行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式： .解 （1）  == （2）  （3）  （4）    2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 …  2 4 … ； （6）1 3 …    … 2. 解（1）逆序数为0 （2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2 （3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3 （5）逆序数为： 3 2 1个 5 2，5 4 2个 7 2，7 4，7 6 3个 ……………… …  2， 4， 6，…，  个 （6）逆序数为 3 2 1个 5 2，5 4 2个 ……………… …  2， 4， 6，…，  个 4 2 1个 6 2，6 4 2个 ……………… …  2， 4， 6，…，  个 3.写出四阶行列式中含有因子的项. 解 由定义知，四阶行列式的一般项为 ，其中为的逆序数．由于 已固定，只能形如□□，即1324或1342.对应的分别为 或 和为所求. 4.计算下列各行列式： 解(1) ===0 (2)  =0 (3)= == (4) =  == 5.证明:(1)   (2     (3)     (4)  = = =  =  = (5) 用数学归纳法证明  假设对于阶行列式命题成立，即    所以，对于阶行列式命题成立. 6.设阶行列式,把上下翻转、或逆时针旋转、或依副对角线翻转，依次得 ，  ，， 证明. 证明　     同理可证  7.计算下列各行列式（）： .解(1)   ()  (2)将第一行乘分别加到其余各行，得  再将各列都加到第一列上，得   (3)从第行开始，第行经过次相邻对换，换到第1行，第 行经次对换换到第2行…，经次行 交换，得  此行列式为范德蒙德行列式    (4)     由此得递推公式：  即  而  得  (5)   = (6)       8.用克莱姆法则解下列方程组： 解　(1)          (2)   ()          ． 9.有非零解？ 解 ， 齐次线性方程组有非零解，则 即  得  不难验证，当该齐次线性方程组确有非零解. 10. 解  齐次线性方程组有非零解，则得 不难验证，当时，该齐次线性方程组确有非零解.