1,设向量组 线性相关,
而向量组 线性无关,
则向量组 的最大线性无关组
是 ___________.
? ? ?1 2 3,,
431,,???
? ? ?1 2 3,,
31,??
2,设 为 阶方阵, 方程组
仅有零解的充分必要条件是 _________.
A n 0?AX
A ? 0
3,设五阶方阵 的行列式为,,
则 _____________,
A 2??A
2 A ? ?8
4,若方程组
有无穷多组解, 则, 应满足
的条件是 ____________.
?
?
?
?
?
?
?
?????
?????
???
????
123
2)3(
122
0
4321
432
432
4321
axxxx
bxxax
xxx
xxxx
a b
a b? ? ?1 1,
5,设 阶方阵 的行列式,
则数 _______ 一定是 的特征值,
n
A
A ? 0A
0
二, 解答下列各题 (本大题共 4小题, 总计 24
分 )
1,(6分 )
求方阵 的逆矩阵,
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?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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1000
0
2
1
00
00
3
1
0
000
4
1
A
A ? ?
1
24
0
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1000
0200
0030
0004
1
A
2,(6分 )判别二次型的正定性,
f x x x x x x x x x x(,,)1 2 3 1 2 22 32 1 2 2 33 4 5 4 4? ? ? ? ?
是正定的,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
520
242
023
A
f x x x x x x x x x x(,,)1 2 3 1 2 22 32 1 2 2 33 4 5 4 4? ? ? ? ?
1 3 0? ?,
△
2
3 2
2 4
8 0? ? ?
△
3
3 2 0
2 4 2
0 2 5
60 20 12 28 0? ?
?
? ? ? ? ?
△
故二次型
3,(6分 )设向量组 线性无关,
研究向量组
的线性相关性,
???,,
??????? ???? 2,,
故 所 讨 论 的 向 量 组 线 性 无 关,
?
?
?
?
?
?
???
???
0
02
0
3
321
321
k
kkk
kkk
0)2()()( 321 ??????? ??????? kkk
设
0)2()( 3321321 ??????? ??? kkkkkkk即
? ? ?,,,由 线 性 无 关 得
k k k1 2 3 0? ? ?
它 只 有 零 解
4,(6分 )
求 的 特 征 值 和 特 征 向 量,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
31
13
A
A
? 2 4?? 1 2?
的 特 征 值,
? 1 2?
?
?
?
?
?
?
1
1
1k
k1 0?
对 应 的 全 部 特 征 向 量 为
? 2 4?
?
?
?
?
?
?
? 1
1
2k
k 2 0?
对 应 于 的 全 部 特 征 向 量 为,
三, 解答下列各题 (本大题共 4小题, 总计 29分 ) 1,(6分 )
求 矩 阵 的秩,
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?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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34522
22320
11111
24312
11121
A
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30000
00000
00010
01000
00001
34522
22320
11111
24312
11121
R A( ) ? 4
所 以
2,(9分 )设三阶方阵的三个特征值分别为,
其相应的特征向量分别为 求
? 1 1 1,,
,
4
2
1
,
1
0
1
,
1
1
1
?
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A 1 0 0,
EPAPAPP ?
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100
100
100
10011
100
010
00)1(
,
100
010
001
?
?
?
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?
?
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??
??
411
201
111
P
记 则
A P EP E100 1? ??故
3,(6分 )计算,D
a
b
c
d
?
3 0 5
0 0 2
1 2 3
0 0 0
D d
a
b
c
?
3 0
0 0
1 2
? cd
a
b
3
0
=abcd
4,(8分 )设
A B C AB AC?
??
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? ? ?
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? ?
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?
?
?
2 2 3
5 1 4
2 1 5
3 2 4
1 3 1
1 1 5
3 1 4
1 3 0
,,,.试计算
?
?
?
?
?
?
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? ?
??????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
415
322
)(
100
010
001
AAECBAACAB
ECB由于
四,(本大题 10分 )写出二次型
用正交变换化成的的标准形，并指出方程
在平面直角坐标系中所代表曲线的名称,
? ? 22 42,yxyxyxf ???
842 22 ??? yxyx
31?? 2
2 ???
f 22 23 yx ???的 标 准 形,
842 22 ??? yxyx
方程
在平面直角坐标系中表示双曲线,
五, (本大题 8分 )
求方程组 的通解,
?
?
?
?
?
?
?
???
????
???
???
0452
04
0542
022
321
321
321
321
xxx
xxx
xxx
xxx
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
?
000
000
110
2
1
01
452
114
542
122
A
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
2
2
1
kX k 为任意实数
2,(8分 )若向量 是向量 的线性组合,
但不是 的线性组合, 证明：
是,的线性组合,
?m
? ?1 1,,? m ?
? ?1 2,,? m ?
? m ?1
? ?1 2,,? m ?
?m
k m ? ?1 0,
? ? ? ?m m mk k k? ? ? ? ? ?1 1 2 2 1 1?
由 已 知 设
则 必 有,
即 是,的 线 性 组 合 。
?m? ? ?1 2 2,,,? m ?? m ?1
?m ? ? ?
1 2 2,,,? m ?
否 则 是 的 线 性 组 合
m
m
m
m
m
m
m kk
k
k
k
????
1
2
1
2
1
1
1
1
1
?
?
?
?
?
? ????? ?
于 是 有
2,(6分 )证明方程组,
当 时有解,
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
??
442
331
243
121
axx
axx
axx
axx
a a a a1 2 3 4? ? ?
证 明,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
???? ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
00000
1100
1010
1111
1010
0101
1100
0011
2
4
21
4
3
2
1
4321
a
a
aa
a
a
a
a
A
aaaa
? ? ?R A R A( ) ( ) 3
? 方 程 组 有 解,