第四章 气体内的输运过程
(Transport Process in Gas )
气体系统由非平衡态向平衡态转变的过
程，就称为 输运过程 。 扩散过程、热传导
过程 和 粘滞性现象 都是典型的输运过程。
分子间的无规则碰撞在气体的输运过程
中起着关键的作用
内容提要,
?气体分子的平均自由程 (Average Free Route of
Molecule in Gas)
?输运过程的宏观规律 (Macroscopic Law of
Transport Process )
?输运过程的微观解释 (Microscoic Explanation
of Sticky Phenomenon)
?
教学目的和要求,
1,掌握钢球模型下的平均自由程和碰撞频率的概念,
深刻理解其物理意义 。
2,深刻理解和掌握三种输送过程的微观机制, 原因
和结果, 掌握相应的宏观规律 。
3,理解描述三种输送过程的系数的统计含义和统计
方法, 将理论和实践相比较, 了解理论的正确性和
近似性 。
重点和难点：, 是重点, 输送过程的微观机制
和统计方法是重点和难点, 物理性质不均匀的描述
是难点, 三个输送系数和宏观规律是重点 。
? z
(1) 认为气体分子是刚性球，两个分子中
心之间最小距离的平均值称为有效直径 d，
并且分子间的碰撞是完全弹性碰撞； (2) 系
统中气体分子的密度不很大，只要考虑两个
分子的碰撞过程就够了； (3) 当某个分子与
其它分子碰撞时，可以认为这个分子的直径
为 2d，而所有与它发生碰撞的分子都看为没
有大小的质点； (4) 假定被我们跟踪的分子
其热运动的相对速率的平均值为, 而
所有与它发生碰撞的分子都静止不动。
u
一、气体分子的平均自由程
(Average Free Route of Molecule in Gas)
1,平均自由程 和 平均碰撞频率 的定义 ? Z
?平均自由程
在一定的宏观条件下一个气体分子在连续
两次碰撞之间所可能经过的各段自由路程的
平均值。
?
?平均碰撞频率
一个分子在单位时间内所受到的平均碰撞
次数。
Z
Z
v
tZ
tv
?
?
?
??
?二者关系
2,平均自由程 和 平均碰撞频率 的计算 ? Z
（ 1）分子碰撞模型,
? 分子可看作具有一定体积的刚球；
? 分子间的碰撞是弹性碰撞；
? 两个分子质心间最小距离的平均值认为是刚球
的直径，称为分子的有效直径，用 d 表示。
设想：跟踪分子 A，它在 ?t 时间 内与多少分子
相碰。 假设：其它分子静止不动，只有分子 A
在它们 之间 以平均相对速率 运动。 分
子 A的运动轨迹为一折线，以 A的中心运动轨迹
为轴线，以分子有效直径 d 为半径，作一曲折
圆柱体。凡中心在此圆柱体内的分子都会与 A
相碰。
u
dA
dA
圆柱体的截面积为 ? =
?d 2, 叫做分子的 碰撞
截面 。
在 ?t内,A所走过的路程
为,相应圆柱体的
体积为,设气体
分子数密度为 n。则
中心在此圆柱体内的分子
总数，亦即在 ?t时间
内与 A相碰的分子数为,
tv?
tv??
tvn ??
平均碰撞频率,
vn
t
tvn
Z ?
?
?
?
?
?
v2u ??
考虑实际上所有的分子
都在运动,并且速率各
不相同,将其修正为,
nvdnvZ 222 ????
得：平均碰撞频率,
3、平均自由程
nd2
1
n2
1
z
v
2
?
?
?
???
nk Tp ?
pd
kT
2
2 ?
? ?
平均自由程与平均
速率无关，与分子有效直径
及 分子数密度有关 。
在标准状态下，多数气体平均自由程
? ~10-8m，只有氢气约为 10-7m。一般
d~10-10m，故 ? ? ? d。可求得 ~109/
秒。
每秒钟一个分子竟发生几十亿次
碰撞！
Z
二、输运过程的宏观规律
(Macroscopic Law of Transport Process )
当气体处于非平衡状态下，气体内部或者各部分的
温度 不相等，或者各部分的 压强 不相等，或者各气
层之间有 相对运动,或者这三者同时存在。在这些
非平衡状态下，气体内部将有 能量, 质量 或 动量 从
一个部分向另一个部分定向迁移，这种由非平衡态
向平衡态的变化过程就是气体的输运过程。
热传导现象、扩散现象、粘滞现象
一、粘滞现象的宏观规律
1、基本概念,
当气体各层 流速 不同时，通过任一平行于
流速的截面，相邻两部分气体将沿平行于
截面方向互施作用力，结果使得流动慢的
气层加速，使流动快的气层减速。这种相
互作用力称为内摩擦力，也叫做粘滞力。
这种现象称为内摩擦现象，也叫做粘滞现
象。
u1
U2 > U1
u2 f
f
y
x
z0
z
ds
o
dz
du
流体沿 y方向作定向流动,并且流动速
率 u沿 z方向递增 。 u是 z的函数，其变化
情况用 流速梯度 来表示
u1
U2 > U1
u2 f
f
y
x
z0
z
ds
o
在流体中作相对运
动的两层流体之间的接
触面上，将产生一对阻
碍两层流体相对运动的、
大小相等而方向相反的
黏力作用，实验发现其
大小为,
dS)
zd
ud
(f
0z
???
牛顿粘滞
定律
? 式中 ?是流体的粘滞系数，单位,NSM-2,表示单位时
间、单位面积、单位速度梯度上输运的动量。
dS)
zd
ud
(f
0z
???
( )dduz z0
是流体定向流动速率梯度在 z0处之值,ds是
在 z0处两流体层接触面的面积。
0z
dz
du
?
?
?
?
?
?
u1
U2 > U1
u2 f
f
y
x
z0
z
ds
o
设分子的质量为
m，分子定向运动
的动量为 mu。 在
接触面 dS两侧的气
体层中的分子，其
定向运动的动量分
别为 mu1和 mu2，并
且 mu2 > mu1
u1
U2 > U1
u2 f
f
y
x
z0
z
ds
o
由于下层中的分子携带较
小的定向运动动量 mu1，通
过 dS迁移到上层中。又由于
分子的碰撞，定向运动动量
被均匀化，所以上层中定向
运动动量减小。与此同时，
上层中的分子携带较大的定
向运动动量 mu2，通过 dS迁
移到下层中，使下层中定向
运动动量增大。
根据动量定理,dK = fdt
dS)
zd
ud
(f
0z
???
将 代入, dK = fdt
得,
d S d t)
z
u
(dK z
0d
d
???
注,因为动量是沿着流速减小方向输运的,
若,则 dk<0,而粘滞系
数总是正的,所以应加一负号
0?dzdu
二,热传导现象 (Heat Conduction
Phenomenon)
1、基本概念,
物体内各部分温度不均匀时，将有热量
由温度较高处传递到温度较低处，这
种现象叫做热传导现象。
dS
dQ
T2
T=T(z)
z
x
O
T2
T1
z0
>T1
y
? 宏观规律
设某种气体系统的温度
沿 z方向由下而上逐渐升
高，温度 T 是 z 的函数，
其变化可用温度梯度
dT/dz表示 。
设想在 z=z0处有一界面 ?S，实验指出 dt 时间内
通过 dS 沿 z 轴方向传递的热量为,
tdS
z
T
Q
z
??
0
d
d
d ?
?
?
?
?
?
??
tdS
z
T
Q
z
??
0
d
d
d ?
?
?
?
?
?
??
叫做导热系数,单位,W m-1 K-1,负号表示热量向温
度减小的方向输运。表示单位时间、单位面积、
单位温度梯度上所输运的热量。
?
? 气体内的热传导过程是分子热运动平均
动能输运的宏观表现。
三、扩散现象 (Diffuse Phenomenon)
1、基本概念,
两种物质混合时，如果其中一种物质在
各处的密度不均匀，这种物质将从密
度大的地方向密度小的地方散布，这
种现象叫扩散。
m n n
p n k T
?
?
?
?
?
?
???
?
???
? ??
?
?
?
??
若 不 均 匀
则 不 均 匀
一种气体
则 不 均 匀
则产生宏观气流
p
m n n
p n k T
?
?
?
?
?
?
?
?? ?
?
??
? ?
? ?
?
?
??
若 不 均 匀
则 不 均 匀
一种气体
则 不 均 匀
则产生宏观气流
p
我们这里研究的是,纯扩散 --仅仅是由于分
子的无规则运动和碰撞引起的扩散过程。
?
?
?
?
?
?
?
不存在宏观气流
各处均匀
实现纯扩散的条件
各处均匀
不同气体的分子质量相等
p,T
n
即：混合气体各处的密度、压强、
温度都相同，只是组成混合气体的
各组分密度不均匀
ΔS
?2 z
x
O
? 2
? 1
z0
> ? 1
y
dM
?系统中气体沿 z方向
的密度逐渐增大，即
沿 z轴方向存在密度梯
度 d? /dz。
系统中某种气体的密度
沿 z 方向 增大,其不均匀情
况用密度梯度 d? /dz表示。
设想在 z=z0 处有一界面 dS,
实验指出，在 dt内 通过 dS
面传递的气体质量为,
tdS
z
DM
z
d
d
d
d
0
?
?
?
?
?
?
??
?
D 为扩散系数,单位 m s-1,表示单位时间、
单位面积、单位密度梯度上所输运的质量。
tdS
z
DM
z
d
d
d
d
0
?
?
?
?
?
?
??
? 斐克定
律
四、输运过程三个宏观规律的比较
(Comparison of Three Macroscopic Law of
Transport Process)
4.3 输运过程的微观解释 Microscopic
Explanation of transport Phenomenon)
一, 粘滞现象的微观解释
(Microscopic Explanation of Sticky
Phenomenon)
先讨论在 dt时间内两
气层通过 dS面交换的分
子数，再讨论分子穿越
dS所输运的定向运动动
量。
简化假设,
（ 1） 沿 z 轴正向运动
的分子数只是总分子数的
1/6
（ 2）所有分子都以
运动
v
dt 时间内,过 ds 面交换的分子对数
11
66
d N n V n v d s d t??
柱体
分子的交换引起定向运动动量的迁移 上、下气层
通过接触面 dS 所迁移的定向运动动量的大小为
tdS)uu(vnm
N)mumu(p
d
6
1
dd
12
12
??
??
因为气体定向流动的速率沿 z方向递增，所
以实际上 dp是沿 z轴的负方向由上侧气层通
过 ?S面输运到下气层的定向运动动量，因此
dt 内过 ds 面沿 z 轴正向输运的总动量为,
tdS)uu(vnmp d
6
1
d 12 ???
在 dS面上、下两侧气层中将要交换的
分子，在穿越 dS 面以前最后一次碰撞
的位置上定向运动速率分别为 u2 和 u1,
这些分子是处于 ?S面以上并与 ?S面相距一个
平均自由程的地方，即处于 处，所以
??0z
00 d
d
2
d
d
0012 zz )
z
u
()]z()z[()
z
u
(uu ??? ??????
联立,
tdS)
z
u
(vnmp
z
d
d
d
3
1
d
0
???
tdS)uu(vnmp d
6
1
d 12 ???
得,
即,dt 内过 ds 面沿 z 轴正向输运的总动
量
与牛顿粘滞定律
比较,0() z
du
d K d s d t
dz
?? ?
tdS)
z
u
(vp z d
d
d
3
1
d
0
????
得,1
3
v?? ? ?
二、热传导的微观解释 Microscopic
Explanation of Heat Conduction)
11
,
1 1
,
AA
AA
A
b B B BB
b B
nvn v T
TT
n v T nv
T T
?
?
??
???
??
??
???
??
?? ?
??
? ?
A A B Bn v n v n v??
在温差不是很大的
情况下可近似认为,
dt时间内过 ds面交换的
分子对数为
1
6
d N n v d sd t?
0
0
:,
2
:,
2
AA z
BB z
i
A k T T T
i
k T T T
?
?
?
?
部分子的平均热运动能量
部分子的平均热运动能量
?
?
B
每交换一对分子沿 z 轴正向输运的能量
22
AB
ii
q k T k T???
dt时间内,通过 ds面沿 z轴正向输运的总能量,即
沿 z轴正向传递的热量为
? ?
1
62
AB
Q q N
i
Q n v d s d t k T T
?
??
? ? ?
?
? ?
1
62
AB
Q q N
i
Q n v d s d t k T T
?
??
? ? ?
?
0
2
1
32
AB
z
dT
TT
dz
i d T
Q n v k d s d t
dz
??
? ? ?
??
??
??
??
??
??
?
??
与付里叶定律
0z
dT
Q k d s d t
dz
??
?? ??
??
?
相比较, 有
定容热容
KN
i
dT
dU
C
Av
2
??
k
i
vn
23
1
?? ?
M
NK
i
M
C
c vv 2??
定容比热
mc
N
Mc
K
i
v
v ??
2
代入,
K
i
vn
23
1
?? ?
得
mc
N
Mc
K
i
v
v ??
2
联立,
K
i
vn
23
1
?? ?
v
cv ???
3
1
?
三、扩散现象的微观解释
(Microscopic Explanation of
Diffuse Phenomenon)
A部的密度小，单位体
积内的分子数少； B部
的密度大，单位体积内
的分子数多。因此从 A
部转移到 B部的分子数
少于从 B部转移到 A部
的分子数。质量向 Z轴
负方向输运。
沿 z轴正向输运的净分子数为
11
66
ABd N n v d s d t n v d s d t??
沿 z轴正向输运的净质量为
? ?
? ?
1
6
1
6
AB
AB
dM m dN
v dsd t m n m n
v dsd t
?
??
?? ??
0
0
2
1
3
AB
z
z
d
dz
d
d M v d sd t
dz
??
? ? ?
??
??
??
??
??
??
?
? ? ?
?
?
与斐克定律
tdS
z
DM
z
d
d
d
d
0
?
?
?
?
?
?
??
?
比较有,
?vD
3
1
?
四、理论结果与实验的比较 Comparison
of Theory and Experiments）
1.η, k,D与气体状态参量的关系
kT
p
n,
n
m
KT
v,mn
??
??
?
?
?
?
2
1
8
将,
代入,
?
?????
vD
,cvk,v
v
3
1
3
1
3
1
?
??
得
1
2
1
2
3
3
2
14
3
14
3
14
3
v
k m T
k m T
kc
kT
D
mp
?
??
??
??
?
? ?
?
?
?
??
?
?
? ?
?
?
1
2
1
2
3
3
2
14
3
14
3
14
3
v
k m T
k m T
kc
kT
D
mp
?
??
??
??
?
? ?
?
?
?
??
?
?
? ?
?
?
（ 1） η, k, D与 p 的关系
:
p
p
?
?
?
?
??
?
?
?
??
与 无 关
理 论 与 无 关
实 验 与 理 论 结 果 一 致
1
D ∝
p
极稀薄和极稠密的气体的
粘滞系数完全相同，这与
人们直觉相违背。而麦克
斯韦从实验上证明了这个
实验与理论结果一致。
（ 2） η, k, D与 T的关系
1
2
1
2
3
2
0, 7
0, 7
1, 7 5 2
T
kT
DT
T
kT
D T T
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
理论
实 验 均 大 于 理 论 值
2.η,k,D之间的关系
理论,
???
1
??
D
,c
k
v
或 11 ??
?
?
?
D
,
c
k
v
实验,;.~.
D;.~.
c
k
v
51315231 ??
?
?
?
3.η,k,D 的数量级
?
理论值与实验值数量级相同
五：低压下的热传导和粘滞现象 (Heat
Conduction and Stieky Phenomenon in Law
Pressure)
常压下 η,k 与 p无关，但低压下则不然，实验指
出，当气体的压强很低时,η,k 与 p成正比。保温
瓶为什么要在夹层中抽成真空，以减少热传导？
设夹层的间距为 1cm，,根据
?
2
4
1,33 10,0,5
1,33 10,50
p P a m
p P a m
?
?
?
?
? ? ?
? ? ?
当时
当时
>1m 所以分子自由程由夹层的间距决定,
＝ L，则,
?
PnLcvcvk vv ??
?
?
?
? ???
3
1
3
1
(Transport Process in Gas )
气体系统由非平衡态向平衡态转变的过
程，就称为 输运过程 。 扩散过程、热传导
过程 和 粘滞性现象 都是典型的输运过程。
分子间的无规则碰撞在气体的输运过程
中起着关键的作用
内容提要,
?气体分子的平均自由程 (Average Free Route of
Molecule in Gas)
?输运过程的宏观规律 (Macroscopic Law of
Transport Process )
?输运过程的微观解释 (Microscoic Explanation
of Sticky Phenomenon)
?
教学目的和要求,
1,掌握钢球模型下的平均自由程和碰撞频率的概念,
深刻理解其物理意义 。
2,深刻理解和掌握三种输送过程的微观机制, 原因
和结果, 掌握相应的宏观规律 。
3,理解描述三种输送过程的系数的统计含义和统计
方法, 将理论和实践相比较, 了解理论的正确性和
近似性 。
重点和难点：, 是重点, 输送过程的微观机制
和统计方法是重点和难点, 物理性质不均匀的描述
是难点, 三个输送系数和宏观规律是重点 。
? z
(1) 认为气体分子是刚性球，两个分子中
心之间最小距离的平均值称为有效直径 d，
并且分子间的碰撞是完全弹性碰撞； (2) 系
统中气体分子的密度不很大，只要考虑两个
分子的碰撞过程就够了； (3) 当某个分子与
其它分子碰撞时，可以认为这个分子的直径
为 2d，而所有与它发生碰撞的分子都看为没
有大小的质点； (4) 假定被我们跟踪的分子
其热运动的相对速率的平均值为, 而
所有与它发生碰撞的分子都静止不动。
u
一、气体分子的平均自由程
(Average Free Route of Molecule in Gas)
1,平均自由程 和 平均碰撞频率 的定义 ? Z
?平均自由程
在一定的宏观条件下一个气体分子在连续
两次碰撞之间所可能经过的各段自由路程的
平均值。
?
?平均碰撞频率
一个分子在单位时间内所受到的平均碰撞
次数。
Z
Z
v
tZ
tv
?
?
?
??
?二者关系
2,平均自由程 和 平均碰撞频率 的计算 ? Z
（ 1）分子碰撞模型,
? 分子可看作具有一定体积的刚球；
? 分子间的碰撞是弹性碰撞；
? 两个分子质心间最小距离的平均值认为是刚球
的直径，称为分子的有效直径，用 d 表示。
设想：跟踪分子 A，它在 ?t 时间 内与多少分子
相碰。 假设：其它分子静止不动，只有分子 A
在它们 之间 以平均相对速率 运动。 分
子 A的运动轨迹为一折线，以 A的中心运动轨迹
为轴线，以分子有效直径 d 为半径，作一曲折
圆柱体。凡中心在此圆柱体内的分子都会与 A
相碰。
u
dA
dA
圆柱体的截面积为 ? =
?d 2, 叫做分子的 碰撞
截面 。
在 ?t内,A所走过的路程
为,相应圆柱体的
体积为,设气体
分子数密度为 n。则
中心在此圆柱体内的分子
总数，亦即在 ?t时间
内与 A相碰的分子数为,
tv?
tv??
tvn ??
平均碰撞频率,
vn
t
tvn
Z ?
?
?
?
?
?
v2u ??
考虑实际上所有的分子
都在运动,并且速率各
不相同,将其修正为,
nvdnvZ 222 ????
得：平均碰撞频率,
3、平均自由程
nd2
1
n2
1
z
v
2
?
?
?
???
nk Tp ?
pd
kT
2
2 ?
? ?
平均自由程与平均
速率无关，与分子有效直径
及 分子数密度有关 。
在标准状态下，多数气体平均自由程
? ~10-8m，只有氢气约为 10-7m。一般
d~10-10m，故 ? ? ? d。可求得 ~109/
秒。
每秒钟一个分子竟发生几十亿次
碰撞！
Z
二、输运过程的宏观规律
(Macroscopic Law of Transport Process )
当气体处于非平衡状态下，气体内部或者各部分的
温度 不相等，或者各部分的 压强 不相等，或者各气
层之间有 相对运动,或者这三者同时存在。在这些
非平衡状态下，气体内部将有 能量, 质量 或 动量 从
一个部分向另一个部分定向迁移，这种由非平衡态
向平衡态的变化过程就是气体的输运过程。
热传导现象、扩散现象、粘滞现象
一、粘滞现象的宏观规律
1、基本概念,
当气体各层 流速 不同时，通过任一平行于
流速的截面，相邻两部分气体将沿平行于
截面方向互施作用力，结果使得流动慢的
气层加速，使流动快的气层减速。这种相
互作用力称为内摩擦力，也叫做粘滞力。
这种现象称为内摩擦现象，也叫做粘滞现
象。
u1
U2 > U1
u2 f
f
y
x
z0
z
ds
o
dz
du
流体沿 y方向作定向流动,并且流动速
率 u沿 z方向递增 。 u是 z的函数，其变化
情况用 流速梯度 来表示
u1
U2 > U1
u2 f
f
y
x
z0
z
ds
o
在流体中作相对运
动的两层流体之间的接
触面上，将产生一对阻
碍两层流体相对运动的、
大小相等而方向相反的
黏力作用，实验发现其
大小为,
dS)
zd
ud
(f
0z
???
牛顿粘滞
定律
? 式中 ?是流体的粘滞系数，单位,NSM-2,表示单位时
间、单位面积、单位速度梯度上输运的动量。
dS)
zd
ud
(f
0z
???
( )dduz z0
是流体定向流动速率梯度在 z0处之值,ds是
在 z0处两流体层接触面的面积。
0z
dz
du
?
?
?
?
?
?
u1
U2 > U1
u2 f
f
y
x
z0
z
ds
o
设分子的质量为
m，分子定向运动
的动量为 mu。 在
接触面 dS两侧的气
体层中的分子，其
定向运动的动量分
别为 mu1和 mu2，并
且 mu2 > mu1
u1
U2 > U1
u2 f
f
y
x
z0
z
ds
o
由于下层中的分子携带较
小的定向运动动量 mu1，通
过 dS迁移到上层中。又由于
分子的碰撞，定向运动动量
被均匀化，所以上层中定向
运动动量减小。与此同时，
上层中的分子携带较大的定
向运动动量 mu2，通过 dS迁
移到下层中，使下层中定向
运动动量增大。
根据动量定理,dK = fdt
dS)
zd
ud
(f
0z
???
将 代入, dK = fdt
得,
d S d t)
z
u
(dK z
0d
d
???
注,因为动量是沿着流速减小方向输运的,
若,则 dk<0,而粘滞系
数总是正的,所以应加一负号
0?dzdu
二,热传导现象 (Heat Conduction
Phenomenon)
1、基本概念,
物体内各部分温度不均匀时，将有热量
由温度较高处传递到温度较低处，这
种现象叫做热传导现象。
dS
dQ
T2
T=T(z)
z
x
O
T2
T1
z0
>T1
y
? 宏观规律
设某种气体系统的温度
沿 z方向由下而上逐渐升
高，温度 T 是 z 的函数，
其变化可用温度梯度
dT/dz表示 。
设想在 z=z0处有一界面 ?S，实验指出 dt 时间内
通过 dS 沿 z 轴方向传递的热量为,
tdS
z
T
Q
z
??
0
d
d
d ?
?
?
?
?
?
??
tdS
z
T
Q
z
??
0
d
d
d ?
?
?
?
?
?
??
叫做导热系数,单位,W m-1 K-1,负号表示热量向温
度减小的方向输运。表示单位时间、单位面积、
单位温度梯度上所输运的热量。
?
? 气体内的热传导过程是分子热运动平均
动能输运的宏观表现。
三、扩散现象 (Diffuse Phenomenon)
1、基本概念,
两种物质混合时，如果其中一种物质在
各处的密度不均匀，这种物质将从密
度大的地方向密度小的地方散布，这
种现象叫扩散。
m n n
p n k T
?
?
?
?
?
?
???
?
???
? ??
?
?
?
??
若 不 均 匀
则 不 均 匀
一种气体
则 不 均 匀
则产生宏观气流
p
m n n
p n k T
?
?
?
?
?
?
?
?? ?
?
??
? ?
? ?
?
?
??
若 不 均 匀
则 不 均 匀
一种气体
则 不 均 匀
则产生宏观气流
p
我们这里研究的是,纯扩散 --仅仅是由于分
子的无规则运动和碰撞引起的扩散过程。
?
?
?
?
?
?
?
不存在宏观气流
各处均匀
实现纯扩散的条件
各处均匀
不同气体的分子质量相等
p,T
n
即：混合气体各处的密度、压强、
温度都相同，只是组成混合气体的
各组分密度不均匀
ΔS
?2 z
x
O
? 2
? 1
z0
> ? 1
y
dM
?系统中气体沿 z方向
的密度逐渐增大，即
沿 z轴方向存在密度梯
度 d? /dz。
系统中某种气体的密度
沿 z 方向 增大,其不均匀情
况用密度梯度 d? /dz表示。
设想在 z=z0 处有一界面 dS,
实验指出，在 dt内 通过 dS
面传递的气体质量为,
tdS
z
DM
z
d
d
d
d
0
?
?
?
?
?
?
??
?
D 为扩散系数,单位 m s-1,表示单位时间、
单位面积、单位密度梯度上所输运的质量。
tdS
z
DM
z
d
d
d
d
0
?
?
?
?
?
?
??
? 斐克定
律
四、输运过程三个宏观规律的比较
(Comparison of Three Macroscopic Law of
Transport Process)
4.3 输运过程的微观解释 Microscopic
Explanation of transport Phenomenon)
一, 粘滞现象的微观解释
(Microscopic Explanation of Sticky
Phenomenon)
先讨论在 dt时间内两
气层通过 dS面交换的分
子数，再讨论分子穿越
dS所输运的定向运动动
量。
简化假设,
（ 1） 沿 z 轴正向运动
的分子数只是总分子数的
1/6
（ 2）所有分子都以
运动
v
dt 时间内,过 ds 面交换的分子对数
11
66
d N n V n v d s d t??
柱体
分子的交换引起定向运动动量的迁移 上、下气层
通过接触面 dS 所迁移的定向运动动量的大小为
tdS)uu(vnm
N)mumu(p
d
6
1
dd
12
12
??
??
因为气体定向流动的速率沿 z方向递增，所
以实际上 dp是沿 z轴的负方向由上侧气层通
过 ?S面输运到下气层的定向运动动量，因此
dt 内过 ds 面沿 z 轴正向输运的总动量为,
tdS)uu(vnmp d
6
1
d 12 ???
在 dS面上、下两侧气层中将要交换的
分子，在穿越 dS 面以前最后一次碰撞
的位置上定向运动速率分别为 u2 和 u1,
这些分子是处于 ?S面以上并与 ?S面相距一个
平均自由程的地方，即处于 处，所以
??0z
00 d
d
2
d
d
0012 zz )
z
u
()]z()z[()
z
u
(uu ??? ??????
联立,
tdS)
z
u
(vnmp
z
d
d
d
3
1
d
0
???
tdS)uu(vnmp d
6
1
d 12 ???
得,
即,dt 内过 ds 面沿 z 轴正向输运的总动
量
与牛顿粘滞定律
比较,0() z
du
d K d s d t
dz
?? ?
tdS)
z
u
(vp z d
d
d
3
1
d
0
????
得,1
3
v?? ? ?
二、热传导的微观解释 Microscopic
Explanation of Heat Conduction)
11
,
1 1
,
AA
AA
A
b B B BB
b B
nvn v T
TT
n v T nv
T T
?
?
??
???
??
??
???
??
?? ?
??
? ?
A A B Bn v n v n v??
在温差不是很大的
情况下可近似认为,
dt时间内过 ds面交换的
分子对数为
1
6
d N n v d sd t?
0
0
:,
2
:,
2
AA z
BB z
i
A k T T T
i
k T T T
?
?
?
?
部分子的平均热运动能量
部分子的平均热运动能量
?
?
B
每交换一对分子沿 z 轴正向输运的能量
22
AB
ii
q k T k T???
dt时间内,通过 ds面沿 z轴正向输运的总能量,即
沿 z轴正向传递的热量为
? ?
1
62
AB
Q q N
i
Q n v d s d t k T T
?
??
? ? ?
?
? ?
1
62
AB
Q q N
i
Q n v d s d t k T T
?
??
? ? ?
?
0
2
1
32
AB
z
dT
TT
dz
i d T
Q n v k d s d t
dz
??
? ? ?
??
??
??
??
??
??
?
??
与付里叶定律
0z
dT
Q k d s d t
dz
??
?? ??
??
?
相比较, 有
定容热容
KN
i
dT
dU
C
Av
2
??
k
i
vn
23
1
?? ?
M
NK
i
M
C
c vv 2??
定容比热
mc
N
Mc
K
i
v
v ??
2
代入,
K
i
vn
23
1
?? ?
得
mc
N
Mc
K
i
v
v ??
2
联立,
K
i
vn
23
1
?? ?
v
cv ???
3
1
?
三、扩散现象的微观解释
(Microscopic Explanation of
Diffuse Phenomenon)
A部的密度小，单位体
积内的分子数少； B部
的密度大，单位体积内
的分子数多。因此从 A
部转移到 B部的分子数
少于从 B部转移到 A部
的分子数。质量向 Z轴
负方向输运。
沿 z轴正向输运的净分子数为
11
66
ABd N n v d s d t n v d s d t??
沿 z轴正向输运的净质量为
? ?
? ?
1
6
1
6
AB
AB
dM m dN
v dsd t m n m n
v dsd t
?
??
?? ??
0
0
2
1
3
AB
z
z
d
dz
d
d M v d sd t
dz
??
? ? ?
??
??
??
??
??
??
?
? ? ?
?
?
与斐克定律
tdS
z
DM
z
d
d
d
d
0
?
?
?
?
?
?
??
?
比较有,
?vD
3
1
?
四、理论结果与实验的比较 Comparison
of Theory and Experiments）
1.η, k,D与气体状态参量的关系
kT
p
n,
n
m
KT
v,mn
??
??
?
?
?
?
2
1
8
将,
代入,
?
?????
vD
,cvk,v
v
3
1
3
1
3
1
?
??
得
1
2
1
2
3
3
2
14
3
14
3
14
3
v
k m T
k m T
kc
kT
D
mp
?
??
??
??
?
? ?
?
?
?
??
?
?
? ?
?
?
1
2
1
2
3
3
2
14
3
14
3
14
3
v
k m T
k m T
kc
kT
D
mp
?
??
??
??
?
? ?
?
?
?
??
?
?
? ?
?
?
（ 1） η, k, D与 p 的关系
:
p
p
?
?
?
?
??
?
?
?
??
与 无 关
理 论 与 无 关
实 验 与 理 论 结 果 一 致
1
D ∝
p
极稀薄和极稠密的气体的
粘滞系数完全相同，这与
人们直觉相违背。而麦克
斯韦从实验上证明了这个
实验与理论结果一致。
（ 2） η, k, D与 T的关系
1
2
1
2
3
2
0, 7
0, 7
1, 7 5 2
T
kT
DT
T
kT
D T T
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
理论
实 验 均 大 于 理 论 值
2.η,k,D之间的关系
理论,
???
1
??
D
,c
k
v
或 11 ??
?
?
?
D
,
c
k
v
实验,;.~.
D;.~.
c
k
v
51315231 ??
?
?
?
3.η,k,D 的数量级
?
理论值与实验值数量级相同
五：低压下的热传导和粘滞现象 (Heat
Conduction and Stieky Phenomenon in Law
Pressure)
常压下 η,k 与 p无关，但低压下则不然，实验指
出，当气体的压强很低时,η,k 与 p成正比。保温
瓶为什么要在夹层中抽成真空，以减少热传导？
设夹层的间距为 1cm，,根据
?
2
4
1,33 10,0,5
1,33 10,50
p P a m
p P a m
?
?
?
?
? ? ?
? ? ?
当时
当时
>1m 所以分子自由程由夹层的间距决定,
＝ L，则,
?
PnLcvcvk vv ??
?
?
?
? ???
3
1
3
1
