热 学
由于热力学方法的局限性，我们对平衡态下
系统内部的情况不了解，从而对温度和理想
气体的理解也很肤浅，对气体的压强更是一
无所知，因此，为了全面了解平衡态下的基
本热学信息，我们必须用分子物理学的方法
从微观本质上加以认识。
第二章 气体分子运动论的基本概念
物质的微观结构模型
温度的微观解释
理想气体压强公式
分子力
范德瓦耳斯气体的压强
一, 历 史 的 回 顾 (Looking Back the
History)
1,分子动理论的早期思想
17世纪,物质原子论复兴,分子动理论初步
发展,定性的, 新领域 。
1638年, 伽桑狄, 古代原子论
1661年, 玻意耳, 物质微粒
1678年, 胡克, 空气由粒子组成
牛顿, 原子论者, 平方反比力 → 玻意耳定律
1738年, 伯努利,, 流体动力学, → 压强的微
观机制
18世纪中叶以后, 热质说
2,阿伏伽德罗分子学说
19世纪初, 分子概念, 化学领域
1811年, 阿伏伽德罗假说,
在同温同压下同体积的气体中的有相同数目
的分子 。
3,洛喜密脱的理论计算
1865年 325106 8 7 6.2 ??? mn
?
洛喜米脱
4,爱因斯坦的贡献
1905年, 分析布朗运动
1827年, 布朗, 英国植物学家
布朗运动是分子运动所造成的
1905年, 1906年, 论文
碰撞,瞬时运动无法观测, 可观测宏
观短 时间内平均运动 。
布朗运动的爱因斯坦公式
测出布朗粒子位移平方的平均值 → 算出
值
211 0 / s次
AN
5,皮尔的实验
1908~ 1909年, 皮尔测 值,
1926年获诺贝尔奖 。
AN粒子数 13.000 17.000
半径差别近 50倍
实验温度 -9℃ ~ 58℃
液体粘滞系数差别 250 倍
AN
§ 1,物质的微观结构
? 分子物理学以系统内部大量的微观粒子的微观
运动为研究对象，研究微观运动与宏观性质之
间的联系，从本质上解析系统的热学性质和热
学现象，从而分子运动论是分子物理学的核心。
? 分子运动论是在一定的实验基础上总结出来的，
带有一定的公理性质，在分子物理学中的地位
相当于力学中的牛顿三个定律。
分子动理论的基本观点
(the Basic View of Molecule Motion Theory)
宏观物体是由大量微粒 —— 分子（或原子）组成 的。微粒
间有一定的间距（有哪些证据？）
物质内的分子在不停地运动着，这种运动是无规则的，其剧烈
程度与物体的温度有关 。
（ 布朗运动 反应出该特性。布朗运动的原因是什么?布朗运动
的特点是什么？ ）
分子间有相互作用力
分子的观点,
分子运动的观点,
分子力的观点,
利用扫描隧道显
微镜技术把一个个原
子排列成 IBM 字母
的照片,
一、分子的数密度和线度
?实验表明, 任何物质 1摩尔所含有的微观粒子 —— 分子或原子
的数目均相等，为阿伏加德罗常数 (Avogadro’s number)，用
NA表示
NA=6.022 136 7(36)× 1023mol-1
计算中，一般取 NA=6.02× 1023mol-1
分子数密度 n,
单位体积内的分子数,n=N/V
分子的线度,
?每个分子所占有的体积约为分子本身的体积的 1000倍。
?因而气体分子可看成是大小可以忽略不计的质点 。
二、分子力
分子力是指分子之间存在的吸引或排斥的相互作
用力。 它们是造成固体、液体、和封闭气体等许多物理
性质的原因。
吸引力 —— 固体、液体聚集在一起；
排斥力 —— 固体、液体较难压缩。
分子力 f 与分子之间的距离 r有关。
存在一个 r0—— 平衡位置
r= r0时，分子力为零
r < r 0分子力表现在排斥力
r > r0分子力表现在吸引力
r > 10 r0分子力可以忽略不计
概率 (probability)的基本概念
? 概率是专门解决大量偶然事件的集合效应的, 偶然事件
越多, 理论的预言愈正确 。
? 一, 随机事件的概率
系统的任何运动都是在一定条件下发生的, 把条件记为 S
1,当 S确定时, 某一现象必然发生, 这个现象叫必然事件 。
2.当 S确定时, 某一现象不发生, 这个现象叫不可能事件 。
3.当 S确定时, 某一现象可能发生也可能不发生, 这个现象
叫随机事件 。
对于随机事件，其概率是根据大数量实验来确定的，实验的
次数越大，得到的结论越准确 。 以丢硬币为例说明概率的确
定,
1.频率：设在 S条件下, 随机事件 A可能发生, 若进行了 N次
实验, 则 NA<N次, 则 叫 A事件出现的频率 。 若实验
次数 N不大, 则比例波动也很大, 准确性不高, 但随着 N增大,
上述此值即频率开始延向一个定值, 表现出稳定性, 因此,
我们定义,
N
NA??
2.概率：在 S条下, 当实验次数 N 时, 趋于一个
定值, 叫 A事件的概率, 记为
实际中, N趋于无穷大 是不可能的, 但只要 N足够大就认
为已趋于无穷了, 这时可简单写成
??
N
NAf A
N ??
? lim)(
N
NAf A?)(
N
NA
二, 概率的性质
事件 A的概率有如下性质,
1.随机事件的概率 f(A)<1,不可能事件 f(A)=0,必然事件
f(A)=1
2.不相容事件
若事件 A1,发生, 则 A2必然不发生, 反之亦然, 则 A1和 A2互为
不相容事件 。
3.互相独立的事件
设在 S条件下有 A1,A2,A3…… n事件, 其中任何一个事件的发生
与否与其他事件的发生与否无关, 这样的事件称为互相独立的
事件 。
在理想气体中, 大量的分子都在彼此碰撞, 两两分子的碰撞与
别的分子是否发生碰撞, 所以是独立事件 。
三, 统计平均和涨落
1.统计平均值,随机变量对于概率的算术平均值叫做此随机
变量的统计平均值 。
注意：这时也不是简单的算术平均, 而是在概率限制之下的算
术平均, 称之为加权平均 。
对于一组变量, 其可能取值是 x1,x2…… xn,在 N次实验中, 出
现这些值的次数分别是 N1,N2,N3…… Nn,设这组变量的算术
平均值为, 则显然有 x
NxNxNx i
n
i
ii ?? ??
? 1 N
Nx
x ii??
N
Nxf i
i ?)(0又 ?? )( ii xfxx
推广到连续变量的情形, 在高等数学中, 则
积分区间遍及 x的所有取值 。
?? dxxxfx )(
2.涨落
概率是一种统计性的描述, 且所以可能发生也能不发生, 只是
确定发生可能性, 而且是建立在大数量的实验基础上, 所以,
对于丢硬币一类的事, 出现币值的机会是 1/2,而并不是两百
次就一定有 100次币值, 99,101,98,97,96,……,102,… 都是
可能的, 但都接近 100,这两者的差异称为涨落 。
三、分子热运动的无序性及统计规律性
?单个分子的运动具有无序性
?大量分子的运动具有规律性
所谓统计规律，是指大量偶然
事件整体所遵循的规律。
方法 —— 求统计平均值
?布朗运动
?掷骰子
?伽尔顿板
?统计规律有以下几个特点,
（ 1）只对大量偶然的事件才有意义
（ 2）它是不同于个体规律的整体规律
（ 3）总是伴随着涨落
例：有 10个粒子，其速率分别是 1,3,5,7,8,9,10,11，
13,15ms-1，计算它们的平均速率和方均根速率。
解：平均速率,
1
10
1
2.8
)15131110987531(
10
1
1
?
?
??
??????????
? ?
sm
v
N
v
i
i
方均根速率,
1
2222222222
10
1
22
19.9
)15131110987531(
10
1
1
?
?
??
??????????
? ?
sm
v
N
v
i
i
§ 2,理想气体的压强
一、理想气体微观模型
1、分子本身的大小与分子间的平均距离相比要小得多。
因此，分子的线度可忽略不计，视分子为质点。 The
molecules behave as point particles;their size is small in
comparsion to the average distance between particles
and to the dimensions of the container
3253
3
23
0 107210422
10026 ??
? ???
?? mmn,
.
.
mm
n
L 9312531
0
1033
1072
11 ???
?
??,)
.
()( //
2、分子间平均距离很大，除碰撞外，分子间的相互作
用力可忽略不计，忽略重力对分子的影响，则分子在
两次碰撞之间做匀速直线运动,分子运动遵从牛顿运
动规律。
3、分子间的碰撞、分子与器壁的碰撞是完全弹性的,
The molecules are in constant motion,they obey
Newton’s laws of motion.each molecule collides
occasionally with a wall of the container,These
collisions are perfectly elastic,
在常温下，压强在数个大气压以下的气体，一般都
能很好地满足理想气体方程。
容器内各处的气体分子数密度均相同
平衡态下的统计假设
分子沿任一方向的运动不比其他方向的运动
占有优势
由此可知，分子的速度在各方向分量的各种平
均值是相等的
例如,
注意,
zyx vvv ??
222
zyx vvv ??
zyx vvv ??
222
zyx vvv ??
二、理想气体压强公式
1、压强的产生
单个分子碰撞器壁的作用力是不连续的、偶然的、不均匀的。
大量分子从总的效果上来看，产生一个持续的平均作用力。
单个分子 多个分子 平均效果
密集雨点对雨
伞的冲击力
大量气体分子对器壁持
续不断的碰撞产生压力
气体分子 器 壁
从微观上看，气体的压强等于大量分子在单位时间内
施加在单位面积器壁上的平均冲量。有
dAdt
dI
P
?
?
dI为大量分子在 dt时间内施加在器壁 dA面上的平均
冲量。
设在体积为 V的容器 中储有 N个质量为 m的分子组成的
理想气体。平衡态下，若忽略重力影响，则分子在容
器中按位置的分布是均匀的。分子数密度为 n=N/V,
2、压强的微观实质
dIm d vF d t ?? ?
为讨论方便，将分子按速度分组，第 i组分子的速
度为 vi（严格说在 vi 附近）分子数为 Ni,分子数密度
为 ni=Ni/V,并有 n=n1+n2+……+n i+….= ?ni
平衡态下，器壁各处压强
相等，取直角坐标系，在
垂直于 x轴的器壁上任取
一小面积 dA,计算其所受
的压强（如图）
x
dA
vixdt
v?
3、理想气体压强公式的简单推导
.单个分子在对 dA的一次碰撞
中施于 dA的 冲量,
3、理想气体压强公式的简单推导
x
y
z
dA
考虑第 i个分子
kvjvivv iziyixi ???? ???
与器壁碰撞时受到器壁的作用力。在
此力的作用下,i 分子在 x 轴上的动
量由 mvix变为 -mvix,x轴上的动量的增
量为（即 施于 dA的 冲量）,
ixixix mvmvmv 2??－－
vi
vix
viy
viz
dt时间内，碰到 dA面的第 i组分
子施于 dA的冲量为,
注意：在全部速度为 vi的 分子中，在 dt时间内，
能与 dA相碰的只是那些位于以 dA为底，以 vixdt
为高，以 vi为轴线的圆柱体内的分子。分子数
为 nivixdtdA 。
所以 dt时间内能与 dA面相碰的第 i组分
子施于 dA的冲量为,2mni vix2dtdA
dt时间内，与 dA相碰撞的所有分子施与 dA的冲量为
dAdtvmn2dI 2ix
)0v(i
i
ix
??? ?
?
注意,vix< 0 的分子不与 dA碰撞。 容器中气体无整体运动,
平均来讲 vix> 0 的分子
数等于 vix< 0 的分子数。
?
?
??
??
i
2
ixi
i
2
ixi
dAdtvmn
]dAdtvmn2[
2
1
dI
压强
定义
则
因为
可知
2
xvmnP ?
dtdA
dI
P
?
?
n
vn
v
i
ixi
x
?
?
2
2
222
zyx vvv ??
??
i
ixi vnm
2
2
3
1 v?
等概率原理, 分子沿各个方向运动的
机会均相等 222 zyx vvv ??
2222
iziyixi vvvv ???
???? ??? 2222 iziyixi vvvv
2222
zyx vvvv ???
得
所以
或者
2
3
1 vmnP ?
)( 22132 vmnP ?
压强公式
2
2
1 vm
k ??
分子平均 平动 动能
kn ?3
2?
2
3
1 vp
mn
?
?
?
?
?理想气体的压强正比于气体分子的数密度和分子的平均
平动动能；
?理想气体的压强公式 揭示了宏观量与微观量统计平均值
之间的关系；
?理想气体的压强公式 是力学原理与统计方法相结合得出
的统计规律 。
压强的物理 意义
k
3
2
?np ? 统计关系式
宏观可测量量 微观量的统计平均值
分子平均 平动 动能 2
k 2
1
vm??
压强是大量分子对时间、对面积的统计平均结果,
这个公式是无法用实验证明的, p是宏观可测的压强, n
和 都是微观量的统计平均值, 无法测量 。 这说明了
宏观量的微观本质 —— 宏观量是相应的微观量的统计平均
值 ！ 它不仅对压强是这样, 我们以后会看到其他的热力学
宏观量也是这样, 正因为如此, 我们在定义压强时都必须
强调是统计平均值所以压强公式不是一个力学规律而是统
计规律 。 由这个基本公式可以满意的解释和推证许多实验
定律 。
k?
一容积为 V=1.0m3 的容器内装有 N1=1.0× 1024 个 氧分子
N2=3.0× 1024 个氮分子的混合气体,混合气体的压强
p =2.58× 104 Pa 。
(1) 由压强公式,有
n
p
2
3??
例
求 (1) 分子的平均平动动能；
(2) 混合气体的温度
解
VNN
p
)(2
3
21 ?
? J1068.9 21???
(2) 由理想气体的状态方程得
k
V
NN
p
nk
p
T
?
?
?
?
?
? ?
??
21K467?
§ 3,温度的微观解释
温度的微观意义,
AA N
n R TRT
VN
NRT
V
MP ???
?
?np
3
2?
KTT
N
R
A 2
3
2
3
???
12310381 ?? ??? KJk,
叫玻尔兹漫常数
这说明温度是气体分子动能的统计平均值，这是
一个统计规律。
?是分子杂乱无章热运动的平均平动动能，它不包括整体定向
运动动能。
?粒子的平均热运动动能与粒子质量无关，而仅与温度有关
处于平衡时的理想气体，分子的平均动能与温度成正比。温
度是表征大量分子热运动激烈程度的宏观物理量，和压强一
样是统计量。对少数分子，没有温度概念。
绝对温度是分子热运动剧烈程度的度量
kTvmt
2
3
2
1 2
???
n k Tp ?一种形式理想气体物态方程的另
压强的单位
PaT or rm m H g
barPaat m
Pabar
mNPa
313311
01311001311
101
11
5
5
2
.
..
??
???
?
??
?
For example:When the sun goes down and the air
tempertature drops,the average speed of air molecules
decreases as well,
温度和压强的关系
定义,大量分子速率平方的平均值再开方
m
r m s M
RT
m
kT
vv
332
???
气体分子的均方根速率,
注意：一定要采用国际单位制才能得出正确的结论。
§ 4 分子间作用力
一、分子力
分子力是指分子之间存在的吸引或排斥的相互作
用力。 它们是造成固体、液体、和封闭气体等许多物理
性质的原因。
吸引力 —— 固体、液体聚集在一起；
排斥力 —— 固体、液体较难压缩。
分子力 f 与分子之间的距离 r有关。
存在一个 r0—— 平衡位置
r= r0时，分子力为零
r < r 0分子力表现在排斥力
r > r0分子力表现在吸引力
r > 10 r0分子力可以忽略不计
The force between two molecules is zero at a
separation r=r0,where the potential energy ia a
minimum.The force is attractive when the separartion
is greater than r0 and repulise when the separation is
less than r0,
二、分子间互作用势能曲线
r
Ep(r)
r0
Ep0
分子互作用势能曲线
?
?
??
????
r
p
p
p
drrFrE
dr
dE
FdrrFrdE
)()(
)()( 或
分子直径 ?一种理解指分子的大小
?两分子质心的最短距离 ---分子的 有效直径
0r
o
r
F m10~ 10
0 ?r
分子力
二、范德瓦耳斯方程
bV
RTp
p
RTbV
m
m ???? 或
bV
RT
pp
m o lRTbVp
ppp
m
i
m
i
?
???
??
???
)1()( 气体考虑
内
内
kvnkp i ??????? 2612][ 面积上平均分子数单位时间内碰撞在单位
1、分子固有体积修正
2、分子吸引力修正
设 Δ k指每个分子进入界
面层时平均动量减少量
β
p i
a
2
2
)
3
()(
3
1
,
mm
A
i
V
aK
v
V
N
Knvnp
Knk
????????
???
RT
M
m
b
M
m
V
V
a
M
m
p
Vm
m o lRTbV
V
a
p
mmm
m
m
????
???
])() ] [()([
,
)1(,)(
2
2
2
则范氏方程为：，体积为若气体质量为
范氏气体）（
范德瓦耳斯方程：
三,Onnes方程
.,,,,,2 ????
V
C
V
BApV
描述系统整体特征和属性的物理量 。
例如：气体质量、体积、压强、温度等。
气体平衡态可用压强 P,体积 V、温度 T 描述,
P,V,T 称为气体的状态参量 。
?微观量,
描述单个微观粒子运动状态的物理量。
例如：分子质量、位置、速度、动量、能量等。
?宏观量,
附、宏观量与微观量
两瓶不同种类的气体，若它们的分子平均
平动动能相等，但密度不同，则它们的温
度 __________、压强 ___________；
若它们的温度和压强相同，但体积不同，
则它们的分子数密度 ___________、气
体密度 ___________、单位体积内气体
分子的总平均平动能 ___________。
（填, 相同, 和, 不同, ）
由于热力学方法的局限性，我们对平衡态下
系统内部的情况不了解，从而对温度和理想
气体的理解也很肤浅，对气体的压强更是一
无所知，因此，为了全面了解平衡态下的基
本热学信息，我们必须用分子物理学的方法
从微观本质上加以认识。
第二章 气体分子运动论的基本概念
物质的微观结构模型
温度的微观解释
理想气体压强公式
分子力
范德瓦耳斯气体的压强
一, 历 史 的 回 顾 (Looking Back the
History)
1,分子动理论的早期思想
17世纪,物质原子论复兴,分子动理论初步
发展,定性的, 新领域 。
1638年, 伽桑狄, 古代原子论
1661年, 玻意耳, 物质微粒
1678年, 胡克, 空气由粒子组成
牛顿, 原子论者, 平方反比力 → 玻意耳定律
1738年, 伯努利,, 流体动力学, → 压强的微
观机制
18世纪中叶以后, 热质说
2,阿伏伽德罗分子学说
19世纪初, 分子概念, 化学领域
1811年, 阿伏伽德罗假说,
在同温同压下同体积的气体中的有相同数目
的分子 。
3,洛喜密脱的理论计算
1865年 325106 8 7 6.2 ??? mn
?
洛喜米脱
4,爱因斯坦的贡献
1905年, 分析布朗运动
1827年, 布朗, 英国植物学家
布朗运动是分子运动所造成的
1905年, 1906年, 论文
碰撞,瞬时运动无法观测, 可观测宏
观短 时间内平均运动 。
布朗运动的爱因斯坦公式
测出布朗粒子位移平方的平均值 → 算出
值
211 0 / s次
AN
5,皮尔的实验
1908~ 1909年, 皮尔测 值,
1926年获诺贝尔奖 。
AN粒子数 13.000 17.000
半径差别近 50倍
实验温度 -9℃ ~ 58℃
液体粘滞系数差别 250 倍
AN
§ 1,物质的微观结构
? 分子物理学以系统内部大量的微观粒子的微观
运动为研究对象，研究微观运动与宏观性质之
间的联系，从本质上解析系统的热学性质和热
学现象，从而分子运动论是分子物理学的核心。
? 分子运动论是在一定的实验基础上总结出来的，
带有一定的公理性质，在分子物理学中的地位
相当于力学中的牛顿三个定律。
分子动理论的基本观点
(the Basic View of Molecule Motion Theory)
宏观物体是由大量微粒 —— 分子（或原子）组成 的。微粒
间有一定的间距（有哪些证据？）
物质内的分子在不停地运动着，这种运动是无规则的，其剧烈
程度与物体的温度有关 。
（ 布朗运动 反应出该特性。布朗运动的原因是什么?布朗运动
的特点是什么？ ）
分子间有相互作用力
分子的观点,
分子运动的观点,
分子力的观点,
利用扫描隧道显
微镜技术把一个个原
子排列成 IBM 字母
的照片,
一、分子的数密度和线度
?实验表明, 任何物质 1摩尔所含有的微观粒子 —— 分子或原子
的数目均相等，为阿伏加德罗常数 (Avogadro’s number)，用
NA表示
NA=6.022 136 7(36)× 1023mol-1
计算中，一般取 NA=6.02× 1023mol-1
分子数密度 n,
单位体积内的分子数,n=N/V
分子的线度,
?每个分子所占有的体积约为分子本身的体积的 1000倍。
?因而气体分子可看成是大小可以忽略不计的质点 。
二、分子力
分子力是指分子之间存在的吸引或排斥的相互作
用力。 它们是造成固体、液体、和封闭气体等许多物理
性质的原因。
吸引力 —— 固体、液体聚集在一起；
排斥力 —— 固体、液体较难压缩。
分子力 f 与分子之间的距离 r有关。
存在一个 r0—— 平衡位置
r= r0时，分子力为零
r < r 0分子力表现在排斥力
r > r0分子力表现在吸引力
r > 10 r0分子力可以忽略不计
概率 (probability)的基本概念
? 概率是专门解决大量偶然事件的集合效应的, 偶然事件
越多, 理论的预言愈正确 。
? 一, 随机事件的概率
系统的任何运动都是在一定条件下发生的, 把条件记为 S
1,当 S确定时, 某一现象必然发生, 这个现象叫必然事件 。
2.当 S确定时, 某一现象不发生, 这个现象叫不可能事件 。
3.当 S确定时, 某一现象可能发生也可能不发生, 这个现象
叫随机事件 。
对于随机事件，其概率是根据大数量实验来确定的，实验的
次数越大，得到的结论越准确 。 以丢硬币为例说明概率的确
定,
1.频率：设在 S条件下, 随机事件 A可能发生, 若进行了 N次
实验, 则 NA<N次, 则 叫 A事件出现的频率 。 若实验
次数 N不大, 则比例波动也很大, 准确性不高, 但随着 N增大,
上述此值即频率开始延向一个定值, 表现出稳定性, 因此,
我们定义,
N
NA??
2.概率：在 S条下, 当实验次数 N 时, 趋于一个
定值, 叫 A事件的概率, 记为
实际中, N趋于无穷大 是不可能的, 但只要 N足够大就认
为已趋于无穷了, 这时可简单写成
??
N
NAf A
N ??
? lim)(
N
NAf A?)(
N
NA
二, 概率的性质
事件 A的概率有如下性质,
1.随机事件的概率 f(A)<1,不可能事件 f(A)=0,必然事件
f(A)=1
2.不相容事件
若事件 A1,发生, 则 A2必然不发生, 反之亦然, 则 A1和 A2互为
不相容事件 。
3.互相独立的事件
设在 S条件下有 A1,A2,A3…… n事件, 其中任何一个事件的发生
与否与其他事件的发生与否无关, 这样的事件称为互相独立的
事件 。
在理想气体中, 大量的分子都在彼此碰撞, 两两分子的碰撞与
别的分子是否发生碰撞, 所以是独立事件 。
三, 统计平均和涨落
1.统计平均值,随机变量对于概率的算术平均值叫做此随机
变量的统计平均值 。
注意：这时也不是简单的算术平均, 而是在概率限制之下的算
术平均, 称之为加权平均 。
对于一组变量, 其可能取值是 x1,x2…… xn,在 N次实验中, 出
现这些值的次数分别是 N1,N2,N3…… Nn,设这组变量的算术
平均值为, 则显然有 x
NxNxNx i
n
i
ii ?? ??
? 1 N
Nx
x ii??
N
Nxf i
i ?)(0又 ?? )( ii xfxx
推广到连续变量的情形, 在高等数学中, 则
积分区间遍及 x的所有取值 。
?? dxxxfx )(
2.涨落
概率是一种统计性的描述, 且所以可能发生也能不发生, 只是
确定发生可能性, 而且是建立在大数量的实验基础上, 所以,
对于丢硬币一类的事, 出现币值的机会是 1/2,而并不是两百
次就一定有 100次币值, 99,101,98,97,96,……,102,… 都是
可能的, 但都接近 100,这两者的差异称为涨落 。
三、分子热运动的无序性及统计规律性
?单个分子的运动具有无序性
?大量分子的运动具有规律性
所谓统计规律，是指大量偶然
事件整体所遵循的规律。
方法 —— 求统计平均值
?布朗运动
?掷骰子
?伽尔顿板
?统计规律有以下几个特点,
（ 1）只对大量偶然的事件才有意义
（ 2）它是不同于个体规律的整体规律
（ 3）总是伴随着涨落
例：有 10个粒子，其速率分别是 1,3,5,7,8,9,10,11，
13,15ms-1，计算它们的平均速率和方均根速率。
解：平均速率,
1
10
1
2.8
)15131110987531(
10
1
1
?
?
??
??????????
? ?
sm
v
N
v
i
i
方均根速率,
1
2222222222
10
1
22
19.9
)15131110987531(
10
1
1
?
?
??
??????????
? ?
sm
v
N
v
i
i
§ 2,理想气体的压强
一、理想气体微观模型
1、分子本身的大小与分子间的平均距离相比要小得多。
因此，分子的线度可忽略不计，视分子为质点。 The
molecules behave as point particles;their size is small in
comparsion to the average distance between particles
and to the dimensions of the container
3253
3
23
0 107210422
10026 ??
? ???
?? mmn,
.
.
mm
n
L 9312531
0
1033
1072
11 ???
?
??,)
.
()( //
2、分子间平均距离很大，除碰撞外，分子间的相互作
用力可忽略不计，忽略重力对分子的影响，则分子在
两次碰撞之间做匀速直线运动,分子运动遵从牛顿运
动规律。
3、分子间的碰撞、分子与器壁的碰撞是完全弹性的,
The molecules are in constant motion,they obey
Newton’s laws of motion.each molecule collides
occasionally with a wall of the container,These
collisions are perfectly elastic,
在常温下，压强在数个大气压以下的气体，一般都
能很好地满足理想气体方程。
容器内各处的气体分子数密度均相同
平衡态下的统计假设
分子沿任一方向的运动不比其他方向的运动
占有优势
由此可知，分子的速度在各方向分量的各种平
均值是相等的
例如,
注意,
zyx vvv ??
222
zyx vvv ??
zyx vvv ??
222
zyx vvv ??
二、理想气体压强公式
1、压强的产生
单个分子碰撞器壁的作用力是不连续的、偶然的、不均匀的。
大量分子从总的效果上来看，产生一个持续的平均作用力。
单个分子 多个分子 平均效果
密集雨点对雨
伞的冲击力
大量气体分子对器壁持
续不断的碰撞产生压力
气体分子 器 壁
从微观上看，气体的压强等于大量分子在单位时间内
施加在单位面积器壁上的平均冲量。有
dAdt
dI
P
?
?
dI为大量分子在 dt时间内施加在器壁 dA面上的平均
冲量。
设在体积为 V的容器 中储有 N个质量为 m的分子组成的
理想气体。平衡态下，若忽略重力影响，则分子在容
器中按位置的分布是均匀的。分子数密度为 n=N/V,
2、压强的微观实质
dIm d vF d t ?? ?
为讨论方便，将分子按速度分组，第 i组分子的速
度为 vi（严格说在 vi 附近）分子数为 Ni,分子数密度
为 ni=Ni/V,并有 n=n1+n2+……+n i+….= ?ni
平衡态下，器壁各处压强
相等，取直角坐标系，在
垂直于 x轴的器壁上任取
一小面积 dA,计算其所受
的压强（如图）
x
dA
vixdt
v?
3、理想气体压强公式的简单推导
.单个分子在对 dA的一次碰撞
中施于 dA的 冲量,
3、理想气体压强公式的简单推导
x
y
z
dA
考虑第 i个分子
kvjvivv iziyixi ???? ???
与器壁碰撞时受到器壁的作用力。在
此力的作用下,i 分子在 x 轴上的动
量由 mvix变为 -mvix,x轴上的动量的增
量为（即 施于 dA的 冲量）,
ixixix mvmvmv 2??－－
vi
vix
viy
viz
dt时间内，碰到 dA面的第 i组分
子施于 dA的冲量为,
注意：在全部速度为 vi的 分子中，在 dt时间内，
能与 dA相碰的只是那些位于以 dA为底，以 vixdt
为高，以 vi为轴线的圆柱体内的分子。分子数
为 nivixdtdA 。
所以 dt时间内能与 dA面相碰的第 i组分
子施于 dA的冲量为,2mni vix2dtdA
dt时间内，与 dA相碰撞的所有分子施与 dA的冲量为
dAdtvmn2dI 2ix
)0v(i
i
ix
??? ?
?
注意,vix< 0 的分子不与 dA碰撞。 容器中气体无整体运动,
平均来讲 vix> 0 的分子
数等于 vix< 0 的分子数。
?
?
??
??
i
2
ixi
i
2
ixi
dAdtvmn
]dAdtvmn2[
2
1
dI
压强
定义
则
因为
可知
2
xvmnP ?
dtdA
dI
P
?
?
n
vn
v
i
ixi
x
?
?
2
2
222
zyx vvv ??
??
i
ixi vnm
2
2
3
1 v?
等概率原理, 分子沿各个方向运动的
机会均相等 222 zyx vvv ??
2222
iziyixi vvvv ???
???? ??? 2222 iziyixi vvvv
2222
zyx vvvv ???
得
所以
或者
2
3
1 vmnP ?
)( 22132 vmnP ?
压强公式
2
2
1 vm
k ??
分子平均 平动 动能
kn ?3
2?
2
3
1 vp
mn
?
?
?
?
?理想气体的压强正比于气体分子的数密度和分子的平均
平动动能；
?理想气体的压强公式 揭示了宏观量与微观量统计平均值
之间的关系；
?理想气体的压强公式 是力学原理与统计方法相结合得出
的统计规律 。
压强的物理 意义
k
3
2
?np ? 统计关系式
宏观可测量量 微观量的统计平均值
分子平均 平动 动能 2
k 2
1
vm??
压强是大量分子对时间、对面积的统计平均结果,
这个公式是无法用实验证明的, p是宏观可测的压强, n
和 都是微观量的统计平均值, 无法测量 。 这说明了
宏观量的微观本质 —— 宏观量是相应的微观量的统计平均
值 ！ 它不仅对压强是这样, 我们以后会看到其他的热力学
宏观量也是这样, 正因为如此, 我们在定义压强时都必须
强调是统计平均值所以压强公式不是一个力学规律而是统
计规律 。 由这个基本公式可以满意的解释和推证许多实验
定律 。
k?
一容积为 V=1.0m3 的容器内装有 N1=1.0× 1024 个 氧分子
N2=3.0× 1024 个氮分子的混合气体,混合气体的压强
p =2.58× 104 Pa 。
(1) 由压强公式,有
n
p
2
3??
例
求 (1) 分子的平均平动动能；
(2) 混合气体的温度
解
VNN
p
)(2
3
21 ?
? J1068.9 21???
(2) 由理想气体的状态方程得
k
V
NN
p
nk
p
T
?
?
?
?
?
? ?
??
21K467?
§ 3,温度的微观解释
温度的微观意义,
AA N
n R TRT
VN
NRT
V
MP ???
?
?np
3
2?
KTT
N
R
A 2
3
2
3
???
12310381 ?? ??? KJk,
叫玻尔兹漫常数
这说明温度是气体分子动能的统计平均值，这是
一个统计规律。
?是分子杂乱无章热运动的平均平动动能，它不包括整体定向
运动动能。
?粒子的平均热运动动能与粒子质量无关，而仅与温度有关
处于平衡时的理想气体，分子的平均动能与温度成正比。温
度是表征大量分子热运动激烈程度的宏观物理量，和压强一
样是统计量。对少数分子，没有温度概念。
绝对温度是分子热运动剧烈程度的度量
kTvmt
2
3
2
1 2
???
n k Tp ?一种形式理想气体物态方程的另
压强的单位
PaT or rm m H g
barPaat m
Pabar
mNPa
313311
01311001311
101
11
5
5
2
.
..
??
???
?
??
?
For example:When the sun goes down and the air
tempertature drops,the average speed of air molecules
decreases as well,
温度和压强的关系
定义,大量分子速率平方的平均值再开方
m
r m s M
RT
m
kT
vv
332
???
气体分子的均方根速率,
注意：一定要采用国际单位制才能得出正确的结论。
§ 4 分子间作用力
一、分子力
分子力是指分子之间存在的吸引或排斥的相互作
用力。 它们是造成固体、液体、和封闭气体等许多物理
性质的原因。
吸引力 —— 固体、液体聚集在一起；
排斥力 —— 固体、液体较难压缩。
分子力 f 与分子之间的距离 r有关。
存在一个 r0—— 平衡位置
r= r0时，分子力为零
r < r 0分子力表现在排斥力
r > r0分子力表现在吸引力
r > 10 r0分子力可以忽略不计
The force between two molecules is zero at a
separation r=r0,where the potential energy ia a
minimum.The force is attractive when the separartion
is greater than r0 and repulise when the separation is
less than r0,
二、分子间互作用势能曲线
r
Ep(r)
r0
Ep0
分子互作用势能曲线
?
?
??
????
r
p
p
p
drrFrE
dr
dE
FdrrFrdE
)()(
)()( 或
分子直径 ?一种理解指分子的大小
?两分子质心的最短距离 ---分子的 有效直径
0r
o
r
F m10~ 10
0 ?r
分子力
二、范德瓦耳斯方程
bV
RTp
p
RTbV
m
m ???? 或
bV
RT
pp
m o lRTbVp
ppp
m
i
m
i
?
???
??
???
)1()( 气体考虑
内
内
kvnkp i ??????? 2612][ 面积上平均分子数单位时间内碰撞在单位
1、分子固有体积修正
2、分子吸引力修正
设 Δ k指每个分子进入界
面层时平均动量减少量
β
p i
a
2
2
)
3
()(
3
1
,
mm
A
i
V
aK
v
V
N
Knvnp
Knk
????????
???
RT
M
m
b
M
m
V
V
a
M
m
p
Vm
m o lRTbV
V
a
p
mmm
m
m
????
???
])() ] [()([
,
)1(,)(
2
2
2
则范氏方程为：，体积为若气体质量为
范氏气体）（
范德瓦耳斯方程：
三,Onnes方程
.,,,,,2 ????
V
C
V
BApV
描述系统整体特征和属性的物理量 。
例如：气体质量、体积、压强、温度等。
气体平衡态可用压强 P,体积 V、温度 T 描述,
P,V,T 称为气体的状态参量 。
?微观量,
描述单个微观粒子运动状态的物理量。
例如：分子质量、位置、速度、动量、能量等。
?宏观量,
附、宏观量与微观量
两瓶不同种类的气体，若它们的分子平均
平动动能相等，但密度不同，则它们的温
度 __________、压强 ___________；
若它们的温度和压强相同，但体积不同，
则它们的分子数密度 ___________、气
体密度 ___________、单位体积内气体
分子的总平均平动能 ___________。
（填, 相同, 和, 不同, ）
