第十七章 隐函数存在定理 例1 设，， 及 ，证明  证 方程组  确定了函数组 ，先求这个函数组对各变元的偏导数，为此，对方程组求微分得 ， 即  故  将函数组代入方程，得关于变元的方程 ， 在这方程两边分别对求偏导，得    将上面三式分别乘以后再相加，得   将，，代入即得 。 例2 若有连续二阶偏导数，满足方程，证明：若把中看成的函数，则它满足同样形状的方程 。 证 由确定是的函数，则有，方程两边分别对求偏导，得  （1）  （2） 式再分别对求偏导，得  (3)  （4） (2)式再对求偏导，得  （5） 由（3）（5）式    (由（5）式)  由（4）式    因为，则   结合（4）式得   即 。 例3 设 ，问什么条件下是的函数啊？求。 解 当对各变元有连续的偏导数，且时，方程组可确定函数组，代入即得是的函数 。 对方程组 求微分，得  记，若，由（2）（3）式   代入（1）得   故 ，  注 利用一阶微分形式不变性来求函数的偏导数，会使计算简单一些。 第十八章 多元函数的极值 例1 求函数 在条件下的极值。 解 令    得  （1） 又  （2）  （3） 由（1）得  ， 当时得 ，  故得，代入（2）（3）式得  解得稳定点，。  由对称性得，也是稳定点。 下面用几种不同的方法判别稳定点是否极值点。 1、通过判别最值来求极值 注意约束集为单位圆，是有界闭集，故在其上必有最大（小）值，且最值必在稳定点达到。比较稳定点的函数值： ，  最大者为极大值，最小者为极小值。 2、用无条件极值的充分性判别 令 ，  则 ，故在点的某邻域，方程组可唯一地确定可微函数组。 方程组两边对求导，得   再求导，得   将点代入，解得 ，  ，  又    ，  故是极小值点，是极大值点。由的对称性知，是极小值点，是极大值点。 极小值， 极大值。 3、用拉格朗日函数的二阶微分判别极值。求微分时，所有变量是独立的，但应满足约束条件的微分在的关系式： []  因为   在点  即    又满足稳定点方程  得   故  所以是极小值点。由的对称性知，也是极小值点。同理可证，是极大值点。 极小值， 极大值。 例2 将长度为的铁丝分成三段，用此三段分别作成圆、正方形和等边三角形。问如何分法，才能使这三个图形的面积之和最小。 解 设分别为圆之半径、正方形边长、等边三角形边长。于是总面积  满足约束 ，  令   解得         约束集为有界闭集，故在其上必有最小值。在边界上，即解下列三个条件极值问题：       稳定点分别是             函数值分别是 , ,  又 ，  。 比较上述7个函数值得，最小值为 。 下面再用无条件极值的充分性判别。 约束条件可确定。方程两边分别对求导，得 ， ，  ， ，  ，  ，      故稳定点是极小值点。从而是最小值点。 从几何上看，当是一常数时，是一椭球面，而约束条件给出一个平面在第一挂限的部分，如图示。当逐渐增大，首次与平面接触一点时，达到最小值。当继续增大时，的最大值必在平面与坐标轴的交点上达到。