2.4 圆轴扭转
主要内容,
2.扭转内力,扭矩和扭矩图
3.扭转切应力分析与计算
1.圆轴扭转的概念
4.圆轴扭转时的强度和刚度计算
1.强度条件,圆轴扭转时的强度要求仍是最大工
作切应力 τ max不超过材料的许用切应力 [τ ]。
p
T
W
M
m a x
m a x
??
≤[ τ ]
对于 阶梯轴,因为抗扭截面系数 Wp不是常量,最
大工作应力不一定发生在最大扭矩所在的截面上。
要综合考虑扭矩和抗扭截面系数 Wp，按这两个因
素来确定最大切应力。
2.4.4圆轴扭转时的强度和刚度计算
应用扭转强度条件，可以解决圆轴强度计算
的三类问题,校核强度、设计截面和确定许
可载荷。
圆轴扭转时的许用切应力 [ ]值是根据试验
确定的，可查阅有关设计手册。它与许用拉
应力 [ ]有如下关系,
?
l?
塑性材料 [ ]＝ (0,5～ 0,6)[ ]
脆性材料 [ ]＝ (0,8～ 1,0)[ ]
?
l?
l?
?
MA = 9550 x 20/180
= 1061 N.m
例 1：如图所示直径 d=50mm的等截面圆轴，主动轮功率
PA=20kW，轴的转速 n=180r/min，齿轮 B,C,D的输出
功率分别为 PB=3kW,Pc=10kW,PD=7kW，轴的许用切应
力 [ ]=38M Pa，试校核该轴的强度。 ?
A
B C D
解：求各轮的外力偶矩,
MB = 9550 x 3/180 = 159 N.m
MC = 9550 x 10/180 = 531 N.m
MD = 9550 x 7/180 = 371 N.m
A
B C D MA = 1061 N.m M
B = 159 N.m
MC = 531 N.m
MD = 371 N.m
MAB = 159 N.m
MAC = 902 N.m
MCD = 371 N.m
用截面法可得,
则,τ max
所以，轴的强度足够。
= MTmax / WP
= 902 x 10 / 0.2 x 50
= 14.4 Mpa < 38 MPa
3 3
例 2：某拖拉机输出轴的直径 d=50mm，其转速 n=250r/min，
许用切应力 [ ]=60MPa，试按强度条件计算该轴能传递
的最大功率。
?
解：由 MTmax = 9550Pmax / n
τ max
则,
Pmax = (60x250x50 )/(9550x10 )
= 196 kW
3 3
= 10 Mtmax / WP
= 10 x 9550 Pmax /n,WP
< 60 MPa
3
3
例 3,已知, P＝ 7.5kW,n=100r/min,轴的许用切应
力 ???＝ 40M Pa,空心圆轴的内外径之比 ? = 0.5。
求, 实心轴的直径 d1和空心轴的外径 D2。
解,
MT=Me=T=9550 n P
=9550 x 7.5 100 = 716.3 (N.m)
?max= W
p1
= = 40 ( M Pa) 1000MT 716300
0.2d1 3
= 45 mm d1= 716300
40 ? 0.2
3
对于轴 1,
对于空心轴 2,
?max= W
p2
=
= 40 ( M Pa)
1000MT 716300
0.2D2 (1-? ) 3 4
= 46 mm D2 = 716300 0.2(1- 0.5 4) ? 40
d 2 = 0.5D2=23 mm
A1
A2 =
d12
D22(1- ? 2) =1.28
2.圆轴扭转时的变形
圆轴扭转时，任意两横截面产生相对角位移，称
为 扭角 。 扭角是扭转变形的变形度量。
等直圆轴的扭角 的大
小与扭矩 MT及轴的长度
L成正比，与横截面的
极惯性矩 Ip成反比，引
入比例常数 G，则有,
?
p
T
GI
LM
??
(rad )
切变模量 (M pa)
抗扭刚度
3.扭转时的刚度计算
??
L
?
? m a x
p
T
GI
M m a x
(rad/m)
刚度条件,最大单位长度扭角 小于或等于许
用单位长度扭角 [ ]。 ? max?
m a x
m a x
180T
p
M
GI
?
?
??
或 ( /m)
≤ [ ]
ma x?
?
注,对于阶梯轴，因为极惯性矩不
是常量，所以最大单位长度扭角不
一定发生在最大扭矩所在的轴段上。
要综合考虑扭矩和极惯性矩来确定
最大单位长度扭角。
根据扭转刚度条件，可以解决刚度
计算的三类问题，即 校核刚度、设
计截面和确定许可载荷 。
例 1：如图所示阶梯轴，直径分别为,
,已知 C轮输入转矩,
A轮输出转矩,轴的转速
,轴材料的许用切应力 [ ],
许用单位长度扭角 [ ],切变模量,
试校核该轴的强度和刚度。
mmd 401 ?
mmd 552 ? mNM ec ?? 5.1 4 3 2
mNM eA ?? 8.620
m in/2 0 0 rn ? ? M Pa60?
? m/2?? G P aG 80?
C B A
C B A 解,
1.求个段扭矩,
mNMM eAT ??? 8.6 2 01
2 1 4 3 2, 5T e cM M N m? ? ?
由于各段半径不同，危险截面可能发生在 AB段的截面
处，也可能发生在 BC段 。 1d
2.校核强度
3
1
1 3
1
6 2 0, 8 1 0
4 8, 5
0, 2 4 0
T
p
M
M P a M P a
W
?
?
? ? ?
?
AB
3
2
2 3
2
1 4 3 2, 5 1 0 4 3, 1
0, 2 5 5
T
p
M M P a M P a
W
? ?? ? ?
?
BC
M P a5.481m a x ?? ??
<[ ] ?
AB
所以，强度
满足要求。
3.校核刚度
33
1
1 34
1
1 8 0 6 2 0, 8 1 0 1 8 0 1 0 / 1, 7 3 7 /
8 0 1 0 0, 1 4 0
T
p
M mm
GI
?
??
?? ? ? ?? ? ? ? ? ?
??? ? ???
AB
33
2
2 34
2
1 8 0 1 4 3 2, 5 1 0 1 8 0 1 0 / 1, 1 2 1 /
8 0 1 0 0, 1 5 5
T
p
M mm
GI
?
??
?? ? ? ?? ? ? ? ? ?
??? ? ???
BC
m/737.11m a x ??? ?? AB
所以，轴的刚度也满足要求。
结论, 1.无正应力。 2.有切应力存在，方向与
截面半径方向垂直。 3.剪切虎克定律 。
MT
?
??
p
T
I
M ?
?
?
?
M Pa
M T— （ N.mm）
— （ mm）
I p— （ mm ）
?
4
p
T
I
M ?
?
?
?
M Pa max
R =
TM
W p
实心轴,
4
40, 1
32p
DID???
p
p
I
W
R
?? 3
3
2.0
16
DD ??
空心轴, Dd /??
4
32p
DI ??? ? ? ? ?44444 11.01
3232
???? ???? DDd
p
p
I
W
R
?? ? ? ? ?434
3
12.01
16
??? ??? DD