ
ui
u
i
U
I
U
I
U
IY
Z
Y
Z
Y Z Y
1 1:,
jXRZ
jBGY
在一般情况下，注意：
22,
1
BG
GR
GR
22,
1
BG
BX
B
X
n个阻抗串联，等效阻抗为：
nZZZZ 321Z
电流与端口电压相量的关系为
n
k
k
n Z
U
ZZZZ
U
I
1
321
阻抗串联和并联等效
1、阻抗串联第 k个阻抗上的电压与端口电压相量的关系为
U
Z
Z
U
ZZZZ
Z
IZU
n
k
k
k
n
k
kk
1
321
称为 n个阻抗串联时的分压公式。
2,导纳并联
n个导纳并联组成的单口网络，就端口特性来说，等效于一个导纳，其等效导纳值等于各并联导纳之和，即
n
k
kn YYYYU
IY
1
21?
电压与其端口电流相量的关系为
n
k
k
n Y
I
YYY
I
U
1
21
第 k个导纳中的电流与端口电流相量的关系为
I
Y
Y
I
YYY
Y
UYI
n
k
k
k
n
k
kk
1
21
这是导纳并联时的分流公式。
例 9 求图 (a)网络在
=1rad/s和?=2rad/s时的等效阻抗和等效电路。
解,? =1rad/s时的相量模型如图 (b)所示，等效阻抗,
L=1H
R=1? C=0.5F
a
b (a)
2jj22j j 2 ))(1j1(j( 12j111)Z
等效电路如图 (c)所示同理,?=2rad/s时的相量模型如图 (b)
所示，求得等效阻抗为
j 1,55.02 3j1j1 j2j12j1 j 1 )j 2 ) (1()j( 2Z
等效电路如图 (e)，相应的时域等效电路为一个 0.5Ω 的电阻与 1/3F电容的串联。
例 10 试求等效阻抗和相应的等效电路。
解：相量模型如图 (b)。设在端口加电流源，用相量形式 KVL方程求电压相量
III
UIIU
)6j9()2j(4j)16j(
)5.0(8j)12j( 1
等效阻抗为
6j9IUZ
其等效电路如图 (c)所示。
3 分析 RLC串联电路相量模型如图 (b)所示。等效阻抗
)1ωj(j 1j ωCLRωCωLRIUZ
XR j
)1( ω CLX ω其中：
R
XX
a r c t g
R
X
a r c t g
XXRXRZ
CL
CL
Z
2222 )(||
当 X=XL-XC>0时,?Z>0，电压超前于电流，电路呈感性，等效为 R串联电感；
当 X=XL-XC <0时,?Z<0，电流超前于电压，电路呈容性，等效为 R串联电容；
当 X=XL-XC =0时,?Z=0，电压与电流同相，电路呈电阻性，等效为 R。
XR UUIIRIIRIZU jX)X-j ( X CL
|s in|
c os
||
22
ZX
ZR
XR
UU
UU
UUU
电压三角形如下,
LU?
XU?
CU? RU?
U?
感性 XL>XC 容性 XL<XC
I?
IZ?Z
LU? RU?
XU?
CU?
U?
例 11 u(t)=10cos2tV。试求
i(t),uR(t),uL(t),uC(t)。
解：相量模型如图 (b)所示。等效阻抗
45222j22j4j2CLR ZZZZ
相量电流
A455.2
4522
025?
Z
UI
RLC元件上的电压相量
V13 552j
V45104j
V4552
C
L
R
IU
IU
IU
时间表达式
V)1352c os (07.7)1352c os (25)(
V)452c os (14.14)452c os (210)(
V)452c os (07.7)452c os (25)(
A)452c os (25.2)(
C
L
R
tttu
tttu
tttu
tti
各电压电流的相量图如图 (c)所示。
端口电压 u(t)的相位超前于端口电流相位 i(t)45°,该 RLC串联网络的端口特性等效于一个电阻与电感的串联，即具有电感性。
4 分析 GCL并联电路相量模型如图 (b)所示。等效导纳
jBG
ωL
ωCG
ωL
ωCG
U
IY )1j(
j
1j
LC BBω Lω CB
1
G
BB
a r c t g
G
B
a r c t g
BBGBGY
LC
LC
Y
2222 )(||
当 B=BC-BL>0时,?Y>0，电流超前于电压
，电路呈容性，等效为 G并联电容 ；
当 B=BC-BL <0时,?Y<0，电压超前于电流，电路呈感性，等效为 G并联电感；
当 B=BC-BL =0时,?Y=0，电压与电流同相，电路呈电阻性，等效为 G 。
BG IIUBUGUUGUYI j)B-j ( B LC
|s i n|
c os
||
22
YB
YG
BG
VI
II
III
电流三角形如下,
CI?
容性 BC>BL 感性 BC<BL
Y?Y
BI?
GI?LI?
I? CI?
BI?
GI?
U?
LI?
U?
F5.0,H2,1 A,c o s215)(S CLRtti 2
例 12 求,u(t),iR(t),iL(t),iC(t)。已知,
解 相量模型如图 (b)。等效导纳：
S9.3625.175.0j11j41j1CLR YYYY
求相量电压,V9.3612
9.3625.1
015?
Y
IU
电流相量
A1.5312j1
A9.12 63j 0,25
A9.3612
C
L
R
UI
UI
UGI
时间表达式
A)1.532c o s (212)(
A)9.12 62c o s (23)(
A)9.362c o s (212)(
V)9.362c o s (212)(
C
L
R
tti
tti
tti
ttu
相量图如图 (c)所示。从中看出各电压电流的相量关系，例如端口电流的相位超前于端口电压相位 36.9°,RLC并联单口网络的端口特性等效于一个电阻与电容的并联，该单口网络具有电容性
7－ 5 正弦稳态的相量分析一 画电路的相量模型相量法分析正弦稳态的主要步骤：
1，将时域模型中各正弦量用相应的相量表示在电路图上。
e )c o s (2)(
e )c o s (2)(
i
j
i
u
j
u
i
v
IIItIti
UUUtUtu
2，时域模型中 RLC元件的参数，用相应的阻抗 (或导纳 )表示。
j
j
1
j
1
j
G
C
C
C
L
LL
R R
或或或
二 根据 KCL,KVL和元件 VCR相量形式，及一般分析方法列电路方程，求解响应的相量表达式。
UYIIZU
UKIK
n
k
k
n
k
k
0,VL0,CL
11
欧姆定律三 写出相应的时间表达式。
)c o s (2)( e
)c o s (2)( e
ii
j
uu
j
i
u
tItiIII
tUtuUVU
ω
ω
正弦稳态电路分析方法相量形式的基尔霍夫定律和欧姆定律与电阻电路中同一定律的形式完全相同，其差别仅在于电压电流用相应的相量替换，电阻和电导用阻抗和导纳替换。因此，分析电阻电路的方法完全可以用到正弦稳态电路的分析中来。如：等效变换，各种一般分析法和网络定理等 。
例 13 用网孔法、节点法和戴维南定理求 i2(t)。已知,V)30c o s (25)(
S ttu
解：相量模型如图 (b)所示，
V305SU
+u
S-
i3
i1
i2
+
-
3i3
3H 0.5F
2? 1?
3?
设网孔电流如右图，
直接列出网孔方程
305)2j4(
3053)33
21
321
II
IIIj（
代入
123 III
得方程
305)2j4(
3054)36
21
21
II
IIj（
解得
A)96.60c os (21 21.1)(
A96.601 21.1
2
2
tti
I
1、网孔分析列出节点电压方程
1
305
3j2
3
2j3
11
3j2
1 3
1
IU
代入
1
1S
3 3051 U
UUI
解得
A96.6012.1
2j3
V27.270 43.4
1
2
1
U
I
U
2、节点分析
(1)由图 (c)电路求端口的开路电压 。 列回路方程：
03053)33( 33 IIj
解得
A
3j6
305
3?
I
V3 4,44,3 4 6V305
3j6
3j5
3oc
SUIU
3 戴维南定理求
(2) 加流求压法，求图 (d)输出阻抗 Zo。
)3(2j
)2( 03)3j2(
)1(0
3
331
31
UII
III
III
由 (1),(2)得 II
3j6
)3j2(
3?
代入式 (3)得
93.74795.1
j36
j98
j36
j98
j36
j32
2j
o
I
U
Z
IIIU
由图 (e)得
A96.6012.130526 3j53
o
oc
2
Z
UI
解：利用迭加定理、线性、互易定理例 14 已知图 (a)中,A01
S1I
V9030',V3020' 21 UU
A302 S2I求图 (b)中 时,? 1?U?
'1U?
无源
2
2‘1‘
1
+
- '2U
+
-
S1I?
(a)
1U?
无源
2
2‘1‘
1
+
- 2U
+
-
S1I? S2I?
(b)
由互易形式二，得：
V9030''' 21 UU
由线性，得图 (b) 中单独作用时,
V60609030
1
302'''''
1
1
2
1
U
I
IU
S
S
V5 8,578V60603020'''' 111 UUU
无源
2
2‘1‘
1
+
- 2
U?
+
-
S1I?
(c)
"1U?
由叠加得图 (b) 中 和 共同作用时,
S2I?S1I?
例 15 试求电流 i1(t)。已知：
V 2s i n24)(,V 2c o s23)( S2S1 ttuttu
解：相量模型如图 (b)所示，其中
V9044j,V03 2S1S UU
j1Cj 1,j1j CL ωZωLZ
列图 (b)相量模型的 KCL和 KVL方程
4jj
03j
0
32
31
321
II
II
III
解得,A43.18162.31j3
jj1
33j4j
1j0
10j
111
1jj4
103
110
1
I
时间表达式 A)43.182c o s (21 6 2.3 )(
1 tti
法 1,支路分析设网孔电流如图 (b)所示列出网孔电流方程
4jj 1 )1(
03j 1 )1(
21
21
II
II
解得
A43.18162.31j3
12
4j3j3
1j11
11j1
1j14j
13
1
I
法 2：网孔分析时间表达式 A)43.182c o s (21 6 2.3 )(1 tti
用导纳参数的相量模型如图所示,其中
j1Sj
j1S
j
1
ω C
ω L
参考节点如图，直接列出节点电压方程
01j)1j()1j1j1( S2S1 UUU解得
V9.365)4j(1j3j11j1j S2S1 UUU
A43.18162.3)3j43(1j)(1j 1S1 UUI
法 3：节点分析两个独立电源单独作用的电路如下图分别求电流相量，然后相加得电流相量
A43.183.126j13
j1j11
j4
j 0,50.5j1
3
j11
1
1//1j1)1//(1j1
S2S1"
111
j
U
j
U
III
'
法 4：叠加定理先求连接电感的网络的戴维南等效电路
(1) 断开电感支路得图 (a)电路，求端口开路电压
2j1)2j2(3
1j1
4j3
1j1
1
S2S1oc
UUU
法 5：戴维南定理
5.0j5.02 )1j1(1j1j1 )1j(1oZ
得图 (c)电路，求电流
A43.18162.31j3
j 0,50,5
j21
1jo
oc
1
Z
VI
(2) 将图 (a)电路中独立电源置零，得图
(b)电路，求单口网络的输出阻抗例 16 试求图 (a)所示单口网络在
=1rad/s和?=2rad/s时的等效导纳。
解：由图 (b)和 (d)相量模型可得等效导纳
S)6.1j7.0(4.0j2.02j5.0
j 0,51
)5.0j(1
2j5.0)2j(
S)5.0j1(5.0j5.01j5.0
j11
)1j(1
1j5.0)1j(
Y
Y
例 17 求图 (a)的戴维南和诺顿等效电路。
解：开路电压,V08010244
1oc UU
将电流源置零，加流求压法求输出阻抗
30j401010330j10330j 1o I IIII IVIZ
短路电流,A9.366.1
30j40
080
o
oc
sc
ZUI
戴维南和诺顿等效电路如图 (b)和 (c)。
7-2
7-4
7-5(3)
7-6(2)(4)
7-7
作业 14,p219
7-10
7-11
7-12
7-13
作业 15,P,220
P,220
7-15(a)
7-16
7-17
7-19 (画相量图即可 )
7-22(a)
7-23
7－ 1 正弦量
7－ 2 正弦量的相量表示法
7－ 3 正弦稳态电路的相量模型
7－ 4 阻抗和导纳
7－ 5 正弦稳态电路的相量分析法
7－ 6 正弦稳态电路的功率
7－ 7 三相电路
7－ 8 非正弦周期电路的稳态分析本章研究线性动态电路在正弦电源激励下的响应 。 线性时不变动态电路在角频率为 ω的正弦电压源和电流源激励下
,随着时间的增长,当暂态响应消失,
只剩下正弦稳态响应,电路中全部电压电流 都是 角频率为 ω 的正弦波时,称电路处于正弦稳态 。 满足这类条件的动态电路 (渐近稳定电路 )通常称为正弦电路或正弦稳态电路 。
正弦稳态分析的重要性在于,(1) 正弦信号是最基本的信号，它容易产生
、加工和传输； (2) 很多实际电路都工作于正弦稳态。例如电力系统的大多数电路。 (3) 用相量法分析正弦稳态十分有效。 (4) 已知电路的正弦稳态响应，可以得到任意波形信号激励下的响应。
分析正弦稳态的有效方法 —— 相量法。
7－ 1 正 弦 量正弦量 —— 按正弦规律随时间变化的物理量 。
)c o s ()( m tFtf
7-1-1 正弦量的三要素函数式表示：
Fm—— 振幅；
ω —— 角频率； rad/s
ωt+? —— 相位；弧度（ rad）或度 (?)；
—— 初相位。 |? |
波形图表示如下 （ 以电流为例 ）,
f—— 频率；赫（ Hz） ω =2?f
T—— 周期；秒（ s） T=1 / f
(a)? >0 (b)? =0 (c)? <0
由于已知 振幅 Fm,
角频率 ω
和 初相?,
就能完全确定一个正弦量，
称它们为正弦量的三要素。
例 1 已知正弦电压的振幅为 10伏,周期为 100ms,初相为?/6。 试写出正弦电压的函数表达式和画出波形图 。
解：角频率 r a d / s 20
101 0 0
22
3T
函数表达式为
V )301 0 c o s ( 6 2,8
)
6
20c o s (10)c o s ()( m
t
ttUtu
波形如右图。
例 2 试求正弦量的振幅 Fm,初相?与频率 f 。 )61 0 0s i n (10)(
ttf
解：将正弦量表达式化为基本形式：
)65100s i n (10)6100s i n (10)( tttf
)3100c o s (10)265100c o s (10 tt
所以 Fm =10,? =?/3rad,
=100?rad/s,f =?/2?=50Hz
正弦稳态电路中,各电压电流都是频率相同的正弦量,常常需要将这些正弦量的相位进行比较 。 两个正弦电压电流相位之差,称为相位差?。 如两个 同频率 的正弦电流
)c o s ()(
)c o s ()(
22m2
11m1
tIti
tIti
电流 i1(t)与 i2(t)间的相位差为
2121 )()( tt
7-1-2 正弦量间的相位差相位差?反映出电流 i1(t)与电流 i2(t)在时间上的超前和滞后关系：
当?=?1-?2>0时，表明 i1(t)超前 i2(t)，
超前的角度为? 。
当?=?1-?2<0时，表明 i1(t)滞后 i2(t)，
滞后的角度为 |?|。
上式表明两个同频率正弦量在任意时刻的相位差均等于它们初相之差，与时间 t
无关。
(a) 电流 i1超前于电流 i2,
(b) 电流 i1滞后于电流 i2
当?=?1-?2 =0时,i1(t)与 i2(t)同相。
当?=?1-?2 =时,i1(t)与 i2(t)反相。
当?=?1-?2 =/2时,i1(t)与 i2(t)正交
(c) 同相 (d) 正交 (e) 反相注意：角频率不同的两个正弦间的相位差为
)()()()( 2121 tttt 2121)(
是时间 t的函数，不再等于初相之差。
例 3 已知正弦电压 u(t)和电流 i1(t),
i2(t)的表达式为
A )60c os (10)(
A )45c os (5)(
V )180c os (311)(
2
1
tti
tti
ttu
试求,u(t)与 i1(t)和 i2(t)的相位差 。
1 3 5)45()1 8 0(
u(t)与 i2(t)的相位差为
2 4 060)1 8 0(
解,u(t)与 i1(t)的相位差为习惯上 将相位差的范围控制在
-180° 到 +180° 之间。
如：我们不说电压 u(t)与电流 i2(t)
的相位差为 -240?,而说电压 u(t)
与电流 i2(t)的相位差为 (360?- 240?)
=120?,即,u(t)超前于 i2(t) 120?
。
将直流电流 I和正弦电流 i(t)通过电阻 R时的功率和能量作一比较,导出正弦电压电流的有效值 。
7-1-3 正弦量的有效值电阻 R通过直流电流 I时,吸收的功率
P=I2R,在 时 间 T 内 获 得 的 能 量 为
W=PT=I2RT,
通过周期电流信号 i(t)时，电阻吸收的功率 p(t)= i2(t)R是时间的函数，在一个周期 T内获得的能量为
T tRtiW 0 2 d)(
当直流电流 I或者电流 i(t)通过同一电阻
R时，假设它们在一个周期的时间内获得相同的能量，即
T tRtiRTIW 0 22 d)(
由此解得 T tti
TI
0
2 )d(1
电流 i(t)的方均根值，称为有效值。
m
m
0
2
m
0
22
m
0
2
707.0
2
)]d2t(2c o s1[
2
11
)dt(c o s
1
)d(
1
I
I
tI
T
tI
T
tti
T
I
T
TT
对于正弦电流 i(t) =Imcos(?t+?),方均根值 (有效值 ):
结果表明，振幅为 Im的正弦电流与数值为 I=0.707Im的直流电流，在一个周期内，对电阻 R提供相同的能量。也就是说正弦电压电流的有效值为振幅值的
0.707倍，或者说正弦电压电流的振幅是其有效值的 倍正弦电压 u(t)=Umcos(?t+?)的有效值为
m
0
22
m
0
2 707.0 )d(c o s1 )d(1 UttU
TttuTU
TT
2
对于半波整流波形，其表达式,
)2/s i n)( TtAth t(0 ω
可得半波整流波形的有效值是振幅值的 0.5倍。
A
A
t
T
A
tA
T
tth
T
H
T
TT
5.0
2
t]d2c o s1[
2
1
tds i n
1
)d(
1
2/
0
2
2/
0
22
0
2
由此可见：
(1)正弦量的有效值只与振幅值有关，
与角频率和初相无关；
(2)非正弦周期量的有效值没有上述关系，需要单独计算。
当然，还有平均值的定义。即：一个周期内取其平均。
7-2 正弦量的相量表示法复数直角坐标形式,A=a1+ja2
三角形式,A =a (cos? +jsin?)
指数形式,A =a e j?
极坐标形式,A =a
+1
j
a?
a1
a2
0
复数的复平面表示
a1=acos? a2=asin?
1
22
2
2
1 a
aa r c t gaaa
分析正弦稳态的有效方法是相量法
(Phasor method),相量法的基础是用相量 （ 向量 ） 或复数来表示正弦量的振幅和初相 。 注意：其频率不变 。
mjmm e FFF?
称为,f (t)的振幅相量正弦量的相量表示
]eeR e [
)c o s ()(
m
m
tjjF
tFtf
+1
j
Fm
0
相量图
Fm sin?
Fm cos?
FFF je?
正弦量 f (t) 的有效值相量有效值相量
FF 2m?
正弦量有效值与复值的关系：
FFtFtf
FFtFtf
)c o s (2)(
)c o s ()( mmm
正弦量 f(t)是 以角速度 ω 沿反时针方向旋转的旋转相量 在实轴投影。即：
]eRe [)( m tjFtf
tjF?em?
1
j
mF?
tjF?em?
t2
t2
t
f(t)
正弦量与其相量的对应关系：
可见，一个按正弦规律变化的电压和电流，可以用一个相量 (复常数 )来表示。
已知正弦量的时间表达式，可得相应的相量。反过来，已知电压电流相量，也就知道正弦电压电流的振幅和初相，再加上角频率，就能写出正弦电压电流的时间表达式 (两者存在 一一对应 关系 )。
即
immim
ummum
)c o s ()(
)c o s ()(
IItIti
UUtUtu
或：
i
iim
u
uum
c o s2c o s
c o s2c
φII
)φt( ωI)φt( ωIi ( t )
φUU
)φt( ωU)φto s ( ωUu( t )
显然，有
IIUU 2,2 mm
一般地：可以任意选用 振幅相量 或有效值相量 来表示同一个正弦量；但选用 有效值相量 更为普遍些。
在没有特指的情况下，指的是 有效值相量 。
相量：用复平面 (二维空间 )中的复常数 表示 正弦量的 振幅或有效值,初相 。
}2R e {}R e {
}R e {}R e {)(
m
umum
tUtU
tUtUtu
以正弦电压为例：
相量图,为了形象描述各个相量 (表示正弦量 )之间的相位关系，把一些相量画在同一张复平面内。
参考相量：上图中假设为零相位的相量。
例 4 已知电流 i1(t)=5cos(314t+60?)A,
i2(t)=-10sin(314t+60?)A。 写出它们的相量,画出 相量图,并求 i(t)=i1(t)+
i2(t) 。
A605Ae5 60jm1I解：
A15010)150314c o s (10
)30314c o s (10 )60314s i n (10)(
m2
2
It
ttti
相量图 如图所示 。
相量图的另一个好处是可以用向量和复数的运算法则求同频率正弦电压或电流之和。平行四边形法则。
从相量图容易看出各正弦电压电流的相位关系：
i2(t)超前于 i1(t)
90° 。
A4.1 2 38.11)33.9j16.6(
)5j66.8()33.4j5.2(
1 5 010605m2m1m
III
可得电流的表达式为
A)4.1 2 33 1 4c o s (8.11
)3 1 4c o s ()()()( m21
t
tItititi?
7－ 3 正弦稳态电路的相量模型
n
k
k ti
1
0)(
电路中全部电流都具有同一频率 ω,则可用振幅相量或有效值相量表示：
]e2R e []eR e [)( jjm tktkk IIti
7-3-1 基尔霍夫定律的相量形式
KCL:
代入 KCL中得,
n
k
t
k
n
k
k
n
k
t
k
n
k
k
Iti
Iti
1
j
1
1
j
m
1
0]e2R e [)(
0]eR e [)(
n
k
k
n
k
k II
11
m 0 0 或相量形式的 KCL定律：对于 具有相同频率的正弦电路中的任一节点,流出该节点的全部支路电流相量的代数和等于零 。
1 流出节点的电流取,+”号，流入节点的电流取,-”号。
2 流出任一节点的全部支路电流振幅 (或有效值 )的代数和并不一定等于零。即,一般情况下,
注 意,
n
k
k
n
k
k II
11
m 0 0
例 5 已知 As i n25)(,A)60c o s (210)( 21 ttiω tti
试求电流 i(t)及其有效值相量。
解：根据图 (a)电路的时域模型，得图
(b)所示的相量模型 —— 将时域模型中各电流符号用相应的相量符号表示。
i
i1 i2
(a)
iS
(b)
I?
1I? 2
I?
SI?
列图 (b)相量模型中节点 1的 KCL方程，
021 III
由此可得
A2.362.666.3j5j5j 8,6 65
905601021
III
则：
A)2.36c o s (22.6)( tti?
相量图如右图所示，
用来检验复数计算的结果是否基本正确。
A905 A6010 21 II有效值相量
í
í2
í1
+1
j
KVL:
n
k
k tu
1
0)(
相量形式的 KVL定律：对于 具有相同频率的正弦电流电路中的任一回路,沿该回路全部支路电压相量的代数和等于零 。
n
k
k
n
k
k UU
11
m 00
或相量形式为：
n
k
k
n
k
k UU
11
m 0 0
1 与回路绕行方向相同的电压取
” +”号，相反的电压取,-”号。
2 沿任一回路全部支路电压振幅 (或有效值 )的代数和并不一定等于零，
即一般来说注意例 6 求 uS(t)和相应的相量，并画出相量图。已知
Vc os212)(
V)90c os (28)(
Vc os26)(
3
2
1
ωttu
ωttu
ωttu
解：根据电路的时域模型，画出右图相量模型,并计算出电压相量。
+ u1 -
- u3 +
+
u2
-
+
uS
-
+ -
- +
+
-
+
-
2U?
1U?
3U?
SU?
V012 V908 V1806 321 UUU
图 (b)，以顺时针为绕行方向，列出的相量形式 KVL方程 0
221S UUUU
V.15310j8612j86
0129081806221S
UUUU
由相量得时间表达式
V)1.53c o s (210)(S ωttu
各相量的关系如右图
j
+1
3U?
2U?
1U?
SU?
1 电阻元件伏安关系的相量形式
)()( tiRtu?
当电流 i(t)=Imcos(?t+?i)时，电阻上电压电流关系：
)c o s ()()c o s ()( imum tRItRitUtu
电压和电流是同频率的正弦时间函数。其振幅或有效值之间服从欧姆定律，其相位差为零 (同相 )，即
7-3-2 电路元件伏安关系的相量形式时域：
iu
mm
RIURIU 或电阻元件的时域模型及反映电压电流关系的波形如下图示。可见，在任一时刻，电压的瞬时值是电流的 R倍，电压与电流同相位。
由上述推导，得 在关联参考方向下电阻电压电流的相量形式为这是复数方程，同时提供振幅之间和相位之间的两个关系，即：
(1) V=RI (2)?u =?i。
或
mm IRU
IRU
相量模型如图 (a)所示，反映电压电流相量关系的相量图如图 (b)所示，由此可看出电阻电压与电流的相位相同。
2 电容元件伏安关系的相量形式
t
uCti
d
d)(?
当 u(t)=Umcos(?t+?u )时
)90c o s ()s i n (
)]c o s ([
d
d
)c o s ()(
umum
umim
ωtω C Uωtω C U
ωtU
t
CωtIti
电容的电压和电流是同频率。其振幅或有效值以及相位间的关系为
90
ui
mm
ω C UIω C UI 或电容电压电流关系为电容元件的时域模型如图 (a)所示，电压电流的波形图如图 (b)所示。由此可看出电容电流超前于电容电压 90° 。
由上述推导，得在关联参考方向下电容元件电压和电流相量的关系式这个复数方程包含振幅间与幅角间的关系。电容元件的相量模型如图 (a)
所示，其相量关系如图 (b)所示。
UωCI j?
U?
ωCj
1
I?
(a)
1
j
U?
u?
UωCI j?
i?
(b)
或
ICUj 1?
mm j
1 I
CU
3 电感元件伏安关系的相量形式
t
iLtu
d
d)(?
当 i(t)=Imcos(?t+?i) 时
)90c o s (ω)s i n (ω
)]c o s ([
d
d
)c o s ()(
imim
imum
ωtLIωtLI
ωtI
t
LωtUtu
90
iu
mm
ω LIUω LIU 或电感上电压电流关系：
伏安关系的波形如图 (b)。可看出电感电压超前于电流 90°,当电感电流由负值增加经过零点时，其电压达到正最大值
。
电感元件的时域模型如图 (a)所示由上述推导，得在关联参考方向下电感元件电压和电流相量的关系式
IωLU j?
电感元件的相量模型如图 (a)，伏安相量关系的相量图如图 (b)所示。
KCL,KVL和元件 VCR的时域和相量形式：
1
d
d
1
d
d
e )c os (2)(
e )c os (2)(
0 0
0 0
j
SiS
j
SvS
11
11
i
v
UYIIZU
i dt
C
u
t
u
Ci
u dt
L
i
t
i
Lu
GuiRiu
IItIti
UUtUtu
Uu
Ii
t
t
n
k
k
n
k
k
n
k
k
n
k
k
电容电感电阻电流源电压源基尔霍夫电压定律基尔霍夫电流定律相量形式时域形式
例 7 图示电路，已知 A2c o s2)(
S tti?
求,u1(t),u2(t),u(t)及有效值相量 。
解：相量模型如图 (b)，根据相量形式的 KCL求电流相量 1AA01
S II
根据相量形式的 VCR，得：
V9044j0122jj
V03013
2
S1
IωLU
IRIRU
根据相量形式的 KVL，得到
V1.5354j321 UUU
时域表达式
V )1.532c os (25)(
V )902c os (24)(
V 2c os23)(
2
1
ttu
ttu
ttu
相量图如图 (c)所示。
(串联电路选取电流为参考相量 )
例 8 电路如图 (a)所示,已知求,i1(t),i2(t),i (t)及其有效值相量。 V5c o s210)(,F1.0,4 S ttuCR
解,相量模型如图 (b),电压相量根据 RLC元件相量形式的 VCR方程求电流。
V010SV
A905j50100,1j5ωj
A5.205.2
4
010
S2
S
1
UCI
R
U
I
相量形式的 KCL，得到
A4.6359.5j55.221 III
时域表达式：
A)4.635c o s (259.5)(
A)905c o s (25)(
A5c o s25.2)(
2
1
tti
tti
tti
相量图如图 (c)所示。
(并联电路选取电压为参考相量 )
一,R,L,C元件 VCR的相量关系如下：
设电流,电压的参考方向关联,由
7-4 阻抗与导纳
ILULI
C
UCIRUR
j:,
j
1
:,,
R
C
L1
电阻 容抗 (与?成反比 ) 感抗 (成正比 )
R,L,C元件电压与电流相量间的关系类似欧姆定律，
电压与电流相量之比是一个与时间无关的量 (单位,?)
阻抗：
I
UZ
)j(?
可得欧姆定律的相量形式：
UYIIZU
一般无源二端网络 N0
导纳：
U
IY
)j(?
ZYYZ
11显然：
N0+
-U?
I?
G,C,L元件的导纳以下
jj
j
1
j
1
C
C
CC
L
L
LL
R
R
RR
称为容纳称为感纳称为电导
C
U
I
YUCI
LU
I
YU
L
I
G
U
I
YUGI
C
L
R
G,C,L元件的导纳是一个与时间无关的量，它是一个复数。
ZZXRI
UZ ||j
阻抗是复数，实部 R称为电阻分量，虚部 X称为电抗分量,?Z=?v-?i称为阻抗角,阻抗的模 |Z| = U/I
一般情况：
R
Xa r c t gXRZ
Z
22 ||?
ZZ s i n|| cos|| ZXZR
R
X
|Z|
Z
阻抗三角形,
当 X>0时,?Z>0，端口电压超前电流，网络呈感性，电抗元件可等效为一个电感；
当 X <0时,?Z<0，端口电流超前电压，网络呈容性，电抗元件可等效为一个电容；
当 X =0时,?Z=0，端口电压与电流同相，网络呈电阻性，可等效为一个电阻。
YYBGU
IY ||j
实部 G称为电导分量，虚部 B称为电纳分量
，导纳角?Y=?i-?u=-?Z。
G
Ba r c t gBG
U
IY
Y
22 ||?
YY s i n|| cos|| YBYG
G
B
|Y |
Y
导纳三角形,
当 B>0时,?Y>0，端口电流超前电压，网络呈容性，电纳元件可等效为一个电容；
当 B <0时,?Y<0，端口电压超前电流，网络呈感性，电纳元件可等效为一个电感；
当 B =0时,?Y=0，端口电压与电流同相，网络呈电阻性，可等效为一个电阻。
无源网络相量模型有两种等效电路,一种是根据阻抗 Z=R+jX得到的电阻 R与电抗 jX串联 电路,如图 (c)；另一种是根据导纳 Y=G+jB得到的电导 G与电纳 jB的并联,如图 (e)。
且，一般情况下均为? 的函数；阻抗角或导纳角在一、四象限内。
由于
iu
i
u
I
U
I
U
I
UZ
ui
u
i
U
I
U
I
U
IY
Z
Y
Z
Y Z Y
1 1:,
jXRZ
jBGY
在一般情况下，注意：
22,
1
BG
GR
GR
22,
1
BG
BX
B
X
n个阻抗串联，等效阻抗为：
nZZZZ 321Z
电流与端口电压相量的关系为
n
k
k
n Z
U
ZZZZ
U
I
1
321
阻抗串联和并联等效
1、阻抗串联第 k个阻抗上的电压与端口电压相量的关系为
U
Z
Z
U
ZZZZ
Z
IZU
n
k
k
k
n
k
kk
1
321
称为 n个阻抗串联时的分压公式。
2,导纳并联
n个导纳并联组成的单口网络，就端口特性来说，等效于一个导纳，其等效导纳值等于各并联导纳之和，即
n
k
kn YYYYU
IY
1
21?
电压与其端口电流相量的关系为
n
k
k
n Y
I
YYY
I
U
1
21
第 k个导纳中的电流与端口电流相量的关系为
I
Y
Y
I
YYY
Y
UYI
n
k
k
k
n
k
kk
1
21
这是导纳并联时的分流公式。
例 9 求图 (a)网络在
=1rad/s和?=2rad/s时的等效阻抗和等效电路。
解,? =1rad/s时的相量模型如图 (b)所示，等效阻抗,
L=1H
R=1? C=0.5F
a
b (a)
2jj22j j 2 ))(1j1(j( 12j111)Z
等效电路如图 (c)所示同理,?=2rad/s时的相量模型如图 (b)
所示，求得等效阻抗为
j 1,55.02 3j1j1 j2j12j1 j 1 )j 2 ) (1()j( 2Z
等效电路如图 (e)，相应的时域等效电路为一个 0.5Ω 的电阻与 1/3F电容的串联。
例 10 试求等效阻抗和相应的等效电路。
解：相量模型如图 (b)。设在端口加电流源，用相量形式 KVL方程求电压相量
III
UIIU
)6j9()2j(4j)16j(
)5.0(8j)12j( 1
等效阻抗为
6j9IUZ
其等效电路如图 (c)所示。
3 分析 RLC串联电路相量模型如图 (b)所示。等效阻抗
)1ωj(j 1j ωCLRωCωLRIUZ
XR j
)1( ω CLX ω其中：
R
XX
a r c t g
R
X
a r c t g
XXRXRZ
CL
CL
Z
2222 )(||
当 X=XL-XC>0时,?Z>0，电压超前于电流，电路呈感性，等效为 R串联电感；
当 X=XL-XC <0时,?Z<0，电流超前于电压，电路呈容性，等效为 R串联电容；
当 X=XL-XC =0时,?Z=0，电压与电流同相，电路呈电阻性，等效为 R。
XR UUIIRIIRIZU jX)X-j ( X CL
|s in|
c os
||
22
ZX
ZR
XR
UU
UU
UUU
电压三角形如下,
LU?
XU?
CU? RU?
U?
感性 XL>XC 容性 XL<XC
I?
IZ?Z
LU? RU?
XU?
CU?
U?
例 11 u(t)=10cos2tV。试求
i(t),uR(t),uL(t),uC(t)。
解：相量模型如图 (b)所示。等效阻抗
45222j22j4j2CLR ZZZZ
相量电流
A455.2
4522
025?
Z
UI
RLC元件上的电压相量
V13 552j
V45104j
V4552
C
L
R
IU
IU
IU
时间表达式
V)1352c os (07.7)1352c os (25)(
V)452c os (14.14)452c os (210)(
V)452c os (07.7)452c os (25)(
A)452c os (25.2)(
C
L
R
tttu
tttu
tttu
tti
各电压电流的相量图如图 (c)所示。
端口电压 u(t)的相位超前于端口电流相位 i(t)45°,该 RLC串联网络的端口特性等效于一个电阻与电感的串联，即具有电感性。
4 分析 GCL并联电路相量模型如图 (b)所示。等效导纳
jBG
ωL
ωCG
ωL
ωCG
U
IY )1j(
j
1j
LC BBω Lω CB
1
G
BB
a r c t g
G
B
a r c t g
BBGBGY
LC
LC
Y
2222 )(||
当 B=BC-BL>0时,?Y>0，电流超前于电压
，电路呈容性，等效为 G并联电容 ；
当 B=BC-BL <0时,?Y<0，电压超前于电流，电路呈感性，等效为 G并联电感；
当 B=BC-BL =0时,?Y=0，电压与电流同相，电路呈电阻性，等效为 G 。
BG IIUBUGUUGUYI j)B-j ( B LC
|s i n|
c os
||
22
YB
YG
BG
VI
II
III
电流三角形如下,
CI?
容性 BC>BL 感性 BC<BL
Y?Y
BI?
GI?LI?
I? CI?
BI?
GI?
U?
LI?
U?
F5.0,H2,1 A,c o s215)(S CLRtti 2
例 12 求,u(t),iR(t),iL(t),iC(t)。已知,
解 相量模型如图 (b)。等效导纳：
S9.3625.175.0j11j41j1CLR YYYY
求相量电压,V9.3612
9.3625.1
015?
Y
IU
电流相量
A1.5312j1
A9.12 63j 0,25
A9.3612
C
L
R
UI
UI
UGI
时间表达式
A)1.532c o s (212)(
A)9.12 62c o s (23)(
A)9.362c o s (212)(
V)9.362c o s (212)(
C
L
R
tti
tti
tti
ttu
相量图如图 (c)所示。从中看出各电压电流的相量关系，例如端口电流的相位超前于端口电压相位 36.9°,RLC并联单口网络的端口特性等效于一个电阻与电容的并联，该单口网络具有电容性
7－ 5 正弦稳态的相量分析一 画电路的相量模型相量法分析正弦稳态的主要步骤：
1，将时域模型中各正弦量用相应的相量表示在电路图上。
e )c o s (2)(
e )c o s (2)(
i
j
i
u
j
u
i
v
IIItIti
UUUtUtu
2，时域模型中 RLC元件的参数，用相应的阻抗 (或导纳 )表示。
j
j
1
j
1
j
G
C
C
C
L
LL
R R
或或或
二 根据 KCL,KVL和元件 VCR相量形式，及一般分析方法列电路方程，求解响应的相量表达式。
UYIIZU
UKIK
n
k
k
n
k
k
0,VL0,CL
11
欧姆定律三 写出相应的时间表达式。
)c o s (2)( e
)c o s (2)( e
ii
j
uu
j
i
u
tItiIII
tUtuUVU
ω
ω
正弦稳态电路分析方法相量形式的基尔霍夫定律和欧姆定律与电阻电路中同一定律的形式完全相同，其差别仅在于电压电流用相应的相量替换，电阻和电导用阻抗和导纳替换。因此，分析电阻电路的方法完全可以用到正弦稳态电路的分析中来。如：等效变换，各种一般分析法和网络定理等 。
例 13 用网孔法、节点法和戴维南定理求 i2(t)。已知,V)30c o s (25)(
S ttu
解：相量模型如图 (b)所示，
V305SU
+u
S-
i3
i1
i2
+
-
3i3
3H 0.5F
2? 1?
3?
设网孔电流如右图，
直接列出网孔方程
305)2j4(
3053)33
21
321
II
IIIj（
代入
123 III
得方程
305)2j4(
3054)36
21
21
II
IIj（
解得
A)96.60c os (21 21.1)(
A96.601 21.1
2
2
tti
I
1、网孔分析列出节点电压方程
1
305
3j2
3
2j3
11
3j2
1 3
1
IU
代入
1
1S
3 3051 U
UUI
解得
A96.6012.1
2j3
V27.270 43.4
1
2
1
U
I
U
2、节点分析
(1)由图 (c)电路求端口的开路电压 。 列回路方程：
03053)33( 33 IIj
解得
A
3j6
305
3?
I
V3 4,44,3 4 6V305
3j6
3j5
3oc
SUIU
3 戴维南定理求
(2) 加流求压法，求图 (d)输出阻抗 Zo。
)3(2j
)2( 03)3j2(
)1(0
3
331
31
UII
III
III
由 (1),(2)得 II
3j6
)3j2(
3?
代入式 (3)得
93.74795.1
j36
j98
j36
j98
j36
j32
2j
o
I
U
Z
IIIU
由图 (e)得
A96.6012.130526 3j53
o
oc
2
Z
UI
解：利用迭加定理、线性、互易定理例 14 已知图 (a)中,A01
S1I
V9030',V3020' 21 UU
A302 S2I求图 (b)中 时,? 1?U?
'1U?
无源
2
2‘1‘
1
+
- '2U
+
-
S1I?
(a)
1U?
无源
2
2‘1‘
1
+
- 2U
+
-
S1I? S2I?
(b)
由互易形式二，得：
V9030''' 21 UU
由线性，得图 (b) 中单独作用时,
V60609030
1
302'''''
1
1
2
1
U
I
IU
S
S
V5 8,578V60603020'''' 111 UUU
无源
2
2‘1‘
1
+
- 2
U?
+
-
S1I?
(c)
"1U?
由叠加得图 (b) 中 和 共同作用时,
S2I?S1I?
例 15 试求电流 i1(t)。已知：
V 2s i n24)(,V 2c o s23)( S2S1 ttuttu
解：相量模型如图 (b)所示，其中
V9044j,V03 2S1S UU
j1Cj 1,j1j CL ωZωLZ
列图 (b)相量模型的 KCL和 KVL方程
4jj
03j
0
32
31
321
II
II
III
解得,A43.18162.31j3
jj1
33j4j
1j0
10j
111
1jj4
103
110
1
I
时间表达式 A)43.182c o s (21 6 2.3 )(
1 tti
法 1,支路分析设网孔电流如图 (b)所示列出网孔电流方程
4jj 1 )1(
03j 1 )1(
21
21
II
II
解得
A43.18162.31j3
12
4j3j3
1j11
11j1
1j14j
13
1
I
法 2：网孔分析时间表达式 A)43.182c o s (21 6 2.3 )(1 tti
用导纳参数的相量模型如图所示,其中
j1Sj
j1S
j
1
ω C
ω L
参考节点如图，直接列出节点电压方程
01j)1j()1j1j1( S2S1 UUU解得
V9.365)4j(1j3j11j1j S2S1 UUU
A43.18162.3)3j43(1j)(1j 1S1 UUI
法 3：节点分析两个独立电源单独作用的电路如下图分别求电流相量，然后相加得电流相量
A43.183.126j13
j1j11
j4
j 0,50.5j1
3
j11
1
1//1j1)1//(1j1
S2S1"
111
j
U
j
U
III
'
法 4：叠加定理先求连接电感的网络的戴维南等效电路
(1) 断开电感支路得图 (a)电路，求端口开路电压
2j1)2j2(3
1j1
4j3
1j1
1
S2S1oc
UUU
法 5：戴维南定理
5.0j5.02 )1j1(1j1j1 )1j(1oZ
得图 (c)电路，求电流
A43.18162.31j3
j 0,50,5
j21
1jo
oc
1
Z
VI
(2) 将图 (a)电路中独立电源置零，得图
(b)电路，求单口网络的输出阻抗例 16 试求图 (a)所示单口网络在
=1rad/s和?=2rad/s时的等效导纳。
解：由图 (b)和 (d)相量模型可得等效导纳
S)6.1j7.0(4.0j2.02j5.0
j 0,51
)5.0j(1
2j5.0)2j(
S)5.0j1(5.0j5.01j5.0
j11
)1j(1
1j5.0)1j(
Y
Y
例 17 求图 (a)的戴维南和诺顿等效电路。
解：开路电压,V08010244
1oc UU
将电流源置零，加流求压法求输出阻抗
30j401010330j10330j 1o I IIII IVIZ
短路电流,A9.366.1
30j40
080
o
oc
sc
ZUI
戴维南和诺顿等效电路如图 (b)和 (c)。
7-2
7-4
7-5(3)
7-6(2)(4)
7-7
作业 14,p219
7-10
7-11
7-12
7-13
作业 15,P,220
P,220
7-15(a)
7-16
7-17
7-19 (画相量图即可 )
7-22(a)
7-23
