8-4.理想变压器和全耦合变压器理想变压器也是一种耦合元件。它是实际变压器在理想条件下的电路模型。理想变压器的电路符号如下图，在如图同名端、电压和电流参考方向下，理想变压器的伏安关系为：
ni
i
n
u
u
1
2
1
2
1
理想变压器的唯一参数是变比 (或匝比 ),n
1i
+
-
+
-
* *
n:1
2i
1u 2
u
有理想变压器的伏安关系可以看出，理想变压器已经没有电感或耦合电感的作用了，故理想变压器的电路模型也可以画出受控源的形式：
1i
+
-
+
-
* *
n:1
2i
1u 2
u
+
-
1i
+
-n
i2?
n
u1
+
－ 2u1u
2i
理想变压器可以看成是耦合电感或空芯变压器 在理想条件下 的极限情况,
(1)耦合电感无损耗，即线圈是理想的；
(2)耦合系数 k=1,即是全耦合 ；
(3)自感系数 L1和 L2 均为无限大，但 L1 / L2等于常数,互感系数 也为无限大。
21 LLM?
21 LLM?
由于同名端的不同，理想变压器还有另一个电路模型，其伏安关系为
ni
i
n
u
u
1
2
1
2
1
当线圈的电压、电流参考方向关联时只有这两种情况，这两种 VCR仅差一个符号。
1i
+
-
+
-
*
*
n:1
2i
1u 2
u
下面先从符合前两个理想化条件的全耦合变压器着手推导理想变压器的 VCR：当线圈的电压、
电流参考方向关联时只有这两种情况，由耦合线圈的 VCR：
8 -4 -1 理想变压器伏安关系推导这里仅讨论第一种 (相加的 )情况。且当耦合系数 k=1时的情况。
t
iM
t
iLuu
ttt
u ML
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d 12
222
21222
2
t
iM
t
iLuu
ttt
u ML
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d 21
111
12111
1
21?
22?
11?
2i1i
12?
I?
仍然应用书上图 8-1(a)：初级线圈电流 i1：
次级线圈电流 i2：
显然，由自感、互感的定义：
产生的磁通为,其中有一部分磁通 穿过了初级线圈。
12?
22?
产生的磁通为,其中有一部分磁通 穿过了次级线圈。
11?
21?
222221212
212111111
,
,
iLNMiN
MiNiLN
耦合系数 k 显然有另一个定义为：
2211
2112
21
2
21
LL
M
LL
M
k
电流在本线圈中产生的磁通 全部 与另一个线圈相交链，即时 k ＝ 1。
12222111,
若 初、次级 线圈的匝数分别为 N1和 N2，
则两线圈的总磁链分别为：
2221122122221222
1221111211112111
)()(
)()(
NNN
NNN
式中,称为 主磁通,由电磁感应定律，初、次级电压分别为
11 22
t
N
t
u
t
N
t
u
d
d
d
d
d
d
d
d
2
2
2
1
1
1
故得：
n
N
N
u
u
2
1
2
1
由耦合电感 VCR的第一式：
t
iM
t
iLu
d
d
d
d 21
11
从 到 t 积分，有
t
iMiLu 2111 d)(
t
i
L
Mu
L
i 2
1
1
1
1 d)(
1得：
222221212
212111111
,
,
iLNMiN
MiNiLN
由自感、互感的定义：
得,n
N
N
L
L
L
M
M
L
2
1
2
1
2
1
得：
t
i
n
u
L
i 21
1
1
1d)(1 **
保持不变，即由于 u1为有限值，当满足理想化的第三个条件，有
21
1 i
ni
类此，可以推导出同名端不同的另一种情况。
由理想变压器的伏安关系，可以得出：理想变压器是一种无记忆元件，也称 即时元件 。如代入上述伏安关系，理想变压器的吸收功率为：
0)1)(( 22222211 iui
n
nuiuiup
可见：理想变压器 既不耗能,也不储能。
n
L
LL
2
1
1,
为了方便，习惯上把由于同名端不同而引起的两种伏安关系合并成一种，且不带负号。两线圈的电压 (标同名端处假设为正极 )、电流 (一侧流入另一侧流出 )应如下图假设：
1i
+
-
+
-
* *
n:1
2i
1u 2
u
1i
+
-
+
-
*
*
n:1
2i
1u 2
u
1i
+
-
+
-
* *
n:1
1ni
2nu 2
u
1i
+
- +
*
*
n:1
1ni
2nu 2
u
-
8 -4-2 全耦合变压器的电路模型实际铁芯变压器一般更易满足前两个条件，而不满足第三个条件，那就是全耦合变压器。两线圈的电压关系同理想变压器，电流关系有 **
式，有
t
iii
n
u
L
i 1d)(1 121
1
1
可见，全耦合变压器的初级电流有两部分组成，其中称为激磁电流。其等效电路模型如图所示。
i?
+
-
1i 2i +
* *
n:1
'1i
i
1L 2u1u
-
上图中,L1称为激磁电感。这也说明理想变压器由于 L1为无穷大 (极限情况 )，
故不需要激磁电流，就可以在铁芯中产生磁场。
工程上为了近似获得理想变压器的特性，
通常采用导磁率?很高的磁性材料做变压器的芯子。而在保持匝比不变得情况下，
增加线圈的匝数，并尽量紧密耦合，使 k
接近于 1。同时使 L1,L2,M非常非常大，
认为增大到无限大。
8-5 含理想变压器电路的分析计算由于全耦合变压器的等效电路中同样含有理想变压器，激磁电感 ( 即初级电感 )
可以认为是外接电感，故本节也包括了全耦合变压器电路的分析计算。
8-5-1 理想变压器的阻抗变换由理想变压器的伏安关系可知，它除了可以以 n倍的关系变换电压、电流外，还可以有 n2
倍的关系变换阻抗。
如：从初级看进去的等效电阻为
L
2
2
22
2
2
1
1
1
Rn
i
u
n
i
n
nu
i
u
R i
2i+
-
+
-
1i
* * RL
n:1
2u1
u
1i
+
-
L2Rn
1u
显然，输入电阻仅与匝比有关，与同名端无关。
对于正弦稳态电路，如果按照前面所规定的参考方向，理想变压器伏安关系的相量形式为：
1221,InIUnU
1I?
+
-
+
-
* *
n:1
1In?
2Un? 2
U?
1I?
+
- +
-*
*
n:1
1In?
2Un? 2
U?
若次级接负载阻抗，则从初级看进去的等效阻抗为
L2 ZnZ i?
上述“搬移”阻抗的方法还可以进一步推广：
1,并联阻抗可以从次级搬移到初级；
2.串联阻抗可以从初级搬移到次级。
阻抗可以从初级与次级之间来回搬移。
+
-
+
-
* *
n:1
1U? 2U?
'2I?1I? 2I?
"2I?
a
d
c
b
N
2Z
+
-
+
-
* *
n:1
1U? 2U?
'2I?1I?a
d
c
b
N
'1I?
22Zn
1,并联阻抗可以从次级搬移到初级；
(a) (b)由图 (a)：
')'(
1
)'"(
11
1
2
2
1
2
2
2
2221
21
I
Zn
U
I
Z
U
n
II
n
I
n
I
UnU
得图 (b)。上式中,'1' 21 InI
2.串联阻抗可以从初级搬移到次级。
(a) (b)
由图 (a):
22
1
S
2
1
11S12
12
1
)(
1
)(
11
I
n
Z
U
nn
I
ZU
n
IZU
n
U
n
U
InI
S
得图 (b)。
1I?
+
-
+
-
* *
n:1
SU?
a
d
c
b
N1Z
+
-
1U? 2U?
2I? +
-
+
-
* *
n:1
a
d
c
b
N121 Zn
1I?
SU? 2U?
2I?
应该指出：阻抗的 n2 倍与元件的 n2 倍是不一样的。
电阻 和 电感 意义相同；
而 电容 意义刚好相反,
)
1
(j
1
j
1
)(j)j(
)(
2
2
22
22
C
n
C
n
LnLn
RnRn
利用阻抗的来回搬移，能使问题简化。例如：
简化为
1
2 1n Z
+
-
*
*
n:1
a
d
c
b
N
Z3
1
2 2n ZS
U?
a c Z3
+
-
*
*
n:1 db
N
Z1
Z2SU?
电源也可以“搬移”。不过，电源搬移与同名端有关。
a c 3Z
12
1 Z
n*
db
N
+
-*
n:1
22
1 Z
nS1Un?
12
1 Z
n
d
c
N
+
-
3Z
22
1 Z
nS1Un?
由理想变压器的 VCR，简化成没有变压器的电路。
理想变压器还可由一个初级线圈与多个次级线圈构成。
在图示电压，电流参考方向下，有
3
3
2
2
1
1
N
u
N
u
N
u
即：
1
2
1
2
1 n
N
N
u
u
2
3
1
3
1 n
N
N
u
u
+ 2i
1:2n
1i
-
+
-
*
3i
+
-
*
2R
3R
2N
3N
1N
1:1n
*
1u
2u
3u
0332211 iNiNiN 即
3
2
2
1
1
11 i
n
i
n
i
即从初级看入的等效电导
1
3
2
1
2
1
1
3
2
2
1
1
1
1111
u
i
n
u
i
n
u
i
n
i
n
u
i
G i
0332211 iuiuiup v i v
n
i v
n
i1 1 1
1
2
1
2
3 0
2
2
3
2
1
2
32
3
2
21
2
1
11
n
G
n
G
un
i
n
un
i
n
3
2
22
2
1
3
2
22
2
1
3
2
22
2
1
1 //
))((
RnRn
RnRn
RnRn
R?
即：有多个次级线圈时，
次级阻抗可以一个一个地搬移。
n R12 2 n R22 3
其实，多个次级的理想变压器电路，可以认为初级是双线 (或多线 )并绕，这样就更易理解。
1i
1:2n
-
+
-
*
2R
2N
3i
+
-
*
3R
3N
1:1n
1N
+
1N
*
*
2ii1'
i1"
3u
1u 2u
+ 2i
1:2n
1i
-
+
-
*
3i
+
-
*
2R
3R
2N
3N
1N
1:1n
*
1u
2u
3u
利用上述结论可以巧妙的计算如下例题：
已知?＝ 1，求 ab端的输入阻抗。
解：由 KVL：
22221 2 UUUUUU ac
等效电路如左图,输入阻抗为：
)j1(211 j)j(//1 jZ i
+
-1U?
+
-
2
2:1
** 4F
b
a c
*
*
2:1
2:1
*?2
a
c
4F
2U?
例 8-4.含理想变压器电路如图，试求 和 。
1I?
解：将次级折合到初级
2j1200j100 2L Li ZnZZ
U?
* *
1
V0100
+
-
+
-
100
200j2I?
1I?
1:10
U?
由理想变压器的伏安关系例 8-5.在如图所示电路中，已知 V08
SU?
内阻,负载电阻,求 n=?时，
负载电阻与电源达到最大功率匹配？此时，
2SR 8LR
A45225
2j2
01 0 0
1
I?
A4525.212 InI
V4522 5 01 0 0 2 IU
负载获得的最大功率为多少？
解：将次级折合到初级，根据最大功率匹配条件有
L2Rn
+
-
1I?
SR
SU?
SR
* *+
- LR
1I? n:1
SU?
5.0
8
2
L
S
SL
2
R
R
nRRn
时，达到最大功率匹配。
L2Rn
由于理想变压器既不能耗能也不能储能，故等效电路中 吸收的功率就是 原电路获得的功率，
LR
W8
4 S
2
S
m a x R
UP
4j
* *
V0200
+
-?500
n:1?3例 8-6
要使负载获得最大功率，求,,
m a x Pn
解：将次级折合到初级,不可能达到共扼匹配。
4j3' LL ZR 与
4j)5003(
0200
2
n
I?
4j)'3(
02 00
L
R
由于这时可变化的只是变比 n,这就是“模匹配”
的情况。
3?4j
V0200
+
-?2500 n
I?
'LR
一般地，理想变压器内阻,变换后的阻抗,当仅负载阻抗的模可变时，不可能达到共扼匹配，求负载获得最大功率的条件：
SSS j XRZ
LLLLL s in'jcos'' ZZZ
下面先证明：
)s i n'(j)c o s'( LLSLLS
S
ZXZR
UI
负载中电阻吸收的功率：
)cos'( LL2?ZIP? 2
LLS
2
LLS
LL
2
S
)s i n'()c o s'(
c o s'
ZXZR
ZU
SL
L
',0'(d d ZZZP ＝即）?
要使 P达到最大，必须这时，负载获得最大功率。这种情况称为
“模匹配”。模匹配时负载中电阻吸收的功率一般比达到共扼匹配时的功率小。这时
W25 00
4)53(
520 0
'
1.0543'
22
2
L
2
22
L
2
L
RIP
nRnR
例 8 -7：
,V050,50
1
,10,5.0
S
21
U
C
RRn
已知求流过 的电流 I。
2R
8 -5 -2 含理想变压器电路的一般分析方法列写网络方程和应用戴维南定理是常用的方法。
1R
+
-
n:1
C?
1j?
+
-
+
-
2R
I?
* *
1I?
2U?2Un?
1In?
SU?
解：理想变压器没有接成初、次级的形式，故只能列写网孔方程。按照前面的方法假设电压、
电流。
网孔方程
0))(
j
1
(
)()(
21
2
212
S212121
UIn
C
RIR
UUnInRIRR
代入数据得
4524522 21 II
A45221 III
0
2
1
)50j20(10
50
2
1
2
1
1020
211
211
UII
UII
例 8 -8 求,A,B以左电路的戴维南等效电路。
1Z
+
-
+
-
+
-
+
-
+
- L
Z
2Z
****
A
Bn2:1n1:1
SU? 3U?2U?1U? 4U?
解：本题含有两个理想变压器，先搬移走第一个：
12
1
1 Z
n
S
1
1 U
n
* *+
- LZ
2Z
3U?
+
-
+
-
A
Bn2:1
4U?
+
-
A
B
S
21
1 U
nn
12
21 )(
1 Z
nn 222
1 Z
n
再搬移第二个：
则 电阻上没有电流。2
解：运用 VCR：
A0183,A06 12S1 IIIII
00 12 UU
II 求已知,A06S例 8 -9.
SI?
+
-
1U?
+
-
1I? 2I
2
I?
3:1
**
2U?
A0231 S II
II 求已知,A06S例 8 -10.
解：由 VCR和 KCL：
SI?
1I?
3j
I?1:2
*
* III
I
I
1S
1 2
2
1
1
解上两式，得例 8 -11：电路初始状态为零,t=0开关闭合，
试求 t>0时的电流 i(t)
解：由已知参数，
此乃全耦合变压器，其等效电路为：
1
21
LL
Mk
2H
+
-
1
4H1 H4
K
* *
i(t)
)(2 ti
V2
其中,将理想变压器次级搬移到初级，得等效电路，利用一阶电路的三要素法求解。
2
1
4
1
2
1
L
Ln
K+
-?4
**
n:1?1
H1
i(t)
i t1( )
i t2( )
V2
0Ae2e]21[2)( 2
1
2
1
tti tt
s2 RL?
A2)(,A1)0(,)0(A0)0( LL iiii
思考,若需求,应如何求解？ 与 是不是
n倍的关系？
i t2( ) i t2( ))(ti
1
H1
+
-
K
Li
)(ti
1?
)(1 ti
V2
解：按图所示假设电压、电流。
例 8 -12：求输入阻抗。
n:1
*
1Z
2Z
2U?+
-
2Un?
+
-
1I? 1In?
U?
+
-
1)1( In
*
法一：列方程
21121
112
)1(
)1(
UZInZIn
ZInUnU
1
2
2
2 )1( ZnZnZ
I
U
i
1I? 1In?
1)1( Zn?
2Z
1
1 Z
n
n?
2
21 )
1( nZZ
n
n
1)1( Zn?
法二,
1222 )1( ZnZnZ i
求输入阻抗,
解：按图所示假设电压、电流。
2Z
n:1
*
1Z
2U?
+
-
2Un?
+
-
1I? 1In?
U?
+
-
*
1)1( In
由上题完全类似，可得：
1
2
2
2 )1( ZnZnZ
I
U
i
P.247,例 8 -9就是实例：戴维南等效电路的输出阻抗为：
Z R R Ro o2 2 1 102 1 2 2( )?
开路电压由理想变压器的 VCR直接得到：
)(22 S tuu oc
00 12 ii?
8-6 一般变压器的电路模型一般变压器可以用 电感或空芯变压器 的分析方法，也可以用 含有理想变压器的等效电路 的方法来分析。这其实也就是变压器电路分析的两种方法。一般变压器的初、次级电感不会是无限大，耦合系数 k 也小于 1,现在先看一般的互感线圈 (见图 a),由于存在漏磁通，可以想象为如图 (b)所示的全耦合电感和漏磁通组成；再运用理想变压器的等效电路，即可得到一般变压器的含理想变压器的等效电路 (见图 c)。
(a) (b)
(c)
1SL 2SL
* *
M1i
2i
+ +
－ －
Mn M
n
11u
2u
* *
1L 2L
M
1i 2i+ +
－ －
1u 2u
* *
1SL1i
2i+ +
－ －
2SL
Mn
+ +
－－
'2u '1u
1:n
1u 2u
由图 (a):
t
iM
t
iLu
d
d
d
d 21
11 t
iM
t
iLu
d
d
d
d 12
22
由图 (c):
t
i
L
nt
i
LL
t
i
L
t
i
L
t
i
L
t
ii
L
t
i
Lu
t
i
Lu
MM
MM
M
d
d1
d
d
)(
d
'd
d
d
d
d
d
)'(d
d
d
'
d
d
21
1S
111
1S
111
1S1
1
1S1
* *
1SL1i
2i+ +
－ －
2SL
Mn
+ +
－－
'2u '1u
1:n
1u 2u
t
i
Lu
n
t
i
Luu
d
d
'
1
d
d
'
2
2S1
2
2S22
t
i
LL
nt
i
L
n
t
i
L
t
i
L
nt
i
L
n
t
i
L
t
ii
L
n
MM
MM
M
d
d1
d
d1
d
d
d
'd1
d
d1
d
d
d
)'(d1
2
2S2
1
2
2S
11
2
2S
11
式中应用了,'',''
1221 iniunu
* *
1SL1i
2i+ +
－ －
2SL
Mn
+ +
－－
'2u '1u
1:n
1u 2u
这两种方法可以 相互等效,
2S22
1S1
1
1
LL
n
L
L
n
M
LLL
M
M
M
M
n
LL
MnL
MnLL
M
1
22S
11S
当取 时：
2
1
L
Ln?
* *
1SL1i
2i+ +
－ －
2SL
Mn
+ +
－－
'2u '1u
1:n
1u 2u
* *
1L 2L
M
1i 2i+ +
－ －
1u 2u
如果还需考虑线圈的绕线电阻和铁芯损失，铁芯变压器的电路模型如下图所示：
1R
mi
S1L S2L
2R* *
n:1
MR
ML
iM
当然，如果还要考虑线圈的匝间电容等，即还有相应的等效电路。
M?j
+
- LZ1j L? 2j L?
* *
1I? 2
I?2R1R
SU?
当 k=1时，空芯变压器和理想变压器模型的 区别
+
-
1R
22
2)(
Z
M?
1j L?
SU?
1I?
+
-
**
n:11R
1j L?
2R
SU?
1I?
LZ
+
-
1R
1j L?
LZ
2R
n2
n2
SU?
1I?
作业,P.253.
8 -12
8 -15
8 -17
作业,P.254.
8 -18
8 -19
8 -20
V10c o s10)(S ttu?
+
-
**
1
)(1 ti
)(1 ti
b
a
H8.0 H2.0
H2.0 1?05.?
思考题 1,试求 a,b端的戴维南等效电路 (时域 )。
思考题 2,电路原已稳定，开关 K在 t=0时闭合，试求：
A10c o s30)( 3S tti?
H5.0
+
-
**
H2 H4
40? )(
L tu
K
ni
i
n
u
u
1
2
1
2
1
理想变压器的唯一参数是变比 (或匝比 ),n
1i
+
-
+
-
* *
n:1
2i
1u 2
u
有理想变压器的伏安关系可以看出，理想变压器已经没有电感或耦合电感的作用了，故理想变压器的电路模型也可以画出受控源的形式：
1i
+
-
+
-
* *
n:1
2i
1u 2
u
+
-
1i
+
-n
i2?
n
u1
+
－ 2u1u
2i
理想变压器可以看成是耦合电感或空芯变压器 在理想条件下 的极限情况,
(1)耦合电感无损耗，即线圈是理想的；
(2)耦合系数 k=1,即是全耦合 ；
(3)自感系数 L1和 L2 均为无限大，但 L1 / L2等于常数,互感系数 也为无限大。
21 LLM?
21 LLM?
由于同名端的不同，理想变压器还有另一个电路模型，其伏安关系为
ni
i
n
u
u
1
2
1
2
1
当线圈的电压、电流参考方向关联时只有这两种情况，这两种 VCR仅差一个符号。
1i
+
-
+
-
*
*
n:1
2i
1u 2
u
下面先从符合前两个理想化条件的全耦合变压器着手推导理想变压器的 VCR：当线圈的电压、
电流参考方向关联时只有这两种情况，由耦合线圈的 VCR：
8 -4 -1 理想变压器伏安关系推导这里仅讨论第一种 (相加的 )情况。且当耦合系数 k=1时的情况。
t
iM
t
iLuu
ttt
u ML
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d 12
222
21222
2
t
iM
t
iLuu
ttt
u ML
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d 21
111
12111
1
21?
22?
11?
2i1i
12?
I?
仍然应用书上图 8-1(a)：初级线圈电流 i1：
次级线圈电流 i2：
显然，由自感、互感的定义：
产生的磁通为,其中有一部分磁通 穿过了初级线圈。
12?
22?
产生的磁通为,其中有一部分磁通 穿过了次级线圈。
11?
21?
222221212
212111111
,
,
iLNMiN
MiNiLN
耦合系数 k 显然有另一个定义为：
2211
2112
21
2
21
LL
M
LL
M
k
电流在本线圈中产生的磁通 全部 与另一个线圈相交链，即时 k ＝ 1。
12222111,
若 初、次级 线圈的匝数分别为 N1和 N2，
则两线圈的总磁链分别为：
2221122122221222
1221111211112111
)()(
)()(
NNN
NNN
式中,称为 主磁通,由电磁感应定律，初、次级电压分别为
11 22
t
N
t
u
t
N
t
u
d
d
d
d
d
d
d
d
2
2
2
1
1
1
故得：
n
N
N
u
u
2
1
2
1
由耦合电感 VCR的第一式：
t
iM
t
iLu
d
d
d
d 21
11
从 到 t 积分，有
t
iMiLu 2111 d)(
t
i
L
Mu
L
i 2
1
1
1
1 d)(
1得：
222221212
212111111
,
,
iLNMiN
MiNiLN
由自感、互感的定义：
得,n
N
N
L
L
L
M
M
L
2
1
2
1
2
1
得：
t
i
n
u
L
i 21
1
1
1d)(1 **
保持不变，即由于 u1为有限值，当满足理想化的第三个条件，有
21
1 i
ni
类此，可以推导出同名端不同的另一种情况。
由理想变压器的伏安关系，可以得出：理想变压器是一种无记忆元件，也称 即时元件 。如代入上述伏安关系，理想变压器的吸收功率为：
0)1)(( 22222211 iui
n
nuiuiup
可见：理想变压器 既不耗能,也不储能。
n
L
LL
2
1
1,
为了方便，习惯上把由于同名端不同而引起的两种伏安关系合并成一种，且不带负号。两线圈的电压 (标同名端处假设为正极 )、电流 (一侧流入另一侧流出 )应如下图假设：
1i
+
-
+
-
* *
n:1
2i
1u 2
u
1i
+
-
+
-
*
*
n:1
2i
1u 2
u
1i
+
-
+
-
* *
n:1
1ni
2nu 2
u
1i
+
- +
*
*
n:1
1ni
2nu 2
u
-
8 -4-2 全耦合变压器的电路模型实际铁芯变压器一般更易满足前两个条件，而不满足第三个条件，那就是全耦合变压器。两线圈的电压关系同理想变压器，电流关系有 **
式，有
t
iii
n
u
L
i 1d)(1 121
1
1
可见，全耦合变压器的初级电流有两部分组成，其中称为激磁电流。其等效电路模型如图所示。
i?
+
-
1i 2i +
* *
n:1
'1i
i
1L 2u1u
-
上图中,L1称为激磁电感。这也说明理想变压器由于 L1为无穷大 (极限情况 )，
故不需要激磁电流，就可以在铁芯中产生磁场。
工程上为了近似获得理想变压器的特性，
通常采用导磁率?很高的磁性材料做变压器的芯子。而在保持匝比不变得情况下，
增加线圈的匝数，并尽量紧密耦合，使 k
接近于 1。同时使 L1,L2,M非常非常大，
认为增大到无限大。
8-5 含理想变压器电路的分析计算由于全耦合变压器的等效电路中同样含有理想变压器，激磁电感 ( 即初级电感 )
可以认为是外接电感，故本节也包括了全耦合变压器电路的分析计算。
8-5-1 理想变压器的阻抗变换由理想变压器的伏安关系可知，它除了可以以 n倍的关系变换电压、电流外，还可以有 n2
倍的关系变换阻抗。
如：从初级看进去的等效电阻为
L
2
2
22
2
2
1
1
1
Rn
i
u
n
i
n
nu
i
u
R i
2i+
-
+
-
1i
* * RL
n:1
2u1
u
1i
+
-
L2Rn
1u
显然，输入电阻仅与匝比有关，与同名端无关。
对于正弦稳态电路，如果按照前面所规定的参考方向，理想变压器伏安关系的相量形式为：
1221,InIUnU
1I?
+
-
+
-
* *
n:1
1In?
2Un? 2
U?
1I?
+
- +
-*
*
n:1
1In?
2Un? 2
U?
若次级接负载阻抗，则从初级看进去的等效阻抗为
L2 ZnZ i?
上述“搬移”阻抗的方法还可以进一步推广：
1,并联阻抗可以从次级搬移到初级；
2.串联阻抗可以从初级搬移到次级。
阻抗可以从初级与次级之间来回搬移。
+
-
+
-
* *
n:1
1U? 2U?
'2I?1I? 2I?
"2I?
a
d
c
b
N
2Z
+
-
+
-
* *
n:1
1U? 2U?
'2I?1I?a
d
c
b
N
'1I?
22Zn
1,并联阻抗可以从次级搬移到初级；
(a) (b)由图 (a)：
')'(
1
)'"(
11
1
2
2
1
2
2
2
2221
21
I
Zn
U
I
Z
U
n
II
n
I
n
I
UnU
得图 (b)。上式中,'1' 21 InI
2.串联阻抗可以从初级搬移到次级。
(a) (b)
由图 (a):
22
1
S
2
1
11S12
12
1
)(
1
)(
11
I
n
Z
U
nn
I
ZU
n
IZU
n
U
n
U
InI
S
得图 (b)。
1I?
+
-
+
-
* *
n:1
SU?
a
d
c
b
N1Z
+
-
1U? 2U?
2I? +
-
+
-
* *
n:1
a
d
c
b
N121 Zn
1I?
SU? 2U?
2I?
应该指出：阻抗的 n2 倍与元件的 n2 倍是不一样的。
电阻 和 电感 意义相同；
而 电容 意义刚好相反,
)
1
(j
1
j
1
)(j)j(
)(
2
2
22
22
C
n
C
n
LnLn
RnRn
利用阻抗的来回搬移，能使问题简化。例如：
简化为
1
2 1n Z
+
-
*
*
n:1
a
d
c
b
N
Z3
1
2 2n ZS
U?
a c Z3
+
-
*
*
n:1 db
N
Z1
Z2SU?
电源也可以“搬移”。不过，电源搬移与同名端有关。
a c 3Z
12
1 Z
n*
db
N
+
-*
n:1
22
1 Z
nS1Un?
12
1 Z
n
d
c
N
+
-
3Z
22
1 Z
nS1Un?
由理想变压器的 VCR，简化成没有变压器的电路。
理想变压器还可由一个初级线圈与多个次级线圈构成。
在图示电压，电流参考方向下，有
3
3
2
2
1
1
N
u
N
u
N
u
即：
1
2
1
2
1 n
N
N
u
u
2
3
1
3
1 n
N
N
u
u
+ 2i
1:2n
1i
-
+
-
*
3i
+
-
*
2R
3R
2N
3N
1N
1:1n
*
1u
2u
3u
0332211 iNiNiN 即
3
2
2
1
1
11 i
n
i
n
i
即从初级看入的等效电导
1
3
2
1
2
1
1
3
2
2
1
1
1
1111
u
i
n
u
i
n
u
i
n
i
n
u
i
G i
0332211 iuiuiup v i v
n
i v
n
i1 1 1
1
2
1
2
3 0
2
2
3
2
1
2
32
3
2
21
2
1
11
n
G
n
G
un
i
n
un
i
n
3
2
22
2
1
3
2
22
2
1
3
2
22
2
1
1 //
))((
RnRn
RnRn
RnRn
R?
即：有多个次级线圈时，
次级阻抗可以一个一个地搬移。
n R12 2 n R22 3
其实，多个次级的理想变压器电路，可以认为初级是双线 (或多线 )并绕，这样就更易理解。
1i
1:2n
-
+
-
*
2R
2N
3i
+
-
*
3R
3N
1:1n
1N
+
1N
*
*
2ii1'
i1"
3u
1u 2u
+ 2i
1:2n
1i
-
+
-
*
3i
+
-
*
2R
3R
2N
3N
1N
1:1n
*
1u
2u
3u
利用上述结论可以巧妙的计算如下例题：
已知?＝ 1，求 ab端的输入阻抗。
解：由 KVL：
22221 2 UUUUUU ac
等效电路如左图,输入阻抗为：
)j1(211 j)j(//1 jZ i
+
-1U?
+
-
2
2:1
** 4F
b
a c
*
*
2:1
2:1
*?2
a
c
4F
2U?
例 8-4.含理想变压器电路如图，试求 和 。
1I?
解：将次级折合到初级
2j1200j100 2L Li ZnZZ
U?
* *
1
V0100
+
-
+
-
100
200j2I?
1I?
1:10
U?
由理想变压器的伏安关系例 8-5.在如图所示电路中，已知 V08
SU?
内阻,负载电阻,求 n=?时，
负载电阻与电源达到最大功率匹配？此时，
2SR 8LR
A45225
2j2
01 0 0
1
I?
A4525.212 InI
V4522 5 01 0 0 2 IU
负载获得的最大功率为多少？
解：将次级折合到初级，根据最大功率匹配条件有
L2Rn
+
-
1I?
SR
SU?
SR
* *+
- LR
1I? n:1
SU?
5.0
8
2
L
S
SL
2
R
R
nRRn
时，达到最大功率匹配。
L2Rn
由于理想变压器既不能耗能也不能储能，故等效电路中 吸收的功率就是 原电路获得的功率，
LR
W8
4 S
2
S
m a x R
UP
4j
* *
V0200
+
-?500
n:1?3例 8-6
要使负载获得最大功率，求,,
m a x Pn
解：将次级折合到初级,不可能达到共扼匹配。
4j3' LL ZR 与
4j)5003(
0200
2
n
I?
4j)'3(
02 00
L
R
由于这时可变化的只是变比 n,这就是“模匹配”
的情况。
3?4j
V0200
+
-?2500 n
I?
'LR
一般地，理想变压器内阻,变换后的阻抗,当仅负载阻抗的模可变时，不可能达到共扼匹配，求负载获得最大功率的条件：
SSS j XRZ
LLLLL s in'jcos'' ZZZ
下面先证明：
)s i n'(j)c o s'( LLSLLS
S
ZXZR
UI
负载中电阻吸收的功率：
)cos'( LL2?ZIP? 2
LLS
2
LLS
LL
2
S
)s i n'()c o s'(
c o s'
ZXZR
ZU
SL
L
',0'(d d ZZZP ＝即）?
要使 P达到最大，必须这时，负载获得最大功率。这种情况称为
“模匹配”。模匹配时负载中电阻吸收的功率一般比达到共扼匹配时的功率小。这时
W25 00
4)53(
520 0
'
1.0543'
22
2
L
2
22
L
2
L
RIP
nRnR
例 8 -7：
,V050,50
1
,10,5.0
S
21
U
C
RRn
已知求流过 的电流 I。
2R
8 -5 -2 含理想变压器电路的一般分析方法列写网络方程和应用戴维南定理是常用的方法。
1R
+
-
n:1
C?
1j?
+
-
+
-
2R
I?
* *
1I?
2U?2Un?
1In?
SU?
解：理想变压器没有接成初、次级的形式，故只能列写网孔方程。按照前面的方法假设电压、
电流。
网孔方程
0))(
j
1
(
)()(
21
2
212
S212121
UIn
C
RIR
UUnInRIRR
代入数据得
4524522 21 II
A45221 III
0
2
1
)50j20(10
50
2
1
2
1
1020
211
211
UII
UII
例 8 -8 求,A,B以左电路的戴维南等效电路。
1Z
+
-
+
-
+
-
+
-
+
- L
Z
2Z
****
A
Bn2:1n1:1
SU? 3U?2U?1U? 4U?
解：本题含有两个理想变压器，先搬移走第一个：
12
1
1 Z
n
S
1
1 U
n
* *+
- LZ
2Z
3U?
+
-
+
-
A
Bn2:1
4U?
+
-
A
B
S
21
1 U
nn
12
21 )(
1 Z
nn 222
1 Z
n
再搬移第二个：
则 电阻上没有电流。2
解：运用 VCR：
A0183,A06 12S1 IIIII
00 12 UU
II 求已知,A06S例 8 -9.
SI?
+
-
1U?
+
-
1I? 2I
2
I?
3:1
**
2U?
A0231 S II
II 求已知,A06S例 8 -10.
解：由 VCR和 KCL：
SI?
1I?
3j
I?1:2
*
* III
I
I
1S
1 2
2
1
1
解上两式，得例 8 -11：电路初始状态为零,t=0开关闭合，
试求 t>0时的电流 i(t)
解：由已知参数，
此乃全耦合变压器，其等效电路为：
1
21
LL
Mk
2H
+
-
1
4H1 H4
K
* *
i(t)
)(2 ti
V2
其中,将理想变压器次级搬移到初级，得等效电路，利用一阶电路的三要素法求解。
2
1
4
1
2
1
L
Ln
K+
-?4
**
n:1?1
H1
i(t)
i t1( )
i t2( )
V2
0Ae2e]21[2)( 2
1
2
1
tti tt
s2 RL?
A2)(,A1)0(,)0(A0)0( LL iiii
思考,若需求,应如何求解？ 与 是不是
n倍的关系？
i t2( ) i t2( ))(ti
1
H1
+
-
K
Li
)(ti
1?
)(1 ti
V2
解：按图所示假设电压、电流。
例 8 -12：求输入阻抗。
n:1
*
1Z
2Z
2U?+
-
2Un?
+
-
1I? 1In?
U?
+
-
1)1( In
*
法一：列方程
21121
112
)1(
)1(
UZInZIn
ZInUnU
1
2
2
2 )1( ZnZnZ
I
U
i
1I? 1In?
1)1( Zn?
2Z
1
1 Z
n
n?
2
21 )
1( nZZ
n
n
1)1( Zn?
法二,
1222 )1( ZnZnZ i
求输入阻抗,
解：按图所示假设电压、电流。
2Z
n:1
*
1Z
2U?
+
-
2Un?
+
-
1I? 1In?
U?
+
-
*
1)1( In
由上题完全类似，可得：
1
2
2
2 )1( ZnZnZ
I
U
i
P.247,例 8 -9就是实例：戴维南等效电路的输出阻抗为：
Z R R Ro o2 2 1 102 1 2 2( )?
开路电压由理想变压器的 VCR直接得到：
)(22 S tuu oc
00 12 ii?
8-6 一般变压器的电路模型一般变压器可以用 电感或空芯变压器 的分析方法，也可以用 含有理想变压器的等效电路 的方法来分析。这其实也就是变压器电路分析的两种方法。一般变压器的初、次级电感不会是无限大，耦合系数 k 也小于 1,现在先看一般的互感线圈 (见图 a),由于存在漏磁通，可以想象为如图 (b)所示的全耦合电感和漏磁通组成；再运用理想变压器的等效电路，即可得到一般变压器的含理想变压器的等效电路 (见图 c)。
(a) (b)
(c)
1SL 2SL
* *
M1i
2i
+ +
－ －
Mn M
n
11u
2u
* *
1L 2L
M
1i 2i+ +
－ －
1u 2u
* *
1SL1i
2i+ +
－ －
2SL
Mn
+ +
－－
'2u '1u
1:n
1u 2u
由图 (a):
t
iM
t
iLu
d
d
d
d 21
11 t
iM
t
iLu
d
d
d
d 12
22
由图 (c):
t
i
L
nt
i
LL
t
i
L
t
i
L
t
i
L
t
ii
L
t
i
Lu
t
i
Lu
MM
MM
M
d
d1
d
d
)(
d
'd
d
d
d
d
d
)'(d
d
d
'
d
d
21
1S
111
1S
111
1S1
1
1S1
* *
1SL1i
2i+ +
－ －
2SL
Mn
+ +
－－
'2u '1u
1:n
1u 2u
t
i
Lu
n
t
i
Luu
d
d
'
1
d
d
'
2
2S1
2
2S22
t
i
LL
nt
i
L
n
t
i
L
t
i
L
nt
i
L
n
t
i
L
t
ii
L
n
MM
MM
M
d
d1
d
d1
d
d
d
'd1
d
d1
d
d
d
)'(d1
2
2S2
1
2
2S
11
2
2S
11
式中应用了,'',''
1221 iniunu
* *
1SL1i
2i+ +
－ －
2SL
Mn
+ +
－－
'2u '1u
1:n
1u 2u
这两种方法可以 相互等效,
2S22
1S1
1
1
LL
n
L
L
n
M
LLL
M
M
M
M
n
LL
MnL
MnLL
M
1
22S
11S
当取 时：
2
1
L
Ln?
* *
1SL1i
2i+ +
－ －
2SL
Mn
+ +
－－
'2u '1u
1:n
1u 2u
* *
1L 2L
M
1i 2i+ +
－ －
1u 2u
如果还需考虑线圈的绕线电阻和铁芯损失，铁芯变压器的电路模型如下图所示：
1R
mi
S1L S2L
2R* *
n:1
MR
ML
iM
当然，如果还要考虑线圈的匝间电容等，即还有相应的等效电路。
M?j
+
- LZ1j L? 2j L?
* *
1I? 2
I?2R1R
SU?
当 k=1时，空芯变压器和理想变压器模型的 区别
+
-
1R
22
2)(
Z
M?
1j L?
SU?
1I?
+
-
**
n:11R
1j L?
2R
SU?
1I?
LZ
+
-
1R
1j L?
LZ
2R
n2
n2
SU?
1I?
作业,P.253.
8 -12
8 -15
8 -17
作业,P.254.
8 -18
8 -19
8 -20
V10c o s10)(S ttu?
+
-
**
1
)(1 ti
)(1 ti
b
a
H8.0 H2.0
H2.0 1?05.?
思考题 1,试求 a,b端的戴维南等效电路 (时域 )。
思考题 2,电路原已稳定，开关 K在 t=0时闭合，试求：
A10c o s30)( 3S tti?
H5.0
+
-
**
H2 H4
40? )(
L tu
K
