金融数学
教材, 金融数学,
李向科主编
人民大学出版社,2004年
授课教师：李向科
Lixiangke@tom.com
第一章 数学预备知识
? 后期学习所要使用的数学上的结论
? 复习和加强已经学过的数学的认识
? 对部分数学概念的经济应用进行说明
? 分为以下 4个部分：
? 线性代数基础
? 数学模型和建立模型
? 优化问题求解
? 效用函数（凸函数和凹函数）
第一章 第一节 线性代数基础
? 普遍涉及到的和需要强调的概念
? 正交矩阵，对称矩阵对角化，特征值
? 二次型，正定矩阵
? 欧氏空间：
? 向量的内积（ inner product）
? 向量的长度,向量的距离 distance
? 柯西布尼亚科夫斯基不等式
? 向量的夹角，正交 orthogonal
? 投影 Project，最小二乘法 least square
其他两个内积的定义
? 两个随机变量 X和 Y的内积
? 协方差,(X,Y)=cov (X,Y)
? 相关系数：
? 两个函数 f(x)和 g(x)的内积
在此基础上同样有：距离、长度、正交、
投影等几何空间中的概念
dxxgxfgf ?? 10 )()(),(
YX
YX??? ),cov(?
YX
YX
???
),c o (?
矩阵和行列式的微分
? 几个结论,X是向量,A是矩阵
??? ?????? XXX X
TT
TA
X
AX ?
?
?
AXXAXX
T
2???
第一章 第二节数学模型和模型的建立
? 模型来源于原型，对原型的抽象
? 数学模型需要量化和假设
? 数学模型表现形式可以是数学公式，包括等式或
不等式，也可以是图表
? 数学模型的最佳结果是数学公式
? 自然科学中数学公式较多，并且应用效果好
? 社会科学中数学公式少，且效果差
? 经济和金融学中有很多数学模型
? 本教材后面几章介绍金融中的几个著名数学模型
建立模型的步骤
? 建模＝建立模型或模型建立,modeling
? 建模准备：了解实际问题的背景
? 模型假设：对问题进行简化
? 建立数学模型：用数学方式（公式、图表）
表现出实际问题，尽量简单化原则
? 模型求解：求解出结果，优化求解较多
? 模型分析：得到结论，做出预测
? 模型检验和修正：与实际比较，模拟实际
建模举例
? 问题的背景：
? 资金总量为 M，可投资于 n＋ 1种资产
? Si (i＝ 0,1,…, n),0表示存银行
? Si 的平均收益率为 ri,风险损失率为 qi
? 总体风险＝ Si 中的最大风险
? 投资 Si 的交易费率为 pi，低于 ui 按 ui计算
? 同期银行存款为 r0 =5%，无交易费用和损失
? 问题：如何总资金 M如何投资，使得尽可能收
益大，总体风险尽可能小
对问题的分析
? 两个目标：净收益大，风险损失小
? 两个目标不可能同时满足
? 限定其中一个目标的范围，另一个尽可能最优
? 最优解是不唯一的
)(m a x))((m a x )0()0( iiniiini qxxQ ???? ?
用数学符号和公式表示模型
? xi表示购买的 Si资金量,ci(xi)是交易费，
? 投资于 Si的净收益,Ri (xi) ＝ rixi－ ci(xi)
? 总净收益,R＝ Σ
? 投资于 Si的风险损失,Qi (xi) ＝ qixi
? 总风险损失,Q＝
? 投资于 Si所需资金,Fi(xi) =xi＋ ci(xi)
? 约束条件为总资金的限制
? M＝ F＝ Σ（ xi＋ ci(xi)）
? 交易费用的数学表达式和图形
?
?
?
?
?
?
??
?
?
iiii
iiii
i
ii
uxxp
uxup
x
xc
,
0,
0,0
)(
几个优化模型
? 两目标优化模型：属于多目标规划问题
? 单目标优化模型：分三种情况
? 确定风险不能超过 k，求最大收益
? 确定收益水平不能低于 h，求最小损失
??
???
?
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???
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? 0,)()(
)(m in xMxF
xR
xQ
x
)(m a x
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)(,xR
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?
)(m i n
0,)(
)(,xQ
xMxF
hxRst
??
?
? 假定相对偏好 1>ρ>0，
? 上面模型不容易求解。
? 简化费用的表达式可以将模型简化问题，
? 假设费用,ci(xi)＝ pixi
? 资金约束条件变成,F（ x）＝ Σ(1+pi)xi＝ M
? 前面的三个模型都可以变成线性规划问题，
对此已经有成熟的方法解决。
? 线性规划 linear program
)()1()(m in 0,)( xRxQxMxF ?? ????
第一章 第三节 极值和条件极值的求解
? 多元函数的极值及其判断
? 一阶偏导数为 0（必要条件），
? 二阶偏导数，海森矩阵 Hessian matrix的
正定和负定
? 正定 —— 极小值，负定 —— 极大值
? 二次多项式的极值点
? 如果是凹函数或凸函数，则一阶条件也
是充分条件
计算条件极值的拉格朗日乘子法
? 约束条件,gi(x1,…,x n)=bi,i=1,2,…,m
? Lagrange multiplier将有约束条件问题转
化成无约束条件极值。
? 引入拉格朗日乘数，构造新的函数
? m+n个方程为一阶条件
? 拉格朗日乘子法与线性规划的区别：约
束条件中的等式和不等式
? 应用实例
求解收益相同风险最小的投资组合
? 有 n种资产,R是资产的期望收益率向量,W
是资产的投资比例向量（需要求解）,V是资
产协方差矩阵，该问题是下面的优化问题
? 该优化问题有解的 充分必要条件 是拉格朗日乘
子函数的一阶导数等于 0
VWW
T
cRW
W
T
T
2
1
m i n
0
11
?
?
第一章 第四节凹函数、凸函数和效用函数
? 效用 utility是 主观 感受，人为设定的满意程度
? 效用函数 utility function是对满意程度的量化
? 效用函数分为：序数效用、基数效用函数
? 序数效用 ordinal utility：效用之间只能排序
? 基数效用 cardinal utility：用具体数值表示效用
的大小
? 期望效用：有多种结果时用效用的数学期望
? E（ u）＝ Σ 或 积分
两个效用的例子
? 例一、商品配置问题。用确定数量资金购买商
品，如何确定每种商品的数量 x1
? 效用函数是多元函数 u(x1,x2,…,x n )
? 例二、生活质量问题。收入和休息之间的协调
? 效用函数是收入 L和休息 y 的函数 u(l,y)
? T是总时间,r表示每小时工资
? 效用函数成为一元函数
? u(l,y)＝ u(rx,T－ x)
偏好关系 preference relation
? 选择集经过处理可以成为 凸子集
? 其中任何两个元素可以比较“好坏” —— 关
系
?,偏好关系”满足：自反性、完备性、传递
性
? 无差异关系和严格偏好关系
? 字典序 dictionary order
? 确定状态下的效用函数
? 具有偏好关系的效用函数 u(.)
?u(x)≥u(y)当且仅当 x≥y
? 满足：保序、中值、有界性
? 序数效用函数存在性定理，
? 假设投资有两种结果 x和 y，概率是 p和 1－ p
? 投资的结果是“彩票”,xp&(1-p)y
? 根据各自具体情况定义偏好关系,
? 需要满足 10个条件
? 不确定状态下，基数和序数效用函数存在定理
? 将选择问题转换成数值大小的比较
不确定状态下的效用函数
风险态度 —— 效用函数应用
? 凸、凹函数定义：分一元和多元函数
? 风险态度：厌恶、偏好、中性
? 彩票的例子。两种彩票 A和 B
? A：＋ 100；
? B：随机变量 x:＋ 500（概率＝ p）,or -100
? 两种的期望所得应该相同，因此,p＝ 1/3
? 有下面 3种可能的决策：
? 选择 A—— 风险厌恶
? 选择 B—— 风险偏好
? 随意选择 AB—— 风险中性
用效用函数 u(x)分析 3种态度
? 有了效用函数 u(x)后
? 选择 A得到的效用＝ u(100)
? 选择 B得到的是期望效用
? E(u(x))＝ u(500)/3＋ 2u(-100)/3
? 比较 E(u(x))和 u(E(x))的大小，得到风险态度
? u(E(x)) > E(u(x)),u是凹函数，风险厌恶
? u(E(x)) < E(u(x)),u是凸函数，风险偏好
? u(E(x)) = E(u(x))：风险中性
风险态度的图形表示
U(b )
U(a )
U(b ) U(b )
U(a ) U(a )
a a ab b b
效用函数例子
? 绝对风险厌恶函数,A(x)=-u’’(x)/u’(x)
? 相对风险厌恶函数,R(x)=xA(x)
? 风险容忍函数,T(x)=1/A(x)
? 二次效用函数,u(x)=ax－ bx2
? 幂效用函数,u(x)=－ x－ 1
? 双曲线绝对风险回避效用函数：
? 负指数效用函数,u(x)=－ e－ ax
0,)1(1)( ????? bbaxxu ??? ?
教材, 金融数学,
李向科主编
人民大学出版社,2004年
授课教师：李向科
Lixiangke@tom.com
第一章 数学预备知识
? 后期学习所要使用的数学上的结论
? 复习和加强已经学过的数学的认识
? 对部分数学概念的经济应用进行说明
? 分为以下 4个部分：
? 线性代数基础
? 数学模型和建立模型
? 优化问题求解
? 效用函数（凸函数和凹函数）
第一章 第一节 线性代数基础
? 普遍涉及到的和需要强调的概念
? 正交矩阵，对称矩阵对角化，特征值
? 二次型，正定矩阵
? 欧氏空间：
? 向量的内积（ inner product）
? 向量的长度,向量的距离 distance
? 柯西布尼亚科夫斯基不等式
? 向量的夹角，正交 orthogonal
? 投影 Project，最小二乘法 least square
其他两个内积的定义
? 两个随机变量 X和 Y的内积
? 协方差,(X,Y)=cov (X,Y)
? 相关系数：
? 两个函数 f(x)和 g(x)的内积
在此基础上同样有：距离、长度、正交、
投影等几何空间中的概念
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矩阵和行列式的微分
? 几个结论,X是向量,A是矩阵
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第一章 第二节数学模型和模型的建立
? 模型来源于原型，对原型的抽象
? 数学模型需要量化和假设
? 数学模型表现形式可以是数学公式，包括等式或
不等式，也可以是图表
? 数学模型的最佳结果是数学公式
? 自然科学中数学公式较多，并且应用效果好
? 社会科学中数学公式少，且效果差
? 经济和金融学中有很多数学模型
? 本教材后面几章介绍金融中的几个著名数学模型
建立模型的步骤
? 建模＝建立模型或模型建立,modeling
? 建模准备：了解实际问题的背景
? 模型假设：对问题进行简化
? 建立数学模型：用数学方式（公式、图表）
表现出实际问题，尽量简单化原则
? 模型求解：求解出结果，优化求解较多
? 模型分析：得到结论，做出预测
? 模型检验和修正：与实际比较，模拟实际
建模举例
? 问题的背景：
? 资金总量为 M，可投资于 n＋ 1种资产
? Si (i＝ 0,1,…, n),0表示存银行
? Si 的平均收益率为 ri,风险损失率为 qi
? 总体风险＝ Si 中的最大风险
? 投资 Si 的交易费率为 pi，低于 ui 按 ui计算
? 同期银行存款为 r0 =5%，无交易费用和损失
? 问题：如何总资金 M如何投资，使得尽可能收
益大，总体风险尽可能小
对问题的分析
? 两个目标：净收益大，风险损失小
? 两个目标不可能同时满足
? 限定其中一个目标的范围，另一个尽可能最优
? 最优解是不唯一的
)(m a x))((m a x )0()0( iiniiini qxxQ ???? ?
用数学符号和公式表示模型
? xi表示购买的 Si资金量,ci(xi)是交易费，
? 投资于 Si的净收益,Ri (xi) ＝ rixi－ ci(xi)
? 总净收益,R＝ Σ
? 投资于 Si的风险损失,Qi (xi) ＝ qixi
? 总风险损失,Q＝
? 投资于 Si所需资金,Fi(xi) =xi＋ ci(xi)
? 约束条件为总资金的限制
? M＝ F＝ Σ（ xi＋ ci(xi)）
? 交易费用的数学表达式和图形
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几个优化模型
? 两目标优化模型：属于多目标规划问题
? 单目标优化模型：分三种情况
? 确定风险不能超过 k，求最大收益
? 确定收益水平不能低于 h，求最小损失
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? 简化费用的表达式可以将模型简化问题，
? 假设费用,ci(xi)＝ pixi
? 资金约束条件变成,F（ x）＝ Σ(1+pi)xi＝ M
? 前面的三个模型都可以变成线性规划问题，
对此已经有成熟的方法解决。
? 线性规划 linear program
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第一章 第三节 极值和条件极值的求解
? 多元函数的极值及其判断
? 一阶偏导数为 0（必要条件），
? 二阶偏导数，海森矩阵 Hessian matrix的
正定和负定
? 正定 —— 极小值，负定 —— 极大值
? 二次多项式的极值点
? 如果是凹函数或凸函数，则一阶条件也
是充分条件
计算条件极值的拉格朗日乘子法
? 约束条件,gi(x1,…,x n)=bi,i=1,2,…,m
? Lagrange multiplier将有约束条件问题转
化成无约束条件极值。
? 引入拉格朗日乘数，构造新的函数
? m+n个方程为一阶条件
? 拉格朗日乘子法与线性规划的区别：约
束条件中的等式和不等式
? 应用实例
求解收益相同风险最小的投资组合
? 有 n种资产,R是资产的期望收益率向量,W
是资产的投资比例向量（需要求解）,V是资
产协方差矩阵，该问题是下面的优化问题
? 该优化问题有解的 充分必要条件 是拉格朗日乘
子函数的一阶导数等于 0
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第一章 第四节凹函数、凸函数和效用函数
? 效用 utility是 主观 感受，人为设定的满意程度
? 效用函数 utility function是对满意程度的量化
? 效用函数分为：序数效用、基数效用函数
? 序数效用 ordinal utility：效用之间只能排序
? 基数效用 cardinal utility：用具体数值表示效用
的大小
? 期望效用：有多种结果时用效用的数学期望
? E（ u）＝ Σ 或 积分
两个效用的例子
? 例一、商品配置问题。用确定数量资金购买商
品，如何确定每种商品的数量 x1
? 效用函数是多元函数 u(x1,x2,…,x n )
? 例二、生活质量问题。收入和休息之间的协调
? 效用函数是收入 L和休息 y 的函数 u(l,y)
? T是总时间,r表示每小时工资
? 效用函数成为一元函数
? u(l,y)＝ u(rx,T－ x)
偏好关系 preference relation
? 选择集经过处理可以成为 凸子集
? 其中任何两个元素可以比较“好坏” —— 关
系
?,偏好关系”满足：自反性、完备性、传递
性
? 无差异关系和严格偏好关系
? 字典序 dictionary order
? 确定状态下的效用函数
? 具有偏好关系的效用函数 u(.)
?u(x)≥u(y)当且仅当 x≥y
? 满足：保序、中值、有界性
? 序数效用函数存在性定理，
? 假设投资有两种结果 x和 y，概率是 p和 1－ p
? 投资的结果是“彩票”,xp&(1-p)y
? 根据各自具体情况定义偏好关系,
? 需要满足 10个条件
? 不确定状态下，基数和序数效用函数存在定理
? 将选择问题转换成数值大小的比较
不确定状态下的效用函数
风险态度 —— 效用函数应用
? 凸、凹函数定义：分一元和多元函数
? 风险态度：厌恶、偏好、中性
? 彩票的例子。两种彩票 A和 B
? A：＋ 100；
? B：随机变量 x:＋ 500（概率＝ p）,or -100
? 两种的期望所得应该相同，因此,p＝ 1/3
? 有下面 3种可能的决策：
? 选择 A—— 风险厌恶
? 选择 B—— 风险偏好
? 随意选择 AB—— 风险中性
用效用函数 u(x)分析 3种态度
? 有了效用函数 u(x)后
? 选择 A得到的效用＝ u(100)
? 选择 B得到的是期望效用
? E(u(x))＝ u(500)/3＋ 2u(-100)/3
? 比较 E(u(x))和 u(E(x))的大小，得到风险态度
? u(E(x)) > E(u(x)),u是凹函数，风险厌恶
? u(E(x)) < E(u(x)),u是凸函数，风险偏好
? u(E(x)) = E(u(x))：风险中性
风险态度的图形表示
U(b )
U(a )
U(b ) U(b )
U(a ) U(a )
a a ab b b
效用函数例子
? 绝对风险厌恶函数,A(x)=-u’’(x)/u’(x)
? 相对风险厌恶函数,R(x)=xA(x)
? 风险容忍函数,T(x)=1/A(x)
? 二次效用函数,u(x)=ax－ bx2
? 幂效用函数,u(x)=－ x－ 1
? 双曲线绝对风险回避效用函数：
? 负指数效用函数,u(x)=－ e－ ax
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