第十六章 偏导数与全微分 §1偏导数与全微分概念 这部分要掌握的 连续、偏导数、可微三个概念的定义； 连续、偏导数、可微三个概念之间的关系； 二元函数的连续、偏导数、可微的概念都是用极限定义的，不同的概念对应不同的极限，切勿混淆。考虑函数在点的情形，则它们分别为： 在点连续定义为：  在点存在偏导数定义为：  或   或  在点可微定义为：  因此，要讨论点的可微性，首先要求，。这三个概念之间的关系可以用下图表示（在点） 3 1 2 4 在上述关系中，反方向均不成立。下面以点为例，逐一讨论。 42 ，43 例1： 这是教材中的典型例题，均存在，但在点不可微，且 不存在，即在点不连续。 34 ，32例2：，这是上半圆锥，显然在点连续，  但  故不存在。由的对称性，不存在。从而，在点不可微（否则，，均存在）。 21 例3： ， 由的对称性，。  （） 故在点可微。且  取点列，，，显然  故不存在，从而在点不连续。由的对称性，在点也不连续。 对一元函数，可微与可导是等价的，即：可微可导。但对二元函数，可微与偏导存在并不等价，即：可微偏导存在，反之未必。应特别引起注意。 §2 复合函数与隐函数微分法 求复合函数与隐函数的偏导数，关键在于搞清楚各变量之间的关系。在求复合函数的高阶偏导时，尤其要搞清楚偏导函数各变量之间的关系。只有明确了变量之间的关系，才可能正确使用链式法则。 例1 设为常数，函数二阶可导，，证明  证 变量之间的关系为  注意这里是某变量的一元函数，而。 因为 ，  由的对称性得 ，  而 ， ， 由的对称性得 ， ， ， 。 于是    又因为   ，  故 。 注1 在求时，要特别注意的函数关系仍然是 注2 在求时，注意正确使用导数符号，不要写成，也不要写成或 。事实上，。 注3 上面的证明简洁清楚，所要求证的微分方程的左边是，函数作为自变量的函数，是由中间变量复合而成，利用 ，  我们得到了  这样把求对自变量的偏导数转化为对中间变量的偏导数，从而使计算简单了。试比较直接求的情形。     由的对称性得   则 。 例2 设的所有二阶偏导数都连续， ， ，  试求，，。 证 注意，是对求偏导数之后，令所得的函数，而不是作为的一元函数对的导函数。 在 两边对求导，得  将 代入，得  上式两边对求导，得  在两边对求导，得  因为有连续的二阶偏导数，则，又已知，将上两式联立解得 ， 。 即 ， 。 例3 若函数对任意正实数满足关系，则称为次奇次函数。设可微，试证明为次齐次函数的充要条件是  证  令 ，则 ， 故与无关，从而，即   方程  两边分别对求导，得 ， ， ， ， 将前面三式代入第四式即得 。 或在上面四式中令，得 ，，， 即 。 变换微分方程 例4 设，，，变换方程  （假设出现的导数都连续）。 解 这里既有自变量的变换，，也有函数的变换。自变量由原来的变换为，函数由原来的变换为。为了把原来的函数变换为函数，可以把原来的函数视为如下的复合 ， ， ，  即  则     故  即  例5 设，求。 证 方程确定了函数，在方程两边求微分，得    两边再求微分，得   解得        故    §4 方向导数 对多元函数，前面曾讨论了它在某点的可微、偏导数、连续之间的关系。下面进一步讨论方向导数与这些概念之间的关系。如下图 2 1 3 5 4 14 课本定理 35 由偏导数定义和方向导数定义即得。 43，53 例：函数在点沿任意方向的方向导数存在，  z 特别地，沿坐标轴正、负向的方向导数为 ， 。 y 但 不存在。同理，不存在。 从上面的讨论不难看出，关于3、5有以下结论： ，存在，存在，且 ， 这时有 ，。 41 否则有43，与43矛盾 42 例：   故在点不连续。但任意方向，当时， ， 当时， ， 即在点沿任意方向的方向导数都存在  52 否则有42，与42矛盾。或否则与 32矛盾。 24 例： 设，显然在点连续，但沿任意方向的方向导数不存在，事实上  不存在。 34 例： 设，则，但 时，  不存在。 §5 Taylor公式 Taylor公式的几种形式 若函数在点的某领域内有直到阶连续偏导数，则 （1） 其中  （2）为方便，记，则  其中  （3）  其中  这是用微分表示的Taylor公式，它与一元函数的Taylor公式在形式上更为接近，由此也可以看到一元函数中在二元函数的对应物是。 例1 设函数有直到阶连续偏导数，试证的阶导数 。 证 对用数学归纳法。时，显然  设 ，则       例2 证明Taylor公式的唯一性：若  其中，求证为非负整数，），并利用唯一性求带拉格朗日余项的阶Taylor展开式。 证 对用数学归纳法。在中令即得。设时，则，进而 。 在上式中令，因为，，故时， ，从而  而时，不存在，故必有（）。由数学归纳法即得证。 令，由一元函数的Taylor公式及上面Taylor公式的唯一性得  其中  问题1 不用Taylor公式的唯一性，试求的Taylor展开式。 令，则 ，（） 故    其中 。    显然，用Taylor公式的唯一性，计算要简单得多。