第二章 讨论课求磁感应强度 B
关于磁力的讨论综合讨论
2005.3 北京大学物理学院王稼军编求磁感应强度 B
例一：一无穷长载流直导线，
在某处弯成一个半径为 R的半形，通以电流，求垂直于 O点的直线上一点 P(OP=x)的磁感应强度
解：分三段取微元算
半圆
两半无限长
问题：
可否先求出闭合圆环轴线上的场再取其二分之一？
对半圆取微元求 dB，如此投影？
3
0
4 r
rlIdBd?
c o s
,s in
dBdB
dBdB
z
x
2005.3 北京大学物理学院王稼军编结论：
用整个圆环后取 1/2，
只求了 x轴分量，丢掉了 z分量
c o s
,s in
dBdB
dBdB
z
x
X
如此投影没有考虑 dB矢量性
s inc os
,s in
dBdB
dBdB
z
x
正确的做法注意各个量的表示
2005.3 北京大学物理学院王稼军编
例二：证明当一对电流元对一平面成镜象对称时,它们在对称面上产生的合磁感应强度必沿平面的法线方向 。
jdyidxld1
11 ),,( rcbaPA
jdyidxld2
22 ),,( rcbaPA
2211 rldrldBd P
ic d y
cba
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kji
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2
00
2
1
)(
)(
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rjdyidxB P
)()( 2121 rrjdyrridx
ia?2?
kcjb 22?
icdy?2?
2005.3 北京大学物理学院王稼军编
例三：如图电流 I流过边长为 a的等边三角形导线,求电流在此三角形为底的正四面体的顶点处 P的磁感应强度 B的大小和方向
解题的要点是抓住 B的矢量性,空间角度
先求一根导线在 P点的 B,分析三根导线产生的 B
的关系,然后投影,叠加
1
0
11
0 c o s
2)]c o s ([ c o s4
r
I
r
IB
AB
ar 23?
2
1
3c o sc o s 1
1
0
32
BBB
a
IB
CABCAB
2005.3 北京大学物理学院王稼军编三者方向
方向向上同 B?
0||B
c o s33 1
3
1
BBBB P
3
1c o s
PD
OD?
a
I
a
I
a
IB
P?
6
3
323
1
32
3 000
2005.3 北京大学物理学院王稼军编
例四：如图取直角坐标系 xyz
在 -d? x? d的一层无穷区域内有均匀的传导电流,电流密度的方向为 z轴的正方向,大小恒定为 j。 试求区域内外各处的磁感应强度 B的分布 。
可以等效于一系列与 Z轴平行的无线大电流平板 。 磁感应强度只有 y轴分量
先将平板分割成无限大载流平面
讨论一块无限大载流平面产生磁场 B’的对称性
讨论该区域电流产生磁场的对称性
利用安培环路定理算出
2005.3 北京大学物理学院王稼军编
切一薄片沿 Z轴分割成成对长直导线，叠加结果的 dB
必平行或反平行于 y轴；
或者从轴矢量角度分析
对一块板作安培环路
L
jlldB 0
jllB 02 jB
2
0
结论,B’与距离无关
2005.3 北京大学物理学院王稼军编叠加结果：中垂面上 B=0
作高斯面如图
j x ldlBdx
L
0
jxB 0
j dldlBdx
L
0
jdB 0
jB 20
2005.3 北京大学物理学院王稼军编
例五：如图 (a)所示,半径为 R,质量为 m的匀质细圆环均匀带电,总电量为 Q(Q＞ o),放在光滑的水平面上,环内外有垂直环面向上的均匀磁场 B,若将圆环以角速度?绕着通过圆心的竖直轴匀速旋转,试求环内因为这种转动而形成的附加张力 。
磁场中环旋转形成电流，
对环的一个微元分析力安培力 张力合力维持匀速旋转
/2
QI?
磁力
2005.3 北京大学物理学院王稼军编
微元在磁场 B中受力 BRdQI d l BdF m?
2
TddTdF T 2s in2
RmdR vdmdF O 2
2
2
)(?
微元所受附加张力 T
合力
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2
讨论：
线圈受到安培力属于什么性质的力？
这里的电荷是否是严格的线分布？
/2
QI?
)(2 mQBRT dmRdRmdm 22
2005.3 北京大学物理学院王稼军编
无外场情况下载流线圈受力
扩张力 —— 使线圈变形
如果扩张力大 —— 线圈断裂
例：超导线圈，零电阻，允许大电流通过，所以出现线圈损伤的原因不是,烧坏,的，而是撑坏的 ——
扩张力的后果
等离子体磁约束，外加磁场靠大电流提供，需要考虑装置的承受力都是扩张力
A310~1
A510~
结论,线圈自身安培力使圈内磁场区得以扩大线圈受到的安培力为扩张力
2005.3 北京大学物理学院王稼军编电荷是否是严格的线分布？
否！
如果电荷分布为严格的线密度分布，则每个相邻电荷之间的间距趋于零，静电斥力
(张力 )必然发散。
实际的环上的电荷分布不是线分布，而是体分布。所以张力为有限值
所谓线分布或点分布都是理想模型
2005.3 北京大学物理学院王稼军编例六
设电子质量为 m，带负电荷 e，以角速度?
绕带正电的质子作圆周运动。当加上外磁场 B,其方向垂直于电子轨道平面,设电子轨道半径不因加上磁场而改变,试证明电子角速度的改变量近似等于
m
eB
2
2005.3 北京大学物理学院王稼军编即讨论：外磁场对电子轨道运动的影响
无磁场时，电子仅受库仑力，其角速度?0满足
加外磁场 B,设电子角速度平行于外磁场,电子受库仑力、洛仑兹力（ 与库仑力同向）,假设轨道的半径不变（相当于定态假设），设洛仑兹力远小于库仑力有
rm
r
Ze 2
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2
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1
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2005.3 北京大学物理学院王稼军编
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0
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0
2
24
洛伦兹力远小于库仑力,高阶无穷小,略
m
eB
2
考虑电子角速度反平行于外磁场，有同样结论,的方向总是与外磁场 B相同
电子角速度改变将引起电子磁矩改变
Bωm mreer 42
222
总是与外磁场方向相反
2005.3 北京大学物理学院王稼军编综合讨论
如何理解密绕无限长螺线管外部 B=0？
讨论书上 p141思考题 2
－ 7,利用圆形线圈轴线上磁场公式算出
Idz
ZR
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02322
2
0
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2
4
结果等同于
IldB
L
0
原来证明螺线管外部 B=0?如何理解？
2005.3 北京大学物理学院王稼军编
2－ 8问证明无限长螺线管外部磁场为零点成立条件是什么？
答：其实这个证明只证明了通过无限长螺线管轴线平面内磁场分量为零,没有涉及垂直于该平面的分量,而要求此分量为零则要求电流动轴向分量为零,比密绕要求高,即忽略电流步进 。 进一步讨论
关于磁力的讨论综合讨论
2005.3 北京大学物理学院王稼军编求磁感应强度 B
例一：一无穷长载流直导线，
在某处弯成一个半径为 R的半形，通以电流，求垂直于 O点的直线上一点 P(OP=x)的磁感应强度
解：分三段取微元算
半圆
两半无限长
问题：
可否先求出闭合圆环轴线上的场再取其二分之一？
对半圆取微元求 dB，如此投影？
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正确的做法注意各个量的表示
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例二：证明当一对电流元对一平面成镜象对称时,它们在对称面上产生的合磁感应强度必沿平面的法线方向 。
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例三：如图电流 I流过边长为 a的等边三角形导线,求电流在此三角形为底的正四面体的顶点处 P的磁感应强度 B的大小和方向
解题的要点是抓住 B的矢量性,空间角度
先求一根导线在 P点的 B,分析三根导线产生的 B
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例四：如图取直角坐标系 xyz
在 -d? x? d的一层无穷区域内有均匀的传导电流,电流密度的方向为 z轴的正方向,大小恒定为 j。 试求区域内外各处的磁感应强度 B的分布 。
可以等效于一系列与 Z轴平行的无线大电流平板 。 磁感应强度只有 y轴分量
先将平板分割成无限大载流平面
讨论一块无限大载流平面产生磁场 B’的对称性
讨论该区域电流产生磁场的对称性
利用安培环路定理算出
2005.3 北京大学物理学院王稼军编
切一薄片沿 Z轴分割成成对长直导线，叠加结果的 dB
必平行或反平行于 y轴；
或者从轴矢量角度分析
对一块板作安培环路
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结论,B’与距离无关
2005.3 北京大学物理学院王稼军编叠加结果：中垂面上 B=0
作高斯面如图
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2005.3 北京大学物理学院王稼军编
例五：如图 (a)所示,半径为 R,质量为 m的匀质细圆环均匀带电,总电量为 Q(Q＞ o),放在光滑的水平面上,环内外有垂直环面向上的均匀磁场 B,若将圆环以角速度?绕着通过圆心的竖直轴匀速旋转,试求环内因为这种转动而形成的附加张力 。
磁场中环旋转形成电流，
对环的一个微元分析力安培力 张力合力维持匀速旋转
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微元所受附加张力 T
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讨论：
线圈受到安培力属于什么性质的力？
这里的电荷是否是严格的线分布？
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2005.3 北京大学物理学院王稼军编
无外场情况下载流线圈受力
扩张力 —— 使线圈变形
如果扩张力大 —— 线圈断裂
例：超导线圈，零电阻，允许大电流通过，所以出现线圈损伤的原因不是,烧坏,的，而是撑坏的 ——
扩张力的后果
等离子体磁约束，外加磁场靠大电流提供，需要考虑装置的承受力都是扩张力
A310~1
A510~
结论,线圈自身安培力使圈内磁场区得以扩大线圈受到的安培力为扩张力
2005.3 北京大学物理学院王稼军编电荷是否是严格的线分布？
否！
如果电荷分布为严格的线密度分布，则每个相邻电荷之间的间距趋于零，静电斥力
(张力 )必然发散。
实际的环上的电荷分布不是线分布，而是体分布。所以张力为有限值
所谓线分布或点分布都是理想模型
2005.3 北京大学物理学院王稼军编例六
设电子质量为 m，带负电荷 e，以角速度?
绕带正电的质子作圆周运动。当加上外磁场 B,其方向垂直于电子轨道平面,设电子轨道半径不因加上磁场而改变,试证明电子角速度的改变量近似等于
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2005.3 北京大学物理学院王稼军编即讨论：外磁场对电子轨道运动的影响
无磁场时，电子仅受库仑力，其角速度?0满足
加外磁场 B,设电子角速度平行于外磁场,电子受库仑力、洛仑兹力（ 与库仑力同向）,假设轨道的半径不变（相当于定态假设），设洛仑兹力远小于库仑力有
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2005.3 北京大学物理学院王稼军编综合讨论
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原来证明螺线管外部 B=0?如何理解？
2005.3 北京大学物理学院王稼军编
2－ 8问证明无限长螺线管外部磁场为零点成立条件是什么？
答：其实这个证明只证明了通过无限长螺线管轴线平面内磁场分量为零,没有涉及垂直于该平面的分量,而要求此分量为零则要求电流动轴向分量为零,比密绕要求高,即忽略电流步进 。 进一步讨论
