第三章
均值方差证券投资组合选择模型
马科维茨 Markowitz,证券组合选择,
投资选择：风险（低）收益（高）之间的“平
衡”
基于期望收益率上的投资决策，最多只能获得
最高的 平均收益率
风险收益的“数量化”
前沿组合、无差异曲线数学性质
第一节 风险和收益的数学度量
? 用随机变量表示未来的收益率
? 用期望代表：平均收益率
? 方差代表风险（ 得到平均收益率的不确定性 ）
? 从分布函数（条件太强）计算收益和风险
? 从“历史”样本估计收益和风险
?
?
?
?
?
?
?
?
n
t t
n
t t
n
rr
n
r
n
r
rr
1
22
1
1
1
1
1
)(
,.,,,
?
证券之间关联性 ——相关系数
? 某一证券价格的变动可能伴随着另一证券价格
的变动。关联性普遍存在。
? 需要度量关联性的方向和程度
? 随机变量的协方差和相关系数
? 从联合分布可计算。
? 用历史数据计算（ 3.10） (3.11)
21
21
12
221121
??
?
),c o v (
))((),c o v (
rr
rrrrErr
?
???
? 三种相关程度：
? 1、完全线性相关：完全决定另一个
? ρ AB＝ 1或 ρ AB＝ -1
? rA＝ a＋ b× rB,σ 2A＝ b2× σ 2B
? 2、不完全线性相关：“部分”决定另一个
? rA＝ a＋ b× rB＋ ε
? σ 2A＝ b2× σ 2B＋ σ 2（ ε ）
? 3、不相关,一证券的变化对另一证券的变化
,没有贡献,
? ρ AB＝ 0或 cov（ rA,rB）＝ 0
组合的期望和方差计算方法
以两组合为例，多组合类推
?, 两证券组合, 的收益率数学表示法
? 证券 A和 B，以总资金的 WA的比例投资于 A，以
WB于 B。 WA＋ WB＝ 1，则拥有证券组合
? P＝（ WA,WB）
? WA,WB为组合 P中 A的权数和 B的权数
? 假设 AB的收益率为 rA和 rB，则
? P的收益率为 rP＝ WA× rA＋ WB× rB
? 权数可以为负。
? WA＜ 0，表示该组合投资者卖空证券 A
? 两 证券组合的期望收益率与方差计算方法
? 必须知道相关系数或协方差
? E（ rP）＝ WA× E（ rA）＋ WB× E（ rB）
? σ 2P＝ W2A× σ 2A＋ W2B× σ 2B
? ＋ 2× WA× WB× ρ AB× σ A× σ B
? 选择不同的组合权数，得到不同的组合，从
而得到不同的期望收益率和方差。
? WA和 WB有无限种取法，投资者有无限多种
证券组合可供选择。
? 每个投资者根据自己对收益和方差（风险）
的偏好，选择符合自己要求的证券组合
两种证券的结合线
? 分多种情况：双曲线、直线、折线
? 构建 0风险组合、存在无风险证券情况
第二节马克维茨模型的运作过程
模型的假设条件
? 假设 1：收益率的概率分布是已知的；
? 假设 2：风险用收益率的方差或标准方差表示；
? 假设 3：影响决策的因素为期望收益率和风险；
? 假设 4：投资者遵守占优原则, 即,
? 同一风险水平下, 选择收益率较高的证券；
? 同一收益率水平下, 选择风险较低的证券 。
投资组合几何表示和可行域
? 选定了证券的投资比例，就确定了组合。可以计算该
组合的期望收益率 EP和标准差 σ P
? 以 EP为纵坐标,σ P为横坐标，在 EP-σ P坐标系中可
以确定一个点。每个组合对应 EP-σ P中的一个点
? 反过来,EP-σ P中的某个点有可能反映某个组合
? 选择, 全部, 有可能选择的投资比例，那么，全部组
合在 EP-σ P中的, 点, 组成 EP-σ P中的区域
? 可行域（ feasible set）
? 可行域中的点所对应的组合才是, 有可能实现, 的组
合。
? 可行域之外的点是不可能实现的证券组合。
? 可行域＝机会集
可行域必须满足的形状
? 左上边缘部分向外凸或直线 —“凸集,
? 可以证明，边界是双曲线。
有效边界和有效组合
? 判断组合好坏的公认标准 ——投资者共同偏好
? 第一：以期望衡量收益率，方差衡量风险，
仅关心期望和方差
? 第二：期望收益率越高越好，方差越小越好
? 可行域内部和右下边缘上的任意组合，均可以
在左上边界上找到一个比它好的组合。淘汰
? 最佳组合, 必须来自, 左上边界 ——有效边界
? 有效组合 ——有效边界对应的组合
对风险补偿的偏好和无差异曲线
? 增加同样的风险，不同的投资者所要求得到的期望
收益率补偿的高低可能不一样。补偿数额越高，对
风险越厌恶
? 对某个特定投资者，根据对风险的态度，可以得到
一系列 满意程度 相同 （无差异）的组合
? 无差异曲线的特征
? 波动方向一定是从左下方向右上方，单调性
? 曲线将变得越来越陡，凸函数
? 无差异曲线的形状（弯曲程度）因人而异，反映投
资者的风险偏好态度
? 无差异曲线族中的曲线互不相交，等高线不相交
? 根据无差异曲线可以比较任意两个组合的好坏
? 无差异曲线位置越靠左上，满意程度越高
? C＞ A＝ B＞ D
切点是最佳证券组合点
第三节 组合有效前沿的数学推导
定义：一个证券组合被称为是前沿证券组合, 如果它
在所有, 等均值收益率, 的证券组合中, 方差最小
? 每个前沿证券组合一定对应一个收益率
?, 前沿证券组合 q”＝对应收益率 q的前沿组合
? 前沿证券组合的数学表示
? 假定在无摩擦市场上存在 N(＞ 1)种风险资产，允许
无限制卖空。假设收益率的方差有限，并且均值不
相等，而且，任何一个资产的收益率不能由其它资
产收益率的线性组合表出（收益率线性无关）。
? 它们收益率的方差 ——协方差矩阵 V是正定矩阵
前沿组合的数学表述和求解
? 前沿组合权重向量 Wp是下列二次规划问题的解
? 是前沿证券对应的收益率
? 用拉格朗日乘子法求解
VWW T
W
rERW
T
p
T 2
1
11 ?
? )~(
m i n
)~( prE
0,11,,1
)1(
1
),1(
1
)~(
2111
1111
??????
????
??
???
????
ABCDVCRVRBRVA
AVRCV
D
hRAVBV
D
g
rhEgW
TTT
pp
证券组合前沿
? 任何前沿证券组合可以表示成上述形式。
? 任何能写成上述形式的组合是一个前沿证券组合
? 对应不同的收益率，优化问题可以得到不同的解，
进而得到不同的前沿证券组合。
?, 取遍, 所有可能的收益率，其, 轨迹, 就是一条
曲线。
? 由全体, 前沿证券组合, 构成的, 集合,
? ——证券组合前沿（ portfolio frontier）。
? 是今后定义有效边界（有效前沿 ）的基础
证券组合前沿的性质
? g和 h是两个特殊“解向量”
? 性质 3-1, g对应的收益率是 0,g+h对应 1。
? 性质 3-2：任何前沿证券组合可以由 g和 g＋
h通过再组合得到。可以表示成, 线性组
合,。
? 性质 3-2ａ：前沿证券组合可以由任意两个
不相同的前沿证券组合进行再组合而得 。
证券组合有效前沿的几何结构
? 收益率标准差（方差） ——均值空间
? 机会集（可行域）是双曲线 所围的区域
? 前沿组合的协方差（ 3.22）
? 方差
? 这是一条双曲线。渐进线
? 中心点为（ 0,A／ C）
)~(//)~(
/
)/)~((
/
)~(
pp
pp
rCDCArE
CD
CArE
C
r
?
?
???
?
?
? 1
1 2
22
双曲线图形
A/C
E (r )
0
MVP机会集
C/1
双曲线
)(r?
? 在收益率的方差 ——均值空间中，
? 机会集是顶点为（ C-1/2,A/C）的抛物线
? 图形
))~()~(()~( BrAErCEDr ppp ??? 21 22?
最小方差证券组合 mvp
mvp＝ minimum variance portfolio
? 所有可行证券组合中 mvp的方差最小
? mvp是双曲线（抛物线）的顶点
? mvp的坐标（ C－ 1/2,A/C）
? mvp的投资权重
? 性质 3-3：对所有的证券组合 p（不仅限
于前沿证券组合）
11 1??? VCW m v p
Crrr m v pm v pp /)~v a r ()~,~c o v ( 1??
有效证券组合（或有效边界）
efficient portfolios
? 双曲线从 mvp开始：
? 向右上方的一支，是有效的
? 向右下方的一支，是无效的
?,有效组合”＝“前沿组合”＋“期望
>A/C”
? 凸组合定义：非负，和为 1。
? 性质 3-4：有效证券组合集是凸集
第四节 零协方差前沿证券组合
? zc(p)与 p是有特殊关系的前沿证券组合，
? 非前沿组合也有 0协方差 zc(p)的概念
? 前沿证券 p的零协方差前沿证券组合 zc(p)，
之间的协方差为 0
? 性质 3-5：对于的任意一个有效前沿证券组合
p（ p≠ mvp），存在唯一的零协方差前沿证
券组合 zc（ p） 。
? 前沿证券组合 zc（ p）和 p的地位是“对称的”
? 从证明中可以看出，不同时是有效组合
zc(p)的 几何含义
? 双曲线：切线在纵轴上的截距
? 抛物线,p和 mvp的连线的截距
)~( )( pzcrE
zc(p )
mvp
p
E (r )
A/C
0
)(r?C/1
非前沿组合的零协方差组合
? 对非前沿证券组合 q，与 q协方差为零的全部组
合中，组合 Q的方差最小。仍记,Q＝ zc（ q）
? 数学表达为规划问题
VWW T
W
VWW
T
q
T 2
1
11
0
?
?
m i n
? 用拉格朗日求解 zc(q)
? Q＝ zc(q) 是 q与 mvp的再组合,Wq是负数。
? 期望收益率为
m v p
q
q
q
q
qzc WrC
rC
W
rC
W
)~(
)~(
)~()( 2
2
2 11
1
?
?
? ?
?
?
?
)~(
)~()~(
)~( )()(
q
qq
pzcqzc
rC
rArE
RWrE
2
2
1 ?
?
?
?
???
zc(q)的几何含义
? 证券组合 q的 0协方差前沿组合 zc(q)的收
益率的期望值是证券组合 q和 mvp的连线
在纵轴上的截矩。图 3.11a
p
Zc(q)
zc(p)
垂直传导性
? 定理 3.1,任意非前沿证券组合 q及前沿证券组合 p
)~v a r ()~v a r ()~v a r ()~v a r ( )()( qzcpzcqp rrrr ???
E (r )
0
)~( pr2?
)~( )( pzcrE
)~( )(qzcrE
q
0F
1F
Zc(p)
水平传导性
? 定理 3.2：任意非前沿证券组合 q及前沿组合 p
0??? )~,~c o v ()~()~( )( qpzcqp rrrErE
E (r )
0
)~( pr2?
)~( )( pzcrE
)~( )(qzcrE
p
q
Zc(q)
0F
1F
qF
q零协方差组合生成的前沿曲线 Fq
? Fq是规划问题
? 随 E的变动，得到曲线 Fq
? Fq上的点是 zc（ q）和 zc（ p）的再组合
?Fq与有效前沿 F0 在 zc（ p）点相切
? 取不同的 q，得到不同的 Fq, F0是 Fq的包络线
VWW T
W
ERW
VWW
T
T
q
T 2
1
11
0
?
?
?
m i n
第五节 用前沿组合对任意组合定价
? 利用零协方差证券组合对资产定价
? 任意证券组合 i与前沿组合期望方面的关系
? 任意证券组合 i，任选一个前沿组合 p（ mvp除
外）,PI是 p和 i的结合线（仍然是双曲线）
? 可以证明,PI与证券组合前沿（由所有资产生
成）相切于 p点，“最外层”。
? 两条曲线在 p点的斜率相等，得到定价公式。
)~(
)~,~c o v (
))~()~(()~()~( )()(
p
pi
ip
pzcpippzci
r
rr
rErErErE
2?
?
?
?
???
定价公式推导的图形说明
E (r )
p
mvp
zc(p)
q
A/C
i
0
)( )( pzcrE
C/1 )(r?
? 另一种推导方法利用 I和 p的协方差的表达式，
将 p的具体投资比例代入可得
? 定理 3.3：任意一个证券组合 q的收益率期望值
都可以表示成任意一个前沿证券组合 p（除 mvp
外）与其对应的前沿证券组合 zc（ p）的收益率
均值的线性组合
?zc(p)和 p的地位是对称的,zc（ zc（ p）＝ p
?zc(p)和 p互换，定价公式另一种形式（ 3.28）
)~()~()()~( )( pippzcipi rErErE ?? ??? 1
定价公式的事后形式
事前形式 （ 式中有期望 E）, 不含随机变量
事后形式 （ 没有期望 E）, 含随机变量或误差
将定价公式中的 E去掉, 得
? 定理 3.4：对于两个协方差为零的前沿证券组合 p和
zc（ p），总可以将任意证券组合 q表示为这两个前
沿证券组合的线性组合，即
? 如果 q是前沿组合，则没有误差项。前岩组合可以被
线性表示（性质 3.2a）
,)~(,)~,~c o v ()~,~c o v (
~~~)(~
)(
)(
00
1
???
????
qqpzcqp
qpqppzcqpq
Err
rrr
???
???
第六节 存在无风险证券情况下
的证券组合前沿和定价
? 如果投资对象中含有无风险证券，有效前
沿组合（有效边界）的, 模样, 有特殊性
? 有效前沿组合以及其有关几何结构性质有
所加强，其结论更细化
? 曲线变成直线
无风险证券情况下组合前沿问
题的数学提法和求解
0211
1
1
2
1
2
1
21
1
11
???????
?
?
?
????
?
?
???
fff
T
f
f
fp
p
f
TT
p
T
W
T
rErWRW
CrArBrRVrRH
rRV
H
rrE
W
rWRWrEVWW
VWW
pf
TT
)()(
)(
)
~
(
))()
~
((m in
m in
},{
)
~
()(
?
?
? Wp是风险资产的权重（ N维向量）
? 无风险收益率 rf
无风险证券情况下证券组合前
沿是直线型
? 截距，斜率都可以计算“
? 斜率一正一负两条直线
)
~
()
~
(
)
~
(
)
~
(
pfp
fp
p
rHrrE
H
rrE
r
?
?
???
?
??
无风险证券情况下组合前沿的
组合含义和几何结构
? 无风险收益率的大小将会影响证券前沿
具体是直线的, 模样,, 分三种情况
?rf ＜ A/C,rf ＞ A/C,rf ＝ A/C
? A/C表示,, 不存在无风险资产情况
下,, mvp的期望值
? 存在无风险资产之后, 证券组合前沿由
双曲线向左进行了扩张 。 是由两条射线
所, 围成, 的区域
对于 rf＜ A/C
? 正斜率直线与双曲线相切，切点是 e点
? 直线 e左侧上的点是 e和 rf的凸组合
? 直线 e右侧侧上的点是卖空 r rf,买入 e
? 负斜率直线不与双曲线相交
? 卖空 e，买入 rf r
rf＜ A/C的几何图形
mvp
e
zc(p)
E (r )
0
)~( pr?
fr
A/C
rf＞ A/C
? 正斜率直线不双曲线相切
? 卖空 e’，买入 r
? 负斜率直线与双曲线相切,e’点
? e’左侧的点是 e和 r的凸组合
? e’右侧的点是卖空 r，买入 e’
rf＝ A/C
? 正、负斜率直线是双曲线的渐近线
? 直线上任何一点的投资权重之和＝ 0
? 将资产全部投资于 r
? 持有的风险资产的投资比例之和＝ 0
存在无风险资产情况下定价问题
? 定理 3.3,任意证券组合 q，收益率均值均可以
被表示成任意一个前沿证券组合 p（除 mvp外）
与其对应的 zc(p)的收益率均值的线性组合。
? 类似结果。
? 切点 e的权重计算（ 3.2）：只考虑 rf＜ A/C。
)(
)(
)(
1
11
11 1
1
1
f
f
T
f
f
e rRVrRVCrA
rRV
W ??
?
?
?
?
? ?
?
?
从几何图形角度计算 e的权重
? 切点 e的风险资产权重 We是规划问题之解
? 几何含义是最大斜率 。 结果与前面相同
VWW
rRW
Wkor
r
rrE
k
T
f
T
W
W
p
fp
p
T
?
?
?
?
?
??
)(m a x
)~(
)~(
m a x
11
?
E (r )
0
pe
A/C
)~( pr?
fr
资产定价公式
? 存在无风险资产时，类似于定理 3.3的 定价公
式对第 i个资产进行定价。（ 3.34）中的 e，
换成其它前沿曲线（此时是直线）上的组合 p，
该公式也成立
?p是前沿组合（直线上一点）,q是任意组合
? 该定价关系式不考虑 rf与 A/C之间的大小关系
))~((
)~(
)~,~c o v ()~(
fe
e
ie
fi rrEr
rrrrE ????
2?
))~(())~((
)~(
)~,~c o v (
)~( fppqfp
p
qp
fq rrErrEr
rr
rrE ??????? ?
? 2
夏普率（ Sharpe Ratio）
? 对于任意风险资产组合 p
? 称为夏普率，或标准差（ σ ）风险价格
? 从图 3-14中知，前沿证券组合曲线（直线）上的组
合的夏普率都相等，同时也具有最大的夏普率
? 上面的切点 e是一个特殊的证券组合。它是夏普率
最大的纯风险证券组合，它就是 CAPM中的, 市场
组合, （ market portfolio）
? 所谓纯风险证券组合是指,证券组合中不含有无
风险证券，全部由风险证券组成
)~(
)~(
p
fp
p r
rrE
S
?
?
?
*第七节一般证券投资组合选择模型
? 前面的推导是在均值方差效用下所作出的
? 引入效用函数后，才能真正具体确定最优证券
组合，这就是 一般 的含义
? 一般证券选择模型内容比较多，复杂
? 只介绍初级的内容
? 大部分只给出结果不进行证明
一般证券选择模型的数学叙述
? 沿用, 常规, 的记号。共有 N种资产,Wi第 i个证券
的投资权重。 W表示 N维权重向量。最优证券选择
问题就是优化问题
? 定理 3.5：给定一组资产，对于严格凹的效用函数
u(·)来说，如果最优证券选择问题存在解，那么，
最优证券组合收益的概率分布是惟一的。此外，如
果不存在, 多余, 资产（指风险资产收益线性无
关），那么，最优证券组合（即 W）也是惟一的。
? ?? ?Ni iiW rWuET 111 ))~((m i n
一般意义下的有效证券组合
? 称组合 k为有效证券组合（ efficient portfolio），如果
存在严格凹的增函数 u(·)（效用函数），使得组合 k的
收益率（下标 e表示, 有效, ）
? 满足，一阶条件
? 细节性内容参阅 Ross(1978),Chen and Ingersoll(1983)，
Dybvig and Ross(1982),Nielssen(1986)
? ? ?? Ni ikike rWr 1 ~~
NirrWuE
W
L
ij
N
j j
i
,.,,,,,)~)~(( 210
1
???????
?
? ?
?
?
证券的 b值
用有效组合对任意证券定价
? 对应前面定价公式中的 β值，这里有 b值
? 定理 3.6：若存在无风险资产，则，对任意的证
券 i，下式成立
? 用 b代替 β,从形式上讲，两个定价公式一样的
)~),~(c o v (
)~),~(c o v (
k
e
k
e
i
k
ek
i rru
rru
b
?
?
?
NirrEbrrE fkekifi,...,,,))~(()~( 21?????
b值的风险含义及其相关性质
? 从 β值的含义可以“延伸”了解 b值的含义
? 两个证券 i和 j比较 b值，如果 bki＞ bkj，则证券 i的预
期将收益大于 j的（设有效组合期望大于无风险收
益率），或者说证券 i比 j风险更大。
? 证券 i的 b值是对证券 i的风险一种度量，是证券 i相
对于证券组合 k的系统风险
? 证券组合 b值等于该组合中单个证券 b值的加权平
均，称为, 证券组合性质, （ portfolio property）
? 在这种度量下,b值大的证券有更大风险。这种
,顺序关系, 具有完全性，也即是用这种度量可
以对任意两证券进行风险大小比较
有关 b值的三个定理
? 定理 3.7：设 k和 k1是任意两个有效组合，则
? 具有保持顺序性，
? 1） bki＞ bkj 当且仅当 bk1i＞ bk1j
? 2） bki＝ bkj 当且仅当 bk1i＝ bk1j
? 定理 3.8 设证券 k和 L是两个有效证券组合，那么，
? 1） bkk＝ 1,bkL＞ 0，即，有效证券组合的 b值是正数
? 2）, 链导, 法则，对任意证券组合 p,bkp＝ bkL×
bLp
? 定理 3.9：对于证券组合 p，,当且仅当对所
有的有效证券组合 k,bkp＝ 0
fp rrE ?)~(
利用有效证券组合进行事前定价
? 定理 3.10：设 k是有效证券组合，对于任意的证
券组合 p，则，
? 定理的要点是说明误差部分满足两个性质
? 定理 3.11,用 多个 可行证券组合进行定价的公式
L有效组合其中,?????
?????
,)~)~((,)~(
~)~(~
00 pLep
pf
k
e
k
pfp
ruEE
rrbrr
??
?
不存在 无风险证券情况下
定价公式变形
? 设 k是有效证券组合,是相对于 k的 b值
等于 0（ bk0＝ 0） 的证券组合的收益率
kr0~
NirErEbrErE
rErE
rErE
b
kk
e
k
i
k
i
kk
e
k
ik
i
,.,,,,))
~
()
~
(()
~
()
~
(
)
~
()
~
(
)
~
()
~
(
1
00
0
0
?????
?
?
?
两种特殊效用函数情况下
定价公式的简化
? 第一，效用函数 u(?)是平方函数,u’(?)线性
? 第二，有效证券组合收益率 和证券 i的
收益率 是正态分布
? 在这两种情况下,b值的表达式中的效用函
数 u(?)可以被, 隐去,
)~v a r (
)~,~c o v (
)~),~(c o v (
)~),~(c o v (
k
e
i
k
e
k
e
k
e
i
k
ek
i
r
rr
rru
rru
b ?
?
?
?
ker~
ir~
第八节无差异曲线性质数学证明
? 无差异曲线的函数表达式,E和 σ 是变量
? 给定 d,上 式 可以确定一条无差异曲线
?d不同，无差异曲线就不同，等高线
? 第 i是投资者,p是某投资组合
? 第二个等式是随机变量标准化。这是对
收益率常用的假设 ——几何布朗运动
)~(
~
,~)~()~(~
)))~((())~(),~((
p
ii
ppp
p
i
ippi
rWWzrrEr
drWuErrEU
????
???
1
1
0
0
?
?
无差异曲线的单调性
? 需要证明一阶导数＞ 0。
? 两种计算一阶导数的思路
? 第一，计算 U关于两个变量 E和 σ 的偏导
数，两个偏导数相除，得到一阶导数
? 第二，对于上述无差异曲线的表达式，
关于 E和 σ 求全微分
? 其中假设标准化后的 z是正态分布
无差异曲线的凸性
? 同一无差异线上的两点，期望效用相等
? 考虑 两点 凸组合,即,连接两点连线上
的任意一点。
? 根据凸性的定义证明无差异曲线的凸性
? 要用到 Jensen不等式
E (r )
0 )~( pr?
E 1
E2
σ1 σ2
无差异曲线与纵轴正交
? 定理 3.12：无差异曲线与纵轴垂直相交
? 无差异曲线与纵轴的交点为 Q
? 需要证明无差异曲线在 Q点的导数等于 0
? 使用了正态条件
E (r )
0 )~( pr?
Q
附录 3-1组合风险收益数学表示
? 资产的收益风险的数学表示,N种资产
? 收益向量
? 期望向量
? 方差向量
? 协方差阵
? 比例向量
? 组合收益
? 组合期望
? 组合方差
? 组合协差 VQPrr
VWWr
rEWrE
rWr
WWWWW
rErrErErrV
rrr
rErErE
rrr
qp
p
p
p
N
ji
N
N
N
??
??
??
??
?????
?????
?
?
?
)
~
,
~
c o v (
)
~
(
)
~
()
~
(
~~
),,.,,,(
])
~
(
~
)(
~
(
~
[())
~
,
~
( c o v (
))
~
(),.,,,
~
(()
~
(
))
~
(),.,,,
~
(()
~
(
)
~
,.,,,
~
(
~
2
1
2
1
22
1
1
111
?
???
附录 3-4 最优解唯一存在定理
? 如果 V是凹函数, 约束集合 Q是紧集 （ 有界闭
集 ）, 那么, 上面规划问题存在最优解；
? 如果 V是严格凹函数, 那么, 最优解唯一 。
),.,,,(m a x
),.,,,.(,sQts
V
s
??
?? 11 ?
均值方差证券投资组合选择模型
马科维茨 Markowitz,证券组合选择,
投资选择：风险（低）收益（高）之间的“平
衡”
基于期望收益率上的投资决策，最多只能获得
最高的 平均收益率
风险收益的“数量化”
前沿组合、无差异曲线数学性质
第一节 风险和收益的数学度量
? 用随机变量表示未来的收益率
? 用期望代表：平均收益率
? 方差代表风险（ 得到平均收益率的不确定性 ）
? 从分布函数（条件太强）计算收益和风险
? 从“历史”样本估计收益和风险
?
?
?
?
?
?
?
?
n
t t
n
t t
n
rr
n
r
n
r
rr
1
22
1
1
1
1
1
)(
,.,,,
?
证券之间关联性 ——相关系数
? 某一证券价格的变动可能伴随着另一证券价格
的变动。关联性普遍存在。
? 需要度量关联性的方向和程度
? 随机变量的协方差和相关系数
? 从联合分布可计算。
? 用历史数据计算（ 3.10） (3.11)
21
21
12
221121
??
?
),c o v (
))((),c o v (
rr
rrrrErr
?
???
? 三种相关程度：
? 1、完全线性相关：完全决定另一个
? ρ AB＝ 1或 ρ AB＝ -1
? rA＝ a＋ b× rB,σ 2A＝ b2× σ 2B
? 2、不完全线性相关：“部分”决定另一个
? rA＝ a＋ b× rB＋ ε
? σ 2A＝ b2× σ 2B＋ σ 2（ ε ）
? 3、不相关,一证券的变化对另一证券的变化
,没有贡献,
? ρ AB＝ 0或 cov（ rA,rB）＝ 0
组合的期望和方差计算方法
以两组合为例，多组合类推
?, 两证券组合, 的收益率数学表示法
? 证券 A和 B，以总资金的 WA的比例投资于 A，以
WB于 B。 WA＋ WB＝ 1，则拥有证券组合
? P＝（ WA,WB）
? WA,WB为组合 P中 A的权数和 B的权数
? 假设 AB的收益率为 rA和 rB，则
? P的收益率为 rP＝ WA× rA＋ WB× rB
? 权数可以为负。
? WA＜ 0，表示该组合投资者卖空证券 A
? 两 证券组合的期望收益率与方差计算方法
? 必须知道相关系数或协方差
? E（ rP）＝ WA× E（ rA）＋ WB× E（ rB）
? σ 2P＝ W2A× σ 2A＋ W2B× σ 2B
? ＋ 2× WA× WB× ρ AB× σ A× σ B
? 选择不同的组合权数，得到不同的组合，从
而得到不同的期望收益率和方差。
? WA和 WB有无限种取法，投资者有无限多种
证券组合可供选择。
? 每个投资者根据自己对收益和方差（风险）
的偏好，选择符合自己要求的证券组合
两种证券的结合线
? 分多种情况：双曲线、直线、折线
? 构建 0风险组合、存在无风险证券情况
第二节马克维茨模型的运作过程
模型的假设条件
? 假设 1：收益率的概率分布是已知的；
? 假设 2：风险用收益率的方差或标准方差表示；
? 假设 3：影响决策的因素为期望收益率和风险；
? 假设 4：投资者遵守占优原则, 即,
? 同一风险水平下, 选择收益率较高的证券；
? 同一收益率水平下, 选择风险较低的证券 。
投资组合几何表示和可行域
? 选定了证券的投资比例，就确定了组合。可以计算该
组合的期望收益率 EP和标准差 σ P
? 以 EP为纵坐标,σ P为横坐标，在 EP-σ P坐标系中可
以确定一个点。每个组合对应 EP-σ P中的一个点
? 反过来,EP-σ P中的某个点有可能反映某个组合
? 选择, 全部, 有可能选择的投资比例，那么，全部组
合在 EP-σ P中的, 点, 组成 EP-σ P中的区域
? 可行域（ feasible set）
? 可行域中的点所对应的组合才是, 有可能实现, 的组
合。
? 可行域之外的点是不可能实现的证券组合。
? 可行域＝机会集
可行域必须满足的形状
? 左上边缘部分向外凸或直线 —“凸集,
? 可以证明，边界是双曲线。
有效边界和有效组合
? 判断组合好坏的公认标准 ——投资者共同偏好
? 第一：以期望衡量收益率，方差衡量风险，
仅关心期望和方差
? 第二：期望收益率越高越好，方差越小越好
? 可行域内部和右下边缘上的任意组合，均可以
在左上边界上找到一个比它好的组合。淘汰
? 最佳组合, 必须来自, 左上边界 ——有效边界
? 有效组合 ——有效边界对应的组合
对风险补偿的偏好和无差异曲线
? 增加同样的风险，不同的投资者所要求得到的期望
收益率补偿的高低可能不一样。补偿数额越高，对
风险越厌恶
? 对某个特定投资者，根据对风险的态度，可以得到
一系列 满意程度 相同 （无差异）的组合
? 无差异曲线的特征
? 波动方向一定是从左下方向右上方，单调性
? 曲线将变得越来越陡，凸函数
? 无差异曲线的形状（弯曲程度）因人而异，反映投
资者的风险偏好态度
? 无差异曲线族中的曲线互不相交，等高线不相交
? 根据无差异曲线可以比较任意两个组合的好坏
? 无差异曲线位置越靠左上，满意程度越高
? C＞ A＝ B＞ D
切点是最佳证券组合点
第三节 组合有效前沿的数学推导
定义：一个证券组合被称为是前沿证券组合, 如果它
在所有, 等均值收益率, 的证券组合中, 方差最小
? 每个前沿证券组合一定对应一个收益率
?, 前沿证券组合 q”＝对应收益率 q的前沿组合
? 前沿证券组合的数学表示
? 假定在无摩擦市场上存在 N(＞ 1)种风险资产，允许
无限制卖空。假设收益率的方差有限，并且均值不
相等，而且，任何一个资产的收益率不能由其它资
产收益率的线性组合表出（收益率线性无关）。
? 它们收益率的方差 ——协方差矩阵 V是正定矩阵
前沿组合的数学表述和求解
? 前沿组合权重向量 Wp是下列二次规划问题的解
? 是前沿证券对应的收益率
? 用拉格朗日乘子法求解
VWW T
W
rERW
T
p
T 2
1
11 ?
? )~(
m i n
)~( prE
0,11,,1
)1(
1
),1(
1
)~(
2111
1111
??????
????
??
???
????
ABCDVCRVRBRVA
AVRCV
D
hRAVBV
D
g
rhEgW
TTT
pp
证券组合前沿
? 任何前沿证券组合可以表示成上述形式。
? 任何能写成上述形式的组合是一个前沿证券组合
? 对应不同的收益率，优化问题可以得到不同的解，
进而得到不同的前沿证券组合。
?, 取遍, 所有可能的收益率，其, 轨迹, 就是一条
曲线。
? 由全体, 前沿证券组合, 构成的, 集合,
? ——证券组合前沿（ portfolio frontier）。
? 是今后定义有效边界（有效前沿 ）的基础
证券组合前沿的性质
? g和 h是两个特殊“解向量”
? 性质 3-1, g对应的收益率是 0,g+h对应 1。
? 性质 3-2：任何前沿证券组合可以由 g和 g＋
h通过再组合得到。可以表示成, 线性组
合,。
? 性质 3-2ａ：前沿证券组合可以由任意两个
不相同的前沿证券组合进行再组合而得 。
证券组合有效前沿的几何结构
? 收益率标准差（方差） ——均值空间
? 机会集（可行域）是双曲线 所围的区域
? 前沿组合的协方差（ 3.22）
? 方差
? 这是一条双曲线。渐进线
? 中心点为（ 0,A／ C）
)~(//)~(
/
)/)~((
/
)~(
pp
pp
rCDCArE
CD
CArE
C
r
?
?
???
?
?
? 1
1 2
22
双曲线图形
A/C
E (r )
0
MVP机会集
C/1
双曲线
)(r?
? 在收益率的方差 ——均值空间中，
? 机会集是顶点为（ C-1/2,A/C）的抛物线
? 图形
))~()~(()~( BrAErCEDr ppp ??? 21 22?
最小方差证券组合 mvp
mvp＝ minimum variance portfolio
? 所有可行证券组合中 mvp的方差最小
? mvp是双曲线（抛物线）的顶点
? mvp的坐标（ C－ 1/2,A/C）
? mvp的投资权重
? 性质 3-3：对所有的证券组合 p（不仅限
于前沿证券组合）
11 1??? VCW m v p
Crrr m v pm v pp /)~v a r ()~,~c o v ( 1??
有效证券组合（或有效边界）
efficient portfolios
? 双曲线从 mvp开始：
? 向右上方的一支，是有效的
? 向右下方的一支，是无效的
?,有效组合”＝“前沿组合”＋“期望
>A/C”
? 凸组合定义：非负，和为 1。
? 性质 3-4：有效证券组合集是凸集
第四节 零协方差前沿证券组合
? zc(p)与 p是有特殊关系的前沿证券组合，
? 非前沿组合也有 0协方差 zc(p)的概念
? 前沿证券 p的零协方差前沿证券组合 zc(p)，
之间的协方差为 0
? 性质 3-5：对于的任意一个有效前沿证券组合
p（ p≠ mvp），存在唯一的零协方差前沿证
券组合 zc（ p） 。
? 前沿证券组合 zc（ p）和 p的地位是“对称的”
? 从证明中可以看出，不同时是有效组合
zc(p)的 几何含义
? 双曲线：切线在纵轴上的截距
? 抛物线,p和 mvp的连线的截距
)~( )( pzcrE
zc(p )
mvp
p
E (r )
A/C
0
)(r?C/1
非前沿组合的零协方差组合
? 对非前沿证券组合 q，与 q协方差为零的全部组
合中，组合 Q的方差最小。仍记,Q＝ zc（ q）
? 数学表达为规划问题
VWW T
W
VWW
T
q
T 2
1
11
0
?
?
m i n
? 用拉格朗日求解 zc(q)
? Q＝ zc(q) 是 q与 mvp的再组合,Wq是负数。
? 期望收益率为
m v p
q
q
q
q
qzc WrC
rC
W
rC
W
)~(
)~(
)~()( 2
2
2 11
1
?
?
? ?
?
?
?
)~(
)~()~(
)~( )()(
q
pzcqzc
rC
rArE
RWrE
2
2
1 ?
?
?
?
???
zc(q)的几何含义
? 证券组合 q的 0协方差前沿组合 zc(q)的收
益率的期望值是证券组合 q和 mvp的连线
在纵轴上的截矩。图 3.11a
p
Zc(q)
zc(p)
垂直传导性
? 定理 3.1,任意非前沿证券组合 q及前沿证券组合 p
)~v a r ()~v a r ()~v a r ()~v a r ( )()( qzcpzcqp rrrr ???
E (r )
0
)~( pr2?
)~( )( pzcrE
)~( )(qzcrE
q
0F
1F
Zc(p)
水平传导性
? 定理 3.2：任意非前沿证券组合 q及前沿组合 p
0??? )~,~c o v ()~()~( )( qpzcqp rrrErE
E (r )
0
)~( pr2?
)~( )( pzcrE
)~( )(qzcrE
p
q
Zc(q)
0F
1F
qF
q零协方差组合生成的前沿曲线 Fq
? Fq是规划问题
? 随 E的变动，得到曲线 Fq
? Fq上的点是 zc（ q）和 zc（ p）的再组合
?Fq与有效前沿 F0 在 zc（ p）点相切
? 取不同的 q，得到不同的 Fq, F0是 Fq的包络线
VWW T
W
ERW
VWW
T
T
q
T 2
1
11
0
?
?
?
m i n
第五节 用前沿组合对任意组合定价
? 利用零协方差证券组合对资产定价
? 任意证券组合 i与前沿组合期望方面的关系
? 任意证券组合 i，任选一个前沿组合 p（ mvp除
外）,PI是 p和 i的结合线（仍然是双曲线）
? 可以证明,PI与证券组合前沿（由所有资产生
成）相切于 p点，“最外层”。
? 两条曲线在 p点的斜率相等，得到定价公式。
)~(
)~,~c o v (
))~()~(()~()~( )()(
p
pi
ip
pzcpippzci
r
rr
rErErErE
2?
?
?
?
???
定价公式推导的图形说明
E (r )
p
mvp
zc(p)
q
A/C
i
0
)( )( pzcrE
C/1 )(r?
? 另一种推导方法利用 I和 p的协方差的表达式，
将 p的具体投资比例代入可得
? 定理 3.3：任意一个证券组合 q的收益率期望值
都可以表示成任意一个前沿证券组合 p（除 mvp
外）与其对应的前沿证券组合 zc（ p）的收益率
均值的线性组合
?zc(p)和 p的地位是对称的,zc（ zc（ p）＝ p
?zc(p)和 p互换，定价公式另一种形式（ 3.28）
)~()~()()~( )( pippzcipi rErErE ?? ??? 1
定价公式的事后形式
事前形式 （ 式中有期望 E）, 不含随机变量
事后形式 （ 没有期望 E）, 含随机变量或误差
将定价公式中的 E去掉, 得
? 定理 3.4：对于两个协方差为零的前沿证券组合 p和
zc（ p），总可以将任意证券组合 q表示为这两个前
沿证券组合的线性组合，即
? 如果 q是前沿组合，则没有误差项。前岩组合可以被
线性表示（性质 3.2a）
,)~(,)~,~c o v ()~,~c o v (
~~~)(~
)(
)(
00
1
???
????
qqpzcqp
qpqppzcqpq
Err
rrr
???
???
第六节 存在无风险证券情况下
的证券组合前沿和定价
? 如果投资对象中含有无风险证券，有效前
沿组合（有效边界）的, 模样, 有特殊性
? 有效前沿组合以及其有关几何结构性质有
所加强，其结论更细化
? 曲线变成直线
无风险证券情况下组合前沿问
题的数学提法和求解
0211
1
1
2
1
2
1
21
1
11
???????
?
?
?
????
?
?
???
fff
T
f
f
fp
p
f
TT
p
T
W
T
rErWRW
CrArBrRVrRH
rRV
H
rrE
W
rWRWrEVWW
VWW
pf
TT
)()(
)(
)
~
(
))()
~
((m in
m in
},{
)
~
()(
?
?
? Wp是风险资产的权重（ N维向量）
? 无风险收益率 rf
无风险证券情况下证券组合前
沿是直线型
? 截距，斜率都可以计算“
? 斜率一正一负两条直线
)
~
()
~
(
)
~
(
)
~
(
pfp
fp
p
rHrrE
H
rrE
r
?
?
???
?
??
无风险证券情况下组合前沿的
组合含义和几何结构
? 无风险收益率的大小将会影响证券前沿
具体是直线的, 模样,, 分三种情况
?rf ＜ A/C,rf ＞ A/C,rf ＝ A/C
? A/C表示,, 不存在无风险资产情况
下,, mvp的期望值
? 存在无风险资产之后, 证券组合前沿由
双曲线向左进行了扩张 。 是由两条射线
所, 围成, 的区域
对于 rf＜ A/C
? 正斜率直线与双曲线相切，切点是 e点
? 直线 e左侧上的点是 e和 rf的凸组合
? 直线 e右侧侧上的点是卖空 r rf,买入 e
? 负斜率直线不与双曲线相交
? 卖空 e，买入 rf r
rf＜ A/C的几何图形
mvp
e
zc(p)
E (r )
0
)~( pr?
fr
A/C
rf＞ A/C
? 正斜率直线不双曲线相切
? 卖空 e’，买入 r
? 负斜率直线与双曲线相切,e’点
? e’左侧的点是 e和 r的凸组合
? e’右侧的点是卖空 r，买入 e’
rf＝ A/C
? 正、负斜率直线是双曲线的渐近线
? 直线上任何一点的投资权重之和＝ 0
? 将资产全部投资于 r
? 持有的风险资产的投资比例之和＝ 0
存在无风险资产情况下定价问题
? 定理 3.3,任意证券组合 q，收益率均值均可以
被表示成任意一个前沿证券组合 p（除 mvp外）
与其对应的 zc(p)的收益率均值的线性组合。
? 类似结果。
? 切点 e的权重计算（ 3.2）：只考虑 rf＜ A/C。
)(
)(
)(
1
11
11 1
1
1
f
f
T
f
f
e rRVrRVCrA
rRV
W ??
?
?
?
?
? ?
?
?
从几何图形角度计算 e的权重
? 切点 e的风险资产权重 We是规划问题之解
? 几何含义是最大斜率 。 结果与前面相同
VWW
rRW
Wkor
r
rrE
k
T
f
T
W
W
p
fp
p
T
?
?
?
?
?
??
)(m a x
)~(
)~(
m a x
11
?
E (r )
0
pe
A/C
)~( pr?
fr
资产定价公式
? 存在无风险资产时，类似于定理 3.3的 定价公
式对第 i个资产进行定价。（ 3.34）中的 e，
换成其它前沿曲线（此时是直线）上的组合 p，
该公式也成立
?p是前沿组合（直线上一点）,q是任意组合
? 该定价关系式不考虑 rf与 A/C之间的大小关系
))~((
)~(
)~,~c o v ()~(
fe
e
ie
fi rrEr
rrrrE ????
2?
))~(())~((
)~(
)~,~c o v (
)~( fppqfp
p
qp
fq rrErrEr
rr
rrE ??????? ?
? 2
夏普率（ Sharpe Ratio）
? 对于任意风险资产组合 p
? 称为夏普率，或标准差（ σ ）风险价格
? 从图 3-14中知，前沿证券组合曲线（直线）上的组
合的夏普率都相等，同时也具有最大的夏普率
? 上面的切点 e是一个特殊的证券组合。它是夏普率
最大的纯风险证券组合，它就是 CAPM中的, 市场
组合, （ market portfolio）
? 所谓纯风险证券组合是指,证券组合中不含有无
风险证券，全部由风险证券组成
)~(
)~(
p
fp
p r
rrE
S
?
?
?
*第七节一般证券投资组合选择模型
? 前面的推导是在均值方差效用下所作出的
? 引入效用函数后，才能真正具体确定最优证券
组合，这就是 一般 的含义
? 一般证券选择模型内容比较多，复杂
? 只介绍初级的内容
? 大部分只给出结果不进行证明
一般证券选择模型的数学叙述
? 沿用, 常规, 的记号。共有 N种资产,Wi第 i个证券
的投资权重。 W表示 N维权重向量。最优证券选择
问题就是优化问题
? 定理 3.5：给定一组资产，对于严格凹的效用函数
u(·)来说，如果最优证券选择问题存在解，那么，
最优证券组合收益的概率分布是惟一的。此外，如
果不存在, 多余, 资产（指风险资产收益线性无
关），那么，最优证券组合（即 W）也是惟一的。
? ?? ?Ni iiW rWuET 111 ))~((m i n
一般意义下的有效证券组合
? 称组合 k为有效证券组合（ efficient portfolio），如果
存在严格凹的增函数 u(·)（效用函数），使得组合 k的
收益率（下标 e表示, 有效, ）
? 满足，一阶条件
? 细节性内容参阅 Ross(1978),Chen and Ingersoll(1983)，
Dybvig and Ross(1982),Nielssen(1986)
? ? ?? Ni ikike rWr 1 ~~
NirrWuE
W
L
ij
N
j j
i
,.,,,,,)~)~(( 210
1
???????
?
? ?
?
?
证券的 b值
用有效组合对任意证券定价
? 对应前面定价公式中的 β值，这里有 b值
? 定理 3.6：若存在无风险资产，则，对任意的证
券 i，下式成立
? 用 b代替 β,从形式上讲，两个定价公式一样的
)~),~(c o v (
)~),~(c o v (
k
e
k
e
i
k
ek
i rru
rru
b
?
?
?
NirrEbrrE fkekifi,...,,,))~(()~( 21?????
b值的风险含义及其相关性质
? 从 β值的含义可以“延伸”了解 b值的含义
? 两个证券 i和 j比较 b值，如果 bki＞ bkj，则证券 i的预
期将收益大于 j的（设有效组合期望大于无风险收
益率），或者说证券 i比 j风险更大。
? 证券 i的 b值是对证券 i的风险一种度量，是证券 i相
对于证券组合 k的系统风险
? 证券组合 b值等于该组合中单个证券 b值的加权平
均，称为, 证券组合性质, （ portfolio property）
? 在这种度量下,b值大的证券有更大风险。这种
,顺序关系, 具有完全性，也即是用这种度量可
以对任意两证券进行风险大小比较
有关 b值的三个定理
? 定理 3.7：设 k和 k1是任意两个有效组合，则
? 具有保持顺序性，
? 1） bki＞ bkj 当且仅当 bk1i＞ bk1j
? 2） bki＝ bkj 当且仅当 bk1i＝ bk1j
? 定理 3.8 设证券 k和 L是两个有效证券组合，那么，
? 1） bkk＝ 1,bkL＞ 0，即，有效证券组合的 b值是正数
? 2）, 链导, 法则，对任意证券组合 p,bkp＝ bkL×
bLp
? 定理 3.9：对于证券组合 p，,当且仅当对所
有的有效证券组合 k,bkp＝ 0
fp rrE ?)~(
利用有效证券组合进行事前定价
? 定理 3.10：设 k是有效证券组合，对于任意的证
券组合 p，则，
? 定理的要点是说明误差部分满足两个性质
? 定理 3.11,用 多个 可行证券组合进行定价的公式
L有效组合其中,?????
?????
,)~)~((,)~(
~)~(~
00 pLep
pf
k
e
k
pfp
ruEE
rrbrr
??
?
不存在 无风险证券情况下
定价公式变形
? 设 k是有效证券组合,是相对于 k的 b值
等于 0（ bk0＝ 0） 的证券组合的收益率
kr0~
NirErEbrErE
rErE
rErE
b
kk
e
k
i
k
i
kk
e
k
ik
i
,.,,,,))
~
()
~
(()
~
()
~
(
)
~
()
~
(
)
~
()
~
(
1
00
0
0
?????
?
?
?
两种特殊效用函数情况下
定价公式的简化
? 第一，效用函数 u(?)是平方函数,u’(?)线性
? 第二，有效证券组合收益率 和证券 i的
收益率 是正态分布
? 在这两种情况下,b值的表达式中的效用函
数 u(?)可以被, 隐去,
)~v a r (
)~,~c o v (
)~),~(c o v (
)~),~(c o v (
k
e
i
k
e
k
e
k
e
i
k
ek
i
r
rr
rru
rru
b ?
?
?
?
ker~
ir~
第八节无差异曲线性质数学证明
? 无差异曲线的函数表达式,E和 σ 是变量
? 给定 d,上 式 可以确定一条无差异曲线
?d不同，无差异曲线就不同，等高线
? 第 i是投资者,p是某投资组合
? 第二个等式是随机变量标准化。这是对
收益率常用的假设 ——几何布朗运动
)~(
~
,~)~()~(~
)))~((())~(),~((
p
ii
ppp
p
i
ippi
rWWzrrEr
drWuErrEU
????
???
1
1
0
0
?
?
无差异曲线的单调性
? 需要证明一阶导数＞ 0。
? 两种计算一阶导数的思路
? 第一，计算 U关于两个变量 E和 σ 的偏导
数，两个偏导数相除，得到一阶导数
? 第二，对于上述无差异曲线的表达式，
关于 E和 σ 求全微分
? 其中假设标准化后的 z是正态分布
无差异曲线的凸性
? 同一无差异线上的两点，期望效用相等
? 考虑 两点 凸组合,即,连接两点连线上
的任意一点。
? 根据凸性的定义证明无差异曲线的凸性
? 要用到 Jensen不等式
E (r )
0 )~( pr?
E 1
E2
σ1 σ2
无差异曲线与纵轴正交
? 定理 3.12：无差异曲线与纵轴垂直相交
? 无差异曲线与纵轴的交点为 Q
? 需要证明无差异曲线在 Q点的导数等于 0
? 使用了正态条件
E (r )
0 )~( pr?
Q
附录 3-1组合风险收益数学表示
? 资产的收益风险的数学表示,N种资产
? 收益向量
? 期望向量
? 方差向量
? 协方差阵
? 比例向量
? 组合收益
? 组合期望
? 组合方差
? 组合协差 VQPrr
VWWr
rEWrE
rWr
WWWWW
rErrErErrV
rrr
rErErE
rrr
qp
p
p
p
N
ji
N
N
N
??
??
??
??
?????
?????
?
?
?
)
~
,
~
c o v (
)
~
(
)
~
()
~
(
~~
),,.,,,(
])
~
(
~
)(
~
(
~
[())
~
,
~
( c o v (
))
~
(),.,,,
~
(()
~
(
))
~
(),.,,,
~
(()
~
(
)
~
,.,,,
~
(
~
2
1
2
1
22
1
1
111
?
???
附录 3-4 最优解唯一存在定理
? 如果 V是凹函数, 约束集合 Q是紧集 （ 有界闭
集 ）, 那么, 上面规划问题存在最优解；
? 如果 V是严格凹函数, 那么, 最优解唯一 。
),.,,,(m a x
),.,,,.(,sQts
V
s
??
?? 11 ?
