第二十一章 曲线积分与曲面积分 §1第一型线面积分 例1 求，其中是球面与平面的交线。 解法1    解法2 求曲线的参数方程。由，消去，得  即  令，则   于是得到两组参数方程       我们可任选一组，例如第一组。显然，被积函数和都具有轮换对称性，则    解法3 作坐标旋转。就坐标是，新坐标是，旋转角为，则旋转变换的一般公式为 ，  因为平面的单位法矢为，则它与轴的夹角余弦为。下面分两步进行旋转，先将平面旋转，得新坐标系；再将平面旋转，得新坐标系。即    由旋转公式得     于是得    在这组变换下，曲线：，变为，，故    注1 三种解法各具特点： 解法1技巧性强，直接利用了几何意义，而不必化为定积分。 解法2常规的方法，即 写出参数方程 套公式 计算定积分 这里主要难在第一步，写参数方程。通过解法2，给出了一种求参数方程的方法。 解法3先通过坐标旋转，将问题转化为另一个与之等价的问题，再按常规的方法计算。 坐标系下的线积分 坐标系下的线积分 写出参数方程 套公式 计算定积分 在新的坐标下，曲线有简单的参数方程。这个解法表明，可以适当地转化问题，例如作坐标旋转，从而获得简单的参数方程。 §2 第二型线面积分 例1 计算曲线积分 ， （1）是球面三角形，，，的边界线，从球的外侧看去，的方向为逆时针方向； （2）是球面和柱面的交线位于平面上方的部分，从轴上点看去，是顺时针方向。 解 （1）显然，具有轮换对称性，且被积表达式也具有轮换对称性，将分为三段 ：， （，） ：， （，） ：， （，） 则    或    注1 这里利用轮换对称性使计算化简，都是写为某积分的3倍。它们的区别在于 第一种方法：积分表达式不变，积分化为上的积分的3倍。 第二种方法：积分曲线不变，积分化为表达式中第一项积分的3倍。 问题1 是否可化为既是上的积分的3倍，又是表达式中第一项积分的3倍，即  （2）曲线关于平面对称，且方向相反  同理  故  下面求曲线的参数方程。 方法1 利用球面的参数方程 ，，， 代入柱面方程得，于是得的参数方程 ， ， ， 从到 方法2 利用柱面的参数方程，，代入球面方程 ，得的参数方程 ， ， ， 从到 不妨取方法1中的参数方程进行计算，     注2 这里利用对称性（不是轮换对称性），立即可知前两项的积分为0。值得注意的是第二型的曲线积分与第一型的曲线积分对称性的应用是不同的。例如第一项积分，曲线关于平面对称，且方向相反，而被积函数关于是偶函数（不是奇函数），则  上面等式中，两项恰好相差一个符号，负号的出现是由于方向相反产生的。