2005.3 北京大学物理学院王稼军编写安培环路定理
载流线圈与磁偶极层的等价性
安培环路定理的表述和证明
磁感应强度是轴矢量
安培环路定理应用举例
2005.3 北京大学物理学院王稼军编写载流线圈与磁偶极层的等价性
证明闭合载流线圈产生的磁场正比于线圈回路对场点所张的立体角的梯度
)(
2
12
1210
2
1
4)( L
dI
r
rlrB
L1在 P点产生的磁感应强度设想 P有一小位移 dL2
相当于 P不动线圈作 -dL2位移
)(
2
12
12120
)(
2
12
12120
22
11
)(
4
)?(
4)( LL
ddIddId
r
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r
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CBACBA )()(运用
2005.3 北京大学物理学院王稼军编写
44
)(
4
)(
4
)(
0
)(
0
)(
2
21
21120
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r
整个线圈在位移
-dL2扫过的环带
对场点 p所张的立体角灰色面元所对立体角
:曲面 S
对 P点所张立体角
‘:曲面 S’对
P点所张立体角
',0'
也可理解为场点
P作平移 dL2引起立体角变化可看成是场点坐标 r2的函数
2005.3 北京大学物理学院王稼军编写
反映了载流线圈与磁偶极子是等价的
两个讨论磁化的模型是等价的
在下面证明安培环路定理时直接引用
代入前式2' ld
坐标 r2的函数 泰勒展开
2022 4)( llrB dId
4
0 IB
2005.3 北京大学物理学院王稼军编写安培环路定理表述和证明
表述：
磁感应强度沿任何闭合环路 L的线积分,等于穿过这环路所有电流强度的代数和的?0倍
L L
IldB
内
0?
内L
III 21 2
2005.3 北京大学物理学院王稼军编写证明
从毕奥 — 萨筏尔定律出发
先考虑单回路
再推广载流回路为边界的曲面 S
L与载流回路套连
122
211
PPL
PPL
从下到上从上到下
：
：
1
2
2
2
1
1
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)(
)(
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1
2
1
1
llB4 0 IB
曲面两侧两点无限趋近曲面时，立体角趋近于 4?
L2穿过 S时 B是连续且有限的，
—— 0
2005.3 北京大学物理学院王稼军编写
Iddd
P
L
pL
P
L
p
0
)(
)(
)(
1
2
2
2
1
1
lBlBlB
如果，安培环路与载流回路不套连，则环绕它一周立体角回到原值，积分为 0
运用叠加原理，推广到多个载流回路
L L
IldB
内
0?
穿过闭合环路的电流空间所有电流产生的磁感应强度矢量和
2005.3 北京大学物理学院王稼军编写安培环路定理的微分形式
利用斯托克斯定理
L L
IldB
内
0?
SS
SdjSdB 0)(?
jB 0
微分形式
说明 B的旋度不为零 —— 有旋场
2005.3 北京大学物理学院王稼军编写磁感应强度是轴矢量
镜像反射的变化规律
极矢量：与镜面平行分量不变，垂直分量反向
dl,r,v,F,E,P
轴矢量：与镜面垂直分量不变，平行分量反向
两个极矢量叉乘＝轴矢量
由毕奥－萨筏尔定律决定
B是轴矢量
推论,镜面对称的载流系统在镜面处产生的磁感应强度垂直于镜
rld
2005.3 北京大学物理学院王稼军编写安培环路定理应用举例
无限长圆柱形载流导体磁场
载流长直螺线管内的磁场
载流螺绕环的磁场
习题 p144 2－ 17,19,20
2005.3 北京大学物理学院王稼军编写无限长圆柱形载流导体磁场
p106 例题 6
导线半径为 R，电流 I均匀地通过横截面
轴对称 (利用 B是轴矢量分析）
取环路：分两种情况
r
IBIIRr
2,,
0
内
2022 2,,RIrBrRIIRr内电流密度
2005.3 北京大学物理学院王稼军编写载流长直螺线管内的磁场 p108 例题 7
密绕,L>>R,忽略螺距；
B是轴矢量，垂直于镜面?；
论证管外 B=0
管外即使有磁场也是沿轴向的；
作回路如 a，可以证明 p 点 B=0;
求管内任意 P点的磁场
L S
iIldB
内
0?
ldBldBldBldBldB
PL
nIa
nIB 0
0Ba
无穷远处磁场为 0
2005.3 北京大学物理学院王稼军编写载流螺绕环的磁场
p109 例题 8
密绕,匝数,N,电流,I
利用 B是轴矢量的特征分析场的对称性：
磁感应线与环共轴
R>>d
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L S
i 002
内r
NIB
2
0?
nIBRNn 0,2 形式上与无限长螺线管内磁场一样
2005.3 北京大学物理学院王稼军编写例题：
一根半径为 R的无限长圆柱形导体管,管内空心部分半径为 r,空心部分的轴与圆柱的轴平行,但不重合,两轴间距为 a,且 a>>r,现有电流 I沿导体管流动电流均匀分布,电流方向如图求：
洞内的 B
洞中心 O’及大圆柱内一点的 B
在哪些情况下可以用安培环路定理求 B？
载流线圈与磁偶极层的等价性
安培环路定理的表述和证明
磁感应强度是轴矢量
安培环路定理应用举例
2005.3 北京大学物理学院王稼军编写载流线圈与磁偶极层的等价性
证明闭合载流线圈产生的磁场正比于线圈回路对场点所张的立体角的梯度
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2
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4)( L
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L1在 P点产生的磁感应强度设想 P有一小位移 dL2
相当于 P不动线圈作 -dL2位移
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2005.3 北京大学物理学院王稼军编写
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整个线圈在位移
-dL2扫过的环带
对场点 p所张的立体角灰色面元所对立体角
:曲面 S
对 P点所张立体角
‘:曲面 S’对
P点所张立体角
',0'
也可理解为场点
P作平移 dL2引起立体角变化可看成是场点坐标 r2的函数
2005.3 北京大学物理学院王稼军编写
反映了载流线圈与磁偶极子是等价的
两个讨论磁化的模型是等价的
在下面证明安培环路定理时直接引用
代入前式2' ld
坐标 r2的函数 泰勒展开
2022 4)( llrB dId
4
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2005.3 北京大学物理学院王稼军编写安培环路定理表述和证明
表述：
磁感应强度沿任何闭合环路 L的线积分,等于穿过这环路所有电流强度的代数和的?0倍
L L
IldB
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0?
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III 21 2
2005.3 北京大学物理学院王稼军编写证明
从毕奥 — 萨筏尔定律出发
先考虑单回路
再推广载流回路为边界的曲面 S
L与载流回路套连
122
211
PPL
PPL
从下到上从上到下
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曲面两侧两点无限趋近曲面时，立体角趋近于 4?
L2穿过 S时 B是连续且有限的，
—— 0
2005.3 北京大学物理学院王稼军编写
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如果，安培环路与载流回路不套连，则环绕它一周立体角回到原值，积分为 0
运用叠加原理，推广到多个载流回路
L L
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穿过闭合环路的电流空间所有电流产生的磁感应强度矢量和
2005.3 北京大学物理学院王稼军编写安培环路定理的微分形式
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L L
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微分形式
说明 B的旋度不为零 —— 有旋场
2005.3 北京大学物理学院王稼军编写磁感应强度是轴矢量
镜像反射的变化规律
极矢量：与镜面平行分量不变，垂直分量反向
dl,r,v,F,E,P
轴矢量：与镜面垂直分量不变，平行分量反向
两个极矢量叉乘＝轴矢量
由毕奥－萨筏尔定律决定
B是轴矢量
推论,镜面对称的载流系统在镜面处产生的磁感应强度垂直于镜
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2005.3 北京大学物理学院王稼军编写安培环路定理应用举例
无限长圆柱形载流导体磁场
载流长直螺线管内的磁场
载流螺绕环的磁场
习题 p144 2－ 17,19,20
2005.3 北京大学物理学院王稼军编写无限长圆柱形载流导体磁场
p106 例题 6
导线半径为 R，电流 I均匀地通过横截面
轴对称 (利用 B是轴矢量分析）
取环路：分两种情况
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2022 2,,RIrBrRIIRr内电流密度
2005.3 北京大学物理学院王稼军编写载流长直螺线管内的磁场 p108 例题 7
密绕,L>>R,忽略螺距；
B是轴矢量，垂直于镜面?；
论证管外 B=0
管外即使有磁场也是沿轴向的；
作回路如 a，可以证明 p 点 B=0;
求管内任意 P点的磁场
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无穷远处磁场为 0
2005.3 北京大学物理学院王稼军编写载流螺绕环的磁场
p109 例题 8
密绕,匝数,N,电流,I
利用 B是轴矢量的特征分析场的对称性：
磁感应线与环共轴
R>>d
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nIBRNn 0,2 形式上与无限长螺线管内磁场一样
2005.3 北京大学物理学院王稼军编写例题：
一根半径为 R的无限长圆柱形导体管,管内空心部分半径为 r,空心部分的轴与圆柱的轴平行,但不重合,两轴间距为 a,且 a>>r,现有电流 I沿导体管流动电流均匀分布,电流方向如图求：
洞内的 B
洞中心 O’及大圆柱内一点的 B
在哪些情况下可以用安培环路定理求 B？
