第三章
均值方差证券投资组合选择模型
马科维茨 Markowitz,证券组合选择,
投资选择:风险(低)收益(高)之间的“平
衡”
基于期望收益率上的投资决策,最多只能获得
最高的 平均收益率
风险收益的“数量化”
前沿组合、无差异曲线数学性质
第一节 风险和收益的数学度量
? 用随机变量表示未来的收益率
? 用期望代表:平均收益率
? 方差代表风险( 得到平均收益率的不确定性 )
? 从分布函数(条件太强)计算收益和风险
? 从“历史”样本估计收益和风险
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r
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1
22
1
1
1
1
1
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,.,,,
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证券之间关联性 ——相关系数
? 某一证券价格的变动可能伴随着另一证券价格
的变动。关联性普遍存在。
? 需要度量关联性的方向和程度
? 随机变量的协方差和相关系数
? 从联合分布可计算。
? 用历史数据计算( 3.10) (3.11)
21
21
12
221121
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),c o v (
))((),c o v (
rr
rrrrErr
?
???
? 三种相关程度:
? 1、完全线性相关:完全决定另一个
? ρ AB= 1或 ρ AB= -1
? rA= a+ b× rB,σ 2A= b2× σ 2B
? 2、不完全线性相关:“部分”决定另一个
? rA= a+ b× rB+ ε
? σ 2A= b2× σ 2B+ σ 2( ε )
? 3、不相关,一证券的变化对另一证券的变化
,没有贡献,
? ρ AB= 0或 cov( rA,rB)= 0
组合的期望和方差计算方法
以两组合为例,多组合类推
?, 两证券组合, 的收益率数学表示法
? 证券 A和 B,以总资金的 WA的比例投资于 A,以
WB于 B。 WA+ WB= 1,则拥有证券组合
? P=( WA,WB)
? WA,WB为组合 P中 A的权数和 B的权数
? 假设 AB的收益率为 rA和 rB,则
? P的收益率为 rP= WA× rA+ WB× rB
? 权数可以为负。
? WA< 0,表示该组合投资者卖空证券 A
? 两 证券组合的期望收益率与方差计算方法
? 必须知道相关系数或协方差
? E( rP)= WA× E( rA)+ WB× E( rB)
? σ 2P= W2A× σ 2A+ W2B× σ 2B
? + 2× WA× WB× ρ AB× σ A× σ B
? 选择不同的组合权数,得到不同的组合,从
而得到不同的期望收益率和方差。
? WA和 WB有无限种取法,投资者有无限多种
证券组合可供选择。
? 每个投资者根据自己对收益和方差(风险)
的偏好,选择符合自己要求的证券组合
两种证券的结合线
? 分多种情况:双曲线、直线、折线
? 构建 0风险组合、存在无风险证券情况
第二节马克维茨模型的运作过程
模型的假设条件
? 假设 1:收益率的概率分布是已知的;
? 假设 2:风险用收益率的方差或标准方差表示;
? 假设 3:影响决策的因素为期望收益率和风险;
? 假设 4:投资者遵守占优原则, 即,
? 同一风险水平下, 选择收益率较高的证券;
? 同一收益率水平下, 选择风险较低的证券 。
投资组合几何表示和可行域
? 选定了证券的投资比例,就确定了组合。可以计算该
组合的期望收益率 EP和标准差 σ P
? 以 EP为纵坐标,σ P为横坐标,在 EP-σ P坐标系中可
以确定一个点。每个组合对应 EP-σ P中的一个点
? 反过来,EP-σ P中的某个点有可能反映某个组合
? 选择, 全部, 有可能选择的投资比例,那么,全部组
合在 EP-σ P中的, 点, 组成 EP-σ P中的区域
? 可行域( feasible set)
? 可行域中的点所对应的组合才是, 有可能实现, 的组
合。
? 可行域之外的点是不可能实现的证券组合。
? 可行域=机会集
可行域必须满足的形状
? 左上边缘部分向外凸或直线 —“凸集,
? 可以证明,边界是双曲线。
有效边界和有效组合
? 判断组合好坏的公认标准 ——投资者共同偏好
? 第一:以期望衡量收益率,方差衡量风险,
仅关心期望和方差
? 第二:期望收益率越高越好,方差越小越好
? 可行域内部和右下边缘上的任意组合,均可以
在左上边界上找到一个比它好的组合。淘汰
? 最佳组合, 必须来自, 左上边界 ——有效边界
? 有效组合 ——有效边界对应的组合
对风险补偿的偏好和无差异曲线
? 增加同样的风险,不同的投资者所要求得到的期望
收益率补偿的高低可能不一样。补偿数额越高,对
风险越厌恶
? 对某个特定投资者,根据对风险的态度,可以得到
一系列 满意程度 相同 (无差异)的组合
? 无差异曲线的特征
? 波动方向一定是从左下方向右上方,单调性
? 曲线将变得越来越陡,凸函数
? 无差异曲线的形状(弯曲程度)因人而异,反映投
资者的风险偏好态度
? 无差异曲线族中的曲线互不相交,等高线不相交
? 根据无差异曲线可以比较任意两个组合的好坏
? 无差异曲线位置越靠左上,满意程度越高
? C> A= B> D
切点是最佳证券组合点
第三节 组合有效前沿的数学推导
定义:一个证券组合被称为是前沿证券组合, 如果它
在所有, 等均值收益率, 的证券组合中, 方差最小
? 每个前沿证券组合一定对应一个收益率
?, 前沿证券组合 q”=对应收益率 q的前沿组合
? 前沿证券组合的数学表示
? 假定在无摩擦市场上存在 N(> 1)种风险资产,允许
无限制卖空。假设收益率的方差有限,并且均值不
相等,而且,任何一个资产的收益率不能由其它资
产收益率的线性组合表出(收益率线性无关)。
? 它们收益率的方差 ——协方差矩阵 V是正定矩阵
前沿组合的数学表述和求解
? 前沿组合权重向量 Wp是下列二次规划问题的解
? 是前沿证券对应的收益率
? 用拉格朗日乘子法求解
VWW T
W
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T
p
T 2
1
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m i n
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2111
1111
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ABCDVCRVRBRVA
AVRCV
D
hRAVBV
D
g
rhEgW
TTT
pp
证券组合前沿
? 任何前沿证券组合可以表示成上述形式。
? 任何能写成上述形式的组合是一个前沿证券组合
? 对应不同的收益率,优化问题可以得到不同的解,
进而得到不同的前沿证券组合。
?, 取遍, 所有可能的收益率,其, 轨迹, 就是一条
曲线。
? 由全体, 前沿证券组合, 构成的, 集合,
? ——证券组合前沿( portfolio frontier)。
? 是今后定义有效边界(有效前沿 )的基础
证券组合前沿的性质
? g和 h是两个特殊“解向量”
? 性质 3-1, g对应的收益率是 0,g+h对应 1。
? 性质 3-2:任何前沿证券组合可以由 g和 g+
h通过再组合得到。可以表示成, 线性组
合,。
? 性质 3-2a:前沿证券组合可以由任意两个
不相同的前沿证券组合进行再组合而得 。
证券组合有效前沿的几何结构
? 收益率标准差(方差) ——均值空间
? 机会集(可行域)是双曲线 所围的区域
? 前沿组合的协方差( 3.22)
? 方差
? 这是一条双曲线。渐进线
? 中心点为( 0,A/ C)
)~(//)~(
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/
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pp
pp
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CD
CArE
C
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1 2
22
双曲线图形
A/C
E (r )
0
MVP机会集
C/1
双曲线
)(r?
? 在收益率的方差 ——均值空间中,
? 机会集是顶点为( C-1/2,A/C)的抛物线
? 图形
))~()~(()~( BrAErCEDr ppp ??? 21 22?
最小方差证券组合 mvp
mvp= minimum variance portfolio
? 所有可行证券组合中 mvp的方差最小
? mvp是双曲线(抛物线)的顶点
? mvp的坐标( C- 1/2,A/C)
? mvp的投资权重
? 性质 3-3:对所有的证券组合 p(不仅限
于前沿证券组合)
11 1??? VCW m v p
Crrr m v pm v pp /)~v a r ()~,~c o v ( 1??
有效证券组合(或有效边界)
efficient portfolios
? 双曲线从 mvp开始:
? 向右上方的一支,是有效的
? 向右下方的一支,是无效的
?,有效组合”=“前沿组合”+“期望
>A/C”
? 凸组合定义:非负,和为 1。
? 性质 3-4:有效证券组合集是凸集
第四节 零协方差前沿证券组合
? zc(p)与 p是有特殊关系的前沿证券组合,
? 非前沿组合也有 0协方差 zc(p)的概念
? 前沿证券 p的零协方差前沿证券组合 zc(p),
之间的协方差为 0
? 性质 3-5:对于的任意一个有效前沿证券组合
p( p≠ mvp),存在唯一的零协方差前沿证
券组合 zc( p) 。
? 前沿证券组合 zc( p)和 p的地位是“对称的”
? 从证明中可以看出,不同时是有效组合
zc(p)的 几何含义
? 双曲线:切线在纵轴上的截距
? 抛物线,p和 mvp的连线的截距
)~( )( pzcrE
zc(p )
mvp
p
E (r )
A/C
0
)(r?C/1
非前沿组合的零协方差组合
? 对非前沿证券组合 q,与 q协方差为零的全部组
合中,组合 Q的方差最小。仍记,Q= zc( q)
? 数学表达为规划问题
VWW T
W
VWW
T
q
T 2
1
11
0
?
?
m i n
? 用拉格朗日求解 zc(q)
? Q= zc(q) 是 q与 mvp的再组合,Wq是负数。
? 期望收益率为
m v p
q
q
q
q
qzc WrC
rC
W
rC
W
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2
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q
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2
2
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???
zc(q)的几何含义
? 证券组合 q的 0协方差前沿组合 zc(q)的收
益率的期望值是证券组合 q和 mvp的连线
在纵轴上的截矩。图 3.11a
p
Zc(q)
zc(p)
垂直传导性
? 定理 3.1,任意非前沿证券组合 q及前沿证券组合 p
)~v a r ()~v a r ()~v a r ()~v a r ( )()( qzcpzcqp rrrr ???
E (r )
0
)~( pr2?
)~( )( pzcrE
)~( )(qzcrE
q
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Zc(p)
水平传导性
? 定理 3.2:任意非前沿证券组合 q及前沿组合 p
0??? )~,~c o v ()~()~( )( qpzcqp rrrErE
E (r )
0
)~( pr2?
)~( )( pzcrE
)~( )(qzcrE
p
q
Zc(q)
0F
1F
qF
q零协方差组合生成的前沿曲线 Fq
? Fq是规划问题
? 随 E的变动,得到曲线 Fq
? Fq上的点是 zc( q)和 zc( p)的再组合
?Fq与有效前沿 F0 在 zc( p)点相切
? 取不同的 q,得到不同的 Fq, F0是 Fq的包络线
VWW T
W
ERW
VWW
T
T
q
T 2
1
11
0
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?
?
m i n
第五节 用前沿组合对任意组合定价
? 利用零协方差证券组合对资产定价
? 任意证券组合 i与前沿组合期望方面的关系
? 任意证券组合 i,任选一个前沿组合 p( mvp除
外),PI是 p和 i的结合线(仍然是双曲线)
? 可以证明,PI与证券组合前沿(由所有资产生
成)相切于 p点,“最外层”。
? 两条曲线在 p点的斜率相等,得到定价公式。
)~(
)~,~c o v (
))~()~(()~()~( )()(
p
pi
ip
pzcpippzci
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rr
rErErErE
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定价公式推导的图形说明
E (r )
p
mvp
zc(p)
q
A/C
i
0
)( )( pzcrE
C/1 )(r?
? 另一种推导方法利用 I和 p的协方差的表达式,
将 p的具体投资比例代入可得
? 定理 3.3:任意一个证券组合 q的收益率期望值
都可以表示成任意一个前沿证券组合 p(除 mvp
外)与其对应的前沿证券组合 zc( p)的收益率
均值的线性组合
?zc(p)和 p的地位是对称的,zc( zc( p)= p
?zc(p)和 p互换,定价公式另一种形式( 3.28)
)~()~()()~( )( pippzcipi rErErE ?? ??? 1
定价公式的事后形式
事前形式 ( 式中有期望 E), 不含随机变量
事后形式 ( 没有期望 E), 含随机变量或误差
将定价公式中的 E去掉, 得
? 定理 3.4:对于两个协方差为零的前沿证券组合 p和
zc( p),总可以将任意证券组合 q表示为这两个前
沿证券组合的线性组合,即
? 如果 q是前沿组合,则没有误差项。前岩组合可以被
线性表示(性质 3.2a)
,)~(,)~,~c o v ()~,~c o v (
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)(
)(
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1
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????
qqpzcqp
qpqppzcqpq
Err
rrr
???
???
第六节 存在无风险证券情况下
的证券组合前沿和定价
? 如果投资对象中含有无风险证券,有效前
沿组合(有效边界)的, 模样, 有特殊性
? 有效前沿组合以及其有关几何结构性质有
所加强,其结论更细化
? 曲线变成直线
无风险证券情况下组合前沿问
题的数学提法和求解
0211
1
1
2
1
2
1
21
1
11
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VWW
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)(
)
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(
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((m in
m in
},{
)
~
()(
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? Wp是风险资产的权重( N维向量)
? 无风险收益率 rf
无风险证券情况下证券组合前
沿是直线型
? 截距,斜率都可以计算“
? 斜率一正一负两条直线
)
~
()
~
(
)
~
(
)
~
(
pfp
fp
p
rHrrE
H
rrE
r
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?
???
?
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无风险证券情况下组合前沿的
组合含义和几何结构
? 无风险收益率的大小将会影响证券前沿
具体是直线的, 模样,, 分三种情况
?rf < A/C,rf > A/C,rf = A/C
? A/C表示,, 不存在无风险资产情况
下,, mvp的期望值
? 存在无风险资产之后, 证券组合前沿由
双曲线向左进行了扩张 。 是由两条射线
所, 围成, 的区域
对于 rf< A/C
? 正斜率直线与双曲线相切,切点是 e点
? 直线 e左侧上的点是 e和 rf的凸组合
? 直线 e右侧侧上的点是卖空 r rf,买入 e
? 负斜率直线不与双曲线相交
? 卖空 e,买入 rf r
rf< A/C的几何图形
mvp
e
zc(p)
E (r )
0
)~( pr?
fr
A/C
rf> A/C
? 正斜率直线不双曲线相切
? 卖空 e’,买入 r
? 负斜率直线与双曲线相切,e’点
? e’左侧的点是 e和 r的凸组合
? e’右侧的点是卖空 r,买入 e’
rf= A/C
? 正、负斜率直线是双曲线的渐近线
? 直线上任何一点的投资权重之和= 0
? 将资产全部投资于 r
? 持有的风险资产的投资比例之和= 0
存在无风险资产情况下定价问题
? 定理 3.3,任意证券组合 q,收益率均值均可以
被表示成任意一个前沿证券组合 p(除 mvp外)
与其对应的 zc(p)的收益率均值的线性组合。
? 类似结果。
? 切点 e的权重计算( 3.2):只考虑 rf< A/C。
)(
)(
)(
1
11
11 1
1
1
f
f
T
f
f
e rRVrRVCrA
rRV
W ??
?
?
?
?
? ?
?
?
从几何图形角度计算 e的权重
? 切点 e的风险资产权重 We是规划问题之解
? 几何含义是最大斜率 。 结果与前面相同
VWW
rRW
Wkor
r
rrE
k
T
f
T
W
W
p
fp
p
T
?
?
?
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)(m a x
)~(
)~(
m a x
11
?
E (r )
0
pe
A/C
)~( pr?
fr
资产定价公式
? 存在无风险资产时,类似于定理 3.3的 定价公
式对第 i个资产进行定价。( 3.34)中的 e,
换成其它前沿曲线(此时是直线)上的组合 p,
该公式也成立
?p是前沿组合(直线上一点),q是任意组合
? 该定价关系式不考虑 rf与 A/C之间的大小关系
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)~,~c o v ()~(
fe
e
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))~(())~((
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)~( fppqfp
p
qp
fq rrErrEr
rr
rrE ??????? ?
? 2
夏普率( Sharpe Ratio)
? 对于任意风险资产组合 p
? 称为夏普率,或标准差( σ )风险价格
? 从图 3-14中知,前沿证券组合曲线(直线)上的组
合的夏普率都相等,同时也具有最大的夏普率
? 上面的切点 e是一个特殊的证券组合。它是夏普率
最大的纯风险证券组合,它就是 CAPM中的, 市场
组合, ( market portfolio)
? 所谓纯风险证券组合是指,证券组合中不含有无
风险证券,全部由风险证券组成
)~(
)~(
p
fp
p r
rrE
S
?
?
?
*第七节一般证券投资组合选择模型
? 前面的推导是在均值方差效用下所作出的
? 引入效用函数后,才能真正具体确定最优证券
组合,这就是 一般 的含义
? 一般证券选择模型内容比较多,复杂
? 只介绍初级的内容
? 大部分只给出结果不进行证明
一般证券选择模型的数学叙述
? 沿用, 常规, 的记号。共有 N种资产,Wi第 i个证券
的投资权重。 W表示 N维权重向量。最优证券选择
问题就是优化问题
? 定理 3.5:给定一组资产,对于严格凹的效用函数
u(·)来说,如果最优证券选择问题存在解,那么,
最优证券组合收益的概率分布是惟一的。此外,如
果不存在, 多余, 资产(指风险资产收益线性无
关),那么,最优证券组合(即 W)也是惟一的。
? ?? ?Ni iiW rWuET 111 ))~((m i n
一般意义下的有效证券组合
? 称组合 k为有效证券组合( efficient portfolio),如果
存在严格凹的增函数 u(·)(效用函数),使得组合 k的
收益率(下标 e表示, 有效, )
? 满足,一阶条件
? 细节性内容参阅 Ross(1978),Chen and Ingersoll(1983),
Dybvig and Ross(1982),Nielssen(1986)
? ? ?? Ni ikike rWr 1 ~~
NirrWuE
W
L
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1
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证券的 b值
用有效组合对任意证券定价
? 对应前面定价公式中的 β值,这里有 b值
? 定理 3.6:若存在无风险资产,则,对任意的证
券 i,下式成立
? 用 b代替 β,从形式上讲,两个定价公式一样的
)~),~(c o v (
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k
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NirrEbrrE fkekifi,...,,,))~(()~( 21?????
b值的风险含义及其相关性质
? 从 β值的含义可以“延伸”了解 b值的含义
? 两个证券 i和 j比较 b值,如果 bki> bkj,则证券 i的预
期将收益大于 j的(设有效组合期望大于无风险收
益率),或者说证券 i比 j风险更大。
? 证券 i的 b值是对证券 i的风险一种度量,是证券 i相
对于证券组合 k的系统风险
? 证券组合 b值等于该组合中单个证券 b值的加权平
均,称为, 证券组合性质, ( portfolio property)
? 在这种度量下,b值大的证券有更大风险。这种
,顺序关系, 具有完全性,也即是用这种度量可
以对任意两证券进行风险大小比较
有关 b值的三个定理
? 定理 3.7:设 k和 k1是任意两个有效组合,则
? 具有保持顺序性,
? 1) bki> bkj 当且仅当 bk1i> bk1j
? 2) bki= bkj 当且仅当 bk1i= bk1j
? 定理 3.8 设证券 k和 L是两个有效证券组合,那么,
? 1) bkk= 1,bkL> 0,即,有效证券组合的 b值是正数
? 2), 链导, 法则,对任意证券组合 p,bkp= bkL×
bLp
? 定理 3.9:对于证券组合 p,,当且仅当对所
有的有效证券组合 k,bkp= 0
fp rrE ?)~(
利用有效证券组合进行事前定价
? 定理 3.10:设 k是有效证券组合,对于任意的证
券组合 p,则,
? 定理的要点是说明误差部分满足两个性质
? 定理 3.11,用 多个 可行证券组合进行定价的公式
L有效组合其中,?????
?????
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00 pLep
pf
k
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k
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?
不存在 无风险证券情况下
定价公式变形
? 设 k是有效证券组合,是相对于 k的 b值
等于 0( bk0= 0) 的证券组合的收益率
kr0~
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rErE
rErE
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?
两种特殊效用函数情况下
定价公式的简化
? 第一,效用函数 u(?)是平方函数,u’(?)线性
? 第二,有效证券组合收益率 和证券 i的
收益率 是正态分布
? 在这两种情况下,b值的表达式中的效用函
数 u(?)可以被, 隐去,
)~v a r (
)~,~c o v (
)~),~(c o v (
)~),~(c o v (
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rru
b ?
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?
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ker~
ir~
第八节无差异曲线性质数学证明
? 无差异曲线的函数表达式,E和 σ 是变量
? 给定 d,上 式 可以确定一条无差异曲线
?d不同,无差异曲线就不同,等高线
? 第 i是投资者,p是某投资组合
? 第二个等式是随机变量标准化。这是对
收益率常用的假设 ——几何布朗运动
)~(
~
,~)~()~(~
)))~((())~(),~((
p
ii
ppp
p
i
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rWWzrrEr
drWuErrEU
????
???
1
1
0
0
?
?
无差异曲线的单调性
? 需要证明一阶导数> 0。
? 两种计算一阶导数的思路
? 第一,计算 U关于两个变量 E和 σ 的偏导
数,两个偏导数相除,得到一阶导数
? 第二,对于上述无差异曲线的表达式,
关于 E和 σ 求全微分
? 其中假设标准化后的 z是正态分布
无差异曲线的凸性
? 同一无差异线上的两点,期望效用相等
? 考虑 两点 凸组合,即,连接两点连线上
的任意一点。
? 根据凸性的定义证明无差异曲线的凸性
? 要用到 Jensen不等式
E (r )
0 )~( pr?
E 1
E2
σ1 σ2
无差异曲线与纵轴正交
? 定理 3.12:无差异曲线与纵轴垂直相交
? 无差异曲线与纵轴的交点为 Q
? 需要证明无差异曲线在 Q点的导数等于 0
? 使用了正态条件
E (r )
0 )~( pr?
Q
附录 3-1组合风险收益数学表示
? 资产的收益风险的数学表示,N种资产
? 收益向量
? 期望向量
? 方差向量
? 协方差阵
? 比例向量
? 组合收益
? 组合期望
? 组合方差
? 组合协差 VQPrr
VWWr
rEWrE
rWr
WWWWW
rErrErErrV
rrr
rErErE
rrr
qp
p
p
p
N
ji
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2
1
2
1
22
1
1
111
?
???
附录 3-4 最优解唯一存在定理
? 如果 V是凹函数, 约束集合 Q是紧集 ( 有界闭
集 ), 那么, 上面规划问题存在最优解;
? 如果 V是严格凹函数, 那么, 最优解唯一 。
),.,,,(m a x
),.,,,.(,sQts
V
s
??
?? 11 ?
均值方差证券投资组合选择模型
马科维茨 Markowitz,证券组合选择,
投资选择:风险(低)收益(高)之间的“平
衡”
基于期望收益率上的投资决策,最多只能获得
最高的 平均收益率
风险收益的“数量化”
前沿组合、无差异曲线数学性质
第一节 风险和收益的数学度量
? 用随机变量表示未来的收益率
? 用期望代表:平均收益率
? 方差代表风险( 得到平均收益率的不确定性 )
? 从分布函数(条件太强)计算收益和风险
? 从“历史”样本估计收益和风险
?
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n
t t
n
t t
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n
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rr
1
22
1
1
1
1
1
)(
,.,,,
?
证券之间关联性 ——相关系数
? 某一证券价格的变动可能伴随着另一证券价格
的变动。关联性普遍存在。
? 需要度量关联性的方向和程度
? 随机变量的协方差和相关系数
? 从联合分布可计算。
? 用历史数据计算( 3.10) (3.11)
21
21
12
221121
??
?
),c o v (
))((),c o v (
rr
rrrrErr
?
???
? 三种相关程度:
? 1、完全线性相关:完全决定另一个
? ρ AB= 1或 ρ AB= -1
? rA= a+ b× rB,σ 2A= b2× σ 2B
? 2、不完全线性相关:“部分”决定另一个
? rA= a+ b× rB+ ε
? σ 2A= b2× σ 2B+ σ 2( ε )
? 3、不相关,一证券的变化对另一证券的变化
,没有贡献,
? ρ AB= 0或 cov( rA,rB)= 0
组合的期望和方差计算方法
以两组合为例,多组合类推
?, 两证券组合, 的收益率数学表示法
? 证券 A和 B,以总资金的 WA的比例投资于 A,以
WB于 B。 WA+ WB= 1,则拥有证券组合
? P=( WA,WB)
? WA,WB为组合 P中 A的权数和 B的权数
? 假设 AB的收益率为 rA和 rB,则
? P的收益率为 rP= WA× rA+ WB× rB
? 权数可以为负。
? WA< 0,表示该组合投资者卖空证券 A
? 两 证券组合的期望收益率与方差计算方法
? 必须知道相关系数或协方差
? E( rP)= WA× E( rA)+ WB× E( rB)
? σ 2P= W2A× σ 2A+ W2B× σ 2B
? + 2× WA× WB× ρ AB× σ A× σ B
? 选择不同的组合权数,得到不同的组合,从
而得到不同的期望收益率和方差。
? WA和 WB有无限种取法,投资者有无限多种
证券组合可供选择。
? 每个投资者根据自己对收益和方差(风险)
的偏好,选择符合自己要求的证券组合
两种证券的结合线
? 分多种情况:双曲线、直线、折线
? 构建 0风险组合、存在无风险证券情况
第二节马克维茨模型的运作过程
模型的假设条件
? 假设 1:收益率的概率分布是已知的;
? 假设 2:风险用收益率的方差或标准方差表示;
? 假设 3:影响决策的因素为期望收益率和风险;
? 假设 4:投资者遵守占优原则, 即,
? 同一风险水平下, 选择收益率较高的证券;
? 同一收益率水平下, 选择风险较低的证券 。
投资组合几何表示和可行域
? 选定了证券的投资比例,就确定了组合。可以计算该
组合的期望收益率 EP和标准差 σ P
? 以 EP为纵坐标,σ P为横坐标,在 EP-σ P坐标系中可
以确定一个点。每个组合对应 EP-σ P中的一个点
? 反过来,EP-σ P中的某个点有可能反映某个组合
? 选择, 全部, 有可能选择的投资比例,那么,全部组
合在 EP-σ P中的, 点, 组成 EP-σ P中的区域
? 可行域( feasible set)
? 可行域中的点所对应的组合才是, 有可能实现, 的组
合。
? 可行域之外的点是不可能实现的证券组合。
? 可行域=机会集
可行域必须满足的形状
? 左上边缘部分向外凸或直线 —“凸集,
? 可以证明,边界是双曲线。
有效边界和有效组合
? 判断组合好坏的公认标准 ——投资者共同偏好
? 第一:以期望衡量收益率,方差衡量风险,
仅关心期望和方差
? 第二:期望收益率越高越好,方差越小越好
? 可行域内部和右下边缘上的任意组合,均可以
在左上边界上找到一个比它好的组合。淘汰
? 最佳组合, 必须来自, 左上边界 ——有效边界
? 有效组合 ——有效边界对应的组合
对风险补偿的偏好和无差异曲线
? 增加同样的风险,不同的投资者所要求得到的期望
收益率补偿的高低可能不一样。补偿数额越高,对
风险越厌恶
? 对某个特定投资者,根据对风险的态度,可以得到
一系列 满意程度 相同 (无差异)的组合
? 无差异曲线的特征
? 波动方向一定是从左下方向右上方,单调性
? 曲线将变得越来越陡,凸函数
? 无差异曲线的形状(弯曲程度)因人而异,反映投
资者的风险偏好态度
? 无差异曲线族中的曲线互不相交,等高线不相交
? 根据无差异曲线可以比较任意两个组合的好坏
? 无差异曲线位置越靠左上,满意程度越高
? C> A= B> D
切点是最佳证券组合点
第三节 组合有效前沿的数学推导
定义:一个证券组合被称为是前沿证券组合, 如果它
在所有, 等均值收益率, 的证券组合中, 方差最小
? 每个前沿证券组合一定对应一个收益率
?, 前沿证券组合 q”=对应收益率 q的前沿组合
? 前沿证券组合的数学表示
? 假定在无摩擦市场上存在 N(> 1)种风险资产,允许
无限制卖空。假设收益率的方差有限,并且均值不
相等,而且,任何一个资产的收益率不能由其它资
产收益率的线性组合表出(收益率线性无关)。
? 它们收益率的方差 ——协方差矩阵 V是正定矩阵
前沿组合的数学表述和求解
? 前沿组合权重向量 Wp是下列二次规划问题的解
? 是前沿证券对应的收益率
? 用拉格朗日乘子法求解
VWW T
W
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T
p
T 2
1
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1111
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ABCDVCRVRBRVA
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D
g
rhEgW
TTT
pp
证券组合前沿
? 任何前沿证券组合可以表示成上述形式。
? 任何能写成上述形式的组合是一个前沿证券组合
? 对应不同的收益率,优化问题可以得到不同的解,
进而得到不同的前沿证券组合。
?, 取遍, 所有可能的收益率,其, 轨迹, 就是一条
曲线。
? 由全体, 前沿证券组合, 构成的, 集合,
? ——证券组合前沿( portfolio frontier)。
? 是今后定义有效边界(有效前沿 )的基础
证券组合前沿的性质
? g和 h是两个特殊“解向量”
? 性质 3-1, g对应的收益率是 0,g+h对应 1。
? 性质 3-2:任何前沿证券组合可以由 g和 g+
h通过再组合得到。可以表示成, 线性组
合,。
? 性质 3-2a:前沿证券组合可以由任意两个
不相同的前沿证券组合进行再组合而得 。
证券组合有效前沿的几何结构
? 收益率标准差(方差) ——均值空间
? 机会集(可行域)是双曲线 所围的区域
? 前沿组合的协方差( 3.22)
? 方差
? 这是一条双曲线。渐进线
? 中心点为( 0,A/ C)
)~(//)~(
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pp
pp
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C
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1 2
22
双曲线图形
A/C
E (r )
0
MVP机会集
C/1
双曲线
)(r?
? 在收益率的方差 ——均值空间中,
? 机会集是顶点为( C-1/2,A/C)的抛物线
? 图形
))~()~(()~( BrAErCEDr ppp ??? 21 22?
最小方差证券组合 mvp
mvp= minimum variance portfolio
? 所有可行证券组合中 mvp的方差最小
? mvp是双曲线(抛物线)的顶点
? mvp的坐标( C- 1/2,A/C)
? mvp的投资权重
? 性质 3-3:对所有的证券组合 p(不仅限
于前沿证券组合)
11 1??? VCW m v p
Crrr m v pm v pp /)~v a r ()~,~c o v ( 1??
有效证券组合(或有效边界)
efficient portfolios
? 双曲线从 mvp开始:
? 向右上方的一支,是有效的
? 向右下方的一支,是无效的
?,有效组合”=“前沿组合”+“期望
>A/C”
? 凸组合定义:非负,和为 1。
? 性质 3-4:有效证券组合集是凸集
第四节 零协方差前沿证券组合
? zc(p)与 p是有特殊关系的前沿证券组合,
? 非前沿组合也有 0协方差 zc(p)的概念
? 前沿证券 p的零协方差前沿证券组合 zc(p),
之间的协方差为 0
? 性质 3-5:对于的任意一个有效前沿证券组合
p( p≠ mvp),存在唯一的零协方差前沿证
券组合 zc( p) 。
? 前沿证券组合 zc( p)和 p的地位是“对称的”
? 从证明中可以看出,不同时是有效组合
zc(p)的 几何含义
? 双曲线:切线在纵轴上的截距
? 抛物线,p和 mvp的连线的截距
)~( )( pzcrE
zc(p )
mvp
p
E (r )
A/C
0
)(r?C/1
非前沿组合的零协方差组合
? 对非前沿证券组合 q,与 q协方差为零的全部组
合中,组合 Q的方差最小。仍记,Q= zc( q)
? 数学表达为规划问题
VWW T
W
VWW
T
q
T 2
1
11
0
?
?
m i n
? 用拉格朗日求解 zc(q)
? Q= zc(q) 是 q与 mvp的再组合,Wq是负数。
? 期望收益率为
m v p
q
q
q
q
qzc WrC
rC
W
rC
W
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q
pzcqzc
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2
2
1 ?
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?
???
zc(q)的几何含义
? 证券组合 q的 0协方差前沿组合 zc(q)的收
益率的期望值是证券组合 q和 mvp的连线
在纵轴上的截矩。图 3.11a
p
Zc(q)
zc(p)
垂直传导性
? 定理 3.1,任意非前沿证券组合 q及前沿证券组合 p
)~v a r ()~v a r ()~v a r ()~v a r ( )()( qzcpzcqp rrrr ???
E (r )
0
)~( pr2?
)~( )( pzcrE
)~( )(qzcrE
q
0F
1F
Zc(p)
水平传导性
? 定理 3.2:任意非前沿证券组合 q及前沿组合 p
0??? )~,~c o v ()~()~( )( qpzcqp rrrErE
E (r )
0
)~( pr2?
)~( )( pzcrE
)~( )(qzcrE
p
q
Zc(q)
0F
1F
qF
q零协方差组合生成的前沿曲线 Fq
? Fq是规划问题
? 随 E的变动,得到曲线 Fq
? Fq上的点是 zc( q)和 zc( p)的再组合
?Fq与有效前沿 F0 在 zc( p)点相切
? 取不同的 q,得到不同的 Fq, F0是 Fq的包络线
VWW T
W
ERW
VWW
T
T
q
T 2
1
11
0
?
?
?
m i n
第五节 用前沿组合对任意组合定价
? 利用零协方差证券组合对资产定价
? 任意证券组合 i与前沿组合期望方面的关系
? 任意证券组合 i,任选一个前沿组合 p( mvp除
外),PI是 p和 i的结合线(仍然是双曲线)
? 可以证明,PI与证券组合前沿(由所有资产生
成)相切于 p点,“最外层”。
? 两条曲线在 p点的斜率相等,得到定价公式。
)~(
)~,~c o v (
))~()~(()~()~( )()(
p
pi
ip
pzcpippzci
r
rr
rErErErE
2?
?
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?
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定价公式推导的图形说明
E (r )
p
mvp
zc(p)
q
A/C
i
0
)( )( pzcrE
C/1 )(r?
? 另一种推导方法利用 I和 p的协方差的表达式,
将 p的具体投资比例代入可得
? 定理 3.3:任意一个证券组合 q的收益率期望值
都可以表示成任意一个前沿证券组合 p(除 mvp
外)与其对应的前沿证券组合 zc( p)的收益率
均值的线性组合
?zc(p)和 p的地位是对称的,zc( zc( p)= p
?zc(p)和 p互换,定价公式另一种形式( 3.28)
)~()~()()~( )( pippzcipi rErErE ?? ??? 1
定价公式的事后形式
事前形式 ( 式中有期望 E), 不含随机变量
事后形式 ( 没有期望 E), 含随机变量或误差
将定价公式中的 E去掉, 得
? 定理 3.4:对于两个协方差为零的前沿证券组合 p和
zc( p),总可以将任意证券组合 q表示为这两个前
沿证券组合的线性组合,即
? 如果 q是前沿组合,则没有误差项。前岩组合可以被
线性表示(性质 3.2a)
,)~(,)~,~c o v ()~,~c o v (
~~~)(~
)(
)(
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1
???
????
qqpzcqp
qpqppzcqpq
Err
rrr
???
???
第六节 存在无风险证券情况下
的证券组合前沿和定价
? 如果投资对象中含有无风险证券,有效前
沿组合(有效边界)的, 模样, 有特殊性
? 有效前沿组合以及其有关几何结构性质有
所加强,其结论更细化
? 曲线变成直线
无风险证券情况下组合前沿问
题的数学提法和求解
0211
1
1
2
1
2
1
21
1
11
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((m in
m in
},{
)
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()(
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? Wp是风险资产的权重( N维向量)
? 无风险收益率 rf
无风险证券情况下证券组合前
沿是直线型
? 截距,斜率都可以计算“
? 斜率一正一负两条直线
)
~
()
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(
)
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(
)
~
(
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p
rHrrE
H
rrE
r
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?
???
?
??
无风险证券情况下组合前沿的
组合含义和几何结构
? 无风险收益率的大小将会影响证券前沿
具体是直线的, 模样,, 分三种情况
?rf < A/C,rf > A/C,rf = A/C
? A/C表示,, 不存在无风险资产情况
下,, mvp的期望值
? 存在无风险资产之后, 证券组合前沿由
双曲线向左进行了扩张 。 是由两条射线
所, 围成, 的区域
对于 rf< A/C
? 正斜率直线与双曲线相切,切点是 e点
? 直线 e左侧上的点是 e和 rf的凸组合
? 直线 e右侧侧上的点是卖空 r rf,买入 e
? 负斜率直线不与双曲线相交
? 卖空 e,买入 rf r
rf< A/C的几何图形
mvp
e
zc(p)
E (r )
0
)~( pr?
fr
A/C
rf> A/C
? 正斜率直线不双曲线相切
? 卖空 e’,买入 r
? 负斜率直线与双曲线相切,e’点
? e’左侧的点是 e和 r的凸组合
? e’右侧的点是卖空 r,买入 e’
rf= A/C
? 正、负斜率直线是双曲线的渐近线
? 直线上任何一点的投资权重之和= 0
? 将资产全部投资于 r
? 持有的风险资产的投资比例之和= 0
存在无风险资产情况下定价问题
? 定理 3.3,任意证券组合 q,收益率均值均可以
被表示成任意一个前沿证券组合 p(除 mvp外)
与其对应的 zc(p)的收益率均值的线性组合。
? 类似结果。
? 切点 e的权重计算( 3.2):只考虑 rf< A/C。
)(
)(
)(
1
11
11 1
1
1
f
f
T
f
f
e rRVrRVCrA
rRV
W ??
?
?
?
?
? ?
?
?
从几何图形角度计算 e的权重
? 切点 e的风险资产权重 We是规划问题之解
? 几何含义是最大斜率 。 结果与前面相同
VWW
rRW
Wkor
r
rrE
k
T
f
T
W
W
p
fp
p
T
?
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)(m a x
)~(
)~(
m a x
11
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E (r )
0
pe
A/C
)~( pr?
fr
资产定价公式
? 存在无风险资产时,类似于定理 3.3的 定价公
式对第 i个资产进行定价。( 3.34)中的 e,
换成其它前沿曲线(此时是直线)上的组合 p,
该公式也成立
?p是前沿组合(直线上一点),q是任意组合
? 该定价关系式不考虑 rf与 A/C之间的大小关系
))~((
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fe
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2?
))~(())~((
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)~( fppqfp
p
qp
fq rrErrEr
rr
rrE ??????? ?
? 2
夏普率( Sharpe Ratio)
? 对于任意风险资产组合 p
? 称为夏普率,或标准差( σ )风险价格
? 从图 3-14中知,前沿证券组合曲线(直线)上的组
合的夏普率都相等,同时也具有最大的夏普率
? 上面的切点 e是一个特殊的证券组合。它是夏普率
最大的纯风险证券组合,它就是 CAPM中的, 市场
组合, ( market portfolio)
? 所谓纯风险证券组合是指,证券组合中不含有无
风险证券,全部由风险证券组成
)~(
)~(
p
fp
p r
rrE
S
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?
?
*第七节一般证券投资组合选择模型
? 前面的推导是在均值方差效用下所作出的
? 引入效用函数后,才能真正具体确定最优证券
组合,这就是 一般 的含义
? 一般证券选择模型内容比较多,复杂
? 只介绍初级的内容
? 大部分只给出结果不进行证明
一般证券选择模型的数学叙述
? 沿用, 常规, 的记号。共有 N种资产,Wi第 i个证券
的投资权重。 W表示 N维权重向量。最优证券选择
问题就是优化问题
? 定理 3.5:给定一组资产,对于严格凹的效用函数
u(·)来说,如果最优证券选择问题存在解,那么,
最优证券组合收益的概率分布是惟一的。此外,如
果不存在, 多余, 资产(指风险资产收益线性无
关),那么,最优证券组合(即 W)也是惟一的。
? ?? ?Ni iiW rWuET 111 ))~((m i n
一般意义下的有效证券组合
? 称组合 k为有效证券组合( efficient portfolio),如果
存在严格凹的增函数 u(·)(效用函数),使得组合 k的
收益率(下标 e表示, 有效, )
? 满足,一阶条件
? 细节性内容参阅 Ross(1978),Chen and Ingersoll(1983),
Dybvig and Ross(1982),Nielssen(1986)
? ? ?? Ni ikike rWr 1 ~~
NirrWuE
W
L
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,.,,,,,)~)~(( 210
1
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证券的 b值
用有效组合对任意证券定价
? 对应前面定价公式中的 β值,这里有 b值
? 定理 3.6:若存在无风险资产,则,对任意的证
券 i,下式成立
? 用 b代替 β,从形式上讲,两个定价公式一样的
)~),~(c o v (
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NirrEbrrE fkekifi,...,,,))~(()~( 21?????
b值的风险含义及其相关性质
? 从 β值的含义可以“延伸”了解 b值的含义
? 两个证券 i和 j比较 b值,如果 bki> bkj,则证券 i的预
期将收益大于 j的(设有效组合期望大于无风险收
益率),或者说证券 i比 j风险更大。
? 证券 i的 b值是对证券 i的风险一种度量,是证券 i相
对于证券组合 k的系统风险
? 证券组合 b值等于该组合中单个证券 b值的加权平
均,称为, 证券组合性质, ( portfolio property)
? 在这种度量下,b值大的证券有更大风险。这种
,顺序关系, 具有完全性,也即是用这种度量可
以对任意两证券进行风险大小比较
有关 b值的三个定理
? 定理 3.7:设 k和 k1是任意两个有效组合,则
? 具有保持顺序性,
? 1) bki> bkj 当且仅当 bk1i> bk1j
? 2) bki= bkj 当且仅当 bk1i= bk1j
? 定理 3.8 设证券 k和 L是两个有效证券组合,那么,
? 1) bkk= 1,bkL> 0,即,有效证券组合的 b值是正数
? 2), 链导, 法则,对任意证券组合 p,bkp= bkL×
bLp
? 定理 3.9:对于证券组合 p,,当且仅当对所
有的有效证券组合 k,bkp= 0
fp rrE ?)~(
利用有效证券组合进行事前定价
? 定理 3.10:设 k是有效证券组合,对于任意的证
券组合 p,则,
? 定理的要点是说明误差部分满足两个性质
? 定理 3.11,用 多个 可行证券组合进行定价的公式
L有效组合其中,?????
?????
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00 pLep
pf
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不存在 无风险证券情况下
定价公式变形
? 设 k是有效证券组合,是相对于 k的 b值
等于 0( bk0= 0) 的证券组合的收益率
kr0~
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rErE
rErE
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两种特殊效用函数情况下
定价公式的简化
? 第一,效用函数 u(?)是平方函数,u’(?)线性
? 第二,有效证券组合收益率 和证券 i的
收益率 是正态分布
? 在这两种情况下,b值的表达式中的效用函
数 u(?)可以被, 隐去,
)~v a r (
)~,~c o v (
)~),~(c o v (
)~),~(c o v (
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rru
b ?
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ker~
ir~
第八节无差异曲线性质数学证明
? 无差异曲线的函数表达式,E和 σ 是变量
? 给定 d,上 式 可以确定一条无差异曲线
?d不同,无差异曲线就不同,等高线
? 第 i是投资者,p是某投资组合
? 第二个等式是随机变量标准化。这是对
收益率常用的假设 ——几何布朗运动
)~(
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p
ii
ppp
p
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1
1
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0
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?
无差异曲线的单调性
? 需要证明一阶导数> 0。
? 两种计算一阶导数的思路
? 第一,计算 U关于两个变量 E和 σ 的偏导
数,两个偏导数相除,得到一阶导数
? 第二,对于上述无差异曲线的表达式,
关于 E和 σ 求全微分
? 其中假设标准化后的 z是正态分布
无差异曲线的凸性
? 同一无差异线上的两点,期望效用相等
? 考虑 两点 凸组合,即,连接两点连线上
的任意一点。
? 根据凸性的定义证明无差异曲线的凸性
? 要用到 Jensen不等式
E (r )
0 )~( pr?
E 1
E2
σ1 σ2
无差异曲线与纵轴正交
? 定理 3.12:无差异曲线与纵轴垂直相交
? 无差异曲线与纵轴的交点为 Q
? 需要证明无差异曲线在 Q点的导数等于 0
? 使用了正态条件
E (r )
0 )~( pr?
Q
附录 3-1组合风险收益数学表示
? 资产的收益风险的数学表示,N种资产
? 收益向量
? 期望向量
? 方差向量
? 协方差阵
? 比例向量
? 组合收益
? 组合期望
? 组合方差
? 组合协差 VQPrr
VWWr
rEWrE
rWr
WWWWW
rErrErErrV
rrr
rErErE
rrr
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p
p
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N
N
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2
1
2
1
22
1
1
111
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???
附录 3-4 最优解唯一存在定理
? 如果 V是凹函数, 约束集合 Q是紧集 ( 有界闭
集 ), 那么, 上面规划问题存在最优解;
? 如果 V是严格凹函数, 那么, 最优解唯一 。
),.,,,(m a x
),.,,,.(,sQts
V
s
??
?? 11 ?