定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的
逆序数,
例如 排列 32514 中，
3 2 5 1 4
逆序数为 31
0 10
故此排列的逆序数为 3+1+0+1+0=5.
二,n阶行列式的定义
nnnn
n
n
nppp
t
aaa
aaa
aaa
D
aaa
n
nn
n
?
???
?
?
?
21
22221
11211
21
2
.)1(
21
?
??
记作
的代数和
个元素的乘积取自不同行不同列的
阶行列式等于所有个数组成的由
定义
).d e t ( ija简记作 的元素．称为行列式数 )d e t ( ijij aa
例 2 计算上 三角行列式
nn
n
n
a
aa
aaa
?
???????
?
?
00
0
222
11211
? ? ? ? nnnt aaa ?? 2211121??,2211 nnaaa ??
同理可得 下三角行列式
nnnnn
aaaa
aa
a
?
????????
?
?
321
2221
11
00
000
.2211 nnaaa ??
一、行列式的性质
性质 1 行列式与它的转置行列式相等,
行列式 称为行列式 的转置行列式, TD D
记
nn
a
a
a
?
22
11
?
?
?
n
n
a
aa
2
112
?
?
21
21
nn
aa
a
?D
?
?
?
2
121
n
n
a
aa
?
?
nn
a
a
21
12
?TD
nn
a
a
a
?
22
11
说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列
式的性质凡是对行成立的对列也同样成立,
性质 2 互换行列式的两行（列）,行列式变号,
证明 设行列式,
21
22221
11211
1
nnnn
n
n
bbb
bbb
bbb
D
?
???????
?
?
?
是由行列式 变换 两行得到的,? ?ijaD d et? ji,
推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则
此行列式为零,
证明 互换相同的两行，有
.0?? D
,DD ??
性质４ 行列式中如果有两行（列）元素成比
例，则此行列式为零．
证明
nnnn
inii
inii
n
aaa
kakaka
aaa
aaa
?
???????
?
???????
?
???????
?
21
21
21
11211
nnnn
inii
inii
n
aaa
aaa
aaa
aaa
k
?
???????
?
???????
?
???????
?
21
21
21
11211
?
.0?
性质 5 若行列式的某一列（行）的元素都是两
数之和,
nnnininn
nii
nii
aaaaa
aaaaa
aaaaa
D
??
????
??
??
)(
)(
)(
21
2222221
1111211
??
??
??
?
则 D等于下列两个行列式之和：
nnnin
ni
ni
nnnin
ni
ni
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
D
??
????
??
??
??
????
??
??
?
?
?
??
1
2221
1111
1
2221
1111例如
性质６ 把行列式的某一列（行）的各元素乘以
同一数然后加到另一列 (行 )对应的元素上去，行
列式不变．
njnjnin
jji
nji
aaaa
aaaa
aaaa
???
????
???
???
1
22221
11111
njnjnjnin
jjji
njji
ji
aakaaa
aakaaa
aakaaa
krr
???
????
???
???
)(
)(
)(
1
222221
111111
?
?
?
?
?k例如
a b c d
b a d c
c d a b
d c b a
a b c d
? ?
? ?
? ?
? ? ? ?( )
2 2 2 2 2
证 明,
( )a ? 0
左 边 a c
a
a b c d
ab a d c
ac d a b
ad c b a
? ? ?
? ?
? ?
1
2
1
b c?
2
,c c?
3
d c?
4
c
1
加 到 1 0
0
0
2 2 2 2
a
a b c d b c d
a d c
d a b
c b a
? ? ?
?
?
?
a c
a
a b c d
ab a d c
ac d a b
ad c b a
? ? ?
? ?
? ?
1
2
1
)(
2223
2222
2222
abadacc b dc b da
a
dcba
abc
bad
cda
a
dcba
?????
???
?
?
?
?
???
?
b c?
2
,c c?
3
d c?
4
c
1
加 到 1 0
0
0
2 2 2 2
a
a b c d b c d
a d c
d a b
c b a
? ? ?
?
?
?
右 边? ? ? ? ?( )a b c d2 2 2 2 2
计 算 其 中
n
n
axxx
xaxx
xxax
xxxa
D
?
?????
?
?
?
3
2
1
?
? ?.,,2,1.0 nixa i ????
D
n
r r
r r
r r
n
2 1
3 1
1
?
?
?
?
a
x a
x
a x
x x
x a a x
x a a x
n
1
1 2
1 3
1
0 0
0 0
0 0
? ?
? ?
? ?
? ? ? ?
? ?? ? ? ?
101
001
011
21
1
21
?
????
?
?
?
?
?
?
??
?
?
????
xa
x
xa
x
xa
a
xaxaxa
n
n
D
n
r r
r r
r r
n
2 1
3 1
1
?
?
?
?
a
x a
x
a x
x x
x a a x
x a a x
n
1
1 2
1 3
1
0 0
0 0
0 0
? ?
? ?
? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
100
000
010
1
221
21
?
????
?
?
??
?
xa
x
xa
x
xa
x
xa
x
xa
x
xaxaxa
nn
n
???
??
?
?
?
?
????
? ?? ? ? ?
101
001
011
21
1
21
?
????
?
?
?
?
?
?
??
?
?
????
xa
x
xa
x
xa
a
xaxaxa
n
n
? ? ? ? ? ?
100
000
010
1
221
21
?
????
?
?
??
?
xa
x
xa
x
xa
x
xa
x
xa
x
xaxaxa
nn
n
???
??
?
?
?
?
????
? ?? ? ? ? ??
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?????
xaxaxax
xaxaxax
n
n
1111
21
21 ??
例 3
nnn
n
nkn
k
kkk
k
bb
bb
cc
cc
aa
aa
D
?
??
?
?
??
?
?
??
?
1
111
1
111
1
111
0
?设
,)d e t(
1
111
1
kkk
k
ij
aa
aa
aD
?
??
?
??,)d e t(
1
111
2
nnn
n
ij
bb
bb
bD
?
??
?
??
.21 DDD ?证明
八, (7分 )计算行列式 的值,
530000
310000
271100
891200
048531
167342
??
?
?
??
?D
53
31
11
12
31
42 ??
?
?
??D 432 ??? 24?
六, (7分 ) 计 算 行 列 式
的 值,
210000
121000
002100
001200
000121
000012
?
??
?
?
??
?
?D
2100
1210
0021
0012
21
12
?
??
?
?
?
?
?D
21
12
21
12
3
?
?
?
?
?
??
273 3 ??
在 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第
列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素
的 余子式,记作
n ija i j
1?n ija
.Mij
? ?,记 ijjiij MA ??? 1叫做元素 的 代数余子式,ija
例如
44434241
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
D ?
444241
343231
141211
23
aaa
aaa
aaa
M ?
? ? 233223 1 MA ???,23M??
一、余子式与代数余子式
定理３ 行列式等于它的任一行（列）的各元
素与其对应的代数余子式乘积之和，即
ininiiii AaAaAaD ???? ?2211? ?ni,,2,1 ??
二、行列式按行（列）展开法则
例 1
3351
1102
4315
2113
??
?
??
?
?D
0355
0100
13111
1115
??
??
?
? ? 31 2 cc ??
34 cc ?
055
1111
115
)1( 33
??
???? ?
055
026
115
??
?
55
26
)1( 31
??
?
?? ?
50
28
?
?
?,40?
12 rr ?
推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）
的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
.ji,AaAaAa jninjiji ????? 02211 ?
一、克拉默法则
如果线性方程组 )1(
2211
22222121
11212111
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
?
????????????
?
?
的系数行列式不等于零，即
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
?
???????
?
?
21
22221
11211
?
0?
.DDx,,DDx,DDx,DDx nn ???? ?232211
其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程
组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即
jD D j
n
nnj,nnj,nn
nj,j,
j
aabaa
aabaa
D
??
???????????
??
111
11111111
??
??
?
那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，解
可以表为
??1
用克拉默法则解方程组的两个条件
(1)方程个数等于未知量个数 ; (2)系数行列式不等于零,
定理 1 如果线性方程组 的系数行列式
则 一定有解,且解是唯一的,
??1
??1
,0?D
定理 2 如果线性方程组 无解或有两个不同的
解，则它的系数行列式必为零,
??1
)1(
2211
22222121
11212111
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
?
????????????
?
?
齐次线性方程组的相关定理 ? ?2
0
0
0
2211
2222121
1212111
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
nnnnn
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
?
????????????
?
?
定理 如果齐次线性方程组 的系数行列式
则齐次线性方程组 没有非零解,0?D
? ?2
? ?2
定理 如果齐次线性方程组 ? ?2 有非零解,则它
的系数行列式必为零,
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
0
0
0
2211
2222121
1212111
nnnnn
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
?
????????????
?
?
有非零解,
系数行列式 0?D
例 3 问 取何值时，齐次方程组? ?
? ?
? ???
?
?
?
????
????
????
,01
,032
,0421
321
321
321
xxx
xxx
xxx
?
?
?
有非零解？
?
解
?
?
?
?
?
??
?
111
132
421
D
?
?
??
?
?
???
?
101
112
431
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????? ?????????? 3121431 3
? ? ? ? 3121 23 ?????? ???
齐次方程组有非零解，则 0?D
所以 或 时齐次方程组有非零解,20 ?? ??,3??
逆序数,
例如 排列 32514 中，
3 2 5 1 4
逆序数为 31
0 10
故此排列的逆序数为 3+1+0+1+0=5.
二,n阶行列式的定义
nnnn
n
n
nppp
t
aaa
aaa
aaa
D
aaa
n
nn
n
?
???
?
?
?
21
22221
11211
21
2
.)1(
21
?
??
记作
的代数和
个元素的乘积取自不同行不同列的
阶行列式等于所有个数组成的由
定义
).d e t ( ija简记作 的元素．称为行列式数 )d e t ( ijij aa
例 2 计算上 三角行列式
nn
n
n
a
aa
aaa
?
???????
?
?
00
0
222
11211
? ? ? ? nnnt aaa ?? 2211121??,2211 nnaaa ??
同理可得 下三角行列式
nnnnn
aaaa
aa
a
?
????????
?
?
321
2221
11
00
000
.2211 nnaaa ??
一、行列式的性质
性质 1 行列式与它的转置行列式相等,
行列式 称为行列式 的转置行列式, TD D
记
nn
a
a
a
?
22
11
?
?
?
n
n
a
aa
2
112
?
?
21
21
nn
aa
a
?D
?
?
?
2
121
n
n
a
aa
?
?
nn
a
a
21
12
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nn
a
a
a
?
22
11
说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列
式的性质凡是对行成立的对列也同样成立,
性质 2 互换行列式的两行（列）,行列式变号,
证明 设行列式,
21
22221
11211
1
nnnn
n
n
bbb
bbb
bbb
D
?
???????
?
?
?
是由行列式 变换 两行得到的,? ?ijaD d et? ji,
推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则
此行列式为零,
证明 互换相同的两行，有
.0?? D
,DD ??
性质４ 行列式中如果有两行（列）元素成比
例，则此行列式为零．
证明
nnnn
inii
inii
n
aaa
kakaka
aaa
aaa
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???????
?
???????
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21
21
21
11211
nnnn
inii
inii
n
aaa
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k
?
???????
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???????
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???????
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21
21
21
11211
?
.0?
性质 5 若行列式的某一列（行）的元素都是两
数之和,
nnnininn
nii
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aaaaa
aaaaa
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D
??
????
??
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)(
)(
)(
21
2222221
1111211
??
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则 D等于下列两个行列式之和：
nnnin
ni
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1
2221
1111
1
2221
1111例如
性质６ 把行列式的某一列（行）的各元素乘以
同一数然后加到另一列 (行 )对应的元素上去，行
列式不变．
njnjnin
jji
nji
aaaa
aaaa
aaaa
???
????
???
???
1
22221
11111
njnjnjnin
jjji
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111111
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a b c d
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证 明,
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左 边 a c
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1
2
1
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加 到 1 0
0
0
2 2 2 2
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计 算 其 中
n
n
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x x
x a a x
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21
1
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x x
x a a x
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xaxaxax
n
n
1111
21
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例 3
nnn
n
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kkk
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cc
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1
111
1
111
1
111
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,)d e t(
1
111
1
kkk
k
ij
aa
aa
aD
?
??
?
??,)d e t(
1
111
2
nnn
n
ij
bb
bb
bD
?
??
?
??
.21 DDD ?证明
八, (7分 )计算行列式 的值,
530000
310000
271100
891200
048531
167342
??
?
?
??
?D
53
31
11
12
31
42 ??
?
?
??D 432 ??? 24?
六, (7分 ) 计 算 行 列 式
的 值,
210000
121000
002100
001200
000121
000012
?
??
?
?
??
?
?D
2100
1210
0021
0012
21
12
?
??
?
?
?
?
?D
21
12
21
12
3
?
?
?
?
?
??
273 3 ??
在 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第
列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素
的 余子式,记作
n ija i j
1?n ija
.Mij
? ?,记 ijjiij MA ??? 1叫做元素 的 代数余子式,ija
例如
44434241
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
D ?
444241
343231
141211
23
aaa
aaa
aaa
M ?
? ? 233223 1 MA ???,23M??
一、余子式与代数余子式
定理３ 行列式等于它的任一行（列）的各元
素与其对应的代数余子式乘积之和，即
ininiiii AaAaAaD ???? ?2211? ?ni,,2,1 ??
二、行列式按行（列）展开法则
例 1
3351
1102
4315
2113
??
?
??
?
?D
0355
0100
13111
1115
??
??
?
? ? 31 2 cc ??
34 cc ?
055
1111
115
)1( 33
??
???? ?
055
026
115
??
?
55
26
)1( 31
??
?
?? ?
50
28
?
?
?,40?
12 rr ?
推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）
的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
.ji,AaAaAa jninjiji ????? 02211 ?
一、克拉默法则
如果线性方程组 )1(
2211
22222121
11212111
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
?
????????????
?
?
的系数行列式不等于零，即
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
?
???????
?
?
21
22221
11211
?
0?
.DDx,,DDx,DDx,DDx nn ???? ?232211
其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程
组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即
jD D j
n
nnj,nnj,nn
nj,j,
j
aabaa
aabaa
D
??
???????????
??
111
11111111
??
??
?
那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，解
可以表为
??1
用克拉默法则解方程组的两个条件
(1)方程个数等于未知量个数 ; (2)系数行列式不等于零,
定理 1 如果线性方程组 的系数行列式
则 一定有解,且解是唯一的,
??1
??1
,0?D
定理 2 如果线性方程组 无解或有两个不同的
解，则它的系数行列式必为零,
??1
)1(
2211
22222121
11212111
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
?
????????????
?
?
齐次线性方程组的相关定理 ? ?2
0
0
0
2211
2222121
1212111
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
nnnnn
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
?
????????????
?
?
定理 如果齐次线性方程组 的系数行列式
则齐次线性方程组 没有非零解,0?D
? ?2
? ?2
定理 如果齐次线性方程组 ? ?2 有非零解,则它
的系数行列式必为零,
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
0
0
0
2211
2222121
1212111
nnnnn
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
?
????????????
?
?
有非零解,
系数行列式 0?D
例 3 问 取何值时，齐次方程组? ?
? ?
? ???
?
?
?
????
????
????
,01
,032
,0421
321
321
321
xxx
xxx
xxx
?
?
?
有非零解？
?
解
?
?
?
?
?
??
?
111
132
421
D
?
?
??
?
?
???
?
101
112
431
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????? ?????????? 3121431 3
? ? ? ? 3121 23 ?????? ???
齐次方程组有非零解，则 0?D
所以 或 时齐次方程组有非零解,20 ?? ??,3??
