一, 填空 (本大题分 5小题,每小题 3分,共 15分 )
1,行 列 式,
a b b d
a c c d
? ?
? ?
?
( ) ( )a d c b? ?
2,在方程组 中，若秩
且 是它的一个基础解系，
则 =,
01 ??? nnm XA,)( kA ?
r???,,,21 ?
r kn ?
3,方程组
的通解为 ______________________,
?
?
?
?
?
?
?
???
???
????
?????
3377
13
3
4342
431
321
431
4321
xxx
xxx
xxx
xxxx
( 为任意实数 )
?
?
?
?
?
?
?
?
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??
???
6
82
3
4
3
2
1
x
kx
kx
kx
k
4,设 为正交矩阵,为 阵 的特征根，
则 __________.
A?A
? A E? ?
0
5,设向量组 线性相关，
而向量组 线性无关，
则向量组 的
最大线性无关组是 ___________,
? ? ?1 2 3,,
? ? ?2 3 4,,
? ? ?1 2 3,,
.
? ?2 3,
二, 解答下列各题 (本大题共 4小题, 总计 24分 )
1,(6分 )若 向 量 组 线 性 无 关,
而
试 证,线 性 无 关,
? ? ?1 2 3,,
.2,2,21332123211 ??????????? ????????
? ? ?1 2 3,,
设
得
0332211 ??? ??? kkk
0)2()2()( 32123211321 ???????? ??? kkkkkkkk
由 线性无关得,
??? 123,,
?
?
?
?
?
??
???
???
02
02
0
21
321
321
kk
kkk
kkk
它只有零解,
0321 ??? kkk
故 线 性 无 关,
? ? ?1 2 3,,
2,(6分 )判定二次型
的正定性,
f x x x x x x x x x x x x(,,)1 2 3 1 2 22 32 1 2 1 3 2 35 2 5 4 8 4? ? ? ? ? ?
?
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524
222
425
A
△ △,
△
故 所 给 二 次 型 是 正 定 的,
1 5 0? ?,2
5 2
2 2
6 0? ? ?
3
5 2 4
2 2 2
4 2 5
10 0?
?
?
? ?
? ?
3,(6分 )设,
讨论向量组 的线性相关性,? ?1,3,1,21 ?? ? ?,1 0,2,12 ??
? ?,3 0,1,13 ??? ? ? ?1 2 3,,
2 1 3
1 2 0
1 1 0
9 0
?
? ?
因 为,
故,,线 性 无 关?
1 ?2 ?3
4,(6分 )求方阵 的逆矩阵,
?
?
?
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?
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?
?
?
?
?
?
?
?
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4
1
000
0600
0020
000
3
1
A
A ? ?1 0
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?
?
?
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?
?
?
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4000
0
6
1
00
00
2
1
0
0003
1
A
三, 1,(6分 )设,
求矩阵 的秩, ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
432
432
864
A
A
?
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?
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?
?
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000
432
864
A
故 秩, ? ?
2?A
2,(6分 )计算
d
c
b
a
D
100
110
011
001
?
?
?
?
按第一列展开, 得
d
c
d
c
b
aD
10
11
001
10
11
01
?
??
?
??
? ? ? ? ?a b c d cd ab ad 1
3,(8分 )设,求 ABA,
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213
221
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,
110
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BA
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011
101
412
134
326
ABA
?
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?
?
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?
?
?
?
?
??
?
?
651
347
918
4,(9分 )设三阶方阵的三个特征值分别为,
其相应的特征向量分别为 求
? 1 1 1,,
,
4
2
1
,
1
0
1
,
1
1
1
?
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EPAPAPP ?
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100
100
100
10011
100
010
00)1(
,
100
010
001
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?
?
?
??
??
411
201
111
P
记 则
A P EP E100 1? ??故
五, (本大题 10分 )写出二次型
用正交变换化成的的标准形,
并指出方程 在平面直角坐标系中
所代表曲线的名称,
? ? 22 42,yxyxyxf ???
842 22 ??? yxyx
31?? 2
2 ???
f
22 23 yx ???的 标 准 形,
方程
在平面直角坐标系中表示双曲线,
842 22 ??? yxyx
四, (本大题 8分 )
求 解 方 程 组
?
?
?
?
?
?
?
???
??
???
???
023
0
0682
0572
321
32
321
321
xxx
xx
xxx
xxx
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000
110
101
231
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682
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A
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?
?
?
?
?
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??
1
1
1
kX, 为任意实数k
六, 证明题 (本大题共 2小题, 总计 14分 )
1,(6分 )证明矩阵 与其转置矩阵 具有相同的
特征多项式, A
?A
即 矩 阵 与 有 相 同 的 特 征 多 项 式A ?A
? ? AEAE ????? ??由 于
? ? AEAEAE ??????? ???所 以
2,(8分 )若向量 是向量 的线性组合,
但不是 的线性组合, 证明：
是,的线性组合,
?m
? ?1 1,,? m ?
? ?1 2,,? m ?
? m ?1
? ?1 2,,? m ?
?m
k m ? ?1 0,
? ? ? ?m m mk k k? ? ? ? ? ?1 1 2 2 1 1?
由 已 知 设
则 必 有,
即 是,的 线 性 组 合 。
?m? ? ?1 2 2,,,? m ?? m ?1
?m ? ? ?
1 2 2,,,? m ?
否 则 是 的 线 性 组 合
m
m
m
m
m
m
m kk
k
k
k
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1
2
1
2
1
1
1
1
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于 是 有
1,行 列 式,
a b b d
a c c d
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( ) ( )a d c b? ?
2,在方程组 中，若秩
且 是它的一个基础解系，
则 =,
01 ??? nnm XA,)( kA ?
r???,,,21 ?
r kn ?
3,方程组
的通解为 ______________________,
?
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3377
13
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4342
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xxx
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xxx
xxxx
( 为任意实数 )
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kx
kx
kx
k
4,设 为正交矩阵,为 阵 的特征根，
则 __________.
A?A
? A E? ?
0
5,设向量组 线性相关，
而向量组 线性无关，
则向量组 的
最大线性无关组是 ___________,
? ? ?1 2 3,,
? ? ?2 3 4,,
? ? ?1 2 3,,
.
? ?2 3,
二, 解答下列各题 (本大题共 4小题, 总计 24分 )
1,(6分 )若 向 量 组 线 性 无 关,
而
试 证,线 性 无 关,
? ? ?1 2 3,,
.2,2,21332123211 ??????????? ????????
? ? ?1 2 3,,
设
得
0332211 ??? ??? kkk
0)2()2()( 32123211321 ???????? ??? kkkkkkkk
由 线性无关得,
??? 123,,
?
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???
02
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0
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321
321
kk
kkk
kkk
它只有零解,
0321 ??? kkk
故 线 性 无 关,
? ? ?1 2 3,,
2,(6分 )判定二次型
的正定性,
f x x x x x x x x x x x x(,,)1 2 3 1 2 22 32 1 2 1 3 2 35 2 5 4 8 4? ? ? ? ? ?
?
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△ △,
△
故 所 给 二 次 型 是 正 定 的,
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3
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讨论向量组 的线性相关性,? ?1,3,1,21 ?? ? ?,1 0,2,12 ??
? ?,3 0,1,13 ??? ? ? ?1 2 3,,
2 1 3
1 2 0
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因 为,
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4,(6分 )求方阵 的逆矩阵,
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000
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A
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?
?
?
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0
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A
三, 1,(6分 )设,
求矩阵 的秩, ?
?
?
?
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432
432
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A
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c
b
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按第一列展开, 得
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c
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c
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,
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其相应的特征向量分别为 求
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记 则
A P EP E100 1? ??故
五, (本大题 10分 )写出二次型
用正交变换化成的的标准形,
并指出方程 在平面直角坐标系中
所代表曲线的名称,
? ? 22 42,yxyxyxf ???
842 22 ??? yxyx
31?? 2
2 ???
f
22 23 yx ???的 标 准 形,
方程
在平面直角坐标系中表示双曲线,
842 22 ??? yxyx
四, (本大题 8分 )
求 解 方 程 组
?
?
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?
?
?
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???
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???
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0572
321
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xxx
xx
xxx
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1
1
kX, 为任意实数k
六, 证明题 (本大题共 2小题, 总计 14分 )
1,(6分 )证明矩阵 与其转置矩阵 具有相同的
特征多项式, A
?A
即 矩 阵 与 有 相 同 的 特 征 多 项 式A ?A
? ? AEAE ????? ??由 于
? ? AEAEAE ??????? ???所 以
2,(8分 )若向量 是向量 的线性组合,
但不是 的线性组合, 证明：
是,的线性组合,
?m
? ?1 1,,? m ?
? ?1 2,,? m ?
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? ?1 2,,? m ?
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由 已 知 设
则 必 有,
即 是,的 线 性 组 合 。
?m? ? ?1 2 2,,,? m ?? m ?1
?m ? ? ?
1 2 2,,,? m ?
否 则 是 的 线 性 组 合
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m
m
m
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k
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1
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