1
热 学
2
第三章
气体分子热运动的统计规律
掌握分布函数的概念和麦克斯维速率分布律, 能理解三种特殊
的速率并理解其物理意义, 理解分布函数的统计规律性, 从而理解
力学规律和统计规律的区别, 了解测定分子热运动统计规律的实验
方法和原理, 掌握自由度的概念和能均分定理, 掌握气体的内能的
含义, 导出理想气体的内能公式, 了解经典理论热容量表述的局限
性 。
重点,分布函数的规律性及其特点, 统计平均的一般方法, 三个速
率, 碰撞数, 能均分定律, 理想气体的内能包括两个热容量 。
难点,分布函数的规律及其特性, 统计平均的一般方法 。
3
第一章我们引入了平衡态和温度的概念，但在热力学范围内不
能得到深刻的认识。第二章以分子运动论为基础，认识了压强
和温度的微观本质，对平衡态下分子热运动的规律有了初步认
识，我们有一个基本的统计公理（假设）。这个公理只解决了
分子热运动速度方向的几率问题，并没有涉及分子热运动速率
大小取值的概率，无法作进一步的定量分析。分子热运动情况
是分子物理的重要研究对象，我们必须讨论速率大小取值的概
率问题。由于分子数目如此巨大，速率的取值从 0到 ∞,这个
取值区间非常大，分子在任何一个微小速率范围内的取值其概
率都不会大，但到底有多小却不易判断。所以，这是一个大数
量偶然微观运动的集体效应的问题，既统计的问题，对应的规
律就是一个统计规律。一般地研究这个问题比较复杂，我们以
理想气体为基础来开展讨论。
4
复 习
?气体动理论的基本观点
?理想气体的微观模型
?理想气体压强公式
knvmnp ?3
22
2
1
3
2 )( ??
?理想气体的温度
kTvm
2
3
2
1 2
?
5
3－ 1 麦克斯韦气体速率分布律
引言,
气体分子处于无规则的热运动之中，由于碰撞，每个分
子的速度都在不断地改变，所以在某一时刻，对某个分
子来说，其速度的大小和方向完全是偶然的。然而就大
量分子整体而言，在一定条件下，分子的速率分布遵守
一定的统计规律 —— 气体速率分布律 。
气体分子按速率分布的统计规律最早是由 麦克斯韦 于 1859年
在概率论的基础上导出的,1877年 玻耳兹曼 由经典统计力学
中导出,1920年 斯特恩 从实验中证实了麦克斯韦分子按速率
分布的统计规律。
6
麦克斯韦（ James Clerk Maxwell 1831—— 1879)
19世纪伟大的英
国物理学家、数
学家。经典电磁
理论的奠基人，
气体动理论的创
始人之一。
?他提出了有旋电场和位移电流概念，建
立了经典电磁理论，预言了以光速传播
的电磁波的存在。
?1873年，他的, 电磁学通论, 问世，这
是一本划时代巨著，它与牛顿时代的
,自然哲学的数学原理, 并驾齐驱，它
是人类探索电磁规律的一个里程碑。
?在气体动理论方面，他还提出气体分子
按速率分布的统计规律。
7
麦克斯韦速率分布
统计规律性
速率分布函数
麦克斯韦速率分布律
分子速率的三个统计值
麦克斯韦率度分布曲线
8
统计规律性
分子运动论从物质微观结构出发，研究大量分
子组成的系统的热性质。其中个别分子的运动
（在动力学支配下）是无规则的，存在着极大
的偶然性。但是，总体上却存在着确定的规律
性。（例：理想气体压强）
人们把这种支配大量粒子综合性质和集体行为
的规律性称为统计规律性
9
速度取向的概率问题。速度是矢量，必须解决有关大小取值的
概率问题。首先我们容易想到这样两个事实,1。由于分子受
到频繁的碰撞，每个分子热运动的速率是变化的，要某一分子
具有多大的运动速率没有意义，所以只能估计在某个速率间隔
内出现的概率； 2。哪怕是相同的速率间隔，例如都是 100ms-1，
但是不同的速率附近，其概率是不等的，例如,100-200 ms-1
和 500-600 ms-1有相同的速率间隔，但第一个间隔总的来说速
率较低，第二个间隔总的来说速率较大，其概率是不等的。比
如，速率接近为 0的可能性很小，速率非常大的可能性也很小，
而居中速率的可能性则较大。根据这个两个事实，我们自然要
问，在不同速率间隔取值的概率有没有规律？肯定是有的，这
个规律能用一个函数定量表示出来。为此，我们引入速率分布
函数来描述分子热运动在不同速率间隔取值的概率规律。
10
§ 1、气体分子的速率分布律
?速率分布函数的定义,
一定量的气体分子总数为 N,dN表示速率分布在某区间
v~v+dv内的分子数,dN/N表示分布在此区间内的分子数占
总分子数的比率。
实验规律,
?在不同的速率附近，给定的速率间隔 dv内，比值 dN/N是
不同的。容易想见，速率间隔越大,dN/N？
? dN/N 是 v 的函数；
?当速率区间足够小时（宏观小，微观大）, dN/N还应与
区间大小成正比。
1、速率分布函数
为此, 规定以单位速率间隔为比较标准, 即, 这样, 比
值 就反映出了随速率 v的改变而改变 。 为此我们规
定 ；
Ndv
dN
Ndv
dN
11
N d v
dN
vf ?)(
速率分布函数
定义：处于一定温度下的气体，分布在速率 v附近的
单位速率间隔内的分子数占总分子数的百分比只是
速率 v的函数，称为速率分布函数。
理解分布函数的几个要点,
1.条件：一定温度（平衡态）和确定的气体系统,T和 m是一定的；
2.范围,（ 速率 v附近的 ） 单位速率间隔, 所以要除以 dv；
3.数学形式,（ 分子数的 ） 比例, 局域分子数与总分子数之比 。
12
?物理意义,
速率在 v 附近，单位速率区间的分子数占总分子数
的概率，或概率密度。
? ? 1
00
?? ??
?
dvvf
N
dNN
N
dN
dvvf ?)(
表示速率分布在 v→ v+dv内的
分子数占总分子数的概率
?
2
1
)(
v
v
dvvf
N
dN
＝
表示速率分布在 v1→ v2内的分
子数占总分子数的概率
归一化条件
13
应注意的问题,
分布函数是一个统计结果, 以上各种讨论都是建立在众多分子微
观运动基础上的, 分子的数目越大, 结论越正确 。 所以,
1） 少数分子谈不上概率分布
偶然事件少了, 或分子数少了, 就不能表现出稳定的统计特性 。
例如, 抛两分的硬币, 抛的次数越多, 币制和国徽朝上的次数才
更加接近相等, 否者将有很大差异 。
2） 统计规律表现出涨落
所谓涨落就是对稳定的统计结果的偏差, 统计规律必然伴随着涨
落 。 例如, 在某一速率 v附近 dv间隔内求出的比值 dN/N是 0.06，
表示有 6%的分子, 它们的速率取值分布在 （ v,v+dv） 内, 但并
不是说, 每时每刻就一定是 0.06,也有可能是 0.05998，
0.0601,… 等等, 但长时间的平均值仍是 0.06。
14
3）, 具有某一速率的分子有多少, 是不恰当的说法
f (v)是针对 v附近单位速率间隔的，离开速率间隔来谈分子
数有多少就没有意义了。
4） 气体由非平衡到平衡的过程是通过分子间的碰撞来实现
的 。
因此, 分子间的碰撞是使分子热运动达到并保持确定分布的
决定因素 。
15
课堂练习 1．速率分布函数 的物理意义为,
（Ａ）具有速率 的分子占总分子数的百分比,
（Ｂ）速率分布在 附近的单位速率间隔中的分子
数占总分子数的百分比,
（Ｃ）具有速率 的分子数,
（Ｄ）速率分布在 附近的单位速率间隔中的分子
数,
? ?vf
v
v
v
v
（Ｂ）
16
练习 2,下列各式的物理意义分别为,
(1) vvf d)(
(2)
vvNf d)(
(3)
?
2
1
d)(
v
v
vvf
(4)
?
2
1
d)(
v
v
vvNf
速率在 v-v+dv内的分子数占总分子数的百分比
速率在 v-v+dv内的分子数
速率在 v1→v 2内的分子数占总分子数的百分比
速率在 v1→v 2内的分子数
17
练习 3．在平衡状态下，已知理想气体分子的麦克
斯韦速率分布函数为,分子质量为,最可几
速率为,试说明下列各式的物理意义,
)(vf m
Pv
（１） 表示 ________________； ? ???
Pv
dvvf
（２） 表示 ______________,? ?? ?
0
2
2
1 dvvfmv
分子平动动能的平均值
分布在速率区间 的分子数在总分子数中占
的百分率 ??Pv
18
练习 4．已知分子总数为,它们的速率分布函数
为,则速率分布在区间 内的分子的
平均速率为
N
)(vf 21 vv ?
? ?? 2
1
v
v
dvvvf
? ?
? ??
?
2
1
2
1
v
v
v
v
dvvf
dvvvf
? ?? 2
1
v
v
dvvN v f
? ?
N
dvvvf
v
v?
2
1
（ A）
（ C）
（ B）
（ D）
（ B）
19
2.麦克斯韦速度分布律
在平衡态下，当气体分子间的相互作用可以
忽略时，分布在速度区间 ~ 的分子
数占总分子数的比率为
v? vdv ?? ?
zyx
kT
vvvm
dvdvdvve
kT
m
N
dN zyx 2
2
)(2
3
222
2
???
?
?
?
?
?
?
?
?
麦克斯韦速度分布律
20
3.麦克斯韦速率分布律
在平衡态下，当气体分子间的相互作用可以
忽略时，分布在速度区间 ~ 也就是
分布在 vx~vx+dvx/vy~vy+dvy/vz~vz+dvz的分子数占总
分子数的比率为,
v? vdv ?? ?
zyx
kT
vvvm
dvdvdvve
kT
m
N
dN zyx 2
2
)(2
3
222
2
???
?
?
?
?
?
?
?
?
21
这个区间内的分子，它们的
速度矢量的端点都在一定的
体积元 dω＝ dvxdvydvz内
也就是满足这个条件的速度
矢量的端点都落在半径为 v，
厚度为 dv的球壳层内。这个
球壳层的体积等于其内壁的
面积 4πv2乘以厚度 dv,
dω＝ 4πv2dv
22
将 dω＝ dvxdvydvz代入
dvve
kT
m
N
dN
kT
mv
22
2
3
2
2
4
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
麦克斯韦
速率分布
分布律
麦克斯韦速率分布律
zyx
kT
vvvm
dvdvdvve
kT
m
N
dN zyx 2
2
)(2
3
222
2
???
?
?
?
?
?
?
?
?
且,
2222
zyx vvvv ???
得：
得
23
记忆这个公式分三部分,
第一部分, 4?v2dv是, 球壳, 的体积, 而, 球壳, 全方位的高
度对称性正是分子热运动想各个方向几率均等的生动表现；
kTmve 2
2?第二部分,
正是分子热运动速率取值不等几率的表现，值得注意，这个
指数衰减律的结果没有单位,mv2/2是分子热运动的动能,kT
既有能量的量纲，所以指数衰减的指数部分是热运动的动能
与体系能量状态特征量之比，对于大的速率，指数衰减的速
度比 v2增加的速度快得多，二者共同影响的结果，分布函数
值必然较小。
24
第三部分,
是归一化因子，这里也有一个值得注意的问题，指数衰减部分没
有单位,4?v2dv具有速度立方的单位，分布律只是分子数的比值，
也没有单位，所以归一化因子必须具有速度负立方的单位。即
应该具有速度的量纲，的确如此，正是一个具有统计
特性的速率，后面知道，叫最可几速率。
23
2
/
?????? kTm?
23
2
/
?????? kTm?
25
? ? 22
2
3
2
2
4 ve
kT
m
vf kT
mv?
?
?
?
?
?
?
?
??
麦克斯韦
速率分布函数
m—— 分子的质量
T—— 热力学温度
k—— 玻耳兹曼常量
vP v v+dv v
面积 = dN/N
f(v)
f(vP)
曲线下面宽度为 dv
的小窄条面积等于
分布在此速率区间
内的分子数占总分
子数的概率 dN/N 。,
26
麦克斯韦 速率 分布曲线
? ???? 2
1
v
v
dvvf
N
N
O
v
)(vf
dv
pv 1
v 2v
? ?dvvf
N
dN
?
在 f(v)~v整个曲线下的面积为 1 ----- 归一
化条件 。
27
最概然速率
平均速率
方均根速率
分子速率的三个统计值
28
最概然速率 (the most probable speed)
物理意义,若把整个速率范围划分为许多相等
的小区间，则分布在 vP所在 区间的分子数比
率最大。
令 解得
? ? 0??
pvv
vf
dv
d
m
kT
v mp
2
?
vp 随 T 升高而增大，随 m 增大而减小
注,
mM
RT2
?
定义,与 f(v)极大值相对应的速率，称为最
概然速率。
29
同一气体，不同温度
vP与温度 T的关系,
T 1
12 TT ?
o v
)(vf
1Pv 2Pv
T 2
???
m
kT
vT
p
2
曲线的峰值右移,由于
曲线下面积为 1不变，
所以峰值降低。
Curves of the Maxwell distribution
function f(v) for various temperatures,
As the temperature increases,the
curve becomes flatter,and its
maximum shifts to higher speeds,
30
不同气体，同一温度
vP与 分子质量 m的关系,
曲线的峰值左移,由
于曲线下面积为 1不
变，所以峰值升高。
???
m
kT
vm
p
2 21 mm ?
o v
)(vf
1Pv 2Pv
m 2
m
1
31
练习 5.图为同一种气体，处于不同温度状态下的速
率分布曲线，试问（ 1）哪一条曲线对应的温度高？
（ 2)如果这两条曲线分别对应的是同一温度下氧气和
氢气的分布曲线，问哪条曲线对应的是氧气，哪条
对应的是氢气？
解,
m o l
p
M
RT
v
2
?
(1) T1 < T2
(2)红：氧
白：氢
f(v)
v
T1
T2
2p
v
1p
v
32
平均速率 (the average speed)
? ?
N d v
dN
vf ? ? ?dvvNfdN ?
? ?dvvv N fv d N ?
? ??
?
?
0
1
dvvv N f
N
v
m
kT
v
?
8
?
由于 则
有
? ??
?
?
0
dvvvf
m
M
RT
?
8
?
33
方均根速率 (the root-mean-square speed)
? ?dvvfvv ? ??
0
22
dvve
kT
m
v kT
mv
4
0
2
2
3
2
2
2
4 ?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
m
kT
v
32
?
m
kT3
?
mM
RT3
?
mM
RT3
?
34
最概然速率
m
p
M
RT
m
kT
v
22
??
平均速率
m
kT
v
?
8
?
mM
RT
?
8
?
方均根速率
m
kT
v
32
?
mM
RT3
?
35
o v
)(vf
pv 2vv
三种速率的比较
三种速率统计值有不同的应用,
在讨论速率分布时，要用到最可几速率；在计算
分子运动的平均距离时，要用到平均速率；在计算
分子的平均平动动能时，要用到方均根速率。
36
补充,气体分子按平动动能的分布规律
vv v ??? ? kTe
kTN
N 2/22/3 2)
π2
(π4 ??
麦克斯韦速率分布定律
2
2
1 v?? ?
vv ??? ??
???? ? ????? ? kTe
kT
f
N
N /21
23)π2(
π24)(
上式表明理想气体在平衡态下，分子动能在
? ~? +?? 区间内的分子数与总分子数的比率。
意义,
代入上式得
思考 最概然平动动能是否 等于 最概然速率所对应的平
动动能?
两边微分
37
氦气的速率分布曲线如图所示,
解
例 1
求
(2) 氢气在该温度时的最概然速率和方均根速率
1000
He
2H
m / s1 0 0 0102 3 ??? ?RT
3H 10)( 2 ??
RT
pv
m / s1041.1 3??
M
RT3)(
2H
2 ?v
m / s1073.1 3??
M
RT2?
pv
)(vf
)m/s(vO
(1) 试在图上画出同温度下氢气的速率分布曲线的大致情况,
(2)
38
有 N 个粒子，其速率分布函数为
0
00
00
20
2)(
0
vv
vvvv
vvvv
?
???
??
af
a
(1) 作速率分布曲线并求常数 a
(2) 速率大于 v0 和速率小于 v0 的粒子数
解
例 2
求
03
2
v
?a 1
2
1
00 ?? aa vv
(1) 由归一化条件得
1dd 0
0
0 2
0
0
?? ??
v
v
v
vv
v
v aa a
0v
)(vf
02v
vO
39
(2) 因为速率分布曲线下的面积代表一定速率区间内
的分子与总分子数的比率，所以
3
2
3
2
0
0 ??? vv
因此,v>v0 的分子数为 ( 2N/3 )
同理 v<v0 的分子数为 ( N/3 )
a0v
N
N ??
0vv ?
NN
3
2
??
的分子数与总分子数的比率为
a
0v
)(vf
02v
vO
40
根据麦克斯韦速率分布律, 试求速率倒数的平均值 。)
1(
v
根据平均值的定义, 速率倒数的平均值为
?
?
?
0
d)(1)1( vv
vv
f vv
v
d)
π2
(π4
0
22/3
2
?
? ?
? kTe
kT
??
)
2
(d)()
π2
(π4 2
0
22/3
2
v
v
kT
e
kT
kT
kT ?
?
? ? ??
? ?
? ?
vπ
4
π
4
8
π
π
2
????
kT
μ
kT
?
解
例 3
41
根据麦克斯韦速率分布率, 试证明速率在最概然速率
vp~vp+Δv 区间内的分子数与温度 成反比 ( 设 Δv 很小 ) T
22/2/3 2)
π2
(π4)( vv v kTe
kT
f ?? ?? 2/3 22
π
4 vv vv pe
p
???
11
π
4)( ??? ef
pp vv
将最概然速率代入麦克斯韦速率分布定律中, 有
例 4
证
vvv ????? ? 1
2π
4)( e
kT
NNfN
p
?
T
N 1??
42
金属导体中的电子，在金属内部作无规则运动，与容器中的
气体分子很类似。设金属中共有 N 个电子，其中电子的最大
速率为 vm，设电子速率在 v~v+dv 之间的几率为
式中 A 为常数
vv d2A?
N
Nd mvv ??0
mvv ?0
解
例 5
求 该电子气的平均速率
NNm )d(
0?
? v vv ?? m Av vv
0
3 d 4
4 m
A v?
因为仅在 （ 0, vm） 区间分布有电子，所以
43
例 7.试计算 27℃ 下的氧气分子的三种速率,
解, M
mol=0.032kg/mol,T=273+27=300K
s/m87.482
032.0
30031.8
73.173.12 ?
?
??
m o lM
RT
v
s/m55.393
032.0
30031.8
41.141.1 ?
?
??
m o l
p M
RT
v
s/m59.446
032.0
30031.8
60.160.1 ?
?
??
m o lM
RT
v
可见在相同温度下,
pvvv ＞＞
2
44
例题 8.有 N个粒子，其速率分布函数为,
?)(vf
C ( vo> v > 0)
0 ( v > vo )
1、作速率分布曲线。
2、由 N和 vo求常数 C。
3、求粒子的平均速率。
4、求粒子的方均根速率。
C
vo v
)(vf
o
解,
1dd)(
00
??? ??
?
o
v
CvvCvvf o
ov
C
1
?
45
2
dd)(
2
00
o
vv v
CvCvvvvfv
oo
???? ??
22
1
2
oo
o
vv
v
v ??
2
0
2
0
22
3
1
dd)( o
v
vvCvvvfvv
o
??? ??
?
ovv
3
32
?
46
二、验证麦克斯韦速度分布律
1、实验装置 O—— 蒸汽源
S —— 分子束射出方向孔
R —— 长为 l,刻有螺旋形细槽
的铝钢滚筒
D —— 检测器，测定通过细槽的
分子射线强度
2、实验原理
当圆盘以角速度 ω转动时，
每转动一周，分子射线
通过圆盘一次，由于分
子的速率不一样，分子
通过圆盘的时间不一样，
只有速率满足下式的分
子才能通过 S达到 D
?
?
?
v
l
lv
?
??
47
3、实验结果
?分子数在总分子数中所占的比
率与速率和速率间隔的大小有
关；
?速率特别大和特别小的分子数
的比率非常小；
?在某一速率附近的分子数的比
率最大；
?改变气体的种类或气体的温度
时，上述分布情况有所差别，
但都具有上述特点。
48
麦克斯韦速度分布函数
? ?
zyx
kTvvvmvvv
dvdvdve
kT
m
N
dN
zyxzyx 2
2
3
222
2
???
?
?
?
?
?
?
?
?
三、玻尔兹曼能量分布律 等温气压公式
一、玻尔兹曼能量分布律
? ? kzyx mvvvvm ????? 2222
2
1
2
问题：对于更一般的情形，如在外力场中
的气体分子的分布将如何？
其指数仅包含分子运动动能
分子按速度的分布不受
力场的影响，按空间位
置的分布却是不均匀的，
依赖于分子所在力场的
性质。
玻尔兹曼的推广 用 εk+εp 代替 εk，用 x,y、
z,vx,vy,vz 为轴
构成的六维空间中的体
积元 xdydzdvxdvydvz
代替速度空间的体积元
dvxdvydvz
49
玻尔兹曼能量分布律
当系统在力场中处于平衡态时，其中坐标介于区间
x~x+dx,y~y+dy,z~z+dz内,同时速度介于
vx~vx+dvx,vy~vy+dvy,vz~vz+dvz内的分子数为
? ?
zyx
kT
vvvzyx dvdvd x d y d z d ve
kT
m
ndN PK
zyx
??
?
??
?
?
?
?
?
?
?
2
3
0,,,,,
2
单位体积分子数 n
n0为在 ε p=0处，单位体积内具有各种速度的分子总数。
玻尔兹曼分子
按能量分布律
50
d x dy d zen
dvdvdve
kT
m
d x dy d zendN
kT
zyx
kTkT
zyx
P
KP
?
??
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
? ? ? ?
0
2
3
0,,
2
kTzyx Pen
d x d y d z
dN
n ???? 0,,
对所有可能的速度积分
分子在坐标间隔 x~x+dx,y~y+dy,z~z+dz内的分子
数密度为,
分子按势
能分布律
51
RTM g hkTm g h enenn ?? ??
00
?重力场中粒子按高度的分布 (ε p=mgh)
?重力场中，一方面是无规则的热运动使
气体分子均匀分布于它们所能够到达的
空间。另一方面是重力要使气体分子聚
集到地面上。这两种作用平衡时，气体
分子则在空间作非均匀分布，即气体分
子数密度随高度的增加按指数规律减小；
?分子质量越大，受重力的作用越大，分
子数密度减小得越迅速；
?对于温度较高的气体，分子的无规则运
动剧烈。分子数密度随高度减小比较缓
慢。
法国物理学家佩兰据此
测量了玻耳兹曼常数进
而得到了阿伏伽德罗常
数，于 1922年获得了诺
贝尔物理奖。
52
假设,大气为理想气体
不同高度处温度相等
利用,p = nkT
可得,
RTM g hkTm g h enenn ?? ??
00
kTm g hRTM g h epepp ?? ??
00
每升高 10米，大气压强降低 133Pa。 近似符合实际，可
粗略估计高度变化。
二、重力场中等温气压公式
p
p
Mg
RT
p
p
mg
kTh 00 lnln ??
近似估计高度
热 学
2
第三章
气体分子热运动的统计规律
掌握分布函数的概念和麦克斯维速率分布律, 能理解三种特殊
的速率并理解其物理意义, 理解分布函数的统计规律性, 从而理解
力学规律和统计规律的区别, 了解测定分子热运动统计规律的实验
方法和原理, 掌握自由度的概念和能均分定理, 掌握气体的内能的
含义, 导出理想气体的内能公式, 了解经典理论热容量表述的局限
性 。
重点,分布函数的规律性及其特点, 统计平均的一般方法, 三个速
率, 碰撞数, 能均分定律, 理想气体的内能包括两个热容量 。
难点,分布函数的规律及其特性, 统计平均的一般方法 。
3
第一章我们引入了平衡态和温度的概念，但在热力学范围内不
能得到深刻的认识。第二章以分子运动论为基础，认识了压强
和温度的微观本质，对平衡态下分子热运动的规律有了初步认
识，我们有一个基本的统计公理（假设）。这个公理只解决了
分子热运动速度方向的几率问题，并没有涉及分子热运动速率
大小取值的概率，无法作进一步的定量分析。分子热运动情况
是分子物理的重要研究对象，我们必须讨论速率大小取值的概
率问题。由于分子数目如此巨大，速率的取值从 0到 ∞,这个
取值区间非常大，分子在任何一个微小速率范围内的取值其概
率都不会大，但到底有多小却不易判断。所以，这是一个大数
量偶然微观运动的集体效应的问题，既统计的问题，对应的规
律就是一个统计规律。一般地研究这个问题比较复杂，我们以
理想气体为基础来开展讨论。
4
复 习
?气体动理论的基本观点
?理想气体的微观模型
?理想气体压强公式
knvmnp ?3
22
2
1
3
2 )( ??
?理想气体的温度
kTvm
2
3
2
1 2
?
5
3－ 1 麦克斯韦气体速率分布律
引言,
气体分子处于无规则的热运动之中，由于碰撞，每个分
子的速度都在不断地改变，所以在某一时刻，对某个分
子来说，其速度的大小和方向完全是偶然的。然而就大
量分子整体而言，在一定条件下，分子的速率分布遵守
一定的统计规律 —— 气体速率分布律 。
气体分子按速率分布的统计规律最早是由 麦克斯韦 于 1859年
在概率论的基础上导出的,1877年 玻耳兹曼 由经典统计力学
中导出,1920年 斯特恩 从实验中证实了麦克斯韦分子按速率
分布的统计规律。
6
麦克斯韦（ James Clerk Maxwell 1831—— 1879)
19世纪伟大的英
国物理学家、数
学家。经典电磁
理论的奠基人，
气体动理论的创
始人之一。
?他提出了有旋电场和位移电流概念，建
立了经典电磁理论，预言了以光速传播
的电磁波的存在。
?1873年，他的, 电磁学通论, 问世，这
是一本划时代巨著，它与牛顿时代的
,自然哲学的数学原理, 并驾齐驱，它
是人类探索电磁规律的一个里程碑。
?在气体动理论方面，他还提出气体分子
按速率分布的统计规律。
7
麦克斯韦速率分布
统计规律性
速率分布函数
麦克斯韦速率分布律
分子速率的三个统计值
麦克斯韦率度分布曲线
8
统计规律性
分子运动论从物质微观结构出发，研究大量分
子组成的系统的热性质。其中个别分子的运动
（在动力学支配下）是无规则的，存在着极大
的偶然性。但是，总体上却存在着确定的规律
性。（例：理想气体压强）
人们把这种支配大量粒子综合性质和集体行为
的规律性称为统计规律性
9
速度取向的概率问题。速度是矢量，必须解决有关大小取值的
概率问题。首先我们容易想到这样两个事实,1。由于分子受
到频繁的碰撞，每个分子热运动的速率是变化的，要某一分子
具有多大的运动速率没有意义，所以只能估计在某个速率间隔
内出现的概率； 2。哪怕是相同的速率间隔，例如都是 100ms-1，
但是不同的速率附近，其概率是不等的，例如,100-200 ms-1
和 500-600 ms-1有相同的速率间隔，但第一个间隔总的来说速
率较低，第二个间隔总的来说速率较大，其概率是不等的。比
如，速率接近为 0的可能性很小，速率非常大的可能性也很小，
而居中速率的可能性则较大。根据这个两个事实，我们自然要
问，在不同速率间隔取值的概率有没有规律？肯定是有的，这
个规律能用一个函数定量表示出来。为此，我们引入速率分布
函数来描述分子热运动在不同速率间隔取值的概率规律。
10
§ 1、气体分子的速率分布律
?速率分布函数的定义,
一定量的气体分子总数为 N,dN表示速率分布在某区间
v~v+dv内的分子数,dN/N表示分布在此区间内的分子数占
总分子数的比率。
实验规律,
?在不同的速率附近，给定的速率间隔 dv内，比值 dN/N是
不同的。容易想见，速率间隔越大,dN/N？
? dN/N 是 v 的函数；
?当速率区间足够小时（宏观小，微观大）, dN/N还应与
区间大小成正比。
1、速率分布函数
为此, 规定以单位速率间隔为比较标准, 即, 这样, 比
值 就反映出了随速率 v的改变而改变 。 为此我们规
定 ；
Ndv
dN
Ndv
dN
11
N d v
dN
vf ?)(
速率分布函数
定义：处于一定温度下的气体，分布在速率 v附近的
单位速率间隔内的分子数占总分子数的百分比只是
速率 v的函数，称为速率分布函数。
理解分布函数的几个要点,
1.条件：一定温度（平衡态）和确定的气体系统,T和 m是一定的；
2.范围,（ 速率 v附近的 ） 单位速率间隔, 所以要除以 dv；
3.数学形式,（ 分子数的 ） 比例, 局域分子数与总分子数之比 。
12
?物理意义,
速率在 v 附近，单位速率区间的分子数占总分子数
的概率，或概率密度。
? ? 1
00
?? ??
?
dvvf
N
dNN
N
dN
dvvf ?)(
表示速率分布在 v→ v+dv内的
分子数占总分子数的概率
?
2
1
)(
v
v
dvvf
N
dN
＝
表示速率分布在 v1→ v2内的分
子数占总分子数的概率
归一化条件
13
应注意的问题,
分布函数是一个统计结果, 以上各种讨论都是建立在众多分子微
观运动基础上的, 分子的数目越大, 结论越正确 。 所以,
1） 少数分子谈不上概率分布
偶然事件少了, 或分子数少了, 就不能表现出稳定的统计特性 。
例如, 抛两分的硬币, 抛的次数越多, 币制和国徽朝上的次数才
更加接近相等, 否者将有很大差异 。
2） 统计规律表现出涨落
所谓涨落就是对稳定的统计结果的偏差, 统计规律必然伴随着涨
落 。 例如, 在某一速率 v附近 dv间隔内求出的比值 dN/N是 0.06，
表示有 6%的分子, 它们的速率取值分布在 （ v,v+dv） 内, 但并
不是说, 每时每刻就一定是 0.06,也有可能是 0.05998，
0.0601,… 等等, 但长时间的平均值仍是 0.06。
14
3）, 具有某一速率的分子有多少, 是不恰当的说法
f (v)是针对 v附近单位速率间隔的，离开速率间隔来谈分子
数有多少就没有意义了。
4） 气体由非平衡到平衡的过程是通过分子间的碰撞来实现
的 。
因此, 分子间的碰撞是使分子热运动达到并保持确定分布的
决定因素 。
15
课堂练习 1．速率分布函数 的物理意义为,
（Ａ）具有速率 的分子占总分子数的百分比,
（Ｂ）速率分布在 附近的单位速率间隔中的分子
数占总分子数的百分比,
（Ｃ）具有速率 的分子数,
（Ｄ）速率分布在 附近的单位速率间隔中的分子
数,
? ?vf
v
v
v
v
（Ｂ）
16
练习 2,下列各式的物理意义分别为,
(1) vvf d)(
(2)
vvNf d)(
(3)
?
2
1
d)(
v
v
vvf
(4)
?
2
1
d)(
v
v
vvNf
速率在 v-v+dv内的分子数占总分子数的百分比
速率在 v-v+dv内的分子数
速率在 v1→v 2内的分子数占总分子数的百分比
速率在 v1→v 2内的分子数
17
练习 3．在平衡状态下，已知理想气体分子的麦克
斯韦速率分布函数为,分子质量为,最可几
速率为,试说明下列各式的物理意义,
)(vf m
Pv
（１） 表示 ________________； ? ???
Pv
dvvf
（２） 表示 ______________,? ?? ?
0
2
2
1 dvvfmv
分子平动动能的平均值
分布在速率区间 的分子数在总分子数中占
的百分率 ??Pv
18
练习 4．已知分子总数为,它们的速率分布函数
为,则速率分布在区间 内的分子的
平均速率为
N
)(vf 21 vv ?
? ?? 2
1
v
v
dvvvf
? ?
? ??
?
2
1
2
1
v
v
v
v
dvvf
dvvvf
? ?? 2
1
v
v
dvvN v f
? ?
N
dvvvf
v
v?
2
1
（ A）
（ C）
（ B）
（ D）
（ B）
19
2.麦克斯韦速度分布律
在平衡态下，当气体分子间的相互作用可以
忽略时，分布在速度区间 ~ 的分子
数占总分子数的比率为
v? vdv ?? ?
zyx
kT
vvvm
dvdvdvve
kT
m
N
dN zyx 2
2
)(2
3
222
2
???
?
?
?
?
?
?
?
?
麦克斯韦速度分布律
20
3.麦克斯韦速率分布律
在平衡态下，当气体分子间的相互作用可以
忽略时，分布在速度区间 ~ 也就是
分布在 vx~vx+dvx/vy~vy+dvy/vz~vz+dvz的分子数占总
分子数的比率为,
v? vdv ?? ?
zyx
kT
vvvm
dvdvdvve
kT
m
N
dN zyx 2
2
)(2
3
222
2
???
?
?
?
?
?
?
?
?
21
这个区间内的分子，它们的
速度矢量的端点都在一定的
体积元 dω＝ dvxdvydvz内
也就是满足这个条件的速度
矢量的端点都落在半径为 v，
厚度为 dv的球壳层内。这个
球壳层的体积等于其内壁的
面积 4πv2乘以厚度 dv,
dω＝ 4πv2dv
22
将 dω＝ dvxdvydvz代入
dvve
kT
m
N
dN
kT
mv
22
2
3
2
2
4
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
麦克斯韦
速率分布
分布律
麦克斯韦速率分布律
zyx
kT
vvvm
dvdvdvve
kT
m
N
dN zyx 2
2
)(2
3
222
2
???
?
?
?
?
?
?
?
?
且,
2222
zyx vvvv ???
得：
得
23
记忆这个公式分三部分,
第一部分, 4?v2dv是, 球壳, 的体积, 而, 球壳, 全方位的高
度对称性正是分子热运动想各个方向几率均等的生动表现；
kTmve 2
2?第二部分,
正是分子热运动速率取值不等几率的表现，值得注意，这个
指数衰减律的结果没有单位,mv2/2是分子热运动的动能,kT
既有能量的量纲，所以指数衰减的指数部分是热运动的动能
与体系能量状态特征量之比，对于大的速率，指数衰减的速
度比 v2增加的速度快得多，二者共同影响的结果，分布函数
值必然较小。
24
第三部分,
是归一化因子，这里也有一个值得注意的问题，指数衰减部分没
有单位,4?v2dv具有速度立方的单位，分布律只是分子数的比值，
也没有单位，所以归一化因子必须具有速度负立方的单位。即
应该具有速度的量纲，的确如此，正是一个具有统计
特性的速率，后面知道，叫最可几速率。
23
2
/
?????? kTm?
23
2
/
?????? kTm?
25
? ? 22
2
3
2
2
4 ve
kT
m
vf kT
mv?
?
?
?
?
?
?
?
??
麦克斯韦
速率分布函数
m—— 分子的质量
T—— 热力学温度
k—— 玻耳兹曼常量
vP v v+dv v
面积 = dN/N
f(v)
f(vP)
曲线下面宽度为 dv
的小窄条面积等于
分布在此速率区间
内的分子数占总分
子数的概率 dN/N 。,
26
麦克斯韦 速率 分布曲线
? ???? 2
1
v
v
dvvf
N
N
O
v
)(vf
dv
pv 1
v 2v
? ?dvvf
N
dN
?
在 f(v)~v整个曲线下的面积为 1 ----- 归一
化条件 。
27
最概然速率
平均速率
方均根速率
分子速率的三个统计值
28
最概然速率 (the most probable speed)
物理意义,若把整个速率范围划分为许多相等
的小区间，则分布在 vP所在 区间的分子数比
率最大。
令 解得
? ? 0??
pvv
vf
dv
d
m
kT
v mp
2
?
vp 随 T 升高而增大，随 m 增大而减小
注,
mM
RT2
?
定义,与 f(v)极大值相对应的速率，称为最
概然速率。
29
同一气体，不同温度
vP与温度 T的关系,
T 1
12 TT ?
o v
)(vf
1Pv 2Pv
T 2
???
m
kT
vT
p
2
曲线的峰值右移,由于
曲线下面积为 1不变，
所以峰值降低。
Curves of the Maxwell distribution
function f(v) for various temperatures,
As the temperature increases,the
curve becomes flatter,and its
maximum shifts to higher speeds,
30
不同气体，同一温度
vP与 分子质量 m的关系,
曲线的峰值左移,由
于曲线下面积为 1不
变，所以峰值升高。
???
m
kT
vm
p
2 21 mm ?
o v
)(vf
1Pv 2Pv
m 2
m
1
31
练习 5.图为同一种气体，处于不同温度状态下的速
率分布曲线，试问（ 1）哪一条曲线对应的温度高？
（ 2)如果这两条曲线分别对应的是同一温度下氧气和
氢气的分布曲线，问哪条曲线对应的是氧气，哪条
对应的是氢气？
解,
m o l
p
M
RT
v
2
?
(1) T1 < T2
(2)红：氧
白：氢
f(v)
v
T1
T2
2p
v
1p
v
32
平均速率 (the average speed)
? ?
N d v
dN
vf ? ? ?dvvNfdN ?
? ?dvvv N fv d N ?
? ??
?
?
0
1
dvvv N f
N
v
m
kT
v
?
8
?
由于 则
有
? ??
?
?
0
dvvvf
m
M
RT
?
8
?
33
方均根速率 (the root-mean-square speed)
? ?dvvfvv ? ??
0
22
dvve
kT
m
v kT
mv
4
0
2
2
3
2
2
2
4 ?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
m
kT
v
32
?
m
kT3
?
mM
RT3
?
mM
RT3
?
34
最概然速率
m
p
M
RT
m
kT
v
22
??
平均速率
m
kT
v
?
8
?
mM
RT
?
8
?
方均根速率
m
kT
v
32
?
mM
RT3
?
35
o v
)(vf
pv 2vv
三种速率的比较
三种速率统计值有不同的应用,
在讨论速率分布时，要用到最可几速率；在计算
分子运动的平均距离时，要用到平均速率；在计算
分子的平均平动动能时，要用到方均根速率。
36
补充,气体分子按平动动能的分布规律
vv v ??? ? kTe
kTN
N 2/22/3 2)
π2
(π4 ??
麦克斯韦速率分布定律
2
2
1 v?? ?
vv ??? ??
???? ? ????? ? kTe
kT
f
N
N /21
23)π2(
π24)(
上式表明理想气体在平衡态下，分子动能在
? ~? +?? 区间内的分子数与总分子数的比率。
意义,
代入上式得
思考 最概然平动动能是否 等于 最概然速率所对应的平
动动能?
两边微分
37
氦气的速率分布曲线如图所示,
解
例 1
求
(2) 氢气在该温度时的最概然速率和方均根速率
1000
He
2H
m / s1 0 0 0102 3 ??? ?RT
3H 10)( 2 ??
RT
pv
m / s1041.1 3??
M
RT3)(
2H
2 ?v
m / s1073.1 3??
M
RT2?
pv
)(vf
)m/s(vO
(1) 试在图上画出同温度下氢气的速率分布曲线的大致情况,
(2)
38
有 N 个粒子，其速率分布函数为
0
00
00
20
2)(
0
vv
vvvv
vvvv
?
???
??
af
a
(1) 作速率分布曲线并求常数 a
(2) 速率大于 v0 和速率小于 v0 的粒子数
解
例 2
求
03
2
v
?a 1
2
1
00 ?? aa vv
(1) 由归一化条件得
1dd 0
0
0 2
0
0
?? ??
v
v
v
vv
v
v aa a
0v
)(vf
02v
vO
39
(2) 因为速率分布曲线下的面积代表一定速率区间内
的分子与总分子数的比率，所以
3
2
3
2
0
0 ??? vv
因此,v>v0 的分子数为 ( 2N/3 )
同理 v<v0 的分子数为 ( N/3 )
a0v
N
N ??
0vv ?
NN
3
2
??
的分子数与总分子数的比率为
a
0v
)(vf
02v
vO
40
根据麦克斯韦速率分布律, 试求速率倒数的平均值 。)
1(
v
根据平均值的定义, 速率倒数的平均值为
?
?
?
0
d)(1)1( vv
vv
f vv
v
d)
π2
(π4
0
22/3
2
?
? ?
? kTe
kT
??
)
2
(d)()
π2
(π4 2
0
22/3
2
v
v
kT
e
kT
kT
kT ?
?
? ? ??
? ?
? ?
vπ
4
π
4
8
π
π
2
????
kT
μ
kT
?
解
例 3
41
根据麦克斯韦速率分布率, 试证明速率在最概然速率
vp~vp+Δv 区间内的分子数与温度 成反比 ( 设 Δv 很小 ) T
22/2/3 2)
π2
(π4)( vv v kTe
kT
f ?? ?? 2/3 22
π
4 vv vv pe
p
???
11
π
4)( ??? ef
pp vv
将最概然速率代入麦克斯韦速率分布定律中, 有
例 4
证
vvv ????? ? 1
2π
4)( e
kT
NNfN
p
?
T
N 1??
42
金属导体中的电子，在金属内部作无规则运动，与容器中的
气体分子很类似。设金属中共有 N 个电子，其中电子的最大
速率为 vm，设电子速率在 v~v+dv 之间的几率为
式中 A 为常数
vv d2A?
N
Nd mvv ??0
mvv ?0
解
例 5
求 该电子气的平均速率
NNm )d(
0?
? v vv ?? m Av vv
0
3 d 4
4 m
A v?
因为仅在 （ 0, vm） 区间分布有电子，所以
43
例 7.试计算 27℃ 下的氧气分子的三种速率,
解, M
mol=0.032kg/mol,T=273+27=300K
s/m87.482
032.0
30031.8
73.173.12 ?
?
??
m o lM
RT
v
s/m55.393
032.0
30031.8
41.141.1 ?
?
??
m o l
p M
RT
v
s/m59.446
032.0
30031.8
60.160.1 ?
?
??
m o lM
RT
v
可见在相同温度下,
pvvv ＞＞
2
44
例题 8.有 N个粒子，其速率分布函数为,
?)(vf
C ( vo> v > 0)
0 ( v > vo )
1、作速率分布曲线。
2、由 N和 vo求常数 C。
3、求粒子的平均速率。
4、求粒子的方均根速率。
C
vo v
)(vf
o
解,
1dd)(
00
??? ??
?
o
v
CvvCvvf o
ov
C
1
?
45
2
dd)(
2
00
o
vv v
CvCvvvvfv
oo
???? ??
22
1
2
oo
o
vv
v
v ??
2
0
2
0
22
3
1
dd)( o
v
vvCvvvfvv
o
??? ??
?
ovv
3
32
?
46
二、验证麦克斯韦速度分布律
1、实验装置 O—— 蒸汽源
S —— 分子束射出方向孔
R —— 长为 l,刻有螺旋形细槽
的铝钢滚筒
D —— 检测器，测定通过细槽的
分子射线强度
2、实验原理
当圆盘以角速度 ω转动时，
每转动一周，分子射线
通过圆盘一次，由于分
子的速率不一样，分子
通过圆盘的时间不一样，
只有速率满足下式的分
子才能通过 S达到 D
?
?
?
v
l
lv
?
??
47
3、实验结果
?分子数在总分子数中所占的比
率与速率和速率间隔的大小有
关；
?速率特别大和特别小的分子数
的比率非常小；
?在某一速率附近的分子数的比
率最大；
?改变气体的种类或气体的温度
时，上述分布情况有所差别，
但都具有上述特点。
48
麦克斯韦速度分布函数
? ?
zyx
kTvvvmvvv
dvdvdve
kT
m
N
dN
zyxzyx 2
2
3
222
2
???
?
?
?
?
?
?
?
?
三、玻尔兹曼能量分布律 等温气压公式
一、玻尔兹曼能量分布律
? ? kzyx mvvvvm ????? 2222
2
1
2
问题：对于更一般的情形，如在外力场中
的气体分子的分布将如何？
其指数仅包含分子运动动能
分子按速度的分布不受
力场的影响，按空间位
置的分布却是不均匀的，
依赖于分子所在力场的
性质。
玻尔兹曼的推广 用 εk+εp 代替 εk，用 x,y、
z,vx,vy,vz 为轴
构成的六维空间中的体
积元 xdydzdvxdvydvz
代替速度空间的体积元
dvxdvydvz
49
玻尔兹曼能量分布律
当系统在力场中处于平衡态时，其中坐标介于区间
x~x+dx,y~y+dy,z~z+dz内,同时速度介于
vx~vx+dvx,vy~vy+dvy,vz~vz+dvz内的分子数为
? ?
zyx
kT
vvvzyx dvdvd x d y d z d ve
kT
m
ndN PK
zyx
??
?
??
?
?
?
?
?
?
?
2
3
0,,,,,
2
单位体积分子数 n
n0为在 ε p=0处，单位体积内具有各种速度的分子总数。
玻尔兹曼分子
按能量分布律
50
d x dy d zen
dvdvdve
kT
m
d x dy d zendN
kT
zyx
kTkT
zyx
P
KP
?
??
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
? ? ? ?
0
2
3
0,,
2
kTzyx Pen
d x d y d z
dN
n ???? 0,,
对所有可能的速度积分
分子在坐标间隔 x~x+dx,y~y+dy,z~z+dz内的分子
数密度为,
分子按势
能分布律
51
RTM g hkTm g h enenn ?? ??
00
?重力场中粒子按高度的分布 (ε p=mgh)
?重力场中，一方面是无规则的热运动使
气体分子均匀分布于它们所能够到达的
空间。另一方面是重力要使气体分子聚
集到地面上。这两种作用平衡时，气体
分子则在空间作非均匀分布，即气体分
子数密度随高度的增加按指数规律减小；
?分子质量越大，受重力的作用越大，分
子数密度减小得越迅速；
?对于温度较高的气体，分子的无规则运
动剧烈。分子数密度随高度减小比较缓
慢。
法国物理学家佩兰据此
测量了玻耳兹曼常数进
而得到了阿伏伽德罗常
数，于 1922年获得了诺
贝尔物理奖。
52
假设,大气为理想气体
不同高度处温度相等
利用,p = nkT
可得,
RTM g hkTm g h enenn ?? ??
00
kTm g hRTM g h epepp ?? ??
00
每升高 10米，大气压强降低 133Pa。 近似符合实际，可
粗略估计高度变化。
二、重力场中等温气压公式
p
p
Mg
RT
p
p
mg
kTh 00 lnln ??
近似估计高度
