第二章 风险、风险厌恶与随机占优
资产定价理论的微观经济基础
? 经济理论通常假定：投资人是风险厌恶的
? 风险有多种定义，不确定性
? 从定量模型化解释风险
? 投资人面临风险的决策（第一节）
? Rothschild和 Stiglitz提出随机占优（第二节）
? 对风险的一般认识：
? 经济系统中状态变量的事前不确定性
? 对风险的厌恶引发投资人的投资组合的分散化
问题以及对所需交换的资产的合理定价问题
? 金融经济学框架的核心问题：
? 如何分散风险
? 如何确定风险的合理价格
第二章 第一节 风险与风险偏好
风险厌恶、风险中性与风险偏好
的数学表述
? 伯努利（ Bernoulli）效用函数（确定值）
? Von-Neumann -Morgenstern预期效用函数
?,预期”有“期望”之义，随机变量的数学
期望
? 例 2.1。 Page 46
表示确定收益,])(u[))(u(
)()()())((
?
?
?
??
xx d FxE
xdFxuFuxuE
风险厌恶的数学定义
? 如果 F(x)是二项分布，则，
? 风险厌恶 —— 伯努利效用函数为凹函数
? 严格风险厌恶 —— 严格不等式,u’>0,u’’<0
? 定理 2.1：对任意 F，有
? 风险厌恶 —— 效用函数为严格凹函数
? 证明需要使用 Jensen不等式。
? 同样：可以定义风险中性和风险偏好
))(u())(u()()())(( ?? ??? xx d FxExdFxuxuE
绝对风险厌恶与风险溢价
? 对风险厌恶程度 有大有小，绝对风险厌恶，
? 风险溢价 ρ,对风险的补偿，数学定义如下
? Pratt(1964)定义绝对风险厌恶系数
? 绝对风险厌恶系数越大，越厌恶风险，必需
给予的溢价补偿也越大
)~(,
)(2
)(
))~(())~(()(
2
XEX
Xu
Xu
XuEXEuXu
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2
2
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Xu
XuXr
a
相对风险厌恶与风险溢价
? Pratt(1964)定义相对风险厌恶系数
? 相对风险厌恶系数越大,所要求的单位
方差的相对风险溢价补偿也越高
)1())(1~(~ ?? ???? XXEX假设：
))1)((())~(())?1(( ?? ???? XuEXuEXu
)(
)(
,
2
1
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2
Xu
XuX
R R A
R R A
Xu
XuX
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风险溢价和风险厌恶对投资人
决策影响的实例说明
? 例 2.2。当前财富为 W=a+(W－ a)
? 今后财富 X＝ W－ a+a(1+r)=W+ar，优化问题
? 关于 a是凹函数，一阶导数＝ 0，（ 2.17）
? a＊ 是解，是 W的函数，
? （ 2.17）中对 W求导数，
? （ 2.18）。
))~((m a x))~((m a x 00 raWuEXuE WaWa ?? ????
? 随 W的变化，风险厌恶投资者的 a的动态变化
? 假设绝对风险厌恶系数不随 W增加而增加
? 对 r＞ 0和 r＜ 0，都可得到
? （ 2.20a）
? 从 （ 2.17） 得（ 2.21）
? u是凹函数，得（ 2.21a）
)]~(''~[
)]~(''~[
2 raWurE
raWurE
dW
da
??
????
0)]~(''~[ ??? raWurE
0)]~(''~[ 2 ??? raWurE
? 最后
? 风险厌恶的投资人投资于风险资产的财富随着
总财富的上升而增加
? 关于 绝对风险厌恶系数不随 W增加而增加
? 经过推导可知，要求三阶导数为正数
? 度量风险厌恶在于比较不同投资人对同一风险
决策的态度。
? 在资产定价理论中，一般假定存在一个典型性
投资人。需要处理典型投资人对不同资产的风
险与收益的判断，即资产风险的度量问题。
0
*
?dWda
第一章 第二节 随机占优
? 怎样才能认为资产 A比资产 B更具风险？
? 简化的风险比较：均值 -方差 效用
? 用方差作为唯一标准不可行（期望可能越大）
? 即使一种资产 X预期收益等于另一资产 Y，而 X
方差小于 Y，风险厌恶者也不一定偏好于 X
? 如下面的例子
? E(X)=E(Y)=2, Var(X)=4,Var(Y)=7
? 如果选择风险厌恶效用函数
?
?
?
?
?
?
?
?
8/1,9
8/7,1
Y
2/1,4
2/1,0
概率
概率
，
概率
概率
X
1
4
5
9
8
1
1
8
7
))((
14
2
1
0
2
1
))((
)(
???
??
?
＝＋＝
＝＋＝则：
YuE
XuE
xxu
均值 — 方差效用不完整性说明
? 只考虑均值和方差，没有考虑更高阶中心矩。
只有当包括三阶矩以上为 0时，均值方差效用
才与真实的预期效用一致。
? 两端取期望（ w是期望值，数值），利用
? ? ??
?????????
3
)(
3
3
2
)
~
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!
1
)
~
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~
(
n
nn
wwwu
n
R
Rwwwuwwwuwuwu
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资产风险度量的一般方法
? Rothschild— Stiglitz更一般的比较不同资产风
险的分析框架
? 比较资产收益的分布，而不比较不同投资人
所依赖的不同的效用函数。
? 一阶随机占优、二阶随机占优以及均值不变
下的分布扩展 MPS
? 假设有两种资产 A和 B。 A收益服从分布 F（ ·），
B服从 G（ ·），且 F（ 1） =G（ 1） =1，（方便起
见，令收益均属于区间 [0,1]）。
一阶随机占优 FSD
? First-order Stochastic Dominance
? FSD定义：对任意非减的函数 u,R→ R，
? 定理 2.1是 FSD的等价条件。注意不等号方向
BA
xdGxuxdFxu
F S D
?
? ??
则，
)()()()(
BAxGxF
F S D
??? )()(
FSd的图形表示
1
FB(z)
FA(z)
1
F(z)
0 z
二阶随机占优 SSD
? Second-order Stochastic Dominance
? SSD定义,F二阶占优于 G，当且仅当
? 且对某些 X值的集合，不等号成立。
? 符号
? 可以证明，如果 SSD成立,则，
? 投资人更偏好 A（或 F）,B（或 G）更具风险
? SSD的三个等价条件
],[,))()(( 100
0
????? ydxxGxFy
BA SSD?
SSD图形表示
取正号
取正号 +
z
取负号
FA(z)
FB(z)
z* 1y
F(z)
0
SSD其他特性
? SSD的 3个等价表述
?, d”表示“依分布相等”
? 引入“展形 spread”的概念
0)
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(,
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()
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AA
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rErEdxxGxFxh
BA
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均值不变下的分布展形 MPS
mean preserving spreads—— MSP
? 讨论限定于两种资产相同的预期收益
? 图形表示
? 命题 2-2
? 命题 2-3
? G是 F的 MPS，等价于 F,SSD,G
Jensen’s inequality 证明
? u是凹函数
? 证明过程：在均值点泰勒展开
))(())((,xEuxuEu ???? 0
资产定价理论的微观经济基础
? 经济理论通常假定：投资人是风险厌恶的
? 风险有多种定义，不确定性
? 从定量模型化解释风险
? 投资人面临风险的决策（第一节）
? Rothschild和 Stiglitz提出随机占优（第二节）
? 对风险的一般认识：
? 经济系统中状态变量的事前不确定性
? 对风险的厌恶引发投资人的投资组合的分散化
问题以及对所需交换的资产的合理定价问题
? 金融经济学框架的核心问题：
? 如何分散风险
? 如何确定风险的合理价格
第二章 第一节 风险与风险偏好
风险厌恶、风险中性与风险偏好
的数学表述
? 伯努利（ Bernoulli）效用函数（确定值）
? Von-Neumann -Morgenstern预期效用函数
?,预期”有“期望”之义，随机变量的数学
期望
? 例 2.1。 Page 46
表示确定收益,])(u[))(u(
)()()())((
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?
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xx d FxE
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风险厌恶的数学定义
? 如果 F(x)是二项分布，则，
? 风险厌恶 —— 伯努利效用函数为凹函数
? 严格风险厌恶 —— 严格不等式,u’>0,u’’<0
? 定理 2.1：对任意 F，有
? 风险厌恶 —— 效用函数为严格凹函数
? 证明需要使用 Jensen不等式。
? 同样：可以定义风险中性和风险偏好
))(u())(u()()())(( ?? ??? xx d FxExdFxuxuE
绝对风险厌恶与风险溢价
? 对风险厌恶程度 有大有小，绝对风险厌恶，
? 风险溢价 ρ,对风险的补偿，数学定义如下
? Pratt(1964)定义绝对风险厌恶系数
? 绝对风险厌恶系数越大，越厌恶风险，必需
给予的溢价补偿也越大
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相对风险厌恶与风险溢价
? Pratt(1964)定义相对风险厌恶系数
? 相对风险厌恶系数越大,所要求的单位
方差的相对风险溢价补偿也越高
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))1)((())~(())?1(( ?? ???? XuEXuEXu
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风险溢价和风险厌恶对投资人
决策影响的实例说明
? 例 2.2。当前财富为 W=a+(W－ a)
? 今后财富 X＝ W－ a+a(1+r)=W+ar，优化问题
? 关于 a是凹函数，一阶导数＝ 0，（ 2.17）
? a＊ 是解，是 W的函数，
? （ 2.17）中对 W求导数，
? （ 2.18）。
))~((m a x))~((m a x 00 raWuEXuE WaWa ?? ????
? 随 W的变化，风险厌恶投资者的 a的动态变化
? 假设绝对风险厌恶系数不随 W增加而增加
? 对 r＞ 0和 r＜ 0，都可得到
? （ 2.20a）
? 从 （ 2.17） 得（ 2.21）
? u是凹函数，得（ 2.21a）
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? 最后
? 风险厌恶的投资人投资于风险资产的财富随着
总财富的上升而增加
? 关于 绝对风险厌恶系数不随 W增加而增加
? 经过推导可知，要求三阶导数为正数
? 度量风险厌恶在于比较不同投资人对同一风险
决策的态度。
? 在资产定价理论中，一般假定存在一个典型性
投资人。需要处理典型投资人对不同资产的风
险与收益的判断，即资产风险的度量问题。
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第一章 第二节 随机占优
? 怎样才能认为资产 A比资产 B更具风险？
? 简化的风险比较：均值 -方差 效用
? 用方差作为唯一标准不可行（期望可能越大）
? 即使一种资产 X预期收益等于另一资产 Y，而 X
方差小于 Y，风险厌恶者也不一定偏好于 X
? 如下面的例子
? E(X)=E(Y)=2, Var(X)=4,Var(Y)=7
? 如果选择风险厌恶效用函数
?
?
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＝＋＝则：
YuE
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均值 — 方差效用不完整性说明
? 只考虑均值和方差，没有考虑更高阶中心矩。
只有当包括三阶矩以上为 0时，均值方差效用
才与真实的预期效用一致。
? 两端取期望（ w是期望值，数值），利用
? ? ??
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资产风险度量的一般方法
? Rothschild— Stiglitz更一般的比较不同资产风
险的分析框架
? 比较资产收益的分布，而不比较不同投资人
所依赖的不同的效用函数。
? 一阶随机占优、二阶随机占优以及均值不变
下的分布扩展 MPS
? 假设有两种资产 A和 B。 A收益服从分布 F（ ·），
B服从 G（ ·），且 F（ 1） =G（ 1） =1，（方便起
见，令收益均属于区间 [0,1]）。
一阶随机占优 FSD
? First-order Stochastic Dominance
? FSD定义：对任意非减的函数 u,R→ R，
? 定理 2.1是 FSD的等价条件。注意不等号方向
BA
xdGxuxdFxu
F S D
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FSd的图形表示
1
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1
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二阶随机占优 SSD
? Second-order Stochastic Dominance
? SSD定义,F二阶占优于 G，当且仅当
? 且对某些 X值的集合，不等号成立。
? 符号
? 可以证明，如果 SSD成立,则，
? 投资人更偏好 A（或 F）,B（或 G）更具风险
? SSD的三个等价条件
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取正号
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SSD其他特性
? SSD的 3个等价表述
?, d”表示“依分布相等”
? 引入“展形 spread”的概念
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均值不变下的分布展形 MPS
mean preserving spreads—— MSP
? 讨论限定于两种资产相同的预期收益
? 图形表示
? 命题 2-2
? 命题 2-3
? G是 F的 MPS，等价于 F,SSD,G
Jensen’s inequality 证明
? u是凹函数
? 证明过程：在均值点泰勒展开
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