大学数学 （二）
脚本编写：曾金平 刘楚中
课件制作：曾金平 刘楚中
§ 4
中的直线与平面方程3R
一,平面及其方程
主题, 1,空间平面在直角坐标系的表示法。
2,空间平面间的关系。
1、平面的点法式方程
几何上，任给空间中某一点，及某一方向，
都可且只可做一个过该定点且垂直于给定方向的
平面。下面用解析式描述此几何关系,
?
? M0
M
x
z
y 任取平面 ?上一点 M(x,y,z).
O
?
故
由已知,n?M0M，
设：平面 ?过定点 M0(x0,y0,z0) 且垂直于方向 n=(A,B,C).
n
n ? M0M=0,(4.1)
? (A,B,C)?(x?x0,y?y0,z?z0)
= A(x ?x0)+B(y ?y0)+C(z ?z0)
= 0.
即平面 ? 上任意点 M(x,y,z) 都满足方程 (4.2).
反之 若 (x,y,z) 满足 (4.2)，则由 (4.2).
(4.2)
n 与 M0M 垂直, 即 M 在平面 ?上,
我们称垂直于平面 ? 的任何非零向量为 ?的法方
向或法向,因此,n 即为 ?之一个法向,
(4.2) 依赖于法方向 n 及定点 M(x0,y0,z0),故 (4.2)
称为平面 ?的法点式方程,
A(x ?x0)+B(y ?y0)+C(z ?z0)=0 法点式方程
解,由法点式，得所求平面方程为
2(x ?1)+3(y ?3) ?4(z+2)=0,
2x+3y ?4z?19=0.
例 4.1 求过点 M0(1,3,?2) 且以 n=(2,3,?4) 为法
向的平面方程,
即
例 4.2,求过点 M1(2,?1,4),M2(?1,3,?2) 和
M3(0,2,3) 的平面方程,
O
?
?
?
x
y
z
M1
M2
M3
从图知,M1,M2,M3 不共线,即三点不在同一直线
故可唯一确定一平面, 如何验证？ 如何求？
解,由于
3121 MMMM ?
=(?3,4,?6)?(?2,3,?1)
132
643
??
???
kji
kji
32
43
12
63
13
64
?
?
?
??
??
?
?
?
?
kji ??? 914 =(14,9,?1) ?0.
故 M1,M2,M3 不共线,
为所求平面之法向,
3121 MMMMn ??且
故得平面方程为：
=14(x?2)+9(y+1) ?(z?4)
= 14x+ 9 y? z?15= 0,
或
=14(x+1)+9(y ? 3) ?( z+2)
= 14x+ 9 y－ z?15 = 0.
(x?x1,y?y1,z?z1)?n
(x?x2,y?y2,z?z2)?n
一般地，设平面 ?过 M1,M2,M3 三点,M1,M2,
M3 不共线, 即
.03121 ?? MMMM
则得平面方程为：
,0)( 31211 ??? MMMMMM
即
,0),,(
111
131313
121212
?????
???
??? zzyyxx
zzyyxx
zzyyxx
kji
.0
131313
121212
111
?
???
???
???
zzyyxx
zzyyxx
zzyyxx 平面的三
点式方程,
（ 4.3)
副产品,(1) ??(???)=0 ?? ?,?,?共面,
称为 ?,?,? 的混合积,
(2) 三点共线
??
03121 ?? MMMM 或
03221 ?? MMMM
或
.01332 ?? MMMM
??(???) = (???)?
??
??
2 平面的一般方程
对于二维空间, Ax+By+D=0 ?A
2+B2?0
平面直线,
对于三维空间, 同样
Ax+By+Cz+D=0 ?A
2+B2+C2?0
空间平面,
故 Ax+ By+ Cz+ D = 0,
A2+B2+C2?0 平面一般方程,
?
?
事实上, 任何平面都可用法点式表示,
因而为 x,y,z的三元一次方程 ;
反之,任何关于 x,y,z的三元一次方程
Ax+ By+ Cz+ D = 0,
取某一点 M0(x0,y0,z0)满足上述方程, 两式相减
A(x?x0)+B(y?y0) +C(z?z0) =0,
故上述方程表示过 M0 且垂直于 (A,B,C) 的平面
的法点式方程, 即 Ax+By+Cz+D=0 表示一个平面，
且以 (A,B,C) 为法向,
?,Ax+By+Cz+D=0 之特例,
(i) 平面过原点 ?? D=0,
(ii) ? // x轴 ?? A=0,
? // y轴 ?? B=0,
? // z轴 ?? C=0,
(iii) A=B=0 ??? // x轴,? // y轴,
?? ? // xy 平面,
B=C=0 ?? ? //yz 平面,
C=A=0 ?? ? //zx 平面,
(iv) A=B=D=0 ?? Cz=0 ?? z=0 ?? xy平面,
例 4.3,求过 y 轴和点 M(1,1,1) 的平面方程,
解, 设平面方程为 Ax+Cz+D=0.
由于过 y 轴,故过原点, ? D=0,
且因平面过点 M(1,1,1),得
A?1+C ?1=0 ? A=? C.
平面方程为 Ax?Az=0.
? A ? 0,平面方程为 x?z =0.
例 4.4 设平面 ? 与 x,y,z 轴分别交于 P (p,0,0),
Q(0,q,0),R (0,0,r),求 ? 的方程,其中 p,
q,r 非零,
解,设平面 ?为方程 A x + B y + C z + D = 0.
则 A p+D = B q + D = C r + D = 0.
,
p
DA ??,
g
DB ??,
r
DC ??
平面方程为
.0????? Dz
r
Dy
g
Dx
p
D
.1???
r
z
g
y
p
x
?在 x 轴
上截距 ?在 y 轴上截距 ?在 z 轴上截距
截距式方程
由于 D?0,上式化简得
3 两平面的夹角
我们目前已对平面本身的解析关系描述得
较清楚了,现在讨论两平面间的关系,
一般说来，两平面的关系有以下几种
两平面平行不重合,
两平面平行重合,
两平面不平行相交
?两平面法向一致但无交点
?两法向一致且有交点
两平面垂直
相交但不垂直
?两法向垂直
?两法向不共线
也不垂直
桥梁 法向夹角
? 1,A1x+B1y+C1z+D1=0,
? 2,A2x+B2y+C2z+D2=0.
如何求其间夹角 ?？
分别为 ? 1, ? 2 的法向,故
??cos
?
?
?
||||
||
21
21
nn
nn,
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121
CBACBA
CCBBAA
????
??
20
?? ??
定义 4.1两平面 ? 1,? 2 的法方向 n1,n2的夹角称
为平面 ?1和 ?2 的夹角 (通常指锐角 ).
由平面方程，知 n1=(A1,B1,C1),n2=(A2,B2,C2)
A1A2+B1B2+C1C2=0;
两平面平行 ??
0
222
111 ?
CBA
CBA
kji
kBABAjCACAiCBCB )()()( 122112211221 ?????
=
=
),,( 122112211221 BABACACACBCB ???= = =
A1:A2=B1:B2=C1:C2.
两平面垂直 ?? n1?n2=0??
n1?n2=0 ?? A1:A2=B1, B2=C1, C2,
0 0 0
即
平行不重合 ??
重合 ??
A1:A2=B1:B2=C1:C2? D1:D2;
A1:A2=B1:B2=C1:C2= D1:D2,
特殊情形：
例 4.5设平面 ? 过点 M1(1,0,0),M2(1,1,1) 且与
平面 ?1,x+y+z=0 垂直,求平面 ?,
而 ?过点 M1,M2,故
平面 ? // M1M2,
设 ?1 法向 n1=(1,1,1).
因此，平面 ??n1?M1M2,?
n1 ?M1
M2?
即 ?的法向 n =n1?M1M2,
则 平面 ? // n1,
解,
110
111
kji
? kj ??? ).1,1,0( ??
故得平面 ?方程为
.0)0()0()1(0 ?????? zyx
即,0??? zy
)01,01,11()1,1,1( ?????
n
5 平面外一点到平面的距离
解, 如图
?
M1
NM0
?
设平面 ?,Ax+By+Cz+D=0,则
平面上点 M1(x1,y1,z1)满足 A1x+B1y+C1z+D1=0.
由于 M0N 为之法向,故 M0N // (A,B,C).
n
? ?
?
|| 0 NMd ? |c o s||| 10 ??? MM即
|| 0 NMd ? |c o s||| 10 ??? MM
||||
||
||
10
10
10
nMM
nMM
MM
?
?
??
||
|| 10
n
nMM ?
?
,
|)()()(|
222
00101
CBA
zzCyyBxxA
??
?????
?
.
||
222
000
CBA
DCzByAx
d
??
???
?
即 点到平面的距离公式
例 4.6 求 M0(x0,y0,z0) 到 xy 平面的距离,
解, xy平面,z=0.
222
000
100
|0100|
??
??????
?
zyx
d,|| 0z?
故
二,空间直线及其关系
1 空间直线的一般方程
空间上任何两个不平行的平面的交点在一
条直线上，同样，这条直线上任一点都在这两
条平面的交线上，故，空间直线可用下面方程
组表示
,01111 ???? DzCyBxA
,02222 ???? DzCyBxA
直线的一
般方程
其中,0
21 ?? nn
(交面式 )
,01111 ???? DzCyBxA
.0)()()( 12222212 ???????? DDzCCyBBxAA ????
上述直线也等价于
几何上, 一条直线可看作任意两个过该直
线且不平行的平面的交线, 即直线方程的表达
式不唯一,
2 直线的对称式方程和参数方程
若给一定点及一向量，过此定点平行于已知向
量可唯一确定一条直线,
M (x,y,z) 为直线 l 上任意一点,
则 sMM ?//
0
设直线 l 过定点 M0(x0,y0,z0),平行已知向量
(非零 ) s＝ (m,n,p),设
.0 0 ??? sMM
s?
M0
M
l
nyymxx,)(:)( 00 ???? pzz,)( 0??
p
zz
n
yy
m
xx 000 ?????? 对称式方程 (4.4)
反过来，任一点 M(x,y,z) 满足 (4.4)，则 sMM //
0
因 M0 在 l 上，故 M 也在 l上，故 (4.4) 即为直线
l 的方程, s＝ (m,n,p) 称为 l 的方向,
在 (4.4) 式中，令
.000 t
p
zz
n
yy
m
xx ??????
则
,0 mtxx ??
,0 ntyy ??
,0 ptzz ??
t为参数,
直线的参数方程
约定：
?? 0m,,00
0 p
zz
n
yyxx ???? ; // 平面yzl
?? 0n,,00
0 p
zz
m
xxyy ???? ; // 平面xzl
?? 0p,,00
0 n
yy
m
xxzz ????, // 平面xzl
0?? nm,,00 yyxx ?? ; // 轴zl?
0?? pn,,00 zzyy ?? ; // 轴xl?
0?? mp,,zz 00 xx ??, // 轴yl?
例 4.7 求过点 A(1,1,1),B(1,2,3) 的直线 l
的对称式方程、参数方程及一般方程,
解,l 的方向 ).2,1,0()13,12,11( ?????? ABs
则得 l 的对称式方程
参数方程,1?x
,1 ty ??;21 tz ??;
2
1
1
1
0
1 ????? zyx
上面方程组中,x=1为一平面，后面两方程去掉
参数 t 得
,
2
11 ??? zy
故得一般方程
,1?x
.012 ??? zy
例 4.8 用对称方程及参数方程表示直线
0,1 ???? zyxl：
0.432 ???? zyx
解,由两种形式直线方程表达式知，只需求得
l 上一定点和 l 的方向即可,
21 nns ?? )3,1,2()1,1,1( ???
312
111
?
?
kji
kji
12
11
32
11
31
11
?
??
?
?
).3,1,4( ??
现求一定点, 将联立方程组
0,1 ???? zyx
0432 ???? zyx
相加, 0.543 ??? zx
令 z = 1得 x = ?3,y=1,
得一定点 (?3,1,1),故得对称式
1
1
4
3
?
??? yx,
3
1
?
?? z
即而得参数方程：
x = ?3 + 4t,
y = 1? t,
z = 1? 3t,
t 为参数,
3 两直线的夹角
||||
||
c o s
21
21
ss
ss
?
?
??
.
||
c o s
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121
pnmpnm
ppnnmm
?????
??
??
两直线 l1,l2 的方向 s1,s2 之间夹角称为该
两直线的夹角 (通常指锐角 ),易知
令 s1=(m1,n1,p1),s2=(m2,n2,p2).
特例：
l1 // l2 ?? ??
.
2
1
2
1
2
1
p
p
n
n
m
m ??
??
l1? l2 ?? ??,0212121 ??? ppnnmm
s1 ? s2=0
s1,s2线性相关,
s1 ? s2=0
4 直线与平面的夹角
我们称直线 l 与它所在平面 ? 上的投影直线
的夹角为该直线与平面的夹角 (通常要求 ).
20
?? ??
?
l
?
n
设直线 l,
n
yy
m
xx 00 ???,0
p
zz ?? ),,( pnms ??
平面 ?,,0???? DCzByAx ).,,( CBAn ??
.
2
2
???? ?? 或
).
2
c o s (),c o s ( ?? ??? ?
?
sn
.
||
s i n
222222 pnmCBA
CpBnAm
????
??
??
?
ln
?
则 n 与 s 的夹角为
例 4.8 求过点 M0(1,2,?4) 且与平面 x ?2y+z ?4=0
垂直的直线方程,
则 直线方程为：
2
2
1
1
?
??? yx,
1
4?? z
解,取 s = n = (1,?2,1).
例 4.10 求直线
2
4
1
3
1
2 ????? zyx 与平面
062 ???? zyx 的交点,
解,令
则,
1
2 tx ??
x=2+t,y=3+t,z=4+2t.
代入平面方程
2(2+t)+3+t+4+2t?6=0.
5t+5=0,
得 x=1,y=2,z=2.
t= ?1,
例 4.11 求过点 M0(3,3,0) 且与直线
l1:
211
zyx ?? 垂直相交的直线 l 的方程,
解,
?M0
M1
l1 设所求直线 l 与 l1 的交
点为 M1(x1,y1,z1),则
,0)0(2)3(1)3(1 111 ???????? zyx
.062 111 ???? zyx
M0M1 ? s1 = (1,1,2).
令
，则tx ?
1
1,2,,111 tztytx ???
? t + t + 2?2t ? 6 = 0.
t =1,
得 (x1,y1,z1)=(1,1,2).
故直线方程为
.
22
3
2
3 zyx ?
?
??
?
?
s 直线方向,10 MM? )02,31,31( ???? ).2,2,2( ???
例 4.12 求直线 l1:
x+y?1=0,
y+z+1=0
在平面 ?, 2x+y+2z = 0 上的投影直线的方程,
解,直线 l1 的方向
110
0111
kji
s ?
?
kji ???
=(1,?1,1).
再求 l1 与 ?的交点 M0(x0,y0,z0),即联立求解
x+y ?1=0,
y+z+1=0,
2x+y+2z=0.
消元 x + y ?1 = 0,
y+z+1=0,
?y+2z+2=0.
x + y ?1 = 0,
y+z+1= 0,
3z+3= 0.
?M0
l1
n
M1
得 (x0,y0,z0)=(1,0,?1).
?M0
l1
n
M1
任取 l1 上 (不在 ? 上 )一点 M1(x,y,z)=(0,1,?2),
作过 M1 且垂直于 ? 的直线 l2,
.
2
2
1
1
2
0 tzyx ??????
设 l2 与 ? 交点为 M2(x2,y2,z2),则相应参数 t 满足
2?2t +1+t+2(?2+2t )=0
).
3
4,
3
4,
3
2( ??得交点 M2(x2,y2,z2)
3
1?t
所求直线方程为
,
1
3
4
1
0
3
4
0
1
3
2
1
??
?
?
?
?
?
?
? zyx
即
.
1
1
41
1
?
???
?
? zyx
思想：
?求直线与 ? 交点 M0；
?求直线上平面 ?外一点 M1 ；
?求过 M1 垂直于 ? 的直线 l2 ;
?求 l2 与 ?的交点 M2 ；
?求过 M0,M2 的投影直线方程,
?M0
l1
n
M1
事实上，我们利用了直线的另外一种表达式
两点式
设 l,过点 M0(x0,y0,z0),M1(x1,y1,z1).
则 l,
.
01
0
01
0
01
0
zz
zz
yy
yy
xx
xx
?
??
?
??
?
?
下面我们用平面束来解题
设直线 l, A1x+B1y+C1z+D1=L1(x,y,z)=0,?1
A2x+B2y+C2z+D2=L2(x,y,z)=0,?2
令 ? (?1,?2):
?1L1(x,y,z)+ ?2L2(x,y,z)=0,.0
2221 为参数?? ??
称 ? (?1,?2) 为平面束,
?1//?2
命题 4.1,平面束 ? (?1,?2) 为过直线 l 的平面,且 任何
过 l 的平面都对应于平面束中某一平面,
证,显然,? (?1,?2) 对 02
221 ?? ??
都表示平面
且过 l,现设平面 ? 为过 l 及 l 外某一点
(x1,y1,z1) 的平面,
令 ?1,?2 满足：
?1L1(x1,y1,z1)+ ?2L2(x1,y1,z1)=0,
则平面束中对应于方程
L2(x1,y1,z1)L1(x,y,z)? L1(x1,y1,z1)L2(x,y,z)=0.
例 4.12新解
例 4.12 求直线 l, x+y?1=0,
y+z+1=0.
在平面 ?, 2x+y+2z=0上的投影直线方程,
?l
解,由题意，只需求过 l 的平面束中的一个垂直
于 ?的平面 ?1，即由直线的一般形式 (也称
交面式 )求得投影直线,
过 l 的平面束为
，0)1()1( 21 ?????? zyyx ??
,0)( 122211 ?????? ?????? zyx
.02)(2 2211 ????? ????
.1,21 ??? ??
?l
得 ?1：
,0)1(1 ?????? zyyx
.02 ??? zx
?投影直线为 x?z ?2=0,过 ?1,
2x+y +2z=0,过 ?.
令 ?1=1,
即
§ 5 空间曲面和空间曲线
在前面，我们已知，空间平面对应于一
个三元一次方程,
0???? DCzByAx
反之，任意一个三元一次方程也对应于空间中
的一个平面,
如果平面 ? 的方程是 (5.0)，其含义是平面
?上任意动点 (x,y,z) 都是 (5.0) 的解, 而 (5.0) 的
每一组解也对应于 ? 上某一点,
(5.0)
定义 5.1 设空间曲面 S,及三元方程 F(x,y,z)=0,
如果 S 上任一点 M(x,y,z),其坐标 x,y,z 都满足
F(x,y,z)=0,反之,F(x,y,z)=0 的任一解 (x,y,z)
对应的空间点 (x,y,z) 也在 S 上, 则称 F(x,y,z)=0
为 S 的方程, 而 S 则称为 F(x,y,z)=0 的图形,
一、空间曲面及其方程
例 5.1 建立球心在 M0(x0,y0,z0),半径为 R 的球
面的方程,
解：
?M0 R
Ox y
z
M
根据图形知，球面上任一点 M到球心的距离为 R.
即 |M0M|=R.
设 M点坐标为 (x,y,z),则根据两点间距离计算公式
,)()()( 202020 Rzzyyxx ??????
或,)()()( 22
02020 Rzzyyxx ??????
(5.1)
反之,任取 (x,y,z) 满足 (5.1),则 M(x,y,z) 到 M0
的距离为 R,故 (x,y,z) 在球面上, 因此 (5.1) 即为
所求球面的方程,
特例, x0=y0=z0=0,则 (5.1) 变为
x 2 + y2 + z 2=R 2, (5.2)
(5.2) 表示中心在原点，半径为 R的球面方程,
解：
x
y
f (y,z)=0
z
例 5.2 设 yz 平面有一已知曲线 C,它的方程为
f (y,z)=0,将曲线绕 z 轴旋转一周，得一曲面,
求此旋转面的方程。
M1
M?d
d1
设旋转面上任一点 M(x,
y,z),于 M 作垂直于 z 轴的平
面在 yz 平面上与平面曲线
f (y,z)=0 交于 M1(x1,y1,z1),
与 z 轴交于 M2(0,0,z2),则
x1=0,z1=z2=z,从而 y1 满足
f (y1,z1) = f (y1,z)=0.
M2
由旋转性质
d = d1= |y1|
.)()0()0( 222222 yxzzyx ???????
故,22
1 yxy ???
故得
.0),( 22 ??? zyxf
反之，若空间点 (x,y,z) 满足 (5.3)，也可推知
(x,y,z) 在旋转面上，即 (5.3) 为所求,
(5.3)
其它情形：平面曲线 f (y,z) 绕 y 轴所成旋转面
之方程,
)4.5(.0),( 22 ??? zxyf
平面曲线 f (x,y) 绕 x 轴所成旋转面之方程
.0),( 22 ??? zxxf
几种重要曲面
1,圆锥面
设过原点直线 l 绕另
一直线 (比如 z 轴 ) 旋转,
旋转而成曲面称为圆锥面,
)
2
0( ??? ??
称为圆锥面的半顶角,
0
x
y
z
l
其中 l 称为母线, z 轴为中
心轴, l 与旋转轴夹角,
0
x
y
z
l
同前例，任取圆锥面上一点 M(x,y,z)
由几何性质
.tg
||
||
2
2 ??
OM
MM
故
.tg
||
22
??
?
z
yx
即得曲面方程,c t g222 ?yxz ??
?M?M2
M1
过 M 作垂直于 z 轴的平面, 则交 z 轴于 M2(0,0,z)，
交 yz平面于 M1.
2,圆柱面
两平行直线，其中一条绕另一条旋转，所
形成的曲面称为圆柱面,
如图
设直线 l 绕 z 轴旋转,柱面
上任意点 M(x,y,z),过 M
作垂直于 z 轴平面交 z 轴
于 M1(x1,y1,z1),则 (x1,y1,
z1)=(0,0,z).
x
y
z
0
M
M1
l
,)()0()0( 222 Rzzyx ???????
,222 Ryx ??即
则 |M1M| = 定长 =R.
二、空间曲线及其方程
空间曲线：两空间曲面的交线,
其方程可描述为
F1(x,y,z)=0，
F2(x,y,z)=0,(5.6)
交面式方程
或一般方程
例 5.3 x2+y2=1
x+y+z=2.
表示圆柱面与平面的交线,
另外，和直线一样，我们也可
用参数形式表示空间曲线,
x=x(t),
y=y(t),
z=z(t).
yx
z
0
例 5.4 若空间中点 M 在圆柱面 x2+y2=a2上以角速
度 ? 绕 z 轴旋转，同时又以线速度 v 沿平行于 z
轴的正方向上升 (其中 ?,v 都是常数 ),则点 M 构
成的图形为螺旋线, 试建立其方程,
设时间 t 为参数,
初始时刻 (t = 0),动
点在 A(a,0,0) 处，
经时刻 t,动点运动
到 M(x,y,z).
z
x
y0
解,
A
M
z
x
y0
A
M
作 M 在 xy 平面的投影,
投影点为 M',其坐标为
(x,y,0).
由题意 z = | MM' | = vt,
= a sin ? t.
x = | OM' | cos ? t,
y = | OM' | sin ? t
参数方程
x = acos ? t,
y = asin ? t,
z = vt.
M '
在讲直线与平面之关系时, 曾介绍过如何
求空间直线在某平面上的投影, 下面介绍一般的
空间曲线在坐标面上的投影,
设空间曲线
F1(x,y,z)=0,
F2(x,y,z)=0,
(5.7)
消去 z,得 H(x,y)=0,(5.8)
曲面 (5.8) 可视为平行于 z 轴的柱面,
C,
C
0
x
y
z
若点 M(x,y,z)满足 (5.7)，
则 (x,y) 满足 (5.8),故 C
上的点均在柱面 (5.8)上,
即 C 是柱面 (5.8)上的
一条曲线, 故 C 在 xy
平面的投影为
H(x,y) = 0
z = 0 (5.9)
(5.9) 即为曲线 C 在 xy 面的投影曲线方程,
投影方程
例 5.5 求例 5.4中螺旋线在 xy 平面上的投影,
解,由参数方程，即得 x2+y2=a2 (消去了 z),
故投影方程为
z=0.
x2+y2=a2,
例 5.6 求球面 x2+y2+z2=1,和 x2+(y?1)2+(z?1)2=1
的交线在 xy 面上的投影方程,
解,交线方程为
x2+y2+z2=1
x2+(y?1)2+(z?1)2=1.
z
x
y
投影方程：
x2+2y2?2y=0，
z=0.
两式相减,2y+2z=2,即 z=1?y,代入第一个方程,
x2+y2+(1?y)2=1,
x2+2y2?2y=0.
三、二次曲面
下面接着介绍空间二次曲面的典型类型,
一般地，称
A11x2+A22y2+A33z2
+2A12xy+2A23yz+2A31zx+A+A1x+A2y+A3z=0
为三维空间 R3中的二次曲面方程, 我们仅讨论
几类典型情况,
1,椭球面
12
2
2
2
2
2
???
c
z
b
y
a
x ( a,b,c均大于 0).
易知,|x|≤a,|y|≤b,|z|≤c,为了了解曲面形状，先
以平行于 xy 面的平面 z=z0(|z0|≤c)截曲面，得到
截线方程为
,1
2
2
0
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
???
z=0.
因
,01 2
2
0 ??
c
z 从而当,|| 0 时Cz ? 截线是平面
z=z0上一椭圆，
同理，以平面 x=x0(|x0|≤a)和平面 y=y0(|y0|≤b)
截椭球面所得截线与上述情况类似,因此，椭球
面的形状如图 z
x
y0
而当 | z0|=c时，截线退缩成一
点 (0,0,z0).
若 a=b，
,1
2
2
2
2
2
2
???
c
z
a
y
a
x
由旋转曲面的知识知，这个方程表示 xz 面上椭圆
1
2
2
2
2
??
c
z
a
x 绕 z 轴旋转而成的旋转曲面，称为
旋转椭球面,
若 a=b=c，
方程变为
它表示一个球心在原点，半径为 a 的球面,
方程变为 x2+y2+z2=a2,
2,椭圆抛物面
,
22 0
22
z
q
y
p
x
??
不妨设 p,q 均大于 0,以平行于 xy 面的平面
z=z0(z0>0)截椭圆抛物面，所得截线方程为
),(
22
22
同号qpz
q
y
p
x ??
.0zz ?
椭圆
以平行于 xz 面的平面 y=y0 截曲面，截线方程为
,
22
2
0
2
q
y
z
p
x
??
.0yy ?
抛物线
同理，以平行于 yz 面的平面 x=x0 截曲面所得
截线是平面 x=x0 上的一条抛物线,
特例：
若 p,q均小于 0，则椭
圆抛物面的开口朝下,
若 p= q,方程变为
,
22
2
0
2
z
p
y
p
x ?? 它是由 xz 面上曲线
p
x
z
2
2
?
绕 z 轴旋转而成的旋转曲面，称为旋转抛物面,
若 p,q均大于 0，则椭圆抛物面的开口朝上,
x
z
y
3,双曲抛物面
),(
22
22
同号qpz
q
y
p
x ???
z
x
y
4,单叶双曲面
12
2
2
2
2
2
???
c
z
b
y
a
x (a,b,c均大于 0)
以平行于 xy 面的平面 z=z0 截曲面，所得截线方程为
,1
2
2
0
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
???
.0zz ?
?椭圆
以平行于 xz面的平面 y=y0截曲面,所得截线方程为
,1 2
2
0
2
2
2
2
b
y
c
z
a
x ???
.0yy ?
双曲线
以平行于 yz 面的平面
x=x0 截曲面，所得截线
方程为：
,1
2
2
0
2
2
2
2
a
x
c
z
b
y
???
.0yy ?
双曲线
5,双叶双曲面
1
2
2
2
2
2
2
???
c
z
b
y
a
x (a,b,c均大于 0)
以平行于 xy 面的平面 z=z0 截曲面，所得截线方程为
,1
2
2
0
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
???
.0zz ?
?双曲线
以平行于 xz面的平面 y=y0截曲面,所得截线方程为
,1
2
2
0
2
2
2
2
b
y
c
z
a
x
???
.0yy ?
双曲线
以平行于 yz 面的平面
x=x0 截曲面，所得截线
方程为：
,1
2
2
0
2
2
2
2
???
a
x
c
z
b
y
.0yy ?
椭圆
0
z
x
y
小结
空间平面
空间直线
一般形式
法点式
截距式
(三元一次方程 ) Ax+By+Cz+D=0.
.1??? rzqypx
00 ?? MMn
交面式
对称式,
参数形式,
两点式,
(一般形式 ),三元一次方程组,
,00 ??? MMs?
p
zz
n
yy
m
xx 000 ?????即
x=x0+mt,
y=y0+nt,
z=z0+pt ;
即,010 0?? MMMM
.
01
0
01
0
01
0
zz
zz
yy
yy
xx
xx
?
??
?
??
?
?
关
系
直线间夹角：
平面间夹角：
直线与平面间夹角：
直线在平面上的投影,过直线的平面束中的
一条垂直于已知平面的平面
与已知平面的交线 (交面式 )
点到直线的距离
点到平面的距离
||||
|| 0
s
sMMd
?
??
?
Ax+By+Cz+D=0
?c o s|||| 10 MMd ?
222
000 ||
CBA
DCzByAx
??
????
s1,s2间夹角
n,n 间夹角
与 s1,n 间夹角互余
?
d
M
l
sM0
M0?
M1 n ??
n=(A,B,C)
数量积
向量积 平行
相交
垂直
§ 6 实内积空间欧氏空间
一、内积的公理化定义，实内积空间、欧氏空间
定义 6.1 设 V是实数域 R上的线性空间, 对 V中
任两个向量 u,v 确定了一个实数 (u,v),如果 (u,
v) 满足：
(1) 对称性 ( u,v ) = ( v,u );
(2) 线性性 ( ku,v ) = k( v,u );
( u+ v,w ) = ( u,w ) + ( v,w );
(3) 正定性,( u,v ) ? 0,等号当且仅当 u = 0
(其中 u,v,w ? V,k ? R).
则称 (u,v) 是 u 与 v 的内积,
定义了内积的线性空间 V 称为实内积空间,
有限维实内积空间称为欧氏空间 (Euclid
space).
例 6.1 定义在 [a,b] 上的实连续函数的全体,
对通常函数加法和数乘运算构成实数域上线
性空间 C [a,b].
,d)()(),( ??
b
a
xxgxfgf
验证 (f,g) 是内积。
?f(x),g(x) ? C (a,b),定义
解：
)1( ?? b
a
xxfxg d)()( ),( fg?
)2( ?? b
a
xxfxgk d)()(
).,( gfk?
设 f,g,h ? C [a,b],
),( gf ?? b
a
xxgxf d)()(
),( gkf ?? b
a
xxgxkf d)()(
),( hgf ?
? ?? ba xxhxgxhxf d))()()()((
? ??? ba ba xxhxgxxhxf d))()(d)()(
).,(),( hghf ??
? ?? ba xxhxgxf d)())()((
(3)
,0d)(·)( ?? b
a
xxfxf
当且仅当 f(x) = 0时等号成立，
故
?? ba dxxgxfgf )()(),( 是 C[a,b] 上的一个内积。
与 n 维欧氏空间 Rn中向量长度定义相同, 实
内积空间中定义向量 u 长度为
.),(|||| uuu ?
长度为 1的向量称为单位向量。
定理 6.1 设 V 是一个实内积空间, 则对
任意的 u,v,??V 和 ?? R,有
(1) || ?? u || = | ? |·|| u || ;
(2) ( u ? v ) ? || u ||·|| v || ;
(3) || u+ v || ? || u || + || v ||.
证明与 § 1完全相同。
定义 6.2 称
||||·||||
),(a r c c o s
vu
vu
为实内积空间中非零向量 ?,? 的夹角。
定义 6.3 实内积空间 V 中两个向量之内积
( u,v )=0,则称 u 与 v 正交, 记作 u ? v。
同一元素在不同欧氏空间其长度往往是不
一样的 。
例 6.2 对二维向量空间 R2中 ? = (x1,x2),? = (y1,
y2) 令
(?,? ) = x1y1－ 2x2y1－ 2x1y2 + 6x2y2 (*)
容易验证,(*)式是内积，
),( ??,2)2( 2221 xxx ???
当 ?= (1,1)时，,3|||| ??
则有 22 11|||| ???
而用内积
(?,? ) = x1y1 + x2y2,
由于
222121 64 xxxx ???
.2?
二、标准正交基 度量矩阵
对于欧氏空间 V 的一组基 ?1,?2,…,?n,
如果 ?1,?2,…,?n 是正交向量组, 且每个向
量 ?i ( i = 1,2,…,n )都是单位向量, 则称 ?1,
?2,…,?n 是 V 的一组标准正交基 。
||1|| 2
12
0
2 )ds in( ?? ? xx
||c os|| x
容易验证 1,sinx,cosx 是两两正交的，
例 6.3 L(1,sinx,cosx) = {k1 + k2sinx + k3cosx | k1,k2,
k3 ? k} 按内积
?? ?20 d)()(),( xxgxfgf
欧氏空间，
构成一个
由于
2
12
0
2 )d1( ?? ? x,2?? ||sin|| x
,??
2
12
0
2 )dc os( ?? ? xx,??
故 1,sinx,cosx 不是单位向量,
,
2
1
?
将其单位化得
L(1,sinx,cosx) 的一个标准正交基为
,s in
?
x,c o s
?
x
对于 n 维欧氏空间 V 中 n 个线性无关的向量
仍可以用施密特 (Schmidt)正交化方法将其化
成 V 的一组标准正交基 。
设 ?1,?2,…,?n 是欧氏空间 V 的一组基,
向量 ?,? 在这组基下的坐标分别为 x = ( x1,
x2,…,xn )T 和 y = ( y1,y2,…,yn )T.
?
,),,,( 21
1
xx n
n
i
ii ???? ??? ?
?
?,),,,(
21
1
yy n
n
i
ii ???? ??? ?
?
nnxxx ??? ???? ?2211
nnyyy ??? ???? ?2211
则有
),( ??
.),(
1 1
? ?
? ?
?
n
i
n
j
jiji yx ??
设
,),( ijji a???
则
),( ??
),(
11
??
??
?
n
i
ii
n
i
ii yx ??
,)( nnijaA ??
? ?
? ?
?
n
i
n
j
ijji ayx
1 1
(5.3).Ayx T?
(5.3)式说明要计算内积 (?,? ),只要算出基向
量间的内积, 即求出 A = (aij)n× n = ((?i,?j))n× n,
然后通过 (5.3)式计算矩阵乘法即可 。
定义 6.4 设欧氏空间的一组基为 ?1,?2,…,?n,
A
为欧氏空间 V在基 ?1,?2,…,?n 下的度量矩阵。
称对称矩阵
nnija ?? )( nnji ?? )),(( ??
显然，当 ?1,?2,…,?n为 V 的一组标准正交基时，
A＝ E,是一个 n 阶单位阵，此时,V 中向量内积
.),(
1
?
?
??
n
i
ii
T yxYX??
,),(
1
?
?
?
n
i
ii yx??
称为标准内积，其中
§ 1中在 Rn 中定义的内积，
正是在这种意义下的内积, 因为 Rn中每个向量都可视
为在自然基 e1 = (1,0,…,0),e2 = (0,1,0,…,0),…,en
= (0,0,…,1)下的坐标向量, 因此我们将 Rn 中定义的
内积
),,,( 21 nxxx ???,,),,,( 21 Ryyy n ?? ??? ?
三、欧氏空间的正交分解
设 V 是一个欧氏空间, W 是它的一个线性
子空间, 即 W 对 V 中的加法数乘是封闭的,
容易验证, W对 V 中内积也是一个欧氏空间 。
如果不作特别说明, 我们总假定欧氏空间 V 的
子空间 W 的内积与 V相同, 因此有：
定理 6.2 欧氏空间 V 的线性子空间 W 仍是欧
氏空间 。
定义 6.5 若欧氏空间 V 中向量 ? 与其子空间
W 中的每一向量正交, 则称 ? 与 W 正交,
记作 ? ? W.
定义 6.6 设 W1,W2 是欧氏空间 V 的两个子空
间, 如果 ???W1,???W2,有 (?,? ) = 0,则
称 W1 和 W2 正交, 记作 W1?W2。
例如, R3中 oxy 平面上的全体向量和 z 轴上
的全体向量, 分别是 R3的二维和一维子空间
它们是两个正交的子空间 。
0,??? czbyax?
是 R3 的二维空间,
一般地当 a,b,c 不全为 0 时, R3中平面
c
z
b
y
a
xl ??:
是 R3 的一维子空间 。
n元齐次线性方程组 Ax=0 的解空间与 A 的
行空间是 Rn 的两个子空间, 且它们是正交的 。
两个正交子空间
显然 ?和 l 是 R3 的
性质：
(1) 若 V1?V2,V1?V3,则 V1?V2+ V3
事实上,???V1,???V2+V3,即有 ?2?V2,
?3?V3 使 ? = ?2 + ?3,因此 (?,? ) = (?,? 2) + (?,? 3)
= 0,所以 V1?V2+ V3,
(2) 若 V1?V2,则 }0{
21 ?VV ?
事实上，,
21 VV ???
有 ??V1，
(?,?) = 0,故 ? = 0。
且 ??V2,因而
定理 6.3 设 V1是欧氏空间 V 的一个子空间,
则 V 中与 V1 正交的全部向量构成的集合
V2 = { ? | ?? V1,? ? V |
是 V的一个子空间。
证 因为零向量与任何子空间都正交, 所以 V2
是非空的,
(? + ?,? )
因此 (? + ? ) ?V,
对于 V 中这样的子空间 V1 和 V2, 给出下面
定义 。
从而有
设 ?,?? V2,于是对任意的 ?? V1，
都有 (?,? ) = 0,( ?,? ) = 0，
= 0 (k ? R) = 0,( k?,? )
k??V2,
k??V,从而 (? + ? ) ? V2,
故 V2 是 V 的一个子空间。
定理 6.7 欧氏空间 V 中与其子空间 W 正交的
全体向量构成的子空间, 称为 V 的正交补,
记为 W?。
定义 6.4 设 W 是 n 维欧氏空间的子空间,
则 V 可惟一分解成 W 与其正交补 W? 的直
和, 即
V = W W?,＋
证明从略。
例如, 设 ?1 = (1,0,0),?2 = (0,1,0),?3 = (0,0,1),
显然 L1?L2,
故 L2 ＝ L1?.令 W = L1,
L1=L(?1),L2 = L(?2,?3)，
R3 = W W?＋则,
欧氏空间 W的正交补 W?具有下列性质：;)()1( WW ???
,)()2( 2121 ??? ?? WWWW ?
.)( 2121 ??? ?? WWWW ?
脚本编写：曾金平 刘楚中
课件制作：曾金平 刘楚中
§ 4
中的直线与平面方程3R
一,平面及其方程
主题, 1,空间平面在直角坐标系的表示法。
2,空间平面间的关系。
1、平面的点法式方程
几何上，任给空间中某一点，及某一方向，
都可且只可做一个过该定点且垂直于给定方向的
平面。下面用解析式描述此几何关系,
?
? M0
M
x
z
y 任取平面 ?上一点 M(x,y,z).
O
?
故
由已知,n?M0M，
设：平面 ?过定点 M0(x0,y0,z0) 且垂直于方向 n=(A,B,C).
n
n ? M0M=0,(4.1)
? (A,B,C)?(x?x0,y?y0,z?z0)
= A(x ?x0)+B(y ?y0)+C(z ?z0)
= 0.
即平面 ? 上任意点 M(x,y,z) 都满足方程 (4.2).
反之 若 (x,y,z) 满足 (4.2)，则由 (4.2).
(4.2)
n 与 M0M 垂直, 即 M 在平面 ?上,
我们称垂直于平面 ? 的任何非零向量为 ?的法方
向或法向,因此,n 即为 ?之一个法向,
(4.2) 依赖于法方向 n 及定点 M(x0,y0,z0),故 (4.2)
称为平面 ?的法点式方程,
A(x ?x0)+B(y ?y0)+C(z ?z0)=0 法点式方程
解,由法点式，得所求平面方程为
2(x ?1)+3(y ?3) ?4(z+2)=0,
2x+3y ?4z?19=0.
例 4.1 求过点 M0(1,3,?2) 且以 n=(2,3,?4) 为法
向的平面方程,
即
例 4.2,求过点 M1(2,?1,4),M2(?1,3,?2) 和
M3(0,2,3) 的平面方程,
O
?
?
?
x
y
z
M1
M2
M3
从图知,M1,M2,M3 不共线,即三点不在同一直线
故可唯一确定一平面, 如何验证？ 如何求？
解,由于
3121 MMMM ?
=(?3,4,?6)?(?2,3,?1)
132
643
??
???
kji
kji
32
43
12
63
13
64
?
?
?
??
??
?
?
?
?
kji ??? 914 =(14,9,?1) ?0.
故 M1,M2,M3 不共线,
为所求平面之法向,
3121 MMMMn ??且
故得平面方程为：
=14(x?2)+9(y+1) ?(z?4)
= 14x+ 9 y? z?15= 0,
或
=14(x+1)+9(y ? 3) ?( z+2)
= 14x+ 9 y－ z?15 = 0.
(x?x1,y?y1,z?z1)?n
(x?x2,y?y2,z?z2)?n
一般地，设平面 ?过 M1,M2,M3 三点,M1,M2,
M3 不共线, 即
.03121 ?? MMMM
则得平面方程为：
,0)( 31211 ??? MMMMMM
即
,0),,(
111
131313
121212
?????
???
??? zzyyxx
zzyyxx
zzyyxx
kji
.0
131313
121212
111
?
???
???
???
zzyyxx
zzyyxx
zzyyxx 平面的三
点式方程,
（ 4.3)
副产品,(1) ??(???)=0 ?? ?,?,?共面,
称为 ?,?,? 的混合积,
(2) 三点共线
??
03121 ?? MMMM 或
03221 ?? MMMM
或
.01332 ?? MMMM
??(???) = (???)?
??
??
2 平面的一般方程
对于二维空间, Ax+By+D=0 ?A
2+B2?0
平面直线,
对于三维空间, 同样
Ax+By+Cz+D=0 ?A
2+B2+C2?0
空间平面,
故 Ax+ By+ Cz+ D = 0,
A2+B2+C2?0 平面一般方程,
?
?
事实上, 任何平面都可用法点式表示,
因而为 x,y,z的三元一次方程 ;
反之,任何关于 x,y,z的三元一次方程
Ax+ By+ Cz+ D = 0,
取某一点 M0(x0,y0,z0)满足上述方程, 两式相减
A(x?x0)+B(y?y0) +C(z?z0) =0,
故上述方程表示过 M0 且垂直于 (A,B,C) 的平面
的法点式方程, 即 Ax+By+Cz+D=0 表示一个平面，
且以 (A,B,C) 为法向,
?,Ax+By+Cz+D=0 之特例,
(i) 平面过原点 ?? D=0,
(ii) ? // x轴 ?? A=0,
? // y轴 ?? B=0,
? // z轴 ?? C=0,
(iii) A=B=0 ??? // x轴,? // y轴,
?? ? // xy 平面,
B=C=0 ?? ? //yz 平面,
C=A=0 ?? ? //zx 平面,
(iv) A=B=D=0 ?? Cz=0 ?? z=0 ?? xy平面,
例 4.3,求过 y 轴和点 M(1,1,1) 的平面方程,
解, 设平面方程为 Ax+Cz+D=0.
由于过 y 轴,故过原点, ? D=0,
且因平面过点 M(1,1,1),得
A?1+C ?1=0 ? A=? C.
平面方程为 Ax?Az=0.
? A ? 0,平面方程为 x?z =0.
例 4.4 设平面 ? 与 x,y,z 轴分别交于 P (p,0,0),
Q(0,q,0),R (0,0,r),求 ? 的方程,其中 p,
q,r 非零,
解,设平面 ?为方程 A x + B y + C z + D = 0.
则 A p+D = B q + D = C r + D = 0.
,
p
DA ??,
g
DB ??,
r
DC ??
平面方程为
.0????? Dz
r
Dy
g
Dx
p
D
.1???
r
z
g
y
p
x
?在 x 轴
上截距 ?在 y 轴上截距 ?在 z 轴上截距
截距式方程
由于 D?0,上式化简得
3 两平面的夹角
我们目前已对平面本身的解析关系描述得
较清楚了,现在讨论两平面间的关系,
一般说来，两平面的关系有以下几种
两平面平行不重合,
两平面平行重合,
两平面不平行相交
?两平面法向一致但无交点
?两法向一致且有交点
两平面垂直
相交但不垂直
?两法向垂直
?两法向不共线
也不垂直
桥梁 法向夹角
? 1,A1x+B1y+C1z+D1=0,
? 2,A2x+B2y+C2z+D2=0.
如何求其间夹角 ?？
分别为 ? 1, ? 2 的法向,故
??cos
?
?
?
||||
||
21
21
nn
nn,
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121
CBACBA
CCBBAA
????
??
20
?? ??
定义 4.1两平面 ? 1,? 2 的法方向 n1,n2的夹角称
为平面 ?1和 ?2 的夹角 (通常指锐角 ).
由平面方程，知 n1=(A1,B1,C1),n2=(A2,B2,C2)
A1A2+B1B2+C1C2=0;
两平面平行 ??
0
222
111 ?
CBA
CBA
kji
kBABAjCACAiCBCB )()()( 122112211221 ?????
=
=
),,( 122112211221 BABACACACBCB ???= = =
A1:A2=B1:B2=C1:C2.
两平面垂直 ?? n1?n2=0??
n1?n2=0 ?? A1:A2=B1, B2=C1, C2,
0 0 0
即
平行不重合 ??
重合 ??
A1:A2=B1:B2=C1:C2? D1:D2;
A1:A2=B1:B2=C1:C2= D1:D2,
特殊情形：
例 4.5设平面 ? 过点 M1(1,0,0),M2(1,1,1) 且与
平面 ?1,x+y+z=0 垂直,求平面 ?,
而 ?过点 M1,M2,故
平面 ? // M1M2,
设 ?1 法向 n1=(1,1,1).
因此，平面 ??n1?M1M2,?
n1 ?M1
M2?
即 ?的法向 n =n1?M1M2,
则 平面 ? // n1,
解,
110
111
kji
? kj ??? ).1,1,0( ??
故得平面 ?方程为
.0)0()0()1(0 ?????? zyx
即,0??? zy
)01,01,11()1,1,1( ?????
n
5 平面外一点到平面的距离
解, 如图
?
M1
NM0
?
设平面 ?,Ax+By+Cz+D=0,则
平面上点 M1(x1,y1,z1)满足 A1x+B1y+C1z+D1=0.
由于 M0N 为之法向,故 M0N // (A,B,C).
n
? ?
?
|| 0 NMd ? |c o s||| 10 ??? MM即
|| 0 NMd ? |c o s||| 10 ??? MM
||||
||
||
10
10
10
nMM
nMM
MM
?
?
??
||
|| 10
n
nMM ?
?
,
|)()()(|
222
00101
CBA
zzCyyBxxA
??
?????
?
.
||
222
000
CBA
DCzByAx
d
??
???
?
即 点到平面的距离公式
例 4.6 求 M0(x0,y0,z0) 到 xy 平面的距离,
解, xy平面,z=0.
222
000
100
|0100|
??
??????
?
zyx
d,|| 0z?
故
二,空间直线及其关系
1 空间直线的一般方程
空间上任何两个不平行的平面的交点在一
条直线上，同样，这条直线上任一点都在这两
条平面的交线上，故，空间直线可用下面方程
组表示
,01111 ???? DzCyBxA
,02222 ???? DzCyBxA
直线的一
般方程
其中,0
21 ?? nn
(交面式 )
,01111 ???? DzCyBxA
.0)()()( 12222212 ???????? DDzCCyBBxAA ????
上述直线也等价于
几何上, 一条直线可看作任意两个过该直
线且不平行的平面的交线, 即直线方程的表达
式不唯一,
2 直线的对称式方程和参数方程
若给一定点及一向量，过此定点平行于已知向
量可唯一确定一条直线,
M (x,y,z) 为直线 l 上任意一点,
则 sMM ?//
0
设直线 l 过定点 M0(x0,y0,z0),平行已知向量
(非零 ) s＝ (m,n,p),设
.0 0 ??? sMM
s?
M0
M
l
nyymxx,)(:)( 00 ???? pzz,)( 0??
p
zz
n
yy
m
xx 000 ?????? 对称式方程 (4.4)
反过来，任一点 M(x,y,z) 满足 (4.4)，则 sMM //
0
因 M0 在 l 上，故 M 也在 l上，故 (4.4) 即为直线
l 的方程, s＝ (m,n,p) 称为 l 的方向,
在 (4.4) 式中，令
.000 t
p
zz
n
yy
m
xx ??????
则
,0 mtxx ??
,0 ntyy ??
,0 ptzz ??
t为参数,
直线的参数方程
约定：
?? 0m,,00
0 p
zz
n
yyxx ???? ; // 平面yzl
?? 0n,,00
0 p
zz
m
xxyy ???? ; // 平面xzl
?? 0p,,00
0 n
yy
m
xxzz ????, // 平面xzl
0?? nm,,00 yyxx ?? ; // 轴zl?
0?? pn,,00 zzyy ?? ; // 轴xl?
0?? mp,,zz 00 xx ??, // 轴yl?
例 4.7 求过点 A(1,1,1),B(1,2,3) 的直线 l
的对称式方程、参数方程及一般方程,
解,l 的方向 ).2,1,0()13,12,11( ?????? ABs
则得 l 的对称式方程
参数方程,1?x
,1 ty ??;21 tz ??;
2
1
1
1
0
1 ????? zyx
上面方程组中,x=1为一平面，后面两方程去掉
参数 t 得
,
2
11 ??? zy
故得一般方程
,1?x
.012 ??? zy
例 4.8 用对称方程及参数方程表示直线
0,1 ???? zyxl：
0.432 ???? zyx
解,由两种形式直线方程表达式知，只需求得
l 上一定点和 l 的方向即可,
21 nns ?? )3,1,2()1,1,1( ???
312
111
?
?
kji
kji
12
11
32
11
31
11
?
??
?
?
).3,1,4( ??
现求一定点, 将联立方程组
0,1 ???? zyx
0432 ???? zyx
相加, 0.543 ??? zx
令 z = 1得 x = ?3,y=1,
得一定点 (?3,1,1),故得对称式
1
1
4
3
?
??? yx,
3
1
?
?? z
即而得参数方程：
x = ?3 + 4t,
y = 1? t,
z = 1? 3t,
t 为参数,
3 两直线的夹角
||||
||
c o s
21
21
ss
ss
?
?
??
.
||
c o s
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121
pnmpnm
ppnnmm
?????
??
??
两直线 l1,l2 的方向 s1,s2 之间夹角称为该
两直线的夹角 (通常指锐角 ),易知
令 s1=(m1,n1,p1),s2=(m2,n2,p2).
特例：
l1 // l2 ?? ??
.
2
1
2
1
2
1
p
p
n
n
m
m ??
??
l1? l2 ?? ??,0212121 ??? ppnnmm
s1 ? s2=0
s1,s2线性相关,
s1 ? s2=0
4 直线与平面的夹角
我们称直线 l 与它所在平面 ? 上的投影直线
的夹角为该直线与平面的夹角 (通常要求 ).
20
?? ??
?
l
?
n
设直线 l,
n
yy
m
xx 00 ???,0
p
zz ?? ),,( pnms ??
平面 ?,,0???? DCzByAx ).,,( CBAn ??
.
2
2
???? ?? 或
).
2
c o s (),c o s ( ?? ??? ?
?
sn
.
||
s i n
222222 pnmCBA
CpBnAm
????
??
??
?
ln
?
则 n 与 s 的夹角为
例 4.8 求过点 M0(1,2,?4) 且与平面 x ?2y+z ?4=0
垂直的直线方程,
则 直线方程为：
2
2
1
1
?
??? yx,
1
4?? z
解,取 s = n = (1,?2,1).
例 4.10 求直线
2
4
1
3
1
2 ????? zyx 与平面
062 ???? zyx 的交点,
解,令
则,
1
2 tx ??
x=2+t,y=3+t,z=4+2t.
代入平面方程
2(2+t)+3+t+4+2t?6=0.
5t+5=0,
得 x=1,y=2,z=2.
t= ?1,
例 4.11 求过点 M0(3,3,0) 且与直线
l1:
211
zyx ?? 垂直相交的直线 l 的方程,
解,
?M0
M1
l1 设所求直线 l 与 l1 的交
点为 M1(x1,y1,z1),则
,0)0(2)3(1)3(1 111 ???????? zyx
.062 111 ???? zyx
M0M1 ? s1 = (1,1,2).
令
，则tx ?
1
1,2,,111 tztytx ???
? t + t + 2?2t ? 6 = 0.
t =1,
得 (x1,y1,z1)=(1,1,2).
故直线方程为
.
22
3
2
3 zyx ?
?
??
?
?
s 直线方向,10 MM? )02,31,31( ???? ).2,2,2( ???
例 4.12 求直线 l1:
x+y?1=0,
y+z+1=0
在平面 ?, 2x+y+2z = 0 上的投影直线的方程,
解,直线 l1 的方向
110
0111
kji
s ?
?
kji ???
=(1,?1,1).
再求 l1 与 ?的交点 M0(x0,y0,z0),即联立求解
x+y ?1=0,
y+z+1=0,
2x+y+2z=0.
消元 x + y ?1 = 0,
y+z+1=0,
?y+2z+2=0.
x + y ?1 = 0,
y+z+1= 0,
3z+3= 0.
?M0
l1
n
M1
得 (x0,y0,z0)=(1,0,?1).
?M0
l1
n
M1
任取 l1 上 (不在 ? 上 )一点 M1(x,y,z)=(0,1,?2),
作过 M1 且垂直于 ? 的直线 l2,
.
2
2
1
1
2
0 tzyx ??????
设 l2 与 ? 交点为 M2(x2,y2,z2),则相应参数 t 满足
2?2t +1+t+2(?2+2t )=0
).
3
4,
3
4,
3
2( ??得交点 M2(x2,y2,z2)
3
1?t
所求直线方程为
,
1
3
4
1
0
3
4
0
1
3
2
1
??
?
?
?
?
?
?
? zyx
即
.
1
1
41
1
?
???
?
? zyx
思想：
?求直线与 ? 交点 M0；
?求直线上平面 ?外一点 M1 ；
?求过 M1 垂直于 ? 的直线 l2 ;
?求 l2 与 ?的交点 M2 ；
?求过 M0,M2 的投影直线方程,
?M0
l1
n
M1
事实上，我们利用了直线的另外一种表达式
两点式
设 l,过点 M0(x0,y0,z0),M1(x1,y1,z1).
则 l,
.
01
0
01
0
01
0
zz
zz
yy
yy
xx
xx
?
??
?
??
?
?
下面我们用平面束来解题
设直线 l, A1x+B1y+C1z+D1=L1(x,y,z)=0,?1
A2x+B2y+C2z+D2=L2(x,y,z)=0,?2
令 ? (?1,?2):
?1L1(x,y,z)+ ?2L2(x,y,z)=0,.0
2221 为参数?? ??
称 ? (?1,?2) 为平面束,
?1//?2
命题 4.1,平面束 ? (?1,?2) 为过直线 l 的平面,且 任何
过 l 的平面都对应于平面束中某一平面,
证,显然,? (?1,?2) 对 02
221 ?? ??
都表示平面
且过 l,现设平面 ? 为过 l 及 l 外某一点
(x1,y1,z1) 的平面,
令 ?1,?2 满足：
?1L1(x1,y1,z1)+ ?2L2(x1,y1,z1)=0,
则平面束中对应于方程
L2(x1,y1,z1)L1(x,y,z)? L1(x1,y1,z1)L2(x,y,z)=0.
例 4.12新解
例 4.12 求直线 l, x+y?1=0,
y+z+1=0.
在平面 ?, 2x+y+2z=0上的投影直线方程,
?l
解,由题意，只需求过 l 的平面束中的一个垂直
于 ?的平面 ?1，即由直线的一般形式 (也称
交面式 )求得投影直线,
过 l 的平面束为
，0)1()1( 21 ?????? zyyx ??
,0)( 122211 ?????? ?????? zyx
.02)(2 2211 ????? ????
.1,21 ??? ??
?l
得 ?1：
,0)1(1 ?????? zyyx
.02 ??? zx
?投影直线为 x?z ?2=0,过 ?1,
2x+y +2z=0,过 ?.
令 ?1=1,
即
§ 5 空间曲面和空间曲线
在前面，我们已知，空间平面对应于一
个三元一次方程,
0???? DCzByAx
反之，任意一个三元一次方程也对应于空间中
的一个平面,
如果平面 ? 的方程是 (5.0)，其含义是平面
?上任意动点 (x,y,z) 都是 (5.0) 的解, 而 (5.0) 的
每一组解也对应于 ? 上某一点,
(5.0)
定义 5.1 设空间曲面 S,及三元方程 F(x,y,z)=0,
如果 S 上任一点 M(x,y,z),其坐标 x,y,z 都满足
F(x,y,z)=0,反之,F(x,y,z)=0 的任一解 (x,y,z)
对应的空间点 (x,y,z) 也在 S 上, 则称 F(x,y,z)=0
为 S 的方程, 而 S 则称为 F(x,y,z)=0 的图形,
一、空间曲面及其方程
例 5.1 建立球心在 M0(x0,y0,z0),半径为 R 的球
面的方程,
解：
?M0 R
Ox y
z
M
根据图形知，球面上任一点 M到球心的距离为 R.
即 |M0M|=R.
设 M点坐标为 (x,y,z),则根据两点间距离计算公式
,)()()( 202020 Rzzyyxx ??????
或,)()()( 22
02020 Rzzyyxx ??????
(5.1)
反之,任取 (x,y,z) 满足 (5.1),则 M(x,y,z) 到 M0
的距离为 R,故 (x,y,z) 在球面上, 因此 (5.1) 即为
所求球面的方程,
特例, x0=y0=z0=0,则 (5.1) 变为
x 2 + y2 + z 2=R 2, (5.2)
(5.2) 表示中心在原点，半径为 R的球面方程,
解：
x
y
f (y,z)=0
z
例 5.2 设 yz 平面有一已知曲线 C,它的方程为
f (y,z)=0,将曲线绕 z 轴旋转一周，得一曲面,
求此旋转面的方程。
M1
M?d
d1
设旋转面上任一点 M(x,
y,z),于 M 作垂直于 z 轴的平
面在 yz 平面上与平面曲线
f (y,z)=0 交于 M1(x1,y1,z1),
与 z 轴交于 M2(0,0,z2),则
x1=0,z1=z2=z,从而 y1 满足
f (y1,z1) = f (y1,z)=0.
M2
由旋转性质
d = d1= |y1|
.)()0()0( 222222 yxzzyx ???????
故,22
1 yxy ???
故得
.0),( 22 ??? zyxf
反之，若空间点 (x,y,z) 满足 (5.3)，也可推知
(x,y,z) 在旋转面上，即 (5.3) 为所求,
(5.3)
其它情形：平面曲线 f (y,z) 绕 y 轴所成旋转面
之方程,
)4.5(.0),( 22 ??? zxyf
平面曲线 f (x,y) 绕 x 轴所成旋转面之方程
.0),( 22 ??? zxxf
几种重要曲面
1,圆锥面
设过原点直线 l 绕另
一直线 (比如 z 轴 ) 旋转,
旋转而成曲面称为圆锥面,
)
2
0( ??? ??
称为圆锥面的半顶角,
0
x
y
z
l
其中 l 称为母线, z 轴为中
心轴, l 与旋转轴夹角,
0
x
y
z
l
同前例，任取圆锥面上一点 M(x,y,z)
由几何性质
.tg
||
||
2
2 ??
OM
MM
故
.tg
||
22
??
?
z
yx
即得曲面方程,c t g222 ?yxz ??
?M?M2
M1
过 M 作垂直于 z 轴的平面, 则交 z 轴于 M2(0,0,z)，
交 yz平面于 M1.
2,圆柱面
两平行直线，其中一条绕另一条旋转，所
形成的曲面称为圆柱面,
如图
设直线 l 绕 z 轴旋转,柱面
上任意点 M(x,y,z),过 M
作垂直于 z 轴平面交 z 轴
于 M1(x1,y1,z1),则 (x1,y1,
z1)=(0,0,z).
x
y
z
0
M
M1
l
,)()0()0( 222 Rzzyx ???????
,222 Ryx ??即
则 |M1M| = 定长 =R.
二、空间曲线及其方程
空间曲线：两空间曲面的交线,
其方程可描述为
F1(x,y,z)=0，
F2(x,y,z)=0,(5.6)
交面式方程
或一般方程
例 5.3 x2+y2=1
x+y+z=2.
表示圆柱面与平面的交线,
另外，和直线一样，我们也可
用参数形式表示空间曲线,
x=x(t),
y=y(t),
z=z(t).
yx
z
0
例 5.4 若空间中点 M 在圆柱面 x2+y2=a2上以角速
度 ? 绕 z 轴旋转，同时又以线速度 v 沿平行于 z
轴的正方向上升 (其中 ?,v 都是常数 ),则点 M 构
成的图形为螺旋线, 试建立其方程,
设时间 t 为参数,
初始时刻 (t = 0),动
点在 A(a,0,0) 处，
经时刻 t,动点运动
到 M(x,y,z).
z
x
y0
解,
A
M
z
x
y0
A
M
作 M 在 xy 平面的投影,
投影点为 M',其坐标为
(x,y,0).
由题意 z = | MM' | = vt,
= a sin ? t.
x = | OM' | cos ? t,
y = | OM' | sin ? t
参数方程
x = acos ? t,
y = asin ? t,
z = vt.
M '
在讲直线与平面之关系时, 曾介绍过如何
求空间直线在某平面上的投影, 下面介绍一般的
空间曲线在坐标面上的投影,
设空间曲线
F1(x,y,z)=0,
F2(x,y,z)=0,
(5.7)
消去 z,得 H(x,y)=0,(5.8)
曲面 (5.8) 可视为平行于 z 轴的柱面,
C,
C
0
x
y
z
若点 M(x,y,z)满足 (5.7)，
则 (x,y) 满足 (5.8),故 C
上的点均在柱面 (5.8)上,
即 C 是柱面 (5.8)上的
一条曲线, 故 C 在 xy
平面的投影为
H(x,y) = 0
z = 0 (5.9)
(5.9) 即为曲线 C 在 xy 面的投影曲线方程,
投影方程
例 5.5 求例 5.4中螺旋线在 xy 平面上的投影,
解,由参数方程，即得 x2+y2=a2 (消去了 z),
故投影方程为
z=0.
x2+y2=a2,
例 5.6 求球面 x2+y2+z2=1,和 x2+(y?1)2+(z?1)2=1
的交线在 xy 面上的投影方程,
解,交线方程为
x2+y2+z2=1
x2+(y?1)2+(z?1)2=1.
z
x
y
投影方程：
x2+2y2?2y=0，
z=0.
两式相减,2y+2z=2,即 z=1?y,代入第一个方程,
x2+y2+(1?y)2=1,
x2+2y2?2y=0.
三、二次曲面
下面接着介绍空间二次曲面的典型类型,
一般地，称
A11x2+A22y2+A33z2
+2A12xy+2A23yz+2A31zx+A+A1x+A2y+A3z=0
为三维空间 R3中的二次曲面方程, 我们仅讨论
几类典型情况,
1,椭球面
12
2
2
2
2
2
???
c
z
b
y
a
x ( a,b,c均大于 0).
易知,|x|≤a,|y|≤b,|z|≤c,为了了解曲面形状，先
以平行于 xy 面的平面 z=z0(|z0|≤c)截曲面，得到
截线方程为
,1
2
2
0
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
???
z=0.
因
,01 2
2
0 ??
c
z 从而当,|| 0 时Cz ? 截线是平面
z=z0上一椭圆，
同理，以平面 x=x0(|x0|≤a)和平面 y=y0(|y0|≤b)
截椭球面所得截线与上述情况类似,因此，椭球
面的形状如图 z
x
y0
而当 | z0|=c时，截线退缩成一
点 (0,0,z0).
若 a=b，
,1
2
2
2
2
2
2
???
c
z
a
y
a
x
由旋转曲面的知识知，这个方程表示 xz 面上椭圆
1
2
2
2
2
??
c
z
a
x 绕 z 轴旋转而成的旋转曲面，称为
旋转椭球面,
若 a=b=c，
方程变为
它表示一个球心在原点，半径为 a 的球面,
方程变为 x2+y2+z2=a2,
2,椭圆抛物面
,
22 0
22
z
q
y
p
x
??
不妨设 p,q 均大于 0,以平行于 xy 面的平面
z=z0(z0>0)截椭圆抛物面，所得截线方程为
),(
22
22
同号qpz
q
y
p
x ??
.0zz ?
椭圆
以平行于 xz 面的平面 y=y0 截曲面，截线方程为
,
22
2
0
2
q
y
z
p
x
??
.0yy ?
抛物线
同理，以平行于 yz 面的平面 x=x0 截曲面所得
截线是平面 x=x0 上的一条抛物线,
特例：
若 p,q均小于 0，则椭
圆抛物面的开口朝下,
若 p= q,方程变为
,
22
2
0
2
z
p
y
p
x ?? 它是由 xz 面上曲线
p
x
z
2
2
?
绕 z 轴旋转而成的旋转曲面，称为旋转抛物面,
若 p,q均大于 0，则椭圆抛物面的开口朝上,
x
z
y
3,双曲抛物面
),(
22
22
同号qpz
q
y
p
x ???
z
x
y
4,单叶双曲面
12
2
2
2
2
2
???
c
z
b
y
a
x (a,b,c均大于 0)
以平行于 xy 面的平面 z=z0 截曲面，所得截线方程为
,1
2
2
0
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
???
.0zz ?
?椭圆
以平行于 xz面的平面 y=y0截曲面,所得截线方程为
,1 2
2
0
2
2
2
2
b
y
c
z
a
x ???
.0yy ?
双曲线
以平行于 yz 面的平面
x=x0 截曲面，所得截线
方程为：
,1
2
2
0
2
2
2
2
a
x
c
z
b
y
???
.0yy ?
双曲线
5,双叶双曲面
1
2
2
2
2
2
2
???
c
z
b
y
a
x (a,b,c均大于 0)
以平行于 xy 面的平面 z=z0 截曲面，所得截线方程为
,1
2
2
0
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
???
.0zz ?
?双曲线
以平行于 xz面的平面 y=y0截曲面,所得截线方程为
,1
2
2
0
2
2
2
2
b
y
c
z
a
x
???
.0yy ?
双曲线
以平行于 yz 面的平面
x=x0 截曲面，所得截线
方程为：
,1
2
2
0
2
2
2
2
???
a
x
c
z
b
y
.0yy ?
椭圆
0
z
x
y
小结
空间平面
空间直线
一般形式
法点式
截距式
(三元一次方程 ) Ax+By+Cz+D=0.
.1??? rzqypx
00 ?? MMn
交面式
对称式,
参数形式,
两点式,
(一般形式 ),三元一次方程组,
,00 ??? MMs?
p
zz
n
yy
m
xx 000 ?????即
x=x0+mt,
y=y0+nt,
z=z0+pt ;
即,010 0?? MMMM
.
01
0
01
0
01
0
zz
zz
yy
yy
xx
xx
?
??
?
??
?
?
关
系
直线间夹角：
平面间夹角：
直线与平面间夹角：
直线在平面上的投影,过直线的平面束中的
一条垂直于已知平面的平面
与已知平面的交线 (交面式 )
点到直线的距离
点到平面的距离
||||
|| 0
s
sMMd
?
??
?
Ax+By+Cz+D=0
?c o s|||| 10 MMd ?
222
000 ||
CBA
DCzByAx
??
????
s1,s2间夹角
n,n 间夹角
与 s1,n 间夹角互余
?
d
M
l
sM0
M0?
M1 n ??
n=(A,B,C)
数量积
向量积 平行
相交
垂直
§ 6 实内积空间欧氏空间
一、内积的公理化定义，实内积空间、欧氏空间
定义 6.1 设 V是实数域 R上的线性空间, 对 V中
任两个向量 u,v 确定了一个实数 (u,v),如果 (u,
v) 满足：
(1) 对称性 ( u,v ) = ( v,u );
(2) 线性性 ( ku,v ) = k( v,u );
( u+ v,w ) = ( u,w ) + ( v,w );
(3) 正定性,( u,v ) ? 0,等号当且仅当 u = 0
(其中 u,v,w ? V,k ? R).
则称 (u,v) 是 u 与 v 的内积,
定义了内积的线性空间 V 称为实内积空间,
有限维实内积空间称为欧氏空间 (Euclid
space).
例 6.1 定义在 [a,b] 上的实连续函数的全体,
对通常函数加法和数乘运算构成实数域上线
性空间 C [a,b].
,d)()(),( ??
b
a
xxgxfgf
验证 (f,g) 是内积。
?f(x),g(x) ? C (a,b),定义
解：
)1( ?? b
a
xxfxg d)()( ),( fg?
)2( ?? b
a
xxfxgk d)()(
).,( gfk?
设 f,g,h ? C [a,b],
),( gf ?? b
a
xxgxf d)()(
),( gkf ?? b
a
xxgxkf d)()(
),( hgf ?
? ?? ba xxhxgxhxf d))()()()((
? ??? ba ba xxhxgxxhxf d))()(d)()(
).,(),( hghf ??
? ?? ba xxhxgxf d)())()((
(3)
,0d)(·)( ?? b
a
xxfxf
当且仅当 f(x) = 0时等号成立，
故
?? ba dxxgxfgf )()(),( 是 C[a,b] 上的一个内积。
与 n 维欧氏空间 Rn中向量长度定义相同, 实
内积空间中定义向量 u 长度为
.),(|||| uuu ?
长度为 1的向量称为单位向量。
定理 6.1 设 V 是一个实内积空间, 则对
任意的 u,v,??V 和 ?? R,有
(1) || ?? u || = | ? |·|| u || ;
(2) ( u ? v ) ? || u ||·|| v || ;
(3) || u+ v || ? || u || + || v ||.
证明与 § 1完全相同。
定义 6.2 称
||||·||||
),(a r c c o s
vu
vu
为实内积空间中非零向量 ?,? 的夹角。
定义 6.3 实内积空间 V 中两个向量之内积
( u,v )=0,则称 u 与 v 正交, 记作 u ? v。
同一元素在不同欧氏空间其长度往往是不
一样的 。
例 6.2 对二维向量空间 R2中 ? = (x1,x2),? = (y1,
y2) 令
(?,? ) = x1y1－ 2x2y1－ 2x1y2 + 6x2y2 (*)
容易验证,(*)式是内积，
),( ??,2)2( 2221 xxx ???
当 ?= (1,1)时，,3|||| ??
则有 22 11|||| ???
而用内积
(?,? ) = x1y1 + x2y2,
由于
222121 64 xxxx ???
.2?
二、标准正交基 度量矩阵
对于欧氏空间 V 的一组基 ?1,?2,…,?n,
如果 ?1,?2,…,?n 是正交向量组, 且每个向
量 ?i ( i = 1,2,…,n )都是单位向量, 则称 ?1,
?2,…,?n 是 V 的一组标准正交基 。
||1|| 2
12
0
2 )ds in( ?? ? xx
||c os|| x
容易验证 1,sinx,cosx 是两两正交的，
例 6.3 L(1,sinx,cosx) = {k1 + k2sinx + k3cosx | k1,k2,
k3 ? k} 按内积
?? ?20 d)()(),( xxgxfgf
欧氏空间，
构成一个
由于
2
12
0
2 )d1( ?? ? x,2?? ||sin|| x
,??
2
12
0
2 )dc os( ?? ? xx,??
故 1,sinx,cosx 不是单位向量,
,
2
1
?
将其单位化得
L(1,sinx,cosx) 的一个标准正交基为
,s in
?
x,c o s
?
x
对于 n 维欧氏空间 V 中 n 个线性无关的向量
仍可以用施密特 (Schmidt)正交化方法将其化
成 V 的一组标准正交基 。
设 ?1,?2,…,?n 是欧氏空间 V 的一组基,
向量 ?,? 在这组基下的坐标分别为 x = ( x1,
x2,…,xn )T 和 y = ( y1,y2,…,yn )T.
?
,),,,( 21
1
xx n
n
i
ii ???? ??? ?
?
?,),,,(
21
1
yy n
n
i
ii ???? ??? ?
?
nnxxx ??? ???? ?2211
nnyyy ??? ???? ?2211
则有
),( ??
.),(
1 1
? ?
? ?
?
n
i
n
j
jiji yx ??
设
,),( ijji a???
则
),( ??
),(
11
??
??
?
n
i
ii
n
i
ii yx ??
,)( nnijaA ??
? ?
? ?
?
n
i
n
j
ijji ayx
1 1
(5.3).Ayx T?
(5.3)式说明要计算内积 (?,? ),只要算出基向
量间的内积, 即求出 A = (aij)n× n = ((?i,?j))n× n,
然后通过 (5.3)式计算矩阵乘法即可 。
定义 6.4 设欧氏空间的一组基为 ?1,?2,…,?n,
A
为欧氏空间 V在基 ?1,?2,…,?n 下的度量矩阵。
称对称矩阵
nnija ?? )( nnji ?? )),(( ??
显然，当 ?1,?2,…,?n为 V 的一组标准正交基时，
A＝ E,是一个 n 阶单位阵，此时,V 中向量内积
.),(
1
?
?
??
n
i
ii
T yxYX??
,),(
1
?
?
?
n
i
ii yx??
称为标准内积，其中
§ 1中在 Rn 中定义的内积，
正是在这种意义下的内积, 因为 Rn中每个向量都可视
为在自然基 e1 = (1,0,…,0),e2 = (0,1,0,…,0),…,en
= (0,0,…,1)下的坐标向量, 因此我们将 Rn 中定义的
内积
),,,( 21 nxxx ???,,),,,( 21 Ryyy n ?? ??? ?
三、欧氏空间的正交分解
设 V 是一个欧氏空间, W 是它的一个线性
子空间, 即 W 对 V 中的加法数乘是封闭的,
容易验证, W对 V 中内积也是一个欧氏空间 。
如果不作特别说明, 我们总假定欧氏空间 V 的
子空间 W 的内积与 V相同, 因此有：
定理 6.2 欧氏空间 V 的线性子空间 W 仍是欧
氏空间 。
定义 6.5 若欧氏空间 V 中向量 ? 与其子空间
W 中的每一向量正交, 则称 ? 与 W 正交,
记作 ? ? W.
定义 6.6 设 W1,W2 是欧氏空间 V 的两个子空
间, 如果 ???W1,???W2,有 (?,? ) = 0,则
称 W1 和 W2 正交, 记作 W1?W2。
例如, R3中 oxy 平面上的全体向量和 z 轴上
的全体向量, 分别是 R3的二维和一维子空间
它们是两个正交的子空间 。
0,??? czbyax?
是 R3 的二维空间,
一般地当 a,b,c 不全为 0 时, R3中平面
c
z
b
y
a
xl ??:
是 R3 的一维子空间 。
n元齐次线性方程组 Ax=0 的解空间与 A 的
行空间是 Rn 的两个子空间, 且它们是正交的 。
两个正交子空间
显然 ?和 l 是 R3 的
性质：
(1) 若 V1?V2,V1?V3,则 V1?V2+ V3
事实上,???V1,???V2+V3,即有 ?2?V2,
?3?V3 使 ? = ?2 + ?3,因此 (?,? ) = (?,? 2) + (?,? 3)
= 0,所以 V1?V2+ V3,
(2) 若 V1?V2,则 }0{
21 ?VV ?
事实上，,
21 VV ???
有 ??V1，
(?,?) = 0,故 ? = 0。
且 ??V2,因而
定理 6.3 设 V1是欧氏空间 V 的一个子空间,
则 V 中与 V1 正交的全部向量构成的集合
V2 = { ? | ?? V1,? ? V |
是 V的一个子空间。
证 因为零向量与任何子空间都正交, 所以 V2
是非空的,
(? + ?,? )
因此 (? + ? ) ?V,
对于 V 中这样的子空间 V1 和 V2, 给出下面
定义 。
从而有
设 ?,?? V2,于是对任意的 ?? V1，
都有 (?,? ) = 0,( ?,? ) = 0，
= 0 (k ? R) = 0,( k?,? )
k??V2,
k??V,从而 (? + ? ) ? V2,
故 V2 是 V 的一个子空间。
定理 6.7 欧氏空间 V 中与其子空间 W 正交的
全体向量构成的子空间, 称为 V 的正交补,
记为 W?。
定义 6.4 设 W 是 n 维欧氏空间的子空间,
则 V 可惟一分解成 W 与其正交补 W? 的直
和, 即
V = W W?,＋
证明从略。
例如, 设 ?1 = (1,0,0),?2 = (0,1,0),?3 = (0,0,1),
显然 L1?L2,
故 L2 ＝ L1?.令 W = L1,
L1=L(?1),L2 = L(?2,?3)，
R3 = W W?＋则,
欧氏空间 W的正交补 W?具有下列性质：;)()1( WW ???
,)()2( 2121 ??? ?? WWWW ?
.)( 2121 ??? ?? WWWW ?
