2005.3 北京大学物理学院王稼军编磁场的,高斯定理,磁矢势
磁通量
任意磁场，磁通量定义为
S
B SdB
磁感应线的特点：
环绕电流的无头无尾的闭合线或伸向无穷远
0
S
B SdB
磁高斯定理 无源场
2005.3 北京大学物理学院王稼军编磁高斯定理
通过磁场中任一闭合曲面 S的总磁通量恒等于零
证明：
单个电流元 Idl的磁感应线：以 dl方向为轴线的一系列同心圆，圆周上 B 处处相等；
2
0 s in
4 r
I d ldB?
2005.3 北京大学物理学院王稼军编
考察任一磁感应管 (正截面为 )，
取任意闭合曲面 S,磁感应管穿入 S一次,穿出一次 。
dSdSdS 2211 c o sc o s
dSrI d ldSrI d lSdBdd B 20112011 s i n4c o ss i n41
dSrI d ldSrI d lSdBdd B 20222022 s i n4c o ss i n42
021 BBB ddd
结论：任一磁感应管经闭合曲面 S的磁通量为零
2005.3 北京大学物理学院王稼军编推广到任意载流回路的磁场
一个电流元 产生的磁场可看成由许多磁感应管组成
有的穿入又穿出,有上述结论
有的没穿过 S,磁通量为零
任意载流回路 —— 由许多电流元串联而成,由叠加原理得
结论,通过磁场中任一闭合曲面 S的总磁通量恒等于零。
2005.3 北京大学物理学院王稼军编磁高斯定理的微分形式
利用数学的高斯定理
0
S
B SdB
0
V
dVB 0 B
说明恒磁场的散度为零 —— 无源场
2005.3 北京大学物理学院王稼军编磁矢势
然而磁场的主要特征：无源（无散） ——
磁高斯定理
其 更根本 的意义：使我们可能引入磁矢势
0
S
SdB
L L
IldB
内
0?
无源场有旋场非保守场一般不引入标势
0 B
jB
2005.3 北京大学物理学院王稼军编
磁高斯定理表明：对任意闭合面
0
21
SSS
SdBSdBSdB
21 SS
SdBSdB
磁通量仅由的共同边界线所决定 可能找到一个矢量 A,它沿 L作线积分等于通过 S的通量
)( add
L S
SBlA
数学上可以证明，这样的矢量 A的确存在，
对于磁感应强度 B,A叫做 磁矢势,A在空间的分布也构成矢量场，简称 矢势
2005.3 北京大学物理学院王稼军编根据矢量分析
对任意矢量 A有 0)( A AB
矢势的特点不唯一的满足 AAB
其实标势也不唯一，零点可选
如：对于任意标量场?的梯度，有 0
BAAA )(
描述同一个磁感应强度 B A'A：规范变换
类似于电势零点可以任取，规范也可任意选取
通常选库仑规范,A=0
2005.3 北京大学物理学院王稼军编找电流产生的磁场中磁矢势的表达式
电流元的磁矢势 p112式（ 2.55)
任意闭合回路的磁矢势 式（ 2.56)
例题 9
例题 10
例题 11
得出利用对称性由
L S
dd SBlA
两种办法的表达式由 AAAB 0和 电动力学的做法普通物理的方法
2005.3 北京大学物理学院王稼军编电流元的磁矢势
设磁矢势 a与电流元平行
（因为对矢势变换规范可以任选，选库仑规范A=0
的结果） —— a只有 z分量以电流元为轴,取 柱坐标 （?,?,z )
取闭合环路 L
dlpdddddd
bdCba LLLLLL
)(zalalalalalala
dca LLL a,a,
只有这一段积分有贡献
SL
ddlpd lBala z )(？
2005.3 北京大学物理学院王稼军编计算通过 L的通量
场点 P和回路 L在?＝ 0
的平面内
通过 L的磁感应通量为：
00 0 z、、,?P 点坐标
0zzd?处的?
2
10 s in
4 r
I d ldB?
0 210 s in4 r ddlI d ld B?
2000 c o s/,t an,c o s/ dzdzzr
0
10
0
0
102/
0
10
4co s4s i n4 0 r
dlI d l
z
dlI d ld
z
dlI d ld
B?
dlpdd
LS
)(zalalB
消去 dl
0
10
4)( r
Id lpa
z
2005.3 北京大学物理学院王稼军编同向1la dp 与)(
0
10
4
)(
r
Idp
la?
上式为电流元所产生的磁场中矢势的一个表达式 —— 矢势表达式不唯一
任意闭合载流回路 L1 在空间某点的矢势
)(
10
1
4
)(
L r
dIp lA
电流在导线截面上均匀分布电流回路
假如电流在载流截面上不均匀分布
V r
dp V'r'jA )(
4
)( 0
2005.3 北京大学物理学院王稼军编矢势公式的应用举例
例题 9：一对平行无限长直导线，载有等量反向电流 I
先求一根无限长直导线的磁矢势（如图）
设矢势 A只有 z分量
无限长 —— Az与 z无关
轴对称 —— Az与?无关
Az只是?的函数,Az＝ Az(?)
取回路
P
Q
LLLLLLL
IldIl
BdllQP
ddddddd
Q
P
Q
P
dbdCba
ln
22
)]()([ 00
zz
AA
lAlAlAlAlAlAlA
求磁通量
2005.3 北京大学物理学院王稼军编
P
QIQP
ln
2)]()([
0
zz AA
一根无限长导线在空间任一两点之间的矢势差
两根无限长载流直导线的磁矢势
矢量叠加（如图）
P
Q
P
Q
I
QP
I
QP
ln
2
)]()([
ln
2
)]()([
0
0
z
z
AA
AA
z
z
叠加得 P
点总矢势
ln
2
ln
2
lnln
2
)]()([ 000 IIIQP
P
P
P
Q
P
Q
zz AA
取 Q
零点
＋
2005.3 北京大学物理学院王稼军编
例题 10：无限长圆柱型导体，半径为 R，载有在界面上均匀分布的电流 I，求磁矢势
r<R：导线内部 P点，取 Q点在导体轴线上，取回路如图，通过回路的磁通量
r>R：导线外部同例题 9，取 Q点在导体表面，外部任意点 P与 Q点的矢势差为
2
2
000
2
0
42 R
lIrr d r
R
IlB d rl
rrB?
RrRIrrr,4)()]0()([ 2
2
0
zzz AAA
RrRrIIRrIRr ],21[ l n24ln2)]()([ 000zz AA
4)( 0
IR
zAR,r
2005.3 北京大学物理学院王稼军编求矢势小结
依据公式 (a)求矢势的基本步骤
根据对称性，假设一个矢势的方向
取闭合回路，注意矢势零点的选取（原则：或可提出积分号，或积分好算）
算出通过回路的磁通量
得出 A 一个表达式
以上几个例子（例题 11自己看）都属于强对称性场，实际上是已知 B求 A，也可以直接根据电流分布求矢势 —— 更多的问题在电动力学中学习
相关的习题很少，掌握这种方法
p145 2-20(3),2－ 21（ 3）（不能用这种方法求）
)( add
L S
SBlA
磁通量
任意磁场，磁通量定义为
S
B SdB
磁感应线的特点：
环绕电流的无头无尾的闭合线或伸向无穷远
0
S
B SdB
磁高斯定理 无源场
2005.3 北京大学物理学院王稼军编磁高斯定理
通过磁场中任一闭合曲面 S的总磁通量恒等于零
证明：
单个电流元 Idl的磁感应线：以 dl方向为轴线的一系列同心圆，圆周上 B 处处相等；
2
0 s in
4 r
I d ldB?
2005.3 北京大学物理学院王稼军编
考察任一磁感应管 (正截面为 )，
取任意闭合曲面 S,磁感应管穿入 S一次,穿出一次 。
dSdSdS 2211 c o sc o s
dSrI d ldSrI d lSdBdd B 20112011 s i n4c o ss i n41
dSrI d ldSrI d lSdBdd B 20222022 s i n4c o ss i n42
021 BBB ddd
结论：任一磁感应管经闭合曲面 S的磁通量为零
2005.3 北京大学物理学院王稼军编推广到任意载流回路的磁场
一个电流元 产生的磁场可看成由许多磁感应管组成
有的穿入又穿出,有上述结论
有的没穿过 S,磁通量为零
任意载流回路 —— 由许多电流元串联而成,由叠加原理得
结论,通过磁场中任一闭合曲面 S的总磁通量恒等于零。
2005.3 北京大学物理学院王稼军编磁高斯定理的微分形式
利用数学的高斯定理
0
S
B SdB
0
V
dVB 0 B
说明恒磁场的散度为零 —— 无源场
2005.3 北京大学物理学院王稼军编磁矢势
然而磁场的主要特征：无源（无散） ——
磁高斯定理
其 更根本 的意义：使我们可能引入磁矢势
0
S
SdB
L L
IldB
内
0?
无源场有旋场非保守场一般不引入标势
0 B
jB
2005.3 北京大学物理学院王稼军编
磁高斯定理表明：对任意闭合面
0
21
SSS
SdBSdBSdB
21 SS
SdBSdB
磁通量仅由的共同边界线所决定 可能找到一个矢量 A,它沿 L作线积分等于通过 S的通量
)( add
L S
SBlA
数学上可以证明，这样的矢量 A的确存在，
对于磁感应强度 B,A叫做 磁矢势,A在空间的分布也构成矢量场，简称 矢势
2005.3 北京大学物理学院王稼军编根据矢量分析
对任意矢量 A有 0)( A AB
矢势的特点不唯一的满足 AAB
其实标势也不唯一，零点可选
如：对于任意标量场?的梯度，有 0
BAAA )(
描述同一个磁感应强度 B A'A：规范变换
类似于电势零点可以任取，规范也可任意选取
通常选库仑规范,A=0
2005.3 北京大学物理学院王稼军编找电流产生的磁场中磁矢势的表达式
电流元的磁矢势 p112式（ 2.55)
任意闭合回路的磁矢势 式（ 2.56)
例题 9
例题 10
例题 11
得出利用对称性由
L S
dd SBlA
两种办法的表达式由 AAAB 0和 电动力学的做法普通物理的方法
2005.3 北京大学物理学院王稼军编电流元的磁矢势
设磁矢势 a与电流元平行
（因为对矢势变换规范可以任选，选库仑规范A=0
的结果） —— a只有 z分量以电流元为轴,取 柱坐标 （?,?,z )
取闭合环路 L
dlpdddddd
bdCba LLLLLL
)(zalalalalalala
dca LLL a,a,
只有这一段积分有贡献
SL
ddlpd lBala z )(？
2005.3 北京大学物理学院王稼军编计算通过 L的通量
场点 P和回路 L在?＝ 0
的平面内
通过 L的磁感应通量为：
00 0 z、、,?P 点坐标
0zzd?处的?
2
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4 r
I d ldB?
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2000 c o s/,t an,c o s/ dzdzzr
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10
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2005.3 北京大学物理学院王稼军编同向1la dp 与)(
0
10
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上式为电流元所产生的磁场中矢势的一个表达式 —— 矢势表达式不唯一
任意闭合载流回路 L1 在空间某点的矢势
)(
10
1
4
)(
L r
dIp lA
电流在导线截面上均匀分布电流回路
假如电流在载流截面上不均匀分布
V r
dp V'r'jA )(
4
)( 0
2005.3 北京大学物理学院王稼军编矢势公式的应用举例
例题 9：一对平行无限长直导线，载有等量反向电流 I
先求一根无限长直导线的磁矢势（如图）
设矢势 A只有 z分量
无限长 —— Az与 z无关
轴对称 —— Az与?无关
Az只是?的函数,Az＝ Az(?)
取回路
P
Q
LLLLLLL
IldIl
BdllQP
ddddddd
Q
P
Q
P
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ln
22
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zz
AA
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求磁通量
2005.3 北京大学物理学院王稼军编
P
QIQP
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2)]()([
0
zz AA
一根无限长导线在空间任一两点之间的矢势差
两根无限长载流直导线的磁矢势
矢量叠加（如图）
P
Q
P
Q
I
QP
I
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2
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ln
2
)]()([
0
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AA
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叠加得 P
点总矢势
ln
2
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2
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2
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P
P
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取 Q
零点
＋
2005.3 北京大学物理学院王稼军编
例题 10：无限长圆柱型导体，半径为 R，载有在界面上均匀分布的电流 I，求磁矢势
r<R：导线内部 P点，取 Q点在导体轴线上，取回路如图，通过回路的磁通量
r>R：导线外部同例题 9，取 Q点在导体表面，外部任意点 P与 Q点的矢势差为
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2
000
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4)( 0
IR
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2005.3 北京大学物理学院王稼军编求矢势小结
依据公式 (a)求矢势的基本步骤
根据对称性，假设一个矢势的方向
取闭合回路，注意矢势零点的选取（原则：或可提出积分号，或积分好算）
算出通过回路的磁通量
得出 A 一个表达式
以上几个例子（例题 11自己看）都属于强对称性场，实际上是已知 B求 A，也可以直接根据电流分布求矢势 —— 更多的问题在电动力学中学习
相关的习题很少，掌握这种方法
p145 2-20(3),2－ 21（ 3）（不能用这种方法求）
)( add
L S
SBlA
