大学数学 （二）
脚本编写：曾金平 刘楚中
课件制作：曾金平 刘楚中
§ 1,行列式
回忆中学二元及三元方程组的求解,
a11x1+a12x2=b1
a21x1+a22x2=b2
(1)
(2)
若 a11?0.
)(
11
21
a
a?? +(2)得(1)
22(a
12
11
21 a
a
a? 2)x 2b?
1
11
21 b
a
a?
12
11
21
22
1
11
12
2
2
a
a
a
a
b
a
a
b
x
?
?
?
12212211
121211
aaaa
baba
?
??,
2221
1211
221
111
aa
aa
ba
ba
? (3)
代入 (1)得
,
2221
1211
222
121
1
aa
aa
ab
ab
x ? (4)
此处
.称为二阶行列式bcad
dc
ba
??
?
同样，在求解三元线性方程组
a11x1+a12x2+a13x3=b1
a21x1+a22x2+a23x3=b2
a31x1+a32x2+a33x3=b3
其解为
,
333231
232221
131211
33233
23222
13121
1
aaa
aaa
aaa
aab
aab
aab
x ?
(5)
，
333231
232221
131211
33331
23221
13111
2
aaa
aaa
aaa
aba
aba
aba
x ?
.
333231
232221
131211
33331
22321
11311
3
aaa
aaa
aaa
baa
baa
baa
x ?
(6)
(7)
此处
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
?? 332211 aaa? 312312 aaa? 322113 aaa?
312213 aaa? 332112 aaa? 322311 aaa?
3332
2322
11 aa
aa
a?
3331
2321
12 aa
aa
a?
3231
2221
13 aa
aa
a?
.131312121111 AaAaAa ??? (8)
其中 A11,A12,A13为 ?的代数余子式,
三阶行列式中去掉第 i 行第 j 列剩下元素按
原来次序组成的 2阶行列式记为 Mij 称为 ? 的二
阶子式,
而 Aij =(?1)i+j Mij 称为 ? 的代数余子式
由 (8)知，三阶行列式可用其二级子式的线
性组合表示,
如果定义一阶行列式 | a | = a,则
.
||
||
a
bx ?
且二阶行列式可表示为
21121211
2221
1211 aaaa
aa
aa
?? 12121111 AaAa ??
上述表明二阶，三阶行列式均可由其子式的组
合表示, 也即由低阶行列式线性表示,
.
a
bx ?
对于一元线性方程 ax=b,其解
定义 1.
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
?
?
?
21
22221
11211
?
称为一个 n 阶行列式,
它可由 n 个 n?1 级行列式线性表示：
nn AaAaAaD 1112121111 ???? ?
其中 Aij=(?1)i+jMij,而 Mij aij的代数余子式
nnnjnjn
nijijii
nijijii
njij
ij
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
M
??
???
??
??
????
??
111
1111111
1111111
111111
??
??????
??????
??
?
aij的余子式
定义为：
例 1,计算三阶行列式
542
303
241
?
?
?
?D
解,
54
30
1
?
? )4(??
52
33
?
? 2?
42
03
?
12? 36? 24?,72?
D=
还可看出
232322222121 AaAaAa ??
3??
54
24? 0?
52
21
?
)3(??
42
41
?
?
+ 0= 84 ?12 =72 =D,
333332323131 AaAaAa ??
2??
30
24
?
? 4?
33
21
?
5?
03
41 ?
+36= ?24 +60 =72 =D,
313121211111 AaAaAa ??
??1
54
30 ? 3?
54
24? 2?
30
24
?
?
+84= 12 ?24 =72 =D,
以及
定义 2,
nnn
n
aa
aa
D
?
??
?
1
111
? ininiiii AaAaAa ???? ?2211
,
1
?
?
?
n
j
ijij Aa
njnjjjjj AaAaAaD ???? ?2211
.
1
?
?
?
n
i
ijij Aa
Laplace
展开式
性质：
性质 1,D=D ',其中 D ' 为 D 的转置行列式,定义为; '
21
22212
12111
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
?
??
?
?
?
性质 2,行列式中交换某两行或两列，行列式仅
改变符号, 即
nnn
jnj
ini
n
aa
aa
aa
aa
D
?
?
?
?
1
1
1
111
? ;
1
1
1
111
nnn
ini
jnj
n
aa
aa
aa
aa
?
?
?
?
??
性质 3,行列式任意一行 (或列 )的元素与另一行
(或列 )的代数余子式之积的和为零,
?
?
n
k
jkik Aa
1
?
?
?
n
k
kjki Aa
1
=0,(i ?j );
nnn
ini
n
aa
kaka
aa
D
?
???
?
???
?
1
1
111
? ;
1
1
111
nnn
ini
n
aa
aa
aa
k
?
???
?
???
?
?
性质 4.
性质 5.
nnnn
ininiiii
n
aaa
bababa
aaa
D
?
????
?
????
?
21
2211
11211
????
nnnn
inii
n
aaa
aaa
aaa
?
????
?
????
?
21
21
11211
? ;
21
21
11211
nnnn
inii
n
aaa
abb
aaa
?
????
?
????
?
?
性质 6.
nnnn
inii
inii
n
aaa
kakaka
aaa
aaa
21
21
21
11211
?
????
?
????
?
=0
? 行列式某两行相等,
? 行列式某行全为 0,
行列式为 0.
则行列式为 0.
例 2,计算,
3351
1102
4315
2113
??
?
??
?
?D
解法 1,直接用 Laplace展开式
3?D
335
110
431
??
?
?
331
112
435
?
?
??
?
351
102
415
??
?
??
?
351
102
315
2
?
?
?
=3(?3+0+15 ?20+3+0) ?(15 ?24 ?3+4 ?15+18)
?(0+40 ?1 ?0+25+6) ?2(0?30+1 ?0 ?25 ?6)
= ?15 +5 ?70 +120 =40.
解法 2,利用性质
0355
0100
13111
1115
??
??
?
?D
055
1111
115
1
??
????
050
1112
114
?
???
112
14
)5(
?
???
13
11
20
??
?
=40.
例 3,计算
，
nn
n
n
a
aa
aaa
D
?
????
?
?
00
0 222
11211
1 ?,
0
00
21
2221
11
1
nnnn aaa
aa
a
D
?
????
?
?
?
解：
D1 第一列 展开
nn
n
a
aa
a
?
?
0
222
11
第一列
展开
nn
n
a
aa
aa
?
?
0
333
1122
…
.2211 nnaaa ?
同理
.22112 nnaaaD ??
例 4,计算
,
542
303
241
?
?
?
?D
940
9120
241
?
?
?
?D
600
9120
241
?
?
?
= 72.解：
例 5,计算
.
321
321
321
321
nx
nx
nx
nx
D
?
?
?
?
?
?
?????
?
?
?
解：
xx
xx
xx
nx
D
?
?????
?
?
?
00
00
00
321
?
?
?
?
?
x
x
x
n
?
????
?
?
?
00
00
00
32
?
x+1+…+ n
?x+ x
?x+ x
?x+ x
?
1
00
00
00
)
2
)1(
(
?
?
??
n
x
x
x
nn
x
?
????
?
?
).
2
)1((1 ??? ? nnxx n
例 6,设
0
1
111
??
nnn
n
aa
aa
D
?
???
?
,1111 bxaxa nnn ??? ?
则方程组
nnnnn bxaa ??? ?1
为
，,ni
D
Dx i
i,,1 ???
.
111
11111111
nnninnin
nii
i
aabaa
aabaa
D
??
???????
??
??
??
?
其中
Gramer 法则
的解存在唯一，且
证,将
,个方程代入第 j
D
Dx i
i ?
njnj xaxa ?? ?11 ?
?
?
n
i
iji xa
1
.
1 D
D
a i
n
i
ji?
?
?
Laplace
展开 D
Ab
a
n
k
kikn
i
ji
?
?
?
?
1
1
kiji
n
i
n
k
k AabD ? ?
? ?
?
1 1
1
? ?
? ?
?
n
k
n
i
kijik AabD
1 1
1
?
?
n
i
jijij AabD
1
1
性质 3
.1 jj bDb
D
???
例 7,计算
.
6 2 17 2 17
4 4 35 4 35
3 2 74 2 74
?D
6 2 11 0 07
4 4 31 0 05
3 2 71 0 04
?D
解：
62117
44315
32714
100?
17802
11601
32714
100?
1782
1161
100??
)2 3 21 7 8(1 0 0 ???,5400?