大学数学 （二）
脚本编写：曾金平 刘楚中
课件制作：曾金平 刘楚中
§ 1 空间向量及其线性运算
一、向量概念
1,向量,既有大小,又有方向的量,称为
向量,(或 矢量 )
2,向量的几何表示法,
用一条有方向的线段来表示向量,
以线段的长度表示向量的大
小,有向线段的方向表示向量
的方向, A
B
a?
向量 AB的大小叫做向量的模, 记为
为终点的向量，记为为始点，以 BA
,
?
AB,
?
a,?
||,||
?
AB ||,||
?
a ||,||? |,| ?AB或者 |,|
?
a,||?
?模为 1的向量称为 单位向量,
?模为 0的向量称为 零向量,
它的方向可以看作是任意的,
特别
3,自由向量
a? b?
自由向量, 只有大小, 方向,而无特定起点的向
量, 具有在空间中可以任意平移的性质,
,ba ?? 与当向量
大小相等且方向相同,
记作相等与称,ba ?? ba
?? ?
二、向量的加减法
1,定义 1.1,向量加法
(1) 平行四边形法则
设有 (若起点不重合,
可平移至重合 ),作以 为
邻边的平行四边形,对角线
向量,称为 的和,记作
ba ??、
ba ??与,ba ???
ba ??、
ba ???a?
b?
(2) 三角形法则
ba ???a?
b?
将 之一平行移动,使
的起点与 的终点重合,则由
的起点到 的终点所引的向量
为
ba ??、
a?
b?a?
.ba ???
b?
2,向量加法的运算规律,
(1) 交换律,
abba ???? ???
ba ???
a? b?
c?
cb ???
cba ??? ??
(2) 结合律,
)()( cacba ?????? ?????
a?
b?
a?
b?
ba ???
ab ?? ?
例如,
4321 aaaas ????? ????
s?
1a?
2a?
3a?
4a?
3,向量减法,
(1) 负向量, 与 模相同而方向相反的向量,
称为 的 负向量,记作
a?
a?,a??
a??a
?
(2) 向量减法,
规定, )( baba ???? ????
（ a） 平行四边形法则,
将 之一平移,使起
点重合,作以 为邻边
的平行四边形,对角线向量,
为
ba ??、
ba ?? ?和
.ba ???
（ b）三角形 法则,
将 之一平移,使
起点重合,由 的终点向
的终点作一向量,即为
ba ??、
.ba ???
a?b?
ba ???a?
b?
ba ??? a?
b?? b?
ba ???
三、数与向量的乘法
1,定义 1.2,实数 ?与向量 的 为一个向量,a? a??乘积
其中, |||||||||| aa ?? ?? ??
当 ? > 0时,;同向与 aa ???
当 ? < 0时,;反向与 aa ???
当 ? = 0时,
.,它的方向可以是任意的oa ?? ??
2,数与向量的乘积的运算规律,
(1) 结合律,
aaa ??? )()()( ?????? ??
(2) 分配律, aaa ??? ???? ??? )(
baba ???? ??? ??? )(
a? (? <0)a??a?? (? >0)
结论, 设 表示与非零向量 同向的单位向量,a???a
则 ???? aaa ||||?
或 |||||||| 1 aaaaa ?
??
?
? ? ??
定理 1.1,两个非零向量 平行ba ??与
.ba ?? ??存在唯一实数 ?，使得
例 1.1,在平行四边形 ABCD中,设 AB=,AD =a? b?
试用 表示向量 MA,MB,MC,和 MD.ba ??和
其中,M是平行四边形对角线的交点,
解, ba ?? ?由 = AC = 2MC
有 MC = )(21 ba ?? ?
又 = BD = 2MDab ???
)(21 ab ?? ?有 MD =
MB = ?MD )(21)(21 baab ???? ?????
)(21 ba ?? ???MA = ?MC
a?
b?
D
A B
C
M
四, 向量在轴上的投影
1,点在轴上投影
设有空间一点 A 及轴
u,过 A 作 u 轴的垂直平
面 π,平面 π 与 u 轴的交点
A' 叫做点 A 在轴 u 上的
投影,
A'
A
u
π
2,向量在轴上的投影,
设有向线段 AB的起点 A和终点 B在轴 u
上的投影分别为点 A?和 B?,
定义 1.3:
B'
B
A'
A
u
向量 AB在轴 u上的 投影向量 或 射影向量,
称有向线段 A?B? 为
如果向量 e为与轴 u
的正方向的单位向量,
xeBA ???
则称 x 为向量 AB 在轴 u上的 投影,记作 AB
uojPr
即
则向量 AB 的投影向量
A'B' 有：
B'
B
A'
A
u
e
xABu ?ojPr
3,两向量的夹角
设有非零向量 ba ??,(起点同 ).
b?
? ),( ba ??
a?规定：
正向间位于 0到 ?之间的那个夹角为 的夹角,
记为 或? ),( ba ?? ? ),( ab ??
ba ??,ba ??,
(1) 若 同向，则ba ??,0),( ??ba ??
(2) 若 反向，则ba ??,??? ),( ba ??
(3) 若 不平行，则ba ??,),0(),( ??? ba ??
4,向量的投影性质,
定理 1.2,(投影定理 ) 设向量 AB与轴 u的夹角为 ?
则 ProjuAB = || AB ||·cos ?
B?
B
A?
A
u?
B1
? ?
定理 1.3 两个向量的和在轴 u上的投影等于两上向量
在该轴上的投影的和 。
推论,
nuuunu aaaaaaj
???????? ojProjProjPr)(Pr
2121 ???????
B?
B
A?
A
u
C
C?
1a? 2a?
21 aa ?? ?
2121 ojPrP r o j)(P r o j aaaa uuu
???? ???即
aa uu ?? ojPr)(ojPr ?? ?
即
定理 1.4,实数 ?与向量 的乘积在轴 u上的投影,
等于 ?乘以向量 在该轴上的投影 。
a?
a?
一、空间直角坐标系的建立
1,空间直角坐标系
o
z
x
y
z
x
y
x轴 (横轴 ),y轴 (纵轴 ),z轴 (竖轴 )组成了一个
空间直角坐标系,又称 笛卡尔 (Descartes)坐标系, 点
O叫做 坐标原点,
o
§ 2 空间直角坐标系与空间向量的
坐标表示
2,坐标面,
由三条坐标轴的任意两条确定的平面,称为
坐标面,分别叫 x y面, y z面,z x面,它们将空间分
成八个卦限, z
IV
VI
V
VII
0
x
y
VIII
IIIII
I
1,点在空间直角坐标系中的坐标表示,
R
Q
P
< M > (x,y,z)
记, 点 M为 M (x,y,z)O
x
y
z
M
x
y
z
二、空间向量的表示
(1) 若点 M在 yz面 上,则 x = 0;
在 zx面 上,则 y = 0;
在 xy面 上,则 z = 0.
(2) 若点 M在 x 轴 上,则 y = z = 0
在 y 轴 上,则 x = z = 0
在 z 轴 上,则 x = y = 0
特别,
2,空间向量的坐标表示
(1),起点在原点的向量 OM
设点 M (x,y,z)
以 i,j,k 分别表示沿 x,y,z
轴正向的单位向量,称为 基本单
位向量,
OM = OA + AN +NM
= OA + OB + OC = xi + yj + zk
x,y,z,分别是 OM 在三坐标轴上的投影,称为 OM
的坐标,
z
i j
k Mo
x
y
C
A
B
z
y
x
N
简记为 OM =(x,y,z)称为向量 OM的 坐标表示式,
z
i j
k Mo
x
y
C
A
B
z
y
x
N
由于：
22 |||||| NMONOM ??
222 zyx ???
从而：
222 |||||| OCOBOA ???
222 zyxOM ??? (2.1)
(2),起点不在原点 O的任一向量 a = M1M2
设点 M1 (x1,y1,z1),M2 (x2,y2,z2)
a = M1M2 = OM2 ? OM1
= (x2 i+ y2 j + z2 k)
? (x1 i + y1 j + z1 k)
= (x2 ? x1) i + (y2 ? y1) j + (z2 ? z1) k
即 a = (x2 ? x1,y2 ? y1,z2 ? z1) 为向量 a的坐标表示式
记 ax = x2 ? x1,ay = y2 ? y1,az = z2 ? z1
分别为向量 a 在三个坐标轴上的投影,称为 a的坐标,
z
x
y
M1
M2a
o
a = M1M2 = (x2 ? x1,y2 ? y1,z2 ? z1)
2
12
2
12
2
12 )()()( zzyyxx ??????
(2.2)
222
21 zyx aaaMM ???
两点间距离公式：
2
12
2
12
2
1221 )()()( zzyyxxMM ??????
(2.3)
由此得
(3),运算性质
设 a =(ax,ay,az),b =(bx,by,bz),且 ?为常数
? a ? b = (ax ? bx,ay ? by,az ? bz )
?? a = (?ax,?ay,?az)
证明, ? a + b = (ax i + ay j+ az k) +(bxi + by j+ bz k)
= (ax i + bxi ) +(ay j+ by j) + (az k + bz k)
= (ax + bx) i + (ay+ by) j + (az+ bz ) k
? a + b = (ax + bx,ay + by,az + bz )
(4) 两向量平行的充要条件,
设非零向量 a =(ax,ay,az),b =(bx,by,bz),
即 ax =?bx,ay =?by,az =?bz,
于是
注, 在 (*) 式中,规定若某个分母为零相应
的分子也为零,
a // b ?
z
z
y
y
x
x
b
a
b
a
b
a ?? (*)
a // b ? a = ?b则 (?为常数 )
例如,(4,0,6) // (2,0,3)
三、向量的模与方向余弦的坐标表示式,
1,方向角, 非零向量 a 与 x,y,z 轴正
向夹角 ?,?,?,称为 a 的方向角,
2,方向 余弦,方向角的余弦
cos?,cos?,cos?,称为 方向余弦,
3,向量的模与方向余弦的坐标表达式
故有
ax =|| a || ? cos?
ay =|| a || ? cos?
az =|| a || ? cos?
a
?
y
z
x
0
?
?
设 a =(ax,ay,az)
又：
222||||
zyx aaa ???a
222
222
222
c os
,c os
,c os
zyx
z
zyx
y
zyx
x
aaa
a
aaa
a
aaa
a
??
?
??
?
??
?
?
?
?
(2.4)
(2.5)
由 (2.5)式可得
cos2? +cos2? +cos2? = 1 (2.6)
设 ao是与 a同向的单位向量
ao
|||| a
a?
?
?
?
?
?
?
?
?
??????
?
222222222
,,
zyx
z
zyx
y
zyx
x
aaa
a
aaa
a
aaa
a
= (cos?,cos?,cos? ) (2.7)
例 2.1,已知两点 M1(2,2,)和 M2(1,3,0),
计算向量 M1 M2的模,方向余弦和方向角,
2
解, M1 M2 = (?1,1,? )2
||M1 M2 || = ;24)2(1)1( 222 ??????;2 2c o s,21c o s,2 1c o s ????? ???
4
3,
3,3
2 ?????? ???
例 2.2,在 z轴上求与两点 A(?4,1,7) 和 B(3,5,?2)
等距离的点,
解, 设该点为 M(0,0,z)
由题设 |MA| = |MB|.
即,
222
222
)2()05()03(
)7()01()04(
z
z
???????
??????
解得, 914?z
所求点为 M (0,0,)914
例 2.3,证明以 M1(4,3,1),M2(7,1,2),M3(5,2,3)三
点为顶点的三角形是一个等腰三角形,
解,
14)12()31()47(|| 22221 ???????MM
6)23()12()75(|| 22232 ???????MM
6)13()32()45(|| 22213 ???????MM
由 |M2 M3 | = |M3 M1 |,所以 ?M1 M2 M3 是等腰三角形,
§ 3 向量空间
一,n 维向量
定义 3.1 由 n个数组成的有序数组 (a1,a2,… an)称为
一个 n维向量 。
? = ( a1,a2,… an )
其中第 i 个数 ai ( i = 1,2,…,n ) 称为 n 维向量
?的 第 i 个分量 或 坐标 。
零向量 0 = ( 0,0,…,0 )
负向量 对 ? = ( a1,a2,… an ) 称 ( － a1,－ a2,…,－ an )
为 ?的 负向量 。 记为 － ?。
－ ? = (－ a1,－ a2,…,－ an )
行向量 ? = ( a1,a2,…,an )
列向量
T
n
n
aaa
a
a
a
),,,(
21
2
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
规定,两个向量 ? = ( a1,a2,… an ),? = (b 1,b 2,… b n )
相等，记 ? = ? ai = bi ( i = 1,2,…,n)
二,n维向量的线性运算
定义 3.2 设 ? = ( a1,a2,…,an ),? = (b 1,b 2,…,b n )
?是数
规定：
(1) 加法,? + ? = ( a1 + b1,a2 + b2,…,an + bn)
(2) 数与向量的乘法,?? = ( ? a1,? a2,…,? an )
向量的加法及数与向量的乘法两种运算统称为向量
的 线性运算 。
2,向量的线性运算满足八条运算律
(1) ? + ? ＝ ? + ?
(2) (? + ? ) + ?＝ ? + ( ? + ? )
(3) ? + 0 ＝ ?
(4) ? + (－ ? ) ＝ 0
设 ?, ?, ? 是 n 维向量, 0 是 n 维零向量,
k,l 是任意实数 。
(5) k (? + ? ) ＝ k? + k?
(6) ( k + l ) ? = k? + l?
(7) ( k l ) ? = k ( l? )
(8) 1·? = ?
三、向量空间与子空间
定义 3.3 设 V 是 n 维向量的集合, 如果 V 对向量的
两种运算 封闭, 即 V 满足,
(1) ??,?? V,有 ? + ?? V
(2) ??? V, k ? R,有 k?? V
则称 V 是一个 向量空间 。
例如
(3) V1 = { ( 0,a2,…,an ) | ai ? R,i = 2,3,… n }
是一个向量空间, 且 V1? Rn,称为 Rn 的一
个子空间 。
(2) V = {0},由于 0 + 0 = 0,k·0 = 0，
V = {0} 构成一个向量空间, 称为 零空间 。
(1) 全体 n 维向量构成一个向量空间, 称
为 n 维向量空间,记作 Rn ;
定义 3.4 设 V是一个向量空间, V1 ? V,若 V1也是
一个向量空间 (即对向量的两种运算封闭 )，
则称 V1 是 V 的一个 子空间 。
注,一个向量空间 V 至少有两个子空间：
V 及零子空间 {0},称为 平凡子空间 。
例 5.1,设 n
m R????,,,21 ?
},,2,1|{ 2211 miRkkkkL imm ?? ?????? ???
证明,L 构成一个向量空间。
证,??,?? L,??? R
mmkkk ???? ???? ?2211
mmkkk ???? ??????? ?2211
)()( 22112211 mmmm kkkkkk ???????? ???????????? ??
mmm kkkkkk ??? )()()( 222111 ?????????? ?
)( 2211 mmkkk ?????? ???? ?
mmkkk ?????? )()()( 2211 ???? ?
? L 是一个向量空间
L?
L?
注意：
},,2,1|{ 2211 miRkkkkL imm ?? ?????? ???
称为由 ?1,?2,…,?m 生成的向量空间,
记为 L (?1,?2,…,?m )
对于向量 nm R????,,,21 ?则1.
2,对于 m× n矩阵 A的列向量组 ?1,?2,…,?n ? Rm。
称 L (?1,?2,…,?n )为 A的 列空间, 记为 N (A)。
A的行向量组 ?1,? 2,…,? m ? Rn,称
L (?1,? 2,…,? m )为 A 的 行空间, 记 为 N (AT)。
§ 4 向量组的线性相关性
一、线性相关与线性无关的概念
比较两组向量：
(1) ?1= ( 1,0,－ 1),?2= (0,3,4)
考察 k1?1 + k2?2 = ( k1,3k2,－ k1 + 4k2)
当 k1 ＝ k2 = 0 时 k1?1 + k2?2 = 0
(2) ? 1= ( 1,0,－ 1),? 2= (2,0,－ 2)
当 k1 ＝ k2 = 0 时 k1?1 + k2 ? 2 = 0
当 k1 = － 2,k2 = 1时 k1?1 + k2 ? 2 = 0
定义 4.1 设 ?1, ?2, …, ?m 是 m个 n维向量, 若存
在 m 个 不全为 0的数 ?1,?2,…, ?m,使得
?1?1 + ?2?2 + …+ ?m?m = 0 (4.1)
则称向量组 ?1, ?2, …, ?m 线性相关,
否则, 称它们 线性无关 。
注,?1, ?2, …, ?m 线性无关
?1?1 + ?2?2 + …+ ?m?m = 0 ?1 = ?2 = … = ?m= 0
例 4.1,考察 n 维向量组
解,设有一组数 ?1,?2,…, ?n。 使得
?1e1 + ?2e2 + …+ ?nen = 0
即,( ?1,0,…,0 ) + ( 0,?2,…,0 ) + … + ( 0,0,…,?n )
= (?1,?2,…, ?n ) = 0
??1= ?2 = … = ?n = 0
所以 e1,e2,…, en 线性无关
称 e1,e2,…, en 为 n 维单位向量组
e1 = ( 1,0,…,0),e2 = ( 0,1,…,0),…,en = ( 0,0,…,1)
的线性相关性 。
例 4.2 设 ?1 = (1,1,1),?2 = (1,2,3),?3 = (1,3,6)
讨论其线性相关性 。
解：
?1?1 + ?2?2 + ?3?3 = 0
设有一组数 ?1,?2,?3 使
即：
( ?1+ ?2 + ?3,?1+ 2?2 + 3?3,?1+ 3?2 + 6?3 ) = (0,0,0)
有,
?1+ ?2 + ?3 = 0
?1+ 2?2 + 3?3 = 0
?1+ 3?2 + 6?3 = 0
因为系数行列式
01
631
321
111
|| ???A
所以方程组只有唯一的一组零解,?1= ?2 = ?3 = 0，
故 ?1,?2,?3 线性无关。
例 4.3 讨论向量组 ?1= ( 1,－ 1,1),?2= ( 2,0,－ 2),
?3= ( 2,－ 1,0)的线性相关性 。
解：设有一组数 ?1,?2,?3,使
?1?1 + ?2?2 + ?3?3 = 0
即 ( ?1+ 2?2 + 2?3,－ ?1－ ?3,?1－ 2?2 ) = (0,0,0)
有
?1+ 2?2 + 2?3 = 0
－ ?1 － ?3 = 0
?1 － 2?2 = 0
解得,?3 = － ?1
12 2
1 ?? ?
取 ?1= 2,得非零解 ?1= 2,?2 = 1,?3 = － 2
所以，向量组 ?1,?2,?3 线性相关。
定义 4.2 对于 m+1 个 n 维向量 ?1, ?2, …, ?m和
?,若存在 m个数 ?1,?2,…, ?m, 使得：
? = ?1?1 + ?2?2 + …+ ?m?m
或称 ?是 ?1, ?2, …, ?m 的 线性组合,
?1,?2,…, ?m 称为 组合系数 。
则称向量 ?能用向量组 ?1, ?2, …, ?m
线性表示,
例如,Rn 中的任一个向量 ? = ( x1,x2,…,xn ) 都
是单位向量组的一个线性组合 。
? = x1e1 + x2e2 + …+ xnen
定理 4.1 向量组 ?1, ?2, …, ?m ( m ? 2 ) 线性相关
该向量组中至少有一个向量是其余
m－ 1个向量的线性组合 。
证：必要性
设 ?1, ?2, …, ?m 线性相关，则存在一组不
全为零的数 ?1,?2,…, ?m, 使得
?1?1 + ?2?2 + …+ ?m?m = 0
不妨设 ?m ? 0,则
即,?m是 ?1, ?2, …, ?m－ 1的线性组合。
充分性,设 ?m 是其余向量的线性组合，即存在
数 ?1,?2,…, ?m－ 1, 使得
?m = ?1?1 + ?2?2 + …+ ?m－ 1?m－ 1
有 ?1?1 + ?2?2 + …+ ?m–1?m－ 1 + (－ 1) ?m ＝ 0
?1, ?2, …, ?m线性相关故
121 ?? mm ???? ?
m?
?1?
m?
?2?
m
m
?
? 1???
推论,两个非零向量 ?1, ?2 线性相关
定理 4.2,若 m个向量 ?1, ?2, …, ?m 中有一部分
向量线性相关, 则这 m个向量也线性相关 。
即 ?1, ?2 对应坐标成比例
?1 = k?2,(其中 k ? 0)
(部分相关 整体相关 )
证,不妨设前 r 个向量 ?1, ?2, …, ?r 线性相关,
即存在不全为 0的数 ?1,?2,…, ?r, 使得
?1?1 + ?2?2 + …+ ?r?r = 0
也有
?1?1 + ?2?2 + …+ ?r?r + 0·?r+1 + … + 0·?m = 0
?1,?2,…, ?r,0,…,0 不全为 0
故 ?1, ?2, …, ?m 线性相关
推论 1,包含零向量的向量组一定线性相关
推论 2,若 m个向量 ?1, ?2, …, ?m 线性无关,
则其中任一部分也线性无关 。
(整体无关 部分无关 )
二、向量组线性相关性的矩阵判定法
则称：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
?
????
?
?
21
22221
11211
为由 向量组 ?1, ?2, …, ?m 构成的矩阵
定义 4.3
?2 = ( a21 a22 … a2n ),…,?m = ( am1 am2 … amn )
设有 m 个 n 维向量 ?1 = ( a11 a12 … a1n ),
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
m
?
?
?
?
2
1
A
定理 4.3
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
?
????
?
?
21
22221
11211
设有 m个 n维向量 ?1 = ( a11 a12 … a1n ),
?2 = ( a21 a22 … a2n ),…,?m = ( am1 am2 … amn )
则 ?1, ?2, …, ?m 线性相关 r(A) < m
推论 1：
推论 2,若 m > n, 则 m个 n维向量必 线性相关 。
( 因为 r (A) ? min (m,n) = n < m )
推论 3,n个 n维向量 ?1,?2, …, ?n 线性相关
n个 n维向量 ?1, ?2, …, ?n 线性无关
m个 n维向量 ?1, ?2, …, ?m线性无关
r(A) = m
| A | = 0,即 A降秩
| A | ? 0,即 A满秩
例 4.4 判定下列向量组是否线性相关
(1) ?1 = ( 1,－ 2,1 ),?2 = (2,1,－ 1),?3 = (7,－ 4,0)
解,由于
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
047
112
121
A
而 | A | = － 5 ? 0
所以 ?1,?2,?3 线性无关
(2) ?1 = ( 1,－ 3,7 ),?2 = (2,0,6),?3 = (3,－ 1,－ 1)，
?4 = (2,4,5)
解,由于向量组的个数大于向量的维数,
所以 ?1,?2,?3,?4 线性相关 。
解：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
8363
21141
3712
A r1 ? r2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
8363
3712
21141
(3) ?1 = ( 2,－ 1,7,3 ),?2 = (1,4,11,－ 2),
?3 = (3,－ 6,3,8)
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
1430180
71590
21141
r2 － 2r1
r3 － 3r1
r3 － 2r2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
0000
71590
21141
r ( A ) = 2 < 3
所以 ?1,?2,?3 线性相关
三、向量组的最大无关组
定义 4.4
设 ?1, ?2, …, ?r是某向量组 T 中的 r个向量，若
(1) ?1, ?2, …, ?r 线性无关；
(2) 任取 ??T,总有 ?1,?2,…,?r,? 线性相关
则称 ?1,?2,…,?r 为向量组 T 的一个 最大线性无关组 。
简称 最大无关组 。
例如,对于向量组 T,
?1 = ( 1,2,－ 1),?2 = (2,－ 3,1),?3 = (4,1,－ 1)
?1,?2 为 T 的一个最大无关组 ;
?2,?3 ;
?1,?2,?3线性相关，因为 2?1+?2－ ?3 = 0
?1,?3 也是 T 的最大无关组。
定理 4.4 一个向量组的所有最大无关组含有的向
量个数都相等 。
定义 4.5 向量组 T 的最大无关组所含向量的个数 r称
为向量组 T 的 秩 。
设 ?1,?2,…,?r 为向量组 T一个最大无关组,
则任取 ? ?T,? 能用 ?1,?2,…,?r 线性表示 。
证：任取 ? ? T,由 ?1,?2,…,?r 是 T的最大无关组,
则 ?1, ?2, …, ?r, ? 线性相关 。
存在不全为 0的一组数 ?1,?2,…, ?r, ?
使得,?1?1 + ?2?2 + …+ ?r?r + ?? = 0
则 ?? 0
定理 4.5
事实上：
若 ? = 0 有不全为 0的 ?1,?2,…, ?r 使
?1?1 + ?2?2 + …+ ?r?r = 0 成立
?1, ?2, …, ?r 线性相关，矛盾
所以
r
r ?
?
??
?
??
?
?? ????? ?
2
2
1
1
即 ?能用 ?1, ?2, …, ?r 线性表示。
定义 4.6
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
?
????
?
?
21
22221
11211
将每一行看成一个向量 ?i = ( ai1 ai2 … ain )
( i = 1,2,…,m) 称为 A 的 行向量, 行向量组
的秩称为 A的行秩 。
对于矩阵
将 A的每一列也可看成一个向量
,
2
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
mj
j
j
j
a
a
a
?
? ( j = 1,2,…,n)
称为 A 的 列向量, 列向量组的秩称为 A的列秩
定理 4.6 设 A 是 m× n 矩阵
r (A) = r A的行秩 (或列秩 )为 r
§ 5 向量空间的基与向量的坐标
一、向量空间的基与维数
定义 5.1
且满足：
(1) ?1,?2,…,?r 线性无关；
(2) V 中任一向量都可以由 ?1,?2,…,?r 线性表示；
则称 ?1,?2,…,?r 为 V的一组 基底,简称 基,
r 为 V的 维数,并称 V 为 r 维向量空间 。
设 V为向量空间，若存在 ?1,?2,…,?r ? V.
注 1,若将向量空间 V看成向量组, 其基底就是
其最大无关组, 其维数就是其秩 。
注 2,零空间 {0}没有基, 规定其维数为 0。
例如,对于 Rn
(1) 基本单位向量组 e1,e2,…,en 是一组基, 称为
标准基 。
(2) ?1 = (1,0,0,…,0),?2 = (1,1,0,…,0),…,
?n = (1,1,…,1) 也是基 。
二、向量在给定基下的坐标
定义 5.2 设 ?1,?2,…,?n 是向量空间 V 的一组基,
任取 ?? V,都有
? = x1?1 + x2?2 + … + xn?n
且组合系数 x1,x2,…,xn 唯一, 称为向量 ? 在
基 ?1,?2,…,?n 下的 坐标, 记为 (x1,x2,…,xn)
例如,在 R3 中，
? = (2,－ 3,1)
= 2e1－ 3e2 + 1e3
= 2 i － 3 j + 1k
三、基变换与坐标变换
1,设 n维向量空间 V 有两组不同的基，分别为：
?1,?2,…,?n,
?1,?2,…,?n,
则
?1 = c11?1 + c21?2 + … + cn1?n
?2 = c12?1 + c22?2 + … + cn2?n
… …… ……… …… …
?n = c1n?1 + c2n?2 + … + cnn?n
(5.1)
利用矩阵形式可表为：
(?1,?2,…,?n)
记,
21
22221
11211
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nnnn
n
n
ccc
ccc
ccc
C
?
????
?
?
称为由基 ?1,?2,…,?n到基 ?1,?2,…,?n的 过渡矩阵,
称 (5.1)式或 (5.2)式为 基变换公式 。
= (?1,?2,…,?n)
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nnnn
n
n
ccc
ccc
ccc
?
????
?
?
21
22221
11211
(5.2)
2,设 ??V,在基 ?1,?2,…,?n下的坐标为 (x1,x2,…,xn)
在基 ?1,?2,…,?n下的坐标为 (y1,y2,…,yn)
? = x1?1 + x2?2 + … + xn?n
? ?n???,,,21 ?? (5.3)
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
x
x
x
?
2
1
? = y1?1 + y2?2 + … + yn?n
(5.4)
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
y
y
y
?
2
1
? ?n???,,,21 ??
? ?n???,,,21 ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
y
y
y
?
2
1
C
由于 ?在基 ?1,?2,…,?n下的坐标唯一：
公式 (5.5)或 (5.6)称为 坐标变换公式
所以 (5.5)
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
x
x
x
?
2
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
y
y
y
?
2
1
C?
或 (5.6)
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
y
y
y
?
2
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
x
x
x
?
2
1
1?? C
例 5.1 求 Rn中向量 ?= ( x1,x2,…,xn)在基
?1 = (1,0,0,…,0),?2 = (1,1,0,…,0),…,
?n = (1,1,1,…,1)下的坐标 。
设 ?在 ?1,?2,…,?n 下的坐标为 y1,y2,…,yn
解：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
n
y
y
y
?
??
2
1
21
),,,( ????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
n
x
x
x
eee
?
??
2
1
21
),,,(
(?1,?2,…,?n)
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
1
11
111
),,,(
21
?
?
?
?
n
eee
0
过渡矩阵
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
11
111
??
?
?
C
0
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
n
n
n
n
x
x
x
x
y
y
y
y
C
1
2
1
1
2
1
??
有
而
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
1
11
11
1
?
??C
0
0
则 ?在基 ?1,?2,…,?n下的坐标为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
n
y
y
y
y
1
2
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
n
x
x
x
x
C
1
2
1
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
nn
x
xx
xx
xx
1
32
21
?
例 5.2 在平面直角坐标系 xoy里, i和 j为互相垂直的单位
向量, 它们构成 R2的一个基；现将 x轴和 y轴绕
原点 O 逆时针旋转角 ?, 令相应的单位向量为
?1,?2,则 ?1,?2也是 R2的一组基, 换基公式,
?1= cos ? i + sin ? j
?2= － sin ? i + cos ? j
?? ? R2,若 ?在基 i,j 下的坐标为 ( x,y )，
求 ?在基 ?1,?2下的坐标 ( x',y' )
y' x'
y
j
?1?
2
o i
? x
解,?
?
??
?
? ??
??
??
??
c o ss in
s inc o s
),(),( 21 ji
过渡矩阵 ?
?
??
?
? ??
??
??
c o ss in
s inc o s
C
?1= cos ? i + sin ? j
?2= － sin ? i + cos ? j
??
?
?
??
?
?
?
??
??
??
c oss i n
s i nc os1
C
求出
??
?
?
??
?
?
???
?
?
??
?
?
?
?
?
y
x
C
y
x 1 ?
?
??
?
??
?
??
?
?
?
?
y
x
??
??
c o ss in
s inc o s
即
x' = x cos ? + y sin ?
y' = － x sin ? + y cos ?
旋转坐标轴的坐标变换公式
脚本编写：曾金平 刘楚中
课件制作：曾金平 刘楚中
§ 1 空间向量及其线性运算
一、向量概念
1,向量,既有大小,又有方向的量,称为
向量,(或 矢量 )
2,向量的几何表示法,
用一条有方向的线段来表示向量,
以线段的长度表示向量的大
小,有向线段的方向表示向量
的方向, A
B
a?
向量 AB的大小叫做向量的模, 记为
为终点的向量，记为为始点，以 BA
,
?
AB,
?
a,?
||,||
?
AB ||,||
?
a ||,||? |,| ?AB或者 |,|
?
a,||?
?模为 1的向量称为 单位向量,
?模为 0的向量称为 零向量,
它的方向可以看作是任意的,
特别
3,自由向量
a? b?
自由向量, 只有大小, 方向,而无特定起点的向
量, 具有在空间中可以任意平移的性质,
,ba ?? 与当向量
大小相等且方向相同,
记作相等与称,ba ?? ba
?? ?
二、向量的加减法
1,定义 1.1,向量加法
(1) 平行四边形法则
设有 (若起点不重合,
可平移至重合 ),作以 为
邻边的平行四边形,对角线
向量,称为 的和,记作
ba ??、
ba ??与,ba ???
ba ??、
ba ???a?
b?
(2) 三角形法则
ba ???a?
b?
将 之一平行移动,使
的起点与 的终点重合,则由
的起点到 的终点所引的向量
为
ba ??、
a?
b?a?
.ba ???
b?
2,向量加法的运算规律,
(1) 交换律,
abba ???? ???
ba ???
a? b?
c?
cb ???
cba ??? ??
(2) 结合律,
)()( cacba ?????? ?????
a?
b?
a?
b?
ba ???
ab ?? ?
例如,
4321 aaaas ????? ????
s?
1a?
2a?
3a?
4a?
3,向量减法,
(1) 负向量, 与 模相同而方向相反的向量,
称为 的 负向量,记作
a?
a?,a??
a??a
?
(2) 向量减法,
规定, )( baba ???? ????
（ a） 平行四边形法则,
将 之一平移,使起
点重合,作以 为邻边
的平行四边形,对角线向量,
为
ba ??、
ba ?? ?和
.ba ???
（ b）三角形 法则,
将 之一平移,使
起点重合,由 的终点向
的终点作一向量,即为
ba ??、
.ba ???
a?b?
ba ???a?
b?
ba ??? a?
b?? b?
ba ???
三、数与向量的乘法
1,定义 1.2,实数 ?与向量 的 为一个向量,a? a??乘积
其中, |||||||||| aa ?? ?? ??
当 ? > 0时,;同向与 aa ???
当 ? < 0时,;反向与 aa ???
当 ? = 0时,
.,它的方向可以是任意的oa ?? ??
2,数与向量的乘积的运算规律,
(1) 结合律,
aaa ??? )()()( ?????? ??
(2) 分配律, aaa ??? ???? ??? )(
baba ???? ??? ??? )(
a? (? <0)a??a?? (? >0)
结论, 设 表示与非零向量 同向的单位向量,a???a
则 ???? aaa ||||?
或 |||||||| 1 aaaaa ?
??
?
? ? ??
定理 1.1,两个非零向量 平行ba ??与
.ba ?? ??存在唯一实数 ?，使得
例 1.1,在平行四边形 ABCD中,设 AB=,AD =a? b?
试用 表示向量 MA,MB,MC,和 MD.ba ??和
其中,M是平行四边形对角线的交点,
解, ba ?? ?由 = AC = 2MC
有 MC = )(21 ba ?? ?
又 = BD = 2MDab ???
)(21 ab ?? ?有 MD =
MB = ?MD )(21)(21 baab ???? ?????
)(21 ba ?? ???MA = ?MC
a?
b?
D
A B
C
M
四, 向量在轴上的投影
1,点在轴上投影
设有空间一点 A 及轴
u,过 A 作 u 轴的垂直平
面 π,平面 π 与 u 轴的交点
A' 叫做点 A 在轴 u 上的
投影,
A'
A
u
π
2,向量在轴上的投影,
设有向线段 AB的起点 A和终点 B在轴 u
上的投影分别为点 A?和 B?,
定义 1.3:
B'
B
A'
A
u
向量 AB在轴 u上的 投影向量 或 射影向量,
称有向线段 A?B? 为
如果向量 e为与轴 u
的正方向的单位向量,
xeBA ???
则称 x 为向量 AB 在轴 u上的 投影,记作 AB
uojPr
即
则向量 AB 的投影向量
A'B' 有：
B'
B
A'
A
u
e
xABu ?ojPr
3,两向量的夹角
设有非零向量 ba ??,(起点同 ).
b?
? ),( ba ??
a?规定：
正向间位于 0到 ?之间的那个夹角为 的夹角,
记为 或? ),( ba ?? ? ),( ab ??
ba ??,ba ??,
(1) 若 同向，则ba ??,0),( ??ba ??
(2) 若 反向，则ba ??,??? ),( ba ??
(3) 若 不平行，则ba ??,),0(),( ??? ba ??
4,向量的投影性质,
定理 1.2,(投影定理 ) 设向量 AB与轴 u的夹角为 ?
则 ProjuAB = || AB ||·cos ?
B?
B
A?
A
u?
B1
? ?
定理 1.3 两个向量的和在轴 u上的投影等于两上向量
在该轴上的投影的和 。
推论,
nuuunu aaaaaaj
???????? ojProjProjPr)(Pr
2121 ???????
B?
B
A?
A
u
C
C?
1a? 2a?
21 aa ?? ?
2121 ojPrP r o j)(P r o j aaaa uuu
???? ???即
aa uu ?? ojPr)(ojPr ?? ?
即
定理 1.4,实数 ?与向量 的乘积在轴 u上的投影,
等于 ?乘以向量 在该轴上的投影 。
a?
a?
一、空间直角坐标系的建立
1,空间直角坐标系
o
z
x
y
z
x
y
x轴 (横轴 ),y轴 (纵轴 ),z轴 (竖轴 )组成了一个
空间直角坐标系,又称 笛卡尔 (Descartes)坐标系, 点
O叫做 坐标原点,
o
§ 2 空间直角坐标系与空间向量的
坐标表示
2,坐标面,
由三条坐标轴的任意两条确定的平面,称为
坐标面,分别叫 x y面, y z面,z x面,它们将空间分
成八个卦限, z
IV
VI
V
VII
0
x
y
VIII
IIIII
I
1,点在空间直角坐标系中的坐标表示,
R
Q
P
< M > (x,y,z)
记, 点 M为 M (x,y,z)O
x
y
z
M
x
y
z
二、空间向量的表示
(1) 若点 M在 yz面 上,则 x = 0;
在 zx面 上,则 y = 0;
在 xy面 上,则 z = 0.
(2) 若点 M在 x 轴 上,则 y = z = 0
在 y 轴 上,则 x = z = 0
在 z 轴 上,则 x = y = 0
特别,
2,空间向量的坐标表示
(1),起点在原点的向量 OM
设点 M (x,y,z)
以 i,j,k 分别表示沿 x,y,z
轴正向的单位向量,称为 基本单
位向量,
OM = OA + AN +NM
= OA + OB + OC = xi + yj + zk
x,y,z,分别是 OM 在三坐标轴上的投影,称为 OM
的坐标,
z
i j
k Mo
x
y
C
A
B
z
y
x
N
简记为 OM =(x,y,z)称为向量 OM的 坐标表示式,
z
i j
k Mo
x
y
C
A
B
z
y
x
N
由于：
22 |||||| NMONOM ??
222 zyx ???
从而：
222 |||||| OCOBOA ???
222 zyxOM ??? (2.1)
(2),起点不在原点 O的任一向量 a = M1M2
设点 M1 (x1,y1,z1),M2 (x2,y2,z2)
a = M1M2 = OM2 ? OM1
= (x2 i+ y2 j + z2 k)
? (x1 i + y1 j + z1 k)
= (x2 ? x1) i + (y2 ? y1) j + (z2 ? z1) k
即 a = (x2 ? x1,y2 ? y1,z2 ? z1) 为向量 a的坐标表示式
记 ax = x2 ? x1,ay = y2 ? y1,az = z2 ? z1
分别为向量 a 在三个坐标轴上的投影,称为 a的坐标,
z
x
y
M1
M2a
o
a = M1M2 = (x2 ? x1,y2 ? y1,z2 ? z1)
2
12
2
12
2
12 )()()( zzyyxx ??????
(2.2)
222
21 zyx aaaMM ???
两点间距离公式：
2
12
2
12
2
1221 )()()( zzyyxxMM ??????
(2.3)
由此得
(3),运算性质
设 a =(ax,ay,az),b =(bx,by,bz),且 ?为常数
? a ? b = (ax ? bx,ay ? by,az ? bz )
?? a = (?ax,?ay,?az)
证明, ? a + b = (ax i + ay j+ az k) +(bxi + by j+ bz k)
= (ax i + bxi ) +(ay j+ by j) + (az k + bz k)
= (ax + bx) i + (ay+ by) j + (az+ bz ) k
? a + b = (ax + bx,ay + by,az + bz )
(4) 两向量平行的充要条件,
设非零向量 a =(ax,ay,az),b =(bx,by,bz),
即 ax =?bx,ay =?by,az =?bz,
于是
注, 在 (*) 式中,规定若某个分母为零相应
的分子也为零,
a // b ?
z
z
y
y
x
x
b
a
b
a
b
a ?? (*)
a // b ? a = ?b则 (?为常数 )
例如,(4,0,6) // (2,0,3)
三、向量的模与方向余弦的坐标表示式,
1,方向角, 非零向量 a 与 x,y,z 轴正
向夹角 ?,?,?,称为 a 的方向角,
2,方向 余弦,方向角的余弦
cos?,cos?,cos?,称为 方向余弦,
3,向量的模与方向余弦的坐标表达式
故有
ax =|| a || ? cos?
ay =|| a || ? cos?
az =|| a || ? cos?
a
?
y
z
x
0
?
?
设 a =(ax,ay,az)
又：
222||||
zyx aaa ???a
222
222
222
c os
,c os
,c os
zyx
z
zyx
y
zyx
x
aaa
a
aaa
a
aaa
a
??
?
??
?
??
?
?
?
?
(2.4)
(2.5)
由 (2.5)式可得
cos2? +cos2? +cos2? = 1 (2.6)
设 ao是与 a同向的单位向量
ao
|||| a
a?
?
?
?
?
?
?
?
?
??????
?
222222222
,,
zyx
z
zyx
y
zyx
x
aaa
a
aaa
a
aaa
a
= (cos?,cos?,cos? ) (2.7)
例 2.1,已知两点 M1(2,2,)和 M2(1,3,0),
计算向量 M1 M2的模,方向余弦和方向角,
2
解, M1 M2 = (?1,1,? )2
||M1 M2 || = ;24)2(1)1( 222 ??????;2 2c o s,21c o s,2 1c o s ????? ???
4
3,
3,3
2 ?????? ???
例 2.2,在 z轴上求与两点 A(?4,1,7) 和 B(3,5,?2)
等距离的点,
解, 设该点为 M(0,0,z)
由题设 |MA| = |MB|.
即,
222
222
)2()05()03(
)7()01()04(
z
z
???????
??????
解得, 914?z
所求点为 M (0,0,)914
例 2.3,证明以 M1(4,3,1),M2(7,1,2),M3(5,2,3)三
点为顶点的三角形是一个等腰三角形,
解,
14)12()31()47(|| 22221 ???????MM
6)23()12()75(|| 22232 ???????MM
6)13()32()45(|| 22213 ???????MM
由 |M2 M3 | = |M3 M1 |,所以 ?M1 M2 M3 是等腰三角形,
§ 3 向量空间
一,n 维向量
定义 3.1 由 n个数组成的有序数组 (a1,a2,… an)称为
一个 n维向量 。
? = ( a1,a2,… an )
其中第 i 个数 ai ( i = 1,2,…,n ) 称为 n 维向量
?的 第 i 个分量 或 坐标 。
零向量 0 = ( 0,0,…,0 )
负向量 对 ? = ( a1,a2,… an ) 称 ( － a1,－ a2,…,－ an )
为 ?的 负向量 。 记为 － ?。
－ ? = (－ a1,－ a2,…,－ an )
行向量 ? = ( a1,a2,…,an )
列向量
T
n
n
aaa
a
a
a
),,,(
21
2
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
规定,两个向量 ? = ( a1,a2,… an ),? = (b 1,b 2,… b n )
相等，记 ? = ? ai = bi ( i = 1,2,…,n)
二,n维向量的线性运算
定义 3.2 设 ? = ( a1,a2,…,an ),? = (b 1,b 2,…,b n )
?是数
规定：
(1) 加法,? + ? = ( a1 + b1,a2 + b2,…,an + bn)
(2) 数与向量的乘法,?? = ( ? a1,? a2,…,? an )
向量的加法及数与向量的乘法两种运算统称为向量
的 线性运算 。
2,向量的线性运算满足八条运算律
(1) ? + ? ＝ ? + ?
(2) (? + ? ) + ?＝ ? + ( ? + ? )
(3) ? + 0 ＝ ?
(4) ? + (－ ? ) ＝ 0
设 ?, ?, ? 是 n 维向量, 0 是 n 维零向量,
k,l 是任意实数 。
(5) k (? + ? ) ＝ k? + k?
(6) ( k + l ) ? = k? + l?
(7) ( k l ) ? = k ( l? )
(8) 1·? = ?
三、向量空间与子空间
定义 3.3 设 V 是 n 维向量的集合, 如果 V 对向量的
两种运算 封闭, 即 V 满足,
(1) ??,?? V,有 ? + ?? V
(2) ??? V, k ? R,有 k?? V
则称 V 是一个 向量空间 。
例如
(3) V1 = { ( 0,a2,…,an ) | ai ? R,i = 2,3,… n }
是一个向量空间, 且 V1? Rn,称为 Rn 的一
个子空间 。
(2) V = {0},由于 0 + 0 = 0,k·0 = 0，
V = {0} 构成一个向量空间, 称为 零空间 。
(1) 全体 n 维向量构成一个向量空间, 称
为 n 维向量空间,记作 Rn ;
定义 3.4 设 V是一个向量空间, V1 ? V,若 V1也是
一个向量空间 (即对向量的两种运算封闭 )，
则称 V1 是 V 的一个 子空间 。
注,一个向量空间 V 至少有两个子空间：
V 及零子空间 {0},称为 平凡子空间 。
例 5.1,设 n
m R????,,,21 ?
},,2,1|{ 2211 miRkkkkL imm ?? ?????? ???
证明,L 构成一个向量空间。
证,??,?? L,??? R
mmkkk ???? ???? ?2211
mmkkk ???? ??????? ?2211
)()( 22112211 mmmm kkkkkk ???????? ???????????? ??
mmm kkkkkk ??? )()()( 222111 ?????????? ?
)( 2211 mmkkk ?????? ???? ?
mmkkk ?????? )()()( 2211 ???? ?
? L 是一个向量空间
L?
L?
注意：
},,2,1|{ 2211 miRkkkkL imm ?? ?????? ???
称为由 ?1,?2,…,?m 生成的向量空间,
记为 L (?1,?2,…,?m )
对于向量 nm R????,,,21 ?则1.
2,对于 m× n矩阵 A的列向量组 ?1,?2,…,?n ? Rm。
称 L (?1,?2,…,?n )为 A的 列空间, 记为 N (A)。
A的行向量组 ?1,? 2,…,? m ? Rn,称
L (?1,? 2,…,? m )为 A 的 行空间, 记 为 N (AT)。
§ 4 向量组的线性相关性
一、线性相关与线性无关的概念
比较两组向量：
(1) ?1= ( 1,0,－ 1),?2= (0,3,4)
考察 k1?1 + k2?2 = ( k1,3k2,－ k1 + 4k2)
当 k1 ＝ k2 = 0 时 k1?1 + k2?2 = 0
(2) ? 1= ( 1,0,－ 1),? 2= (2,0,－ 2)
当 k1 ＝ k2 = 0 时 k1?1 + k2 ? 2 = 0
当 k1 = － 2,k2 = 1时 k1?1 + k2 ? 2 = 0
定义 4.1 设 ?1, ?2, …, ?m 是 m个 n维向量, 若存
在 m 个 不全为 0的数 ?1,?2,…, ?m,使得
?1?1 + ?2?2 + …+ ?m?m = 0 (4.1)
则称向量组 ?1, ?2, …, ?m 线性相关,
否则, 称它们 线性无关 。
注,?1, ?2, …, ?m 线性无关
?1?1 + ?2?2 + …+ ?m?m = 0 ?1 = ?2 = … = ?m= 0
例 4.1,考察 n 维向量组
解,设有一组数 ?1,?2,…, ?n。 使得
?1e1 + ?2e2 + …+ ?nen = 0
即,( ?1,0,…,0 ) + ( 0,?2,…,0 ) + … + ( 0,0,…,?n )
= (?1,?2,…, ?n ) = 0
??1= ?2 = … = ?n = 0
所以 e1,e2,…, en 线性无关
称 e1,e2,…, en 为 n 维单位向量组
e1 = ( 1,0,…,0),e2 = ( 0,1,…,0),…,en = ( 0,0,…,1)
的线性相关性 。
例 4.2 设 ?1 = (1,1,1),?2 = (1,2,3),?3 = (1,3,6)
讨论其线性相关性 。
解：
?1?1 + ?2?2 + ?3?3 = 0
设有一组数 ?1,?2,?3 使
即：
( ?1+ ?2 + ?3,?1+ 2?2 + 3?3,?1+ 3?2 + 6?3 ) = (0,0,0)
有,
?1+ ?2 + ?3 = 0
?1+ 2?2 + 3?3 = 0
?1+ 3?2 + 6?3 = 0
因为系数行列式
01
631
321
111
|| ???A
所以方程组只有唯一的一组零解,?1= ?2 = ?3 = 0，
故 ?1,?2,?3 线性无关。
例 4.3 讨论向量组 ?1= ( 1,－ 1,1),?2= ( 2,0,－ 2),
?3= ( 2,－ 1,0)的线性相关性 。
解：设有一组数 ?1,?2,?3,使
?1?1 + ?2?2 + ?3?3 = 0
即 ( ?1+ 2?2 + 2?3,－ ?1－ ?3,?1－ 2?2 ) = (0,0,0)
有
?1+ 2?2 + 2?3 = 0
－ ?1 － ?3 = 0
?1 － 2?2 = 0
解得,?3 = － ?1
12 2
1 ?? ?
取 ?1= 2,得非零解 ?1= 2,?2 = 1,?3 = － 2
所以，向量组 ?1,?2,?3 线性相关。
定义 4.2 对于 m+1 个 n 维向量 ?1, ?2, …, ?m和
?,若存在 m个数 ?1,?2,…, ?m, 使得：
? = ?1?1 + ?2?2 + …+ ?m?m
或称 ?是 ?1, ?2, …, ?m 的 线性组合,
?1,?2,…, ?m 称为 组合系数 。
则称向量 ?能用向量组 ?1, ?2, …, ?m
线性表示,
例如,Rn 中的任一个向量 ? = ( x1,x2,…,xn ) 都
是单位向量组的一个线性组合 。
? = x1e1 + x2e2 + …+ xnen
定理 4.1 向量组 ?1, ?2, …, ?m ( m ? 2 ) 线性相关
该向量组中至少有一个向量是其余
m－ 1个向量的线性组合 。
证：必要性
设 ?1, ?2, …, ?m 线性相关，则存在一组不
全为零的数 ?1,?2,…, ?m, 使得
?1?1 + ?2?2 + …+ ?m?m = 0
不妨设 ?m ? 0,则
即,?m是 ?1, ?2, …, ?m－ 1的线性组合。
充分性,设 ?m 是其余向量的线性组合，即存在
数 ?1,?2,…, ?m－ 1, 使得
?m = ?1?1 + ?2?2 + …+ ?m－ 1?m－ 1
有 ?1?1 + ?2?2 + …+ ?m–1?m－ 1 + (－ 1) ?m ＝ 0
?1, ?2, …, ?m线性相关故
121 ?? mm ???? ?
m?
?1?
m?
?2?
m
m
?
? 1???
推论,两个非零向量 ?1, ?2 线性相关
定理 4.2,若 m个向量 ?1, ?2, …, ?m 中有一部分
向量线性相关, 则这 m个向量也线性相关 。
即 ?1, ?2 对应坐标成比例
?1 = k?2,(其中 k ? 0)
(部分相关 整体相关 )
证,不妨设前 r 个向量 ?1, ?2, …, ?r 线性相关,
即存在不全为 0的数 ?1,?2,…, ?r, 使得
?1?1 + ?2?2 + …+ ?r?r = 0
也有
?1?1 + ?2?2 + …+ ?r?r + 0·?r+1 + … + 0·?m = 0
?1,?2,…, ?r,0,…,0 不全为 0
故 ?1, ?2, …, ?m 线性相关
推论 1,包含零向量的向量组一定线性相关
推论 2,若 m个向量 ?1, ?2, …, ?m 线性无关,
则其中任一部分也线性无关 。
(整体无关 部分无关 )
二、向量组线性相关性的矩阵判定法
则称：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
?
????
?
?
21
22221
11211
为由 向量组 ?1, ?2, …, ?m 构成的矩阵
定义 4.3
?2 = ( a21 a22 … a2n ),…,?m = ( am1 am2 … amn )
设有 m 个 n 维向量 ?1 = ( a11 a12 … a1n ),
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
m
?
?
?
?
2
1
A
定理 4.3
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
?
????
?
?
21
22221
11211
设有 m个 n维向量 ?1 = ( a11 a12 … a1n ),
?2 = ( a21 a22 … a2n ),…,?m = ( am1 am2 … amn )
则 ?1, ?2, …, ?m 线性相关 r(A) < m
推论 1：
推论 2,若 m > n, 则 m个 n维向量必 线性相关 。
( 因为 r (A) ? min (m,n) = n < m )
推论 3,n个 n维向量 ?1,?2, …, ?n 线性相关
n个 n维向量 ?1, ?2, …, ?n 线性无关
m个 n维向量 ?1, ?2, …, ?m线性无关
r(A) = m
| A | = 0,即 A降秩
| A | ? 0,即 A满秩
例 4.4 判定下列向量组是否线性相关
(1) ?1 = ( 1,－ 2,1 ),?2 = (2,1,－ 1),?3 = (7,－ 4,0)
解,由于
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
047
112
121
A
而 | A | = － 5 ? 0
所以 ?1,?2,?3 线性无关
(2) ?1 = ( 1,－ 3,7 ),?2 = (2,0,6),?3 = (3,－ 1,－ 1)，
?4 = (2,4,5)
解,由于向量组的个数大于向量的维数,
所以 ?1,?2,?3,?4 线性相关 。
解：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
8363
21141
3712
A r1 ? r2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
8363
3712
21141
(3) ?1 = ( 2,－ 1,7,3 ),?2 = (1,4,11,－ 2),
?3 = (3,－ 6,3,8)
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
1430180
71590
21141
r2 － 2r1
r3 － 3r1
r3 － 2r2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
0000
71590
21141
r ( A ) = 2 < 3
所以 ?1,?2,?3 线性相关
三、向量组的最大无关组
定义 4.4
设 ?1, ?2, …, ?r是某向量组 T 中的 r个向量，若
(1) ?1, ?2, …, ?r 线性无关；
(2) 任取 ??T,总有 ?1,?2,…,?r,? 线性相关
则称 ?1,?2,…,?r 为向量组 T 的一个 最大线性无关组 。
简称 最大无关组 。
例如,对于向量组 T,
?1 = ( 1,2,－ 1),?2 = (2,－ 3,1),?3 = (4,1,－ 1)
?1,?2 为 T 的一个最大无关组 ;
?2,?3 ;
?1,?2,?3线性相关，因为 2?1+?2－ ?3 = 0
?1,?3 也是 T 的最大无关组。
定理 4.4 一个向量组的所有最大无关组含有的向
量个数都相等 。
定义 4.5 向量组 T 的最大无关组所含向量的个数 r称
为向量组 T 的 秩 。
设 ?1,?2,…,?r 为向量组 T一个最大无关组,
则任取 ? ?T,? 能用 ?1,?2,…,?r 线性表示 。
证：任取 ? ? T,由 ?1,?2,…,?r 是 T的最大无关组,
则 ?1, ?2, …, ?r, ? 线性相关 。
存在不全为 0的一组数 ?1,?2,…, ?r, ?
使得,?1?1 + ?2?2 + …+ ?r?r + ?? = 0
则 ?? 0
定理 4.5
事实上：
若 ? = 0 有不全为 0的 ?1,?2,…, ?r 使
?1?1 + ?2?2 + …+ ?r?r = 0 成立
?1, ?2, …, ?r 线性相关，矛盾
所以
r
r ?
?
??
?
??
?
?? ????? ?
2
2
1
1
即 ?能用 ?1, ?2, …, ?r 线性表示。
定义 4.6
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
?
????
?
?
21
22221
11211
将每一行看成一个向量 ?i = ( ai1 ai2 … ain )
( i = 1,2,…,m) 称为 A 的 行向量, 行向量组
的秩称为 A的行秩 。
对于矩阵
将 A的每一列也可看成一个向量
,
2
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
mj
j
j
j
a
a
a
?
? ( j = 1,2,…,n)
称为 A 的 列向量, 列向量组的秩称为 A的列秩
定理 4.6 设 A 是 m× n 矩阵
r (A) = r A的行秩 (或列秩 )为 r
§ 5 向量空间的基与向量的坐标
一、向量空间的基与维数
定义 5.1
且满足：
(1) ?1,?2,…,?r 线性无关；
(2) V 中任一向量都可以由 ?1,?2,…,?r 线性表示；
则称 ?1,?2,…,?r 为 V的一组 基底,简称 基,
r 为 V的 维数,并称 V 为 r 维向量空间 。
设 V为向量空间，若存在 ?1,?2,…,?r ? V.
注 1,若将向量空间 V看成向量组, 其基底就是
其最大无关组, 其维数就是其秩 。
注 2,零空间 {0}没有基, 规定其维数为 0。
例如,对于 Rn
(1) 基本单位向量组 e1,e2,…,en 是一组基, 称为
标准基 。
(2) ?1 = (1,0,0,…,0),?2 = (1,1,0,…,0),…,
?n = (1,1,…,1) 也是基 。
二、向量在给定基下的坐标
定义 5.2 设 ?1,?2,…,?n 是向量空间 V 的一组基,
任取 ?? V,都有
? = x1?1 + x2?2 + … + xn?n
且组合系数 x1,x2,…,xn 唯一, 称为向量 ? 在
基 ?1,?2,…,?n 下的 坐标, 记为 (x1,x2,…,xn)
例如,在 R3 中，
? = (2,－ 3,1)
= 2e1－ 3e2 + 1e3
= 2 i － 3 j + 1k
三、基变换与坐标变换
1,设 n维向量空间 V 有两组不同的基，分别为：
?1,?2,…,?n,
?1,?2,…,?n,
则
?1 = c11?1 + c21?2 + … + cn1?n
?2 = c12?1 + c22?2 + … + cn2?n
… …… ……… …… …
?n = c1n?1 + c2n?2 + … + cnn?n
(5.1)
利用矩阵形式可表为：
(?1,?2,…,?n)
记,
21
22221
11211
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nnnn
n
n
ccc
ccc
ccc
C
?
????
?
?
称为由基 ?1,?2,…,?n到基 ?1,?2,…,?n的 过渡矩阵,
称 (5.1)式或 (5.2)式为 基变换公式 。
= (?1,?2,…,?n)
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nnnn
n
n
ccc
ccc
ccc
?
????
?
?
21
22221
11211
(5.2)
2,设 ??V,在基 ?1,?2,…,?n下的坐标为 (x1,x2,…,xn)
在基 ?1,?2,…,?n下的坐标为 (y1,y2,…,yn)
? = x1?1 + x2?2 + … + xn?n
? ?n???,,,21 ?? (5.3)
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
x
x
x
?
2
1
? = y1?1 + y2?2 + … + yn?n
(5.4)
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
y
y
y
?
2
1
? ?n???,,,21 ??
? ?n???,,,21 ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
y
y
y
?
2
1
C
由于 ?在基 ?1,?2,…,?n下的坐标唯一：
公式 (5.5)或 (5.6)称为 坐标变换公式
所以 (5.5)
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
x
x
x
?
2
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
y
y
y
?
2
1
C?
或 (5.6)
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
y
y
y
?
2
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
x
x
x
?
2
1
1?? C
例 5.1 求 Rn中向量 ?= ( x1,x2,…,xn)在基
?1 = (1,0,0,…,0),?2 = (1,1,0,…,0),…,
?n = (1,1,1,…,1)下的坐标 。
设 ?在 ?1,?2,…,?n 下的坐标为 y1,y2,…,yn
解：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
n
y
y
y
?
??
2
1
21
),,,( ????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
n
x
x
x
eee
?
??
2
1
21
),,,(
(?1,?2,…,?n)
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
1
11
111
),,,(
21
?
?
?
?
n
eee
0
过渡矩阵
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
11
111
??
?
?
C
0
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
n
n
n
n
x
x
x
x
y
y
y
y
C
1
2
1
1
2
1
??
有
而
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
1
11
11
1
?
??C
0
0
则 ?在基 ?1,?2,…,?n下的坐标为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
n
y
y
y
y
1
2
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
n
x
x
x
x
C
1
2
1
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
nn
x
xx
xx
xx
1
32
21
?
例 5.2 在平面直角坐标系 xoy里, i和 j为互相垂直的单位
向量, 它们构成 R2的一个基；现将 x轴和 y轴绕
原点 O 逆时针旋转角 ?, 令相应的单位向量为
?1,?2,则 ?1,?2也是 R2的一组基, 换基公式,
?1= cos ? i + sin ? j
?2= － sin ? i + cos ? j
?? ? R2,若 ?在基 i,j 下的坐标为 ( x,y )，
求 ?在基 ?1,?2下的坐标 ( x',y' )
y' x'
y
j
?1?
2
o i
? x
解,?
?
??
?
? ??
??
??
??
c o ss in
s inc o s
),(),( 21 ji
过渡矩阵 ?
?
??
?
? ??
??
??
c o ss in
s inc o s
C
?1= cos ? i + sin ? j
?2= － sin ? i + cos ? j
??
?
?
??
?
?
?
??
??
??
c oss i n
s i nc os1
C
求出
??
?
?
??
?
?
???
?
?
??
?
?
?
?
?
y
x
C
y
x 1 ?
?
??
?
??
?
??
?
?
?
?
y
x
??
??
c o ss in
s inc o s
即
x' = x cos ? + y sin ?
y' = － x sin ? + y cos ?
旋转坐标轴的坐标变换公式
