定积分 概念 例子：1. 曲边梯形的面积 2. 非匀速直线运动 性质1、2 性质3 对[a, b]的一个分法T，增加某些新分点构成[a, b]的一个新分法T’，有  证明：只增加一个新分点，区间分成，上的最小值记为， 上的最小值记为，则，从而  此即 性质4 任意分法，有  证明：合成，由性质3，可得  性质5：  从性质5，可以直观地看出，当时，函数可积。因为  定理1（可积准则）f(x)在[a, b]上可积当且仅当 证明：必要性  由性质2，得到，或 充分性（略） 定义 振幅 定理1’ （可积准则）f(x) 在[a, b]上可积当且仅当 三类可积函数 定理2 闭区间上的连续函数可积。 定理3 f(x)在[a, b]上单调，则f(x)在[a, b]上可积。 证明：不妨设f(x)在[a, b]上单调增加，对[a, b]的任意分法T，函数f(x)在小区间上的下确界mk与上确界Mk分别是  则 ，对[a, b]的任意分法T，当时，即时，有  根据可积准则的充分性，单调　函数f(x)在［a,b］上可积． Th4.　f(x)在闭区间［a,b］上有界，且存在有限个不连续点，则f(x)在［a,b］上可积． 证明：不妨设是一个不连续点，其余都为连续点．w=M-m, M,m分别为f(x)在［a,b］上的最大最小值．去掉小区间后，f(x)在　上连续，从而一致连续．　，时　同样时．取　当　时，　（１）当时　（１）同样满足． 对［a,b］的一个分划T．只要L(T) 将区间分成两类： （I）［］全部落在或中． （II）[]至少有一点落在中． 8.3 定积分的性质  ，. f(x)在［a,b］上的定积分是 为了运算的需要，规定： a=b时　　＝０ ＝－ Th1. 在［a,b］上，f(x)＝c（const）则f(x)＝c在［a,b］上可积， 且 证明：　f(x)＝c在［a,b］上的积分和 ＝c=c(b-a) 则　＝c(b-a) 即 Th2. ,在［a,b］上可积，则＋在［a,b］上也可积，且 ＝＋ 证明：+在［a,b］上的积分和 ＝+ =+ 即＝＋ Th3. f(x)在［a,b］上可积，则c f(x)在［a,b］上也可积，且 ＝c 证明：＝c 推论：n个函数，…都在区间［a,b］上可积 则它们的线性组合 ＋＋….＋ 在［a,b］上也可积． ＝＋＋…＋ Th4 .，f(x)在［a,b］上可积则f(x)在［,］[a,b]上可积． Th5. f(x)在［a,b］与［c,b］上可积,则f(x)在［a,b］上可积． ＝ 推论１　若f(x)在［A,B］上可积，且a,b,c 是［A,B］上任意三点 则 ＝ 推论２　　若f(x)在区间［］(k=1,2,…n)上都可积，则f(x)在[]上可积，且 ＝＋＋…＋ Th6 f(x)k[a,b],x[a,b]有f(x)0　(或f(x) 0)　则 ０(或０) 证明：０ 由f(x)在［a,b］上可积与极限保号性 ＝０ Th7. f(x),g(x)k[a,b],x[a,b]有f(x)g(x)，则  Th8. f(x)k[a,b] k[a,b]且  推论　f(x)k[a,b] f(x)k(const)则 k(b-c) 二．积分中值定理 Th9.　f(x)C[a,b].则c[a,b]使 ＝f(c)(b-a) 证明：已知f(x)C[a,b]，则f(x)在[a,b]上必取到最大最小值， mf(x)M axb 由Th7与Th1有 m(b-a) M(b-a) 或mM 由介值定理　得到在［a,b］内至少一c,使 f(c)=  axb 即　＝f(c)(b-a) 几何意义　图8.7  图8.7 Th10. f(x),y(x)C[a,b]. y(x)在［a,b］上不变号，则c[a,b]使 ＝f(c) 证明：不妨设y(x)0  mM 1.若＞０　　　　２．若＝０