第五章 因素模型
——套利定价理论 APT
C APM断言，证券具有不同的预期回报率是因
为有不同的 β值，并进行了均衡定价
附录 2中列举了 CAPM的问题。市场组合难得到
存在市场因素（市场组合）之外的因素，引起
证券价格的共同波动
罗斯 (A.Ross)1976年提出了多因素定价模型 ——
套利定价理论（ APT）
CAPM可视为 APT的一个特例。单一指数模型
APT的假设大大少于 CAPM假设
第一节 因素模型和套利
? Factor Arbitrage
? 风险都是由因素风险引起，只要避免了因
素风险就避免了全部的风险
?APT假设证券回报率与未知数量的未知因
素相联系
? 分析每种证券对因素变动的敏感性
? 每个证券对于该因素的变化是如何应对的
? 套利行为必须是, 没有风险, 的
单因素模型
? 单因素模型假设：证券市场中的各个证券之
间的联动性仅仅是由单独一个因素对证券普
遍产生影响
? 例如，如果投资者认为证券的收益率仅仅受
到工业产值的预期增长率 G 的影响
? 从历史数据出发，通过回归分析可以建立证
券收益率与 G之间的线性关系
TtGbar ttt,.,,,,,21????? ?
? 从书上的 数据计算,a= 4%, b=2
单因素模型的一般表述
? 单因素模型认为：只有一个因素 F对证券
收益率产生普遍的影响
? 建立证券 I的收益率 在任意时期 t的估计式
ittiiit Fbar ?????
?Ft为 t期因素 F的预期值；
?bi为证券 i对因素 F的敏感性；
?rit为证券 i在第 t期的实际收益率；
? ε it为证券 i在第 t期的误差
单因素模型下期望方差计算
?期望收益率
?方差或因素风险
?证券间协方差
2
2222
)(
)()(
Fjiij
iFii
iii
bb
b
FEbarE
??
????
???
???
???
市场模型 ——特殊的单因素模型
? 如果将市场组合 m的收益率 rm作为单因素
模型中的 F，就得到一个特殊的单因素模型
? M的 收益率用市场价格指数收益率代替
? 以市场指数收益率作为单因素的单因素模
型称为市场模型，表达式为：
iIIiIiIi rar ?? ????
敏感性＝ β 系数
单因素模型下风险的解
? 总风险分解成
? 两部分
? 因素风险
? 类似系统风险
? 非因素风险
? 类似非系统风险
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)(
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P
FP
PFPP
b
b
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22
2222
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多因素模型
? 假设证券收益率受 K个共同因素
? F1,F2,…, FK的普遍影响
? 用多元线性回归，建立如下的证券 i的收
益率与 K个因素的关系式
itKtiKtiiit FbFbar ????????,..11
多因素模型下证券或组合的
期望方差协方差计算
?期望收
益率
?方差或
因素风
险
?证券间
协方差 ?
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),c o v (2
)(
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1
2
2
1
222
1
??
????
套利和近似套利
?,无套利”是 APT的最基本假设
? 如果每个投资者对各种证券的期望收益和敏感性均
有相同的估计，那么在均衡状态下各种证券取得不
同期望收益率的原因是什么
? 4个问题：
? 第一，一个实际市场是否已达到均衡状态
? 第二，如果市场未达到均衡状态，投资者如何行动
? 第三，投资者的行动会如何影响市场，最终使市场
达到均衡
? 第四，均衡状态下，证券的期望收益率由什么决定
套利的定义
? 套利是利用 同一种 实物资产或证券的不同价格来赚
取无风险利润的行为
? 套利最具代表性的是以较高的价格出售证券，同时
以较低价格购进相同的证券
? 现实中难以存在
? 套利行为是现代有效市场的一个决定性要素
? 套利所得到利润是无风险的，投资者一旦发现这种
机会就会设法利用它们
? 一些投资者要比其他人具有更多的资源和意愿去从
事套利活动
? 只有极少的积极投资者能够发现套利机会
? 随着他们的买进和卖出，套利机会将消除
近似套利的定义
? 用因素模型说明, 近似套利机会,
? 如果不同的证券或组合对各个因素的敏感性相同，那
么,除了非因素风险之外,不同的证券或组合应该提
供相同的期望收益率
? 如果两种证券组合所提供的收益率不同，便提供了
,近似套利机会,
? 卖出收益率低的，同时买进收益率高的证券或组合，
就 肯定 可以获得 正利益
? 利用这些套利的机会后，原来的套利机会消失
? 近似＝ 除了非因素风险之外
? 如果组合完全分散化，非因素风险将, 消失,
套利组合
? 为实现套利，需要买入一些证券，同时卖
出一些证券，该过程就是构建套利组合
? 构建套利组合需要满足的 3个条件
? 第一，不增加额外资金。套利组合中买入
证券需要的资金来自卖出证券所的资金
? 第二，套利不承担风险。因素模型中的风
险是因素风险
? 第三，套利提供 正 利润。新证券组合的收
益率必须大于前组合的收益率
套利组合条件公式表示
)
~
(,...
...
...
...
iinn
nKnKPK
nnP
n
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bxbxb
bxbxb
xxx
??????
??????
??????
???
0
0
0
0
11
11
11111
21
??
对公式的说明
? 可以用矩阵的方式表示
? x表示权重改变量，未知，需要求解
? 满足公式的 x都是套利组合
? 解一般是不唯一的
构建套利组合后的, 处境,
从一个旧证券组合变成了一个新的证券组合
? 新的证券组合＝旧的证券组合＋套利组合
? 套利组合期望收益率＞ 0
? 新组合的敏感性 =旧组合的敏感性
? 新组合因素风险＝旧组合因素风险
? 由于存在非因素风险
? 新组合风险不一定等于旧组合的风险
套利定价方程
? 套利定价方程是判断是否存在套利机会的
工具
? Ei（ i＝ 1,…n ）满足何种条件，解不存在，
? 可以证明，当且仅当 Ei是敏感性的线性函
数,就是说不再存在套利机会
KiKiii bbErE ??? ???????,,,)( 110
方程中 λ的含义
? 根据无风险证券
? λ 0＝ rf
? 构造特殊的证券组合 δ j
? δ j对因素 Fj的敏感性 bj＝ 1，而对其他因
素的敏感性 bi＝ 0（ i≠ j）
? δ j的期望收益率 E（ δ j）＝ rf＋ λ j
? λ j ＝ E(δ j )－ rf
? 类似于标准正交基下的坐标
套利定价模型的计算实例
? 例 1。工业产值为单因素
? 投资者拥有 3种证券，每种证券的当前市
值均为 4 000 000元。
? 总资金＝ 12 000 000元。
? 3种证券预期回报率和敏感性如下表 ir
证券 预期回报率 (%) 敏感性 bi
证券 1
证券 2
证券 3
15
21
12
0.9
3.0
1.8
? 期望和敏感性的改状态，是否可以引起
存在套利？
? 解, 方程,
?x1＋ x2＋ x3＝ 0
?0.9x1＋ 3.0x2＋ 1.8x3＝ 0
?15x1＋ 21x2＋ 12x3＞ 0
? 解不唯一。给 x1赋予一个值，例如 0.1,
?x2＝ 0.075,x3＝ -0.175
新旧组合的比较
旧组合 套利组合 新组合
权数
X1
X2
X3
性质
r
b
ζ
0.333
0.333
0.333
16.000%
1.900
11.000%
0.100
0.075
-0.175
0.975%
0.000
很小
0.433
0.408
0.158
16.975%
1.900
约 11.000%
第二节 多因素定价模型的推导
? 因素模型的 5个假设条件
? 假设 1：市场是完全竞争、无摩擦、无限可分
? 假设 2：存在 K个共同因素影响整个证券市场
? 假设 3：所有投资者对同种证券的收益具有的预期是
一致的，因而，对资产收益的预期就是对因素荷载
bik（ k＝ 1,2,…,K）的预期。这里因素荷载 bik表示证
券 i对因素 Fk的敏感系数
? 假设 4：市场中存在充分多的资产。这个假设为下面
的渐进套利的概念提供了基础。
? 假设 5：证券市场不存在渐近套利机会（ asymptotic
arbitrage opportunity）
对假设 2的 说明
? 根据回归模型中的假设
? 用, 线性变换, 的构造新的因素
? 使得满足, 标准正交, 的条件
222
11
0
10
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)
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(
~~
因子载荷 —矩阵形式
? B是 敏感度系数
矩阵，或因素载
荷矩阵（ factor
loading matrix）
? 思考,用矩阵形
式表示，因素和
误差的限制条件
T
N
T
K
KNij
T
N
FFF
bB
RRR
FBRER
)
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1
1
1
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????
?
渐近套利机会 —对假设 5的说明
? 存在一个证券组合 序列,满足三个条件
? 与套利组合三个条件相对应
03
02
01
21
1
1
1
1
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n
nn
RW
RWE
W
nWWW
多因素模型下定价公式
? 如果风险证券收益率由 K因素模型给定，
? 存在形如下式的线性定价公式
? ??? Kk kiki bRE 10 ??)~(
? 定价公式的误差分析。 n＝风险证券的数量
? 定理 5.1：如果风险证券收益由 K因素模型给定，
那么，存在的实数 λ 0,λ 1,…, λ K，使得
01
1
2
01 ??? ?? ????
K
k kik
n
i in
bRE
n
))~((lim ??
对定价公式的说明
? 证明过程给出了公式中系数 λ i的具体计算
? 系数 λ i＝因素 i的风险溢价
? 总误差 =每个证券的残差平方和
? 证券的数量大的时候，总误差趋向于 0
? 将每个证券残差 V，从大到小“排队”
?,小的” ——定价准确
? 对个别证券，其定价可能“不准确”
? 可以用线性代数的方法推导定价公式
定价公式中的因素风险溢价
没有经济含义
?(λ 1,…, λ K)＝ factor risk premium
? 类似多元统计分析中的因子
? 定理 5.2：对于任意无套利定价模型，可以
构造出与原来 K个因素不同的另外 K个不相
关因素，使得，这 K个新因素中仅有一个具
有正的因素风险溢价
完全分散化
? 因素风险溢价向量在某些条件下，可以用证券组
合解释
? 完全分散化证券组合 —fully diversified portfolio
? 定义：完全分散化证券组合是证券组合序列 p(n)
的极限过程。 p(n)满足下面两个条件
???
??
??
?
???
CnWn
ninW
nnWnWnp
n
i
i
n
i
n
1
2
1
2
2101
21
)(lim)(;,...,,,)()(
,...,,))(),.,,,(()(
对定义的说明
? 完全分散化证券组合的投资权重由极限方
式产生
? 每个资产的投资比例权重 Wi趋于 0
?,大多数, （有限个除外）资产，
? Wi(n)＝ O(n-1)
? 如何理解，投资于资产的权重是 0？
? 类似于概率论中的, 密度,
? 应该从, 密度, 的角度来理解完全分散化
证券组合投资于每种资产的比例
? 不能仅仅看到它都等于 0
完全分散化证券组合的
非因素风险等于 0
? 在完全分散化证券组合下，非因素风险
是无穷小量序列的极限，即
0
2
1
22
1
2 ??? ??
?????? n
nWnnW n
i ini
n
i in
?? )(lim)(lim
? 反之不成立，有反例
? 存在不是完全分散化证券组合，其非因
素风险是 0
完全分散化下定价是精确的
? 一般来说，定价公式有误差
? 对于完全分散化证券组合，没有误差
? 定理 5.3：对于完全分散化证券组合 p，其预
期收益满足
? ??? Kk kpkp bRE 10 ??)~(
在取极限状态下，误差趋向于 0
对定价公式中的 λ i解释
? 构造一个特殊完全分散化证券组合 p，使
bpk＝ 0 (k＝ 1,2,…,K) 则
fp rRE ?? 0?)
~(
? 构造完全分散化证券组合 p,使 bpk＝ 1，
bpj＝ 0 (j≠k)，只对第 k因素敏感,则
kpRE ?? ?? 0)
~(
? 利用这些特殊的完全分散化证券组合，
可以解释 λ
单因素模型下的定价公式
? 假定 市场组合 m是完全分散化的
m
fm
f b
rRE
r
?
??
)
~
(
,?? 0
m
i
mm
iimmi
m
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im
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)(
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~
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?
?
?
??
22
2
2
第三节 APT与 CAPM的比较
? APT与 CAPM的公式的形式一样
? 内在的经济含义不同
? CAPM是在市场均衡的条件得到的
? APT是在无套利条件得到的
? 两者之间的关系是：
? 均衡的市场里一定没有套利机会
? 无套利机会并不意味着市场是均衡的
APT中敏感系数与
CAPM中 β 系数的关系
? CAPM依赖于 1个因素，维数＝ 1
? APT——多维模型
? 3维空间中，确定一个点，需要 3个独立条件
? 如果只有一个，将不能精确地确定
? 似乎多维模型比一维模型, 更准确,
? APT比 CAPM,好,
? 下面以两因素模型为例，说明敏感系数与 β
系数的关系
两因素模型下
公式的几何图形表示
? 以两个敏感性 b为横纵坐标
? 给定一个证券 i的收益率,满足定价公式
的点很多
? 构成资产 i的等值线，等高线
? 等值线是一簇平行线，斜率相同
? 截距不同，与期望值有关
? 例如，无风险资产过原点，截距＝ 0
2211 ififfi brbrrRE ??????? )()()
~( ??
%%%%%)~( 3025201510?iRE
1.0
1.5
0.5
1.0 2.0 3.00无风险
资产
p’
p
SML
bi2
m 市场组合
bi1
两因素模型下
β 系数与敏感系数的关系
? 资产 j对因素 1和因素 2的敏感系数
? ＝市场组合对应的敏感系数的某一个倍数
? 这个倍数就是 β 系数
? 随着 β 系数的取法不同，在平面中构成直线
? 以 β 系数为自变量的 SML在平面中是直线
? 直线斜率与两个敏感系数有关
APT比 CAPM的选择余地大
? 图中过原点的直线上的所有点（组合）
? 它们的期望收益率都等于无风险利率
? 除了原点 O点外，均不是无风险资产组合（因为包
含有风险资产）
? 例如，对于期望收益率为 20％的资产组合来说
? 由 CAPM决定，则，对应惟一点,p
? 由 APT决定，则，对应直线 pp’上任意的点
? 对某些投资者来说，虽然 p和 p’均值相等，也许更
喜好资产组合 p’,胜过 p
? 从这个意义上讲,APT比 CAPM选择余地大
多因素模型下
的敏感系数与 β 系数的关系
? 通过市场组合，计算单个资产的敏感系数
? 资产 j对应于每个因素的敏感系数
? ＝市场组合所对应的敏感系数的一个倍数
第四节 套利定价公式中
参数的估计和检验
? 两个问题
? 第一，如何确定定价公式中的参数，这样
才能具体地使用定价公式
? 第二，定价公式的精确性和误差的大小的
估计 ——检验定价公式的适用性
? 在因素数目已知，因素的特征已知前提下
? 估计和检验各种形式的精确的 APT关系式
必要的假设条件
对参数进行估计和检验, 需要假设
市场条件的假设
存在无风险资产
因素本身是可交易的资产的组合
其他的情况附录 3
收益所构成的时间序列的行为的假设
因素的收益是独立同分布的
联合分布服从多元正态分布
这个假设比较强, 可以提出一些较弱的假设
对因素模型的假设
? 超额收益 ——excess return。减去无风险收益 rf
? Zt是资产的超额收益,N维向量（ N种资产）
? ZKt 因素的超额收益,K维向量
? B是 N× K矩阵,Σ是 N× N矩阵,Ω是 K× K矩阵
? a＝ 0,constrained model ； a≠0,unconstrained model
0
0
305
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tKt
KKKtKKt
KKt
ttt
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BZaZ
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??
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???
?
检验思路
? 假设：资产或资产组合的超额收益 Zt完全
是由于因素的超额收益 ZKt带来
? 精确的 APT定价 ——exact factor pricing
? 如果因素没有超额收益，则，
? 资产或资产组合就应该没有超额收益
? 即，（ 5.30）式中的 a＝ 0向量
用 ML估计模型中的参数
? （ 5.30）是一个计量模型（线性回归模型）
?a,B和 Σ 是参数，需要进行估计
? 最小二乘法（ OLS） ＝ optimal least square
? 极大似然法（ ML）＝ maximum likelihood
? OLS与 ML估计 结果相同。教材中用 ML
?,密度函数, 相乘，得到，似然函数 f
? 取对数，得到，对数似然函数 L
? 使 L最大的参数，就是估计的结果
??
?
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T
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T
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T
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T
t
KKtKKt
T
t
KKtt
K
Z
T
Z
T
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T
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1
1
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1
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?
?
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非约束模型下的参数估计
约束模型下的参数估计
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t KttKtt
T
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t Ktt
ZBZZBZ
T
ZZZZB
1
1
11
1
)?)(?(?
][][?
***
*
用似然比对模型进行检验
? 参数被估计后，进行显著性检验
? （ 5.30）中的 a是否是 0
? 零假设 H0,a=0
? 用似然比检验该零假设
? LR＝ Likelihood Ratio
? 检验分为两个步骤
? 第一, 计算似然比
? 第二, 构造统计量进行统计检验
计算似然比 或对数似然比
? 将约束模型和非约束模型下的参数估计，代
入似然函数表达式，得到两个似然函数
? 比＝相除
)
?
ln
?
( ln
)ln (
*
*
*
?????
???
2
T
LL
f
f
LR
构造统计量 J进行统计检验
? 渐进分布＝ asymptotic distribution
? T＝ 样本数,N＝ 资产数量,K＝ 因素数量
? 检验的思路：
? 在 0假设成立的情况下,J统计量应该接近于 0
? 如果 J统计量偏离 0比较远，就应该否定 0假设
)(~)?ln?( l n)( * NK
N
TJ
a
21
2
?????????
其他检验方法说明
? 上述 0假设检验，是一个计量问题，或数理统计问题
? 常用的方法有：
? 1）完成回归后，对系数进行显著性检验
? 2）瓦尔德检验 W（ Wald test）
? 3）拉格朗日乘数检验 LM（ Lagrange Multiplier test）
? 4）似然比检验 LR
? 在大样本的意义下，后三种检验等价
? 因为检验统计量都服从渐近 χ2分布
? 在实际中选择要从使用上的方便来考虑
第五节 因素模型的
因素数目和因素选择
? 确定因素的数目，是为了尽可能精确地定价
? 数目多，对于精确性有好处
? 数目多，可能导致统计检验显著性下降
? 从实证分析的观点看，确定因素数目，要涉及
到统计分析的方法（ statistical approach）
? 从一个全面的资产收益集合来确定因素
? 资产收益集合中元素的数目通常要多于被用来
估计和检验的样本
? 用收益的样本数据来构造表示因素的资产组合
? 多元统计分析中
? 因子分析法（ factor analysis）、主成分分析法
（ principal components analysis）可以用来确
定因素的个数
? Connor和 Korajczyk发现：
? 因素的数目达到 5个，资产收益对因素数目的
增加就不敏感了
? Fama和 French发现：
? 因素数目从 3个增加到 5个，模型效果有提高
? 当仅有股票时,3个因素是必要的
? 如果包含债券资产,5个因素是必要的
因素的具体选择
? 需要考虑在估计预期回报率时必须包含的因素
? 不同的研究人员可能给出不同的结果
? 第一组，罗尔和罗斯。
? 1．工业产值增长率；
? 2．通货膨胀率（预期的和未预期的）；
? 3．长期和短期利率的差额；
? 4．低级和高级债券的差别。
? 第二组，伯雷、鲍梅斯特和麦克 ·埃罗依。共 5个
? 前 3个因素接近于上面的后 3个因素
? 社会总销售增长率
? 标准 ·普尔 500指数的收益率
? 第三组由所罗门兄弟公司（ Salomon Brothers）
? 1.国民生产总值；
? 2.通货膨胀率（预期的和未预期的）；
? 3.利率；
? 4.石油价格变化率；
? 5.国防开支增长率。
? 三组因素的共同特征
? 第一，包括总体经济活动指标（工业产值、总销售
和国民生产总值）
? 第二，包括通货膨胀
? 第三，包括利率因素（或差额或利率本身）
? 证券价格被认为是未来红利的贴现，通过因素将这
种直觉得以实现。未来红利将与总体经济活动有关，
而贴现率与通货膨胀和利率有关
——套利定价理论 APT
C APM断言，证券具有不同的预期回报率是因
为有不同的 β值，并进行了均衡定价
附录 2中列举了 CAPM的问题。市场组合难得到
存在市场因素（市场组合）之外的因素，引起
证券价格的共同波动
罗斯 (A.Ross)1976年提出了多因素定价模型 ——
套利定价理论（ APT）
CAPM可视为 APT的一个特例。单一指数模型
APT的假设大大少于 CAPM假设
第一节 因素模型和套利
? Factor Arbitrage
? 风险都是由因素风险引起，只要避免了因
素风险就避免了全部的风险
?APT假设证券回报率与未知数量的未知因
素相联系
? 分析每种证券对因素变动的敏感性
? 每个证券对于该因素的变化是如何应对的
? 套利行为必须是, 没有风险, 的
单因素模型
? 单因素模型假设：证券市场中的各个证券之
间的联动性仅仅是由单独一个因素对证券普
遍产生影响
? 例如，如果投资者认为证券的收益率仅仅受
到工业产值的预期增长率 G 的影响
? 从历史数据出发，通过回归分析可以建立证
券收益率与 G之间的线性关系
TtGbar ttt,.,,,,,21????? ?
? 从书上的 数据计算,a= 4%, b=2
单因素模型的一般表述
? 单因素模型认为：只有一个因素 F对证券
收益率产生普遍的影响
? 建立证券 I的收益率 在任意时期 t的估计式
ittiiit Fbar ?????
?Ft为 t期因素 F的预期值；
?bi为证券 i对因素 F的敏感性；
?rit为证券 i在第 t期的实际收益率；
? ε it为证券 i在第 t期的误差
单因素模型下期望方差计算
?期望收益率
?方差或因素风险
?证券间协方差
2
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iii
bb
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市场模型 ——特殊的单因素模型
? 如果将市场组合 m的收益率 rm作为单因素
模型中的 F，就得到一个特殊的单因素模型
? M的 收益率用市场价格指数收益率代替
? 以市场指数收益率作为单因素的单因素模
型称为市场模型，表达式为：
iIIiIiIi rar ?? ????
敏感性＝ β 系数
单因素模型下风险的解
? 总风险分解成
? 两部分
? 因素风险
? 类似系统风险
? 非因素风险
? 类似非系统风险
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22
2222
?
???
多因素模型
? 假设证券收益率受 K个共同因素
? F1,F2,…, FK的普遍影响
? 用多元线性回归，建立如下的证券 i的收
益率与 K个因素的关系式
itKtiKtiiit FbFbar ????????,..11
多因素模型下证券或组合的
期望方差协方差计算
?期望收
益率
?方差或
因素风
险
?证券间
协方差 ?
?
?
?
?
?
?
?
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???
???
???
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ls
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K
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i
K
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Fjiji
K
k
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FFbbbb
bb
FFbb
b
FEbarE
),c o v (2
),c o v (2
)(
)()(
1
2
2
1
222
1
??
????
套利和近似套利
?,无套利”是 APT的最基本假设
? 如果每个投资者对各种证券的期望收益和敏感性均
有相同的估计，那么在均衡状态下各种证券取得不
同期望收益率的原因是什么
? 4个问题：
? 第一，一个实际市场是否已达到均衡状态
? 第二，如果市场未达到均衡状态，投资者如何行动
? 第三，投资者的行动会如何影响市场，最终使市场
达到均衡
? 第四，均衡状态下，证券的期望收益率由什么决定
套利的定义
? 套利是利用 同一种 实物资产或证券的不同价格来赚
取无风险利润的行为
? 套利最具代表性的是以较高的价格出售证券，同时
以较低价格购进相同的证券
? 现实中难以存在
? 套利行为是现代有效市场的一个决定性要素
? 套利所得到利润是无风险的，投资者一旦发现这种
机会就会设法利用它们
? 一些投资者要比其他人具有更多的资源和意愿去从
事套利活动
? 只有极少的积极投资者能够发现套利机会
? 随着他们的买进和卖出，套利机会将消除
近似套利的定义
? 用因素模型说明, 近似套利机会,
? 如果不同的证券或组合对各个因素的敏感性相同，那
么,除了非因素风险之外,不同的证券或组合应该提
供相同的期望收益率
? 如果两种证券组合所提供的收益率不同，便提供了
,近似套利机会,
? 卖出收益率低的，同时买进收益率高的证券或组合，
就 肯定 可以获得 正利益
? 利用这些套利的机会后，原来的套利机会消失
? 近似＝ 除了非因素风险之外
? 如果组合完全分散化，非因素风险将, 消失,
套利组合
? 为实现套利，需要买入一些证券，同时卖
出一些证券，该过程就是构建套利组合
? 构建套利组合需要满足的 3个条件
? 第一，不增加额外资金。套利组合中买入
证券需要的资金来自卖出证券所的资金
? 第二，套利不承担风险。因素模型中的风
险是因素风险
? 第三，套利提供 正 利润。新证券组合的收
益率必须大于前组合的收益率
套利组合条件公式表示
)
~
(,...
...
...
...
iinn
nKnKPK
nnP
n
rEEExEx
bxbxb
bxbxb
xxx
??????
??????
??????
???
0
0
0
0
11
11
11111
21
??
对公式的说明
? 可以用矩阵的方式表示
? x表示权重改变量，未知，需要求解
? 满足公式的 x都是套利组合
? 解一般是不唯一的
构建套利组合后的, 处境,
从一个旧证券组合变成了一个新的证券组合
? 新的证券组合＝旧的证券组合＋套利组合
? 套利组合期望收益率＞ 0
? 新组合的敏感性 =旧组合的敏感性
? 新组合因素风险＝旧组合因素风险
? 由于存在非因素风险
? 新组合风险不一定等于旧组合的风险
套利定价方程
? 套利定价方程是判断是否存在套利机会的
工具
? Ei（ i＝ 1,…n ）满足何种条件，解不存在，
? 可以证明，当且仅当 Ei是敏感性的线性函
数,就是说不再存在套利机会
KiKiii bbErE ??? ???????,,,)( 110
方程中 λ的含义
? 根据无风险证券
? λ 0＝ rf
? 构造特殊的证券组合 δ j
? δ j对因素 Fj的敏感性 bj＝ 1，而对其他因
素的敏感性 bi＝ 0（ i≠ j）
? δ j的期望收益率 E（ δ j）＝ rf＋ λ j
? λ j ＝ E(δ j )－ rf
? 类似于标准正交基下的坐标
套利定价模型的计算实例
? 例 1。工业产值为单因素
? 投资者拥有 3种证券，每种证券的当前市
值均为 4 000 000元。
? 总资金＝ 12 000 000元。
? 3种证券预期回报率和敏感性如下表 ir
证券 预期回报率 (%) 敏感性 bi
证券 1
证券 2
证券 3
15
21
12
0.9
3.0
1.8
? 期望和敏感性的改状态，是否可以引起
存在套利？
? 解, 方程,
?x1＋ x2＋ x3＝ 0
?0.9x1＋ 3.0x2＋ 1.8x3＝ 0
?15x1＋ 21x2＋ 12x3＞ 0
? 解不唯一。给 x1赋予一个值，例如 0.1,
?x2＝ 0.075,x3＝ -0.175
新旧组合的比较
旧组合 套利组合 新组合
权数
X1
X2
X3
性质
r
b
ζ
0.333
0.333
0.333
16.000%
1.900
11.000%
0.100
0.075
-0.175
0.975%
0.000
很小
0.433
0.408
0.158
16.975%
1.900
约 11.000%
第二节 多因素定价模型的推导
? 因素模型的 5个假设条件
? 假设 1：市场是完全竞争、无摩擦、无限可分
? 假设 2：存在 K个共同因素影响整个证券市场
? 假设 3：所有投资者对同种证券的收益具有的预期是
一致的，因而，对资产收益的预期就是对因素荷载
bik（ k＝ 1,2,…,K）的预期。这里因素荷载 bik表示证
券 i对因素 Fk的敏感系数
? 假设 4：市场中存在充分多的资产。这个假设为下面
的渐进套利的概念提供了基础。
? 假设 5：证券市场不存在渐近套利机会（ asymptotic
arbitrage opportunity）
对假设 2的 说明
? 根据回归模型中的假设
? 用, 线性变换, 的构造新的因素
? 使得满足, 标准正交, 的条件
222
11
0
10
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iiiik
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c o v (
~~
...
~
)
~
(
~~
因子载荷 —矩阵形式
? B是 敏感度系数
矩阵，或因素载
荷矩阵（ factor
loading matrix）
? 思考,用矩阵形
式表示，因素和
误差的限制条件
T
N
T
K
KNij
T
N
FFF
bB
RRR
FBRER
)
~
,.,,,
~
(
~
,)
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~
(
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)(
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~
,.,,,
~
(
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~
~
)
~
(
~
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?
1
1
1
?
?
?
?
????
?
渐近套利机会 —对假设 5的说明
? 存在一个证券组合 序列,满足三个条件
? 与套利组合三个条件相对应
03
02
01
21
1
1
1
1
?
?
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?
?
?
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v a r (l i m)(
)
~
(l i m)(
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i
n
i
n
n
i
i
n
i
n
n
i
n
i
n
n
nn
RW
RWE
W
nWWW
多因素模型下定价公式
? 如果风险证券收益率由 K因素模型给定，
? 存在形如下式的线性定价公式
? ??? Kk kiki bRE 10 ??)~(
? 定价公式的误差分析。 n＝风险证券的数量
? 定理 5.1：如果风险证券收益由 K因素模型给定，
那么，存在的实数 λ 0,λ 1,…, λ K，使得
01
1
2
01 ??? ?? ????
K
k kik
n
i in
bRE
n
))~((lim ??
对定价公式的说明
? 证明过程给出了公式中系数 λ i的具体计算
? 系数 λ i＝因素 i的风险溢价
? 总误差 =每个证券的残差平方和
? 证券的数量大的时候，总误差趋向于 0
? 将每个证券残差 V，从大到小“排队”
?,小的” ——定价准确
? 对个别证券，其定价可能“不准确”
? 可以用线性代数的方法推导定价公式
定价公式中的因素风险溢价
没有经济含义
?(λ 1,…, λ K)＝ factor risk premium
? 类似多元统计分析中的因子
? 定理 5.2：对于任意无套利定价模型，可以
构造出与原来 K个因素不同的另外 K个不相
关因素，使得，这 K个新因素中仅有一个具
有正的因素风险溢价
完全分散化
? 因素风险溢价向量在某些条件下，可以用证券组
合解释
? 完全分散化证券组合 —fully diversified portfolio
? 定义：完全分散化证券组合是证券组合序列 p(n)
的极限过程。 p(n)满足下面两个条件
???
??
??
?
???
CnWn
ninW
nnWnWnp
n
i
i
n
i
n
1
2
1
2
2101
21
)(lim)(;,...,,,)()(
,...,,))(),.,,,(()(
对定义的说明
? 完全分散化证券组合的投资权重由极限方
式产生
? 每个资产的投资比例权重 Wi趋于 0
?,大多数, （有限个除外）资产，
? Wi(n)＝ O(n-1)
? 如何理解，投资于资产的权重是 0？
? 类似于概率论中的, 密度,
? 应该从, 密度, 的角度来理解完全分散化
证券组合投资于每种资产的比例
? 不能仅仅看到它都等于 0
完全分散化证券组合的
非因素风险等于 0
? 在完全分散化证券组合下，非因素风险
是无穷小量序列的极限，即
0
2
1
22
1
2 ??? ??
?????? n
nWnnW n
i ini
n
i in
?? )(lim)(lim
? 反之不成立，有反例
? 存在不是完全分散化证券组合，其非因
素风险是 0
完全分散化下定价是精确的
? 一般来说，定价公式有误差
? 对于完全分散化证券组合，没有误差
? 定理 5.3：对于完全分散化证券组合 p，其预
期收益满足
? ??? Kk kpkp bRE 10 ??)~(
在取极限状态下，误差趋向于 0
对定价公式中的 λ i解释
? 构造一个特殊完全分散化证券组合 p，使
bpk＝ 0 (k＝ 1,2,…,K) 则
fp rRE ?? 0?)
~(
? 构造完全分散化证券组合 p,使 bpk＝ 1，
bpj＝ 0 (j≠k)，只对第 k因素敏感,则
kpRE ?? ?? 0)
~(
? 利用这些特殊的完全分散化证券组合，
可以解释 λ
单因素模型下的定价公式
? 假定 市场组合 m是完全分散化的
m
fm
f b
rRE
r
?
??
)
~
(
,?? 0
m
i
mm
iimmi
m
im
im
fmimifi
b
b
b
Wbb
rREbrRE
?
?
?
??
?????
)(
)(
))
~
(()
~
(
??
??
?
?
?
??
22
2
2
第三节 APT与 CAPM的比较
? APT与 CAPM的公式的形式一样
? 内在的经济含义不同
? CAPM是在市场均衡的条件得到的
? APT是在无套利条件得到的
? 两者之间的关系是：
? 均衡的市场里一定没有套利机会
? 无套利机会并不意味着市场是均衡的
APT中敏感系数与
CAPM中 β 系数的关系
? CAPM依赖于 1个因素，维数＝ 1
? APT——多维模型
? 3维空间中，确定一个点，需要 3个独立条件
? 如果只有一个，将不能精确地确定
? 似乎多维模型比一维模型, 更准确,
? APT比 CAPM,好,
? 下面以两因素模型为例，说明敏感系数与 β
系数的关系
两因素模型下
公式的几何图形表示
? 以两个敏感性 b为横纵坐标
? 给定一个证券 i的收益率,满足定价公式
的点很多
? 构成资产 i的等值线，等高线
? 等值线是一簇平行线，斜率相同
? 截距不同，与期望值有关
? 例如，无风险资产过原点，截距＝ 0
2211 ififfi brbrrRE ??????? )()()
~( ??
%%%%%)~( 3025201510?iRE
1.0
1.5
0.5
1.0 2.0 3.00无风险
资产
p’
p
SML
bi2
m 市场组合
bi1
两因素模型下
β 系数与敏感系数的关系
? 资产 j对因素 1和因素 2的敏感系数
? ＝市场组合对应的敏感系数的某一个倍数
? 这个倍数就是 β 系数
? 随着 β 系数的取法不同，在平面中构成直线
? 以 β 系数为自变量的 SML在平面中是直线
? 直线斜率与两个敏感系数有关
APT比 CAPM的选择余地大
? 图中过原点的直线上的所有点（组合）
? 它们的期望收益率都等于无风险利率
? 除了原点 O点外，均不是无风险资产组合（因为包
含有风险资产）
? 例如，对于期望收益率为 20％的资产组合来说
? 由 CAPM决定，则，对应惟一点,p
? 由 APT决定，则，对应直线 pp’上任意的点
? 对某些投资者来说，虽然 p和 p’均值相等，也许更
喜好资产组合 p’,胜过 p
? 从这个意义上讲,APT比 CAPM选择余地大
多因素模型下
的敏感系数与 β 系数的关系
? 通过市场组合，计算单个资产的敏感系数
? 资产 j对应于每个因素的敏感系数
? ＝市场组合所对应的敏感系数的一个倍数
第四节 套利定价公式中
参数的估计和检验
? 两个问题
? 第一，如何确定定价公式中的参数，这样
才能具体地使用定价公式
? 第二，定价公式的精确性和误差的大小的
估计 ——检验定价公式的适用性
? 在因素数目已知，因素的特征已知前提下
? 估计和检验各种形式的精确的 APT关系式
必要的假设条件
对参数进行估计和检验, 需要假设
市场条件的假设
存在无风险资产
因素本身是可交易的资产的组合
其他的情况附录 3
收益所构成的时间序列的行为的假设
因素的收益是独立同分布的
联合分布服从多元正态分布
这个假设比较强, 可以提出一些较弱的假设
对因素模型的假设
? 超额收益 ——excess return。减去无风险收益 rf
? Zt是资产的超额收益,N维向量（ N种资产）
? ZKt 因素的超额收益,K维向量
? B是 N× K矩阵,Σ是 N× N矩阵,Ω是 K× K矩阵
? a＝ 0,constrained model ； a≠0,unconstrained model
0
0
305
??
?????
?
????
???
),c o v (
))((
)(
)(,)(
).(
tKt
KKKtKKt
KKt
ttt
tKtt
Z
ZZE
ZE
EE
BZaZ
?
??
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???
?
检验思路
? 假设：资产或资产组合的超额收益 Zt完全
是由于因素的超额收益 ZKt带来
? 精确的 APT定价 ——exact factor pricing
? 如果因素没有超额收益，则，
? 资产或资产组合就应该没有超额收益
? 即，（ 5.30）式中的 a＝ 0向量
用 ML估计模型中的参数
? （ 5.30）是一个计量模型（线性回归模型）
?a,B和 Σ 是参数，需要进行估计
? 最小二乘法（ OLS） ＝ optimal least square
? 极大似然法（ ML）＝ maximum likelihood
? OLS与 ML估计 结果相同。教材中用 ML
?,密度函数, 相乘，得到，似然函数 f
? 取对数，得到，对数似然函数 L
? 使 L最大的参数，就是估计的结果
??
?
?
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????
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T
t
KtK
T
t
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T
t
KttKtt
T
t
KKtKKt
T
t
KKtt
K
Z
T
Z
T
ZBaZZBaZ
T
ZZ
ZZB
Ba
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1
1
1
1
11
1
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?(
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])?)(?([
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?
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非约束模型下的参数估计
约束模型下的参数估计
?
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?
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?????
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T
t KttKtt
T
t KtKt
T
t Ktt
ZBZZBZ
T
ZZZZB
1
1
11
1
)?)(?(?
][][?
***
*
用似然比对模型进行检验
? 参数被估计后，进行显著性检验
? （ 5.30）中的 a是否是 0
? 零假设 H0,a=0
? 用似然比检验该零假设
? LR＝ Likelihood Ratio
? 检验分为两个步骤
? 第一, 计算似然比
? 第二, 构造统计量进行统计检验
计算似然比 或对数似然比
? 将约束模型和非约束模型下的参数估计，代
入似然函数表达式，得到两个似然函数
? 比＝相除
)
?
ln
?
( ln
)ln (
*
*
*
?????
???
2
T
LL
f
f
LR
构造统计量 J进行统计检验
? 渐进分布＝ asymptotic distribution
? T＝ 样本数,N＝ 资产数量,K＝ 因素数量
? 检验的思路：
? 在 0假设成立的情况下,J统计量应该接近于 0
? 如果 J统计量偏离 0比较远，就应该否定 0假设
)(~)?ln?( l n)( * NK
N
TJ
a
21
2
?????????
其他检验方法说明
? 上述 0假设检验，是一个计量问题，或数理统计问题
? 常用的方法有：
? 1）完成回归后，对系数进行显著性检验
? 2）瓦尔德检验 W（ Wald test）
? 3）拉格朗日乘数检验 LM（ Lagrange Multiplier test）
? 4）似然比检验 LR
? 在大样本的意义下，后三种检验等价
? 因为检验统计量都服从渐近 χ2分布
? 在实际中选择要从使用上的方便来考虑
第五节 因素模型的
因素数目和因素选择
? 确定因素的数目，是为了尽可能精确地定价
? 数目多，对于精确性有好处
? 数目多，可能导致统计检验显著性下降
? 从实证分析的观点看，确定因素数目，要涉及
到统计分析的方法（ statistical approach）
? 从一个全面的资产收益集合来确定因素
? 资产收益集合中元素的数目通常要多于被用来
估计和检验的样本
? 用收益的样本数据来构造表示因素的资产组合
? 多元统计分析中
? 因子分析法（ factor analysis）、主成分分析法
（ principal components analysis）可以用来确
定因素的个数
? Connor和 Korajczyk发现：
? 因素的数目达到 5个，资产收益对因素数目的
增加就不敏感了
? Fama和 French发现：
? 因素数目从 3个增加到 5个，模型效果有提高
? 当仅有股票时,3个因素是必要的
? 如果包含债券资产,5个因素是必要的
因素的具体选择
? 需要考虑在估计预期回报率时必须包含的因素
? 不同的研究人员可能给出不同的结果
? 第一组，罗尔和罗斯。
? 1．工业产值增长率；
? 2．通货膨胀率（预期的和未预期的）；
? 3．长期和短期利率的差额；
? 4．低级和高级债券的差别。
? 第二组，伯雷、鲍梅斯特和麦克 ·埃罗依。共 5个
? 前 3个因素接近于上面的后 3个因素
? 社会总销售增长率
? 标准 ·普尔 500指数的收益率
? 第三组由所罗门兄弟公司（ Salomon Brothers）
? 1.国民生产总值；
? 2.通货膨胀率（预期的和未预期的）；
? 3.利率；
? 4.石油价格变化率；
? 5.国防开支增长率。
? 三组因素的共同特征
? 第一，包括总体经济活动指标（工业产值、总销售
和国民生产总值）
? 第二，包括通货膨胀
? 第三，包括利率因素（或差额或利率本身）
? 证券价格被认为是未来红利的贴现，通过因素将这
种直觉得以实现。未来红利将与总体经济活动有关，
而贴现率与通货膨胀和利率有关
