讨论题求B
1.一无穷长载流直导线，在某处弯成一个半径为R的半形，通以电流，求垂直于O点的直线上一点P(oo’=r)的磁感应强度解：分三段计算半圆
,
2） 代公式
，
沿z方向
3），
沿z方向叠加得
2.证明：当一对电流元对一平面成镜象对称时，它们在对称面上产生的合磁感应强度必沿平面的法线方向。
取所在平面为x－y平面，y－z平面为对称面。
假设，,
则有，
代入
3.如图电流 I流过边长为a的等边三角形导线，求电流在此三角形为底的正四面体的顶点处P的磁感应强度B的大小和方向解：一根有限长载流导线中线上的B
，，
则等边三角形三根边在P点的磁感应强度为
三者方向如图，，
，，方向向上同。
4．如图取直角坐标系 xyz，在的一层无穷区域内有均匀的传导电流，电流密度的方向为z轴的正方向，大小恒定为j。试求区域内外各处的磁感应强度B 的分布。
图可以等效于一系列与Z轴平行的无线大电流平板。磁感应强度只有y轴分量。
利用安培环路定理。
解：1）如图切一薄片，沿Z轴分割成成对长直导线，叠加结果的dB必平行或反平行于 y轴；
或者从轴矢量角度分析
2）对一块板作安培环路如图
，与距离无关
2）如图叠加结果：中垂面上B=0
作高斯面如图
5.如图(a)所示，半径为R、质量为m的匀质细圆环均匀带电，总电量为Q(Q＞o)，放在光滑的水平面上．环内外有垂直环面向上的均匀磁场B．若将圆环以角速度o绕着通过圆心的竖直轴匀速旋转．试求环内因为这种转动而形成的附加张力。
解：环静止时，环中的每一段微弧受静电斥力，形成张力。
本题所求为转动形成的附加张力。
在磁场中环旋转形成电流，因此对环的一个微元(如图)：
安培力与旋转形成的附加张力的矢量和等于旋转的离心力。
，I段在磁场B中受力，方向向外,微元所受附加张力T,张力合力指向圆心：
离心力：
上述线圈受到安培力属于扩张力：
（如果电荷分布为严格的线密度分布，则每个相邻电荷之间的间距趋于零，静电斥力(张力)必然发散。实际的环上的电荷分布不是线分布，而是体分布。张力为有限值）
后果：形变，大电流——可能断裂如超导线圈的焦耳热功率为零，超导线圈不是“烧坏”的而是扩张力挣坏线圈——“散架”
又如磁约束：强磁场（大电流提供）I~105A对容器有很强的扩张力,
6．设电子质量为，带负电荷，以角速度绕带正电的质子作圆周运动。当加上外磁场,其方向垂直于电子轨道平面，设电子轨道半径不因加上磁场而改变，试证明电子角速度的改变量近似等于
证明：无磁场时，电子仅受库仑力，其角速度满足
加B以后，电子还受洛仑兹力，与库仑力同向（或反向），轨道半径不变，角速度变为，因为洛仑兹力<<库仑力,所以
所满足的方程为
于是
又因为,
或在条件下，上述方程展开为得
又由于,忽略
则
三．综合讨论
7．如何理解密绕无限长螺线管外部B=0？
讨论书上p141思考题2－7、8、9
问2－7，利用圆形线圈轴线上磁场公式算出
说明什么？ 答：与环路定理给出的一样。
2－8问证明无限长螺线管外部磁场为零点成立条件是什么？
答：其实这个证明只证明了通过无限长螺线管轴线平面内磁场分量为零，没有涉及垂直于该平面的分量，而要求此分量为零则要求电流动轴向分量为零，比密绕要求高，即忽略电流步进。
严格的讨论：
问题：忽略螺距，而电流又要旋进，否则无法通电？
讨论：假如不忽略螺距，如何？
*对称性分析：无限长——管外磁场对称,
在柱坐标里既不是z的函数，不是的函数，只可能是r的函数；
2．管外的径向分量
证明：作圆柱高斯面如
3．管外 的z分量
证明：如图作安培环路 abcd,
有
*考虑螺距
纸底边绕圆筒一周时，螺旋线推进的距离d——螺距
，单位长度的圈数为
用到无限长螺线管
*表面电流面密度j：垂直于单位长度线段的电流强度
*——密排在螺线管上的单位长度的电流强度，两者的关系,；
把代入上式
如图再把分解成和
；；
轴向总电流 与螺距大小无关
在管外产生的磁场 方向按右手环绕管
（因为管外 、）
环向总电流 环向电流提供管内磁场
结论：不忽略螺距，则管外有磁场，但Br=0，Bz=0；
当n很大时B管内>>B管外，可以忽略；
——管外磁场不是严格为零。
8．如题图(a)所示，在：xy平面上有一片稀疏的电子(其间的相互作用可以忽略)，在—H＜y＜H范围内，从：x负半轴的远处以相同的速率”沿着x轴方向平行地向y轴射来．试设计一磁场区，使得(1)所有电子都能在磁场力的作用下通过坐标原点O；(2)这一片电子最后扩展到—2H＜y＜2H范围内继续沿着x轴方向向x正半轴的远处平行地以相同速率v射去．
要点：
答案不唯一；
条件：电子群对x轴对称；每个电子的运动轨道都要通过原点O；电子在O点附近弯曲时其轨道应是连续的；
可分别设计四个象限的磁场区域；
结论如图。
1.一无穷长载流直导线，在某处弯成一个半径为R的半形，通以电流，求垂直于O点的直线上一点P(oo’=r)的磁感应强度解：分三段计算半圆
,
2） 代公式
，
沿z方向
3），
沿z方向叠加得
2.证明：当一对电流元对一平面成镜象对称时，它们在对称面上产生的合磁感应强度必沿平面的法线方向。
取所在平面为x－y平面，y－z平面为对称面。
假设，,
则有，
代入
3.如图电流 I流过边长为a的等边三角形导线，求电流在此三角形为底的正四面体的顶点处P的磁感应强度B的大小和方向解：一根有限长载流导线中线上的B
，，
则等边三角形三根边在P点的磁感应强度为
三者方向如图，，
，，方向向上同。
4．如图取直角坐标系 xyz，在的一层无穷区域内有均匀的传导电流，电流密度的方向为z轴的正方向，大小恒定为j。试求区域内外各处的磁感应强度B 的分布。
图可以等效于一系列与Z轴平行的无线大电流平板。磁感应强度只有y轴分量。
利用安培环路定理。
解：1）如图切一薄片，沿Z轴分割成成对长直导线，叠加结果的dB必平行或反平行于 y轴；
或者从轴矢量角度分析
2）对一块板作安培环路如图
，与距离无关
2）如图叠加结果：中垂面上B=0
作高斯面如图
5.如图(a)所示，半径为R、质量为m的匀质细圆环均匀带电，总电量为Q(Q＞o)，放在光滑的水平面上．环内外有垂直环面向上的均匀磁场B．若将圆环以角速度o绕着通过圆心的竖直轴匀速旋转．试求环内因为这种转动而形成的附加张力。
解：环静止时，环中的每一段微弧受静电斥力，形成张力。
本题所求为转动形成的附加张力。
在磁场中环旋转形成电流，因此对环的一个微元(如图)：
安培力与旋转形成的附加张力的矢量和等于旋转的离心力。
，I段在磁场B中受力，方向向外,微元所受附加张力T,张力合力指向圆心：
离心力：
上述线圈受到安培力属于扩张力：
（如果电荷分布为严格的线密度分布，则每个相邻电荷之间的间距趋于零，静电斥力(张力)必然发散。实际的环上的电荷分布不是线分布，而是体分布。张力为有限值）
后果：形变，大电流——可能断裂如超导线圈的焦耳热功率为零，超导线圈不是“烧坏”的而是扩张力挣坏线圈——“散架”
又如磁约束：强磁场（大电流提供）I~105A对容器有很强的扩张力,
6．设电子质量为，带负电荷，以角速度绕带正电的质子作圆周运动。当加上外磁场,其方向垂直于电子轨道平面，设电子轨道半径不因加上磁场而改变，试证明电子角速度的改变量近似等于
证明：无磁场时，电子仅受库仑力，其角速度满足
加B以后，电子还受洛仑兹力，与库仑力同向（或反向），轨道半径不变，角速度变为，因为洛仑兹力<<库仑力,所以
所满足的方程为
于是
又因为,
或在条件下，上述方程展开为得
又由于,忽略
则
三．综合讨论
7．如何理解密绕无限长螺线管外部B=0？
讨论书上p141思考题2－7、8、9
问2－7，利用圆形线圈轴线上磁场公式算出
说明什么？ 答：与环路定理给出的一样。
2－8问证明无限长螺线管外部磁场为零点成立条件是什么？
答：其实这个证明只证明了通过无限长螺线管轴线平面内磁场分量为零，没有涉及垂直于该平面的分量，而要求此分量为零则要求电流动轴向分量为零，比密绕要求高，即忽略电流步进。
严格的讨论：
问题：忽略螺距，而电流又要旋进，否则无法通电？
讨论：假如不忽略螺距，如何？
*对称性分析：无限长——管外磁场对称,
在柱坐标里既不是z的函数，不是的函数，只可能是r的函数；
2．管外的径向分量
证明：作圆柱高斯面如
3．管外 的z分量
证明：如图作安培环路 abcd,
有
*考虑螺距
纸底边绕圆筒一周时，螺旋线推进的距离d——螺距
，单位长度的圈数为
用到无限长螺线管
*表面电流面密度j：垂直于单位长度线段的电流强度
*——密排在螺线管上的单位长度的电流强度，两者的关系,；
把代入上式
如图再把分解成和
；；
轴向总电流 与螺距大小无关
在管外产生的磁场 方向按右手环绕管
（因为管外 、）
环向总电流 环向电流提供管内磁场
结论：不忽略螺距，则管外有磁场，但Br=0，Bz=0；
当n很大时B管内>>B管外，可以忽略；
——管外磁场不是严格为零。
8．如题图(a)所示，在：xy平面上有一片稀疏的电子(其间的相互作用可以忽略)，在—H＜y＜H范围内，从：x负半轴的远处以相同的速率”沿着x轴方向平行地向y轴射来．试设计一磁场区，使得(1)所有电子都能在磁场力的作用下通过坐标原点O；(2)这一片电子最后扩展到—2H＜y＜2H范围内继续沿着x轴方向向x正半轴的远处平行地以相同速率v射去．
要点：
答案不唯一；
条件：电子群对x轴对称；每个电子的运动轨道都要通过原点O；电子在O点附近弯曲时其轨道应是连续的；
可分别设计四个象限的磁场区域；
结论如图。
