第五章 相似矩阵及二次型 1．试用施密特法把下列向量组正交化： 解　(1)　根据施密特正交化方法: 令，， ， 故正交化后得: ． (2)　根据施密特正交化方法令   故正交化后得  2．下列矩阵是不是正交阵: (1)　; (2)　． 解　　(1)　第一个行向量非单位向量,故不是正交阵． (2)　该方阵每一个行向量均是单位向量，且两两正交，故为正交阵． 3．设与都是阶正交阵，证明也是正交阵． 证明 因为是阶正交阵，故，  故也是正交阵． 4．求下列矩阵的特征值和特征向量: (1); (2); (3). 并问它们的特征向量是否两两正交? 解 (1)　①　 故的特征值为． ②　当时,解方程,由  得基础解系 所以是对应于的全部特征值向量． 当时,解方程,由  得基础解系 所以是对应于的全部特征向量． ③　 故不正交． (2)　①　 故的特征值为． ②　当时，解方程，由 得基础解系 故是对应于的全部特征值向量. 当时,解方程，由 得基础解系 故是对应于的全部特征值向量 当时，解方程，由 得基础解系 故是对应于的全部特征值向量． ③　， ， ， 所以两两正交． (3)　 =  ,  当时，    取为自由未知量，并令，设. 故基础解系为 当时，   可得基础解系  综上所述可知原矩阵的特征向量为  5．设方阵与相似，求. 解 方阵与相似，则与的特征多项式相同，即  ． 6．设都是阶方阵，且，证明与相似． 证明 则可逆  则与相似． 7．设3阶方阵的特征值为；对应的特征向量依次为，，求. 解 根据特征向量的性质知可逆, 得: 可得 得 8．设3阶对称矩阵的特征值6，3，3，与特征值6对应的特征向量为 ,求. 解 设 由，知① 3是的二重特征值,根据实对称矩阵的性质定理知的秩为1， 故利用①可推出 秩为1. 则存在实的使得②成立． 由①②解得． 得． 9．试求一个正交的相似变换矩阵,将下列对称矩阵化为对角矩阵: (1);　　(2)． 解　　(1)　 故得特征值为． 当时，由 解得 单位特征向量可取: 当时,由 解得 单位特征向量可取:  当时,由 　　解得． 单位特征向量可取:  得正交阵  (2)， 故得特征值为 当时，由 解得 此二个向量正交,单位化后,得两个单位正交的特征向量  单位化得 当时,由 解得 单位化:得正交阵  ． 10．(1)　设，求； (2)　设,求． 解　　(1)　是实对称矩阵. 故可找到正交相似变换矩阵 使得 从而 因此   ． (2)　同(1)求得正交相似变换矩阵  使得   ． 11．用矩阵记号表示下列二次型: (1)　; (2)　 (3)　 解　(1)　． (2)　． (3)　． 12．求一个正交变换将下列二次型化成标准形: (1) ; (2) ． 解　(1)　二次型的矩阵为  故的特征值为． 当时, 解方程，由  得基础解系. 取 当时，解方程，由  得基础解系取． 当时，解方程，由  得基础解系取， 于是正交变换为  且有． (2)二次型矩阵为 ， 故的特征值为 当时，可得单位特征向量， 当时，可得单位特征向量， 当时，可得单位特征向量，． 于是正交变换为  且有． 13．证明：二次型在时的最大值为矩阵的最大特征 值. 证明 为实对称矩阵，则有一正交矩阵，使得 成立． 其中为的特征值，不妨设最大， 为正交矩阵，则且，故 则． 其中 当时， 即即 ． 故得证． 14．判别下列二次型的正定性： (1); (2)  解　(1)　, ，，， 故为负定． (2)　，，, ,． 故为正定． 15．设为可逆矩阵,,证明为正定二次型． 证明 　设，，     ． 若“”成立，则成立． 即对任意使成立． 则线性相关,的秩小于，则不可逆，与题意产生矛盾． 于是成立． 故为正定二次型． 16．设对称矩阵为正定矩阵，证明：存在可逆矩阵，使． 证明　　正定，则矩阵满秩，且其特征值全为正． 不妨设为其特征值， 由定理8知，存在一正交矩阵 使  又因为正交矩阵，则可逆，． 所以． 令，可逆,则.