§ 2.9 随机解释变量
Random Independent Variable
一,随机解释变量问题
二、实际经济问题中的随机解释变量问题
三、随机解释变量的后果
四、工具变量法
五、案例
六、广义矩方法（ GMM）的概念
一,随机解释变量问题
1、随机解释变量问题
? 单方程线性计量经济学模型假设之一是：
Cov(Xi,?i)=0
即解释变量与随机项不相关。
这一假设实际是要求,
或者 X是确定性变量, 不是随机变量；
或者 X虽是随机变量, 但与随机误差项不相关 。
? 违背这一假设设的问题被称为 随机解释变量问题 。
2、随机解释变量问题的 3种情况
? 对于模型
Yi=?0+?1X1i+?2X2i+? +?kXki+?i
i=1,2,…,n (2.7.1)
为讨论方便, 假设 (2.7.1)中 X2为随机解释变量 。
? 对于随机解释变量问题, 又分三种不同情况：
⑴ 随机解释变量与随机误差项不相关, 即
E（ X2?） =0 （ 2.7.2)
⑵ 随机解释变量与随机误差项在小样本下相关，
在大样本下渐近无关,即
在小样本下
E（ X2?） ?0
在大样本下
P lim（ ?X2i?i/n） =0 （ 2.7.3)
或,P (lim (?X2i?i/n)=0)=1
⑶ 随机解释变量与随机误差项高度相关，且
P lim（ ?X2i?i/n） ?0 （ 2.7.4)
二、实际经济问题中的随机解释
变量问题
? 在实际经济问题中，经济变量往往都具有随机
性。
? 但是在单方程计量经济学模型中，凡是外生
变量都被认为是确定性的。
? 于是随机解释变量问题 主要表现于用滞后被
解释变量作为模型的解释变量的情况 。
例如：
耐用品存量调整模型：
耐用品的存量 Qt由前一个时期的存量 Qt-1和当期
收入 It共同决定：
Qt=?0+?1It+?2Qt-1+?t t=1,? T
这是一个滞后被解释变量作为解释变量的模型。
但是，如果模型不存在随机误差项的序列相关性，
那么随机解释变量 Q t-1只与 ?t-1相关，与 ?t不相关，
属于上述的第 1种情况。
合理预期的消费函数模型
合理预期理论 认为消费是由对收入的预期所决定
的，或者说消费是有计划的，而这个计划是根据对
收入的预期制定的。于是有：
t
e
tt YC ??? ??? 10
11101 ??? ??? t
e
tt YC ???
其中
e
tY 表示 t 期收入预期值。 而预期收入与实际收入之间存在差距，表现为：
e
tt
e
t YYY 1)1( ???? ??
该式是由合理预期理论给出的。
在该模型中，作为解释变量的 Ct-1不仅是一个
随机解释变量，而且与模型的随机误差项 (?t-??t-1)
高度相关（因为 Ct-1与 ?t-1高度相关）。属于上述
第 3种情况。
容易推得：
t
e
ttt
YYC ?????? ?????
? 1110
)1(
= tttt CY ??????? ?????? ?? )()1( 10110
1110 )1()1( ?? ??????? tttt CY ????????
三、随机解释变量的后果
1、出发点
? 计量经济学模型一旦出现随机解释变量, 如果
仍采用 OLS法估计模型参数, 不同性质的随机解
释变量会产生不同的后果 。
? 对回归模型
Y=XB+N (2.7.5)
其 OL S 参数估计量为：
? ( ) ( ) ( )? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ?X X X Y X X X X1 1
? 可见, 随机解释变量带来什么后果取决于它与
随机误差项是否相关 。
取期望，有
E E( ? ) ( ) ( )? ? ?? ? ? ? ??X X X X X1
? ? ? ??? ?( ) ( )X X X1 E ( 2, 7, 6 )
2、随机解释变量与随机误差项不相关
? 这时采用 OLS法估计模型参数，得到的参数估
计量仍然是无偏估计量
3、随机解释变量与随机误差项在小样本下
相关，在大样本下渐近无关
? 根据 (2.7.3)和 (2.7.6)，这时采用 OLS法估计模型
参数，得到的参数估计量在小样本下是有偏的，在
大样本下具有渐近无偏的。
4、随机解释变量与随机误差项高度相关
? 根据 (2.7.4)和 (2.7.6)，这时采用 OLS法估计模
型参数，得到的参数估计量在小样本下是有偏
的，在大样本下也不具有渐近无偏性。
? OLS法失效，需要发展新的方法估计模型 。
5、滞后被解释变量作解释变量，并且与随
机误差项相关
如果模型中的随机解释变量是滞后被解释变量,
并且与随机误差项相关时, 除了 OLS法参数估计
量是有偏外, 还带来两个后果：
① 模型必然具有随机误差项的自相关性 。 因为
该滞后被解释变量与滞后随机误差项相关, 又与
当期随机误差项相关 。
② D.W.检验失效 。 因为不管 D.W.统计量的数值
是多少, 随机误差项的自相关性总是存在的 。
四、工具变量法
Instrumental Variables Method
1、工具变量的选取
工具变量,在模型估计过程中被作为工具使用，
以替代模型中与随机误差项相关的随机解释变量。
选择为工具变量的变量必须满足以下条件：
（ 1）与所替代的随机解释变量高度相关；
（ 2）与随机误差项不相关；
（ 3）与模型中其它解释变量不相关，以避免出
现多重共线性。
2、工具变量的应用
? 对于多元线性模型
y x x xi i i k ki i? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?0 1 1 2 2 ?
i=1,2,…,n
? 用普通最小二乘法估计模型，最后归结为求解
一个关于参数估计量的正规方程组：
? ?
? ?
? ?
? ?
y ( x x x )
y x x x x x
y x x x x x
y x x x
i i i k ki
i i i i k ki i
i i i i k ki i
i ki i
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ?
? ? ? ?
(
? ? ? ?
)
(
? ? ? ?
)
(
? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ?
0 1 1 2 2
1 0 1 1 2 2 1
2 0 1 1 2 2 2
0 1 1 2
?
?
?
?
2 i k ki ki
x x? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
)?
? 该方程组也可以看作为矩方法的结果。用每个
解释变量分别乘以模型的两边，并对所有样本
点求和,? ?
? ?
? ?
? ?
y ( x x x )
y x x x x x
y x x x x x
y x x x
i i i k ki i
i i i i k ki i i
i i i i k ki i i
i ki i i
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ?
0 1 1 2 2
1 0 1 1 2 2 1
2 0 1 1 2 2 2
0 1 1 2 2
?
?
?
?
?
( )
( )
(
k ki i ki
x x?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ? )
? 然后再对方程的两边求期望,E y E ( x x x )
E y x E x x x x
E y x E x x x x
E y x
i i i k ki i
i i i i k ki i i
i i i i k ki i i
i ki
( ) ( )
( ) ( ( ) )
( ) ( ( ) )
( )
? ?
? ?
? ?
?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
0 1 1 2 2
1 0 1 1 2 2 1
2 0 1 1 2 2 2
?
?
?
?
? ? ? ? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
? E x x x x
i i k ki i ki
( ( ) )? ? ? ? ? ?
0 1 1 2 2
?
? 利用下列条件得到的：
E
E x j k
E j k
i
i ji
j j
( )
( ),,,,
( ) ?,,,,,
?
?
? ?
?
? ?
? ?
0
0 1 2
0 1 2
?
?
? 如果 x2为随机变量，且与随机误差项相关；选
择 z作为它的工具变量。在应该用 x2乘方程两边
时，不用 x2，而用 z。
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????????
????????
????????
????????
kiikikiikii
ikikiii
iikikiiii
ikikiii
xxxxxy
xxxy
xxxxxy
)xxx(y
)(
)(
)(
22110
22110
1221101
22110
?????
?????
?????
?????
?
?
?
?
?
ii
zz
? 得到采用工具变量法的正规方程组：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???????
???????
???????
???????
kikikiikii
ikikiiii
ikikiiii
kikiii
xxxxxy
zxxxzy
xxxxxy
)xxx(y
)????(
)????(
)????(
????
22110
22110
1221101
22110
????
????
????
????
?
?
?
?
?
? 求解该方程组即可得到关于原模型参数的工具变
量法估计量。
? 对于矩阵形式：
Y=XB+N
采用工具变量法 （假设 2X 与随机项相关，
用工具变量 Z 替代）得到的正规方程组为：
? ? ?Z Y Z X ??
通常, 对于没有选择另外的变量作为工具变量的
解释变量, 可以认为用自身作为工具变量 。 于是被
称为 工具变量矩阵 。
参数估计量为：
?
( )? ? ? ?
?
Z X Z Y
1
其中
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
Z
1 1 1
11 12 1
1 2
1 2
?
?
?
?
?
x x x
z z z
x x x
n
n
k k kn
3、工具变量法估计量是无偏估计量
一元线性模型中，用工具变 量法所求的
参数估计量 1
??
与总体参数真值 1? 之间的关系
为
?
?
?
?
??
?
?
ii
ii
ii
iii
xz
z
xz
xz ?
?
??
?
1
1
1
)(
?
两边取概率极限得：
?
?
??
iin
iin
xzP
zP
P
1
1
11
li m
li m
)?li m (
?
??
如果工具变量 z 选取恰当，即有
?
?? 0),c o v (
1
l i m
iiii
zz
n
P ??
，
?
?? 0),c o v (
1
l i m
iiii
xzxz
n
P
则有,11 )
?
l i m ( ?? ?P
? 对于多元线性模型
E E( ? ) (( ) )? ? ? ??Z X Z Y1
? ? ? ?
? ? ?
?
?( ) ( ( ))
( )
Z X Z X
Z
1 E
E
? ?
? ?
?
其中利用了工具变量与随机误差项不相关。
4、几点注解
? 工具变量并没有替代模型中的解释变量,只是
在估计过程中作为“工具”被使用。
? 如果模型中有两个以上的随机解释变量与随机
误差项相关，就必须找到两个以上的工具变量。
但是,一旦工具变量选定，它们在估计过程被
使用的次序不影响估计结果。 为什么？
? OLS可以看作工具变量法的一种特殊情况。 为
什么？
五、案例：消费模型
1,OLS估计结果
D e p e n d e n t V a r i a b l e, C O N S
M e t h o d, L e a st S q u a r e s
D a t e, 0 3 / 2 0 / 0 3 T i m e, 2 2, 0 5
S a m p l e ( a d j u st e d ), 1 9 8 1 1 9 9 6
I n cl u d e d o b se r v a t i o n s,1 6 a f t e r a d j u st i n g e n d p o i n t s
V a r i a b l e C o e f f i ci e n t S t d, E r r o r t - S t a t i st i c P r o b,
C 5 4 0, 5 2 8 6 8 4, 3 0 1 5 3 6, 4 1 1 8 4 8 0, 0 0 0 0
G D P 0, 4 8 0 9 4 8 0, 0 2 1 8 6 1 2 2, 0 0 0 3 5 0, 0 0 0 0
C O N S 1 0, 1 9 8 5 4 5 0, 0 4 7 4 0 9 4, 1 8 7 9 6 9 0, 0 0 1 1
R - sq u a r e d 0, 9 9 9 7 7 3 M e a n d e p e n d e n t v a r 1 3 6 1 8, 9 4
A d j u st e d R - sq u a r e d 0, 9 9 9 7 3 9 S, D, d e p e n d e n t v a r 1 1 3 6 0, 4 7
S, E, o f r e g r e ssi o n 1 8 3, 6 8 3 1 A ka i ke i n f o cr i t e r i o n 1 3, 4 3 1 6 6
S u m sq u a r e d r e si d 4 3 8 6 1 3, 2 S ch w a r z cr i t e r i o n 1 3, 5 7 6 5 2
L o g l i ke l i h o o d - 1 0 4, 4 5 3 3 F - st a t i st i c 2 8 6 8 2, 5 1
D u r b i n - W a t so n st a t 1, 4 5 0 1 0 1 P r o b ( F - st a t i st i c) 0, 0 0 0 0 0 0
2,IV估计结果
D e p e n d e n t V a r i a b l e, C O N S
M e t h o d, T w o - S t a g e L e a st S q u a r e s
D a t e, 0 3 / 2 0 / 0 3 T i m e, 2 2, 0 7
S a m p l e ( a d j u st e d ), 1 9 8 1 1 9 9 6
I n cl u d e d o b se r v a t i o n s,1 6 a f t e r a d j u st i n g e n d p o i n t s
I n st r u m e n t l i st, C G D P G D P 1
V a r i a b l e C o e f f i ci e n t S t d, E r r o r t - S t a t i st i c P r o b,
C 5 5 7, 7 3 0 7 8 5, 6 7 8 1 2 6, 5 0 9 6 0 5 0, 0 0 0 0
G D P 0, 4 8 9 1 0 0 0, 0 2 2 7 6 7 2 1, 4 8 2 6 4 0, 0 0 0 0
C O N S 1 0, 1 8 0 7 5 9 0, 0 4 9 3 9 4 3, 6 5 9 5 1 6 0, 0 0 2 9
R - sq u a r e d 0, 9 9 9 7 7 1 M e a n d e p e n d e n t v a r 1 3 6 1 8, 9 4
A d j u st e d R - sq u a r e d 0, 9 9 9 7 3 6 S, D, d e p e n d e n t v a r 1 1 3 6 0, 4 7
S, E, o f r e g r e ssi o n 1 8 4, 6 7 4 8 S u m sq u a r e d r e si d 4 4 3 3 6 2, 1
F - st a t i st i c 2 8 3 7 3, 3 1 D u r b i n - W a t so n st a t 1, 3 8 7 1 1 9
P r o b ( F - st a t i st i c) 0, 0 0 0 0 0 0
五、广义矩估计（ GMM） 的概念
? 如果 1个随机解释变量可以找到多个互相独立
的工具变量，人们希望充分利用这些工具变量
的信息，就形成了 广义矩方法（ GMM） 。
? 一般讲，矩条件大于待估参数的数量，就是 广
义矩方法 。
? GMM是近 20年计量经济学理论方法发展的重
要方向之一。
? L,Hansen,Large Sample Properties of GMM
Estimators,Econometrics,50,1982.
? 显然，在 GMM中，如何求解成为它的核心问题。
))()'((m i nar g? 1 ??? mWm ??
?
?
?
?
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?
?
i
iJi
i
ii
i
ii
J
ez
n
ez
n
ez
n
m
m
m
m
1
1
1
)(
)(
)(
)(
2
1
2
1
?
?
?
?
?
?
? 参考, 高等计量经济学,§ 3.6
? 在应用软件中可以方便地实现。
? IV是 GMM的一个特例。
? OLS是 GMM的一个特例。
GMM估计结果
D e p e n d e n t V a r i a b l e, C O N S
M e t h o d, G e n e r a l i ze d M e t h o d o f M o m e n t s
D a t e, 0 3 / 2 0 / 0 3 T i m e, 2 2, 2 6
S a m p l e ( a d j u st e d ), 1 9 8 1 1 9 9 6
I n cl u d e d o b se r v a t i o n s,1 6 a f t e r a d j u st i n g e n d p o i n t s
N o p r e w h i t e n i n g
B a n d w i d t h, Fi x e d ( 2 )
K e r n e l, B a r t l e t t
C o n v e r g e n ce a ch i e v e d a f t e r, 3 w e i g h t m a t r i ci e s,4 t o t a l co e f i t e r a t i o n s
I n st r u m e n t l i st, C G D P G D P 1 C O N S G
V a r i a b l e C o e f f i ci e n t S t d, E r r o r t - S t a t i st i c P r o b,
C 5 6 5, 0 0 0 9 6 8, 1 2 4 0 9 8, 2 9 3 7 0 1 0, 0 0 0 0
G D P 0, 4 9 1 4 2 8 0, 0 1 1 0 7 5 4 4, 3 7 4 2 1 0, 0 0 0 0
C O N S 1 0, 1 7 4 9 9 2 0, 0 2 3 8 0 9 7, 3 4 9 9 5 2 0, 0 0 0 0
R - sq u a r e d 0, 9 9 9 7 6 9 M e a n d e p e n d e n t v a r 1 3 6 1 8, 9 4
A d j u st e d R - sq u a r e d 0, 9 9 9 7 3 3 S, D, d e p e n d e n t v a r 1 1 3 6 0, 4 7
S, E, o f r e g r e ssi o n 1 8 5, 6 3 8 2 S u m sq u a r e d r e si d 4 4 8 0 0 0, 1
D u r b i n - W a t so n st a t 1, 3 6 0 7 8 6 J - st a t i st i c 0, 0 2 9 8 3 7
综合练习一
? 自己选择研究对象，完成建立模型、收集数据、
估计模型和检验模型的全过程。
? 6月 23日交打印稿。
? 尽可能用统计年鉴数据，以减少收集数据的工
作量。
? 必须列出数据表，以便于检查。
Random Independent Variable
一,随机解释变量问题
二、实际经济问题中的随机解释变量问题
三、随机解释变量的后果
四、工具变量法
五、案例
六、广义矩方法（ GMM）的概念
一,随机解释变量问题
1、随机解释变量问题
? 单方程线性计量经济学模型假设之一是：
Cov(Xi,?i)=0
即解释变量与随机项不相关。
这一假设实际是要求,
或者 X是确定性变量, 不是随机变量；
或者 X虽是随机变量, 但与随机误差项不相关 。
? 违背这一假设设的问题被称为 随机解释变量问题 。
2、随机解释变量问题的 3种情况
? 对于模型
Yi=?0+?1X1i+?2X2i+? +?kXki+?i
i=1,2,…,n (2.7.1)
为讨论方便, 假设 (2.7.1)中 X2为随机解释变量 。
? 对于随机解释变量问题, 又分三种不同情况：
⑴ 随机解释变量与随机误差项不相关, 即
E（ X2?） =0 （ 2.7.2)
⑵ 随机解释变量与随机误差项在小样本下相关，
在大样本下渐近无关,即
在小样本下
E（ X2?） ?0
在大样本下
P lim（ ?X2i?i/n） =0 （ 2.7.3)
或,P (lim (?X2i?i/n)=0)=1
⑶ 随机解释变量与随机误差项高度相关，且
P lim（ ?X2i?i/n） ?0 （ 2.7.4)
二、实际经济问题中的随机解释
变量问题
? 在实际经济问题中，经济变量往往都具有随机
性。
? 但是在单方程计量经济学模型中，凡是外生
变量都被认为是确定性的。
? 于是随机解释变量问题 主要表现于用滞后被
解释变量作为模型的解释变量的情况 。
例如：
耐用品存量调整模型：
耐用品的存量 Qt由前一个时期的存量 Qt-1和当期
收入 It共同决定：
Qt=?0+?1It+?2Qt-1+?t t=1,? T
这是一个滞后被解释变量作为解释变量的模型。
但是，如果模型不存在随机误差项的序列相关性，
那么随机解释变量 Q t-1只与 ?t-1相关，与 ?t不相关，
属于上述的第 1种情况。
合理预期的消费函数模型
合理预期理论 认为消费是由对收入的预期所决定
的，或者说消费是有计划的，而这个计划是根据对
收入的预期制定的。于是有：
t
e
tt YC ??? ??? 10
11101 ??? ??? t
e
tt YC ???
其中
e
tY 表示 t 期收入预期值。 而预期收入与实际收入之间存在差距，表现为：
e
tt
e
t YYY 1)1( ???? ??
该式是由合理预期理论给出的。
在该模型中，作为解释变量的 Ct-1不仅是一个
随机解释变量，而且与模型的随机误差项 (?t-??t-1)
高度相关（因为 Ct-1与 ?t-1高度相关）。属于上述
第 3种情况。
容易推得：
t
e
ttt
YYC ?????? ?????
? 1110
)1(
= tttt CY ??????? ?????? ?? )()1( 10110
1110 )1()1( ?? ??????? tttt CY ????????
三、随机解释变量的后果
1、出发点
? 计量经济学模型一旦出现随机解释变量, 如果
仍采用 OLS法估计模型参数, 不同性质的随机解
释变量会产生不同的后果 。
? 对回归模型
Y=XB+N (2.7.5)
其 OL S 参数估计量为：
? ( ) ( ) ( )? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ?X X X Y X X X X1 1
? 可见, 随机解释变量带来什么后果取决于它与
随机误差项是否相关 。
取期望，有
E E( ? ) ( ) ( )? ? ?? ? ? ? ??X X X X X1
? ? ? ??? ?( ) ( )X X X1 E ( 2, 7, 6 )
2、随机解释变量与随机误差项不相关
? 这时采用 OLS法估计模型参数，得到的参数估
计量仍然是无偏估计量
3、随机解释变量与随机误差项在小样本下
相关，在大样本下渐近无关
? 根据 (2.7.3)和 (2.7.6)，这时采用 OLS法估计模型
参数，得到的参数估计量在小样本下是有偏的，在
大样本下具有渐近无偏的。
4、随机解释变量与随机误差项高度相关
? 根据 (2.7.4)和 (2.7.6)，这时采用 OLS法估计模
型参数，得到的参数估计量在小样本下是有偏
的，在大样本下也不具有渐近无偏性。
? OLS法失效，需要发展新的方法估计模型 。
5、滞后被解释变量作解释变量，并且与随
机误差项相关
如果模型中的随机解释变量是滞后被解释变量,
并且与随机误差项相关时, 除了 OLS法参数估计
量是有偏外, 还带来两个后果：
① 模型必然具有随机误差项的自相关性 。 因为
该滞后被解释变量与滞后随机误差项相关, 又与
当期随机误差项相关 。
② D.W.检验失效 。 因为不管 D.W.统计量的数值
是多少, 随机误差项的自相关性总是存在的 。
四、工具变量法
Instrumental Variables Method
1、工具变量的选取
工具变量,在模型估计过程中被作为工具使用，
以替代模型中与随机误差项相关的随机解释变量。
选择为工具变量的变量必须满足以下条件：
（ 1）与所替代的随机解释变量高度相关；
（ 2）与随机误差项不相关；
（ 3）与模型中其它解释变量不相关，以避免出
现多重共线性。
2、工具变量的应用
? 对于多元线性模型
y x x xi i i k ki i? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?0 1 1 2 2 ?
i=1,2,…,n
? 用普通最小二乘法估计模型，最后归结为求解
一个关于参数估计量的正规方程组：
? ?
? ?
? ?
? ?
y ( x x x )
y x x x x x
y x x x x x
y x x x
i i i k ki
i i i i k ki i
i i i i k ki i
i ki i
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ?
? ? ? ?
(
? ? ? ?
)
(
? ? ? ?
)
(
? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ?
0 1 1 2 2
1 0 1 1 2 2 1
2 0 1 1 2 2 2
0 1 1 2
?
?
?
?
2 i k ki ki
x x? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
)?
? 该方程组也可以看作为矩方法的结果。用每个
解释变量分别乘以模型的两边，并对所有样本
点求和,? ?
? ?
? ?
? ?
y ( x x x )
y x x x x x
y x x x x x
y x x x
i i i k ki i
i i i i k ki i i
i i i i k ki i i
i ki i i
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ?
0 1 1 2 2
1 0 1 1 2 2 1
2 0 1 1 2 2 2
0 1 1 2 2
?
?
?
?
?
( )
( )
(
k ki i ki
x x?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ? )
? 然后再对方程的两边求期望,E y E ( x x x )
E y x E x x x x
E y x E x x x x
E y x
i i i k ki i
i i i i k ki i i
i i i i k ki i i
i ki
( ) ( )
( ) ( ( ) )
( ) ( ( ) )
( )
? ?
? ?
? ?
?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
0 1 1 2 2
1 0 1 1 2 2 1
2 0 1 1 2 2 2
?
?
?
?
? ? ? ? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
? E x x x x
i i k ki i ki
( ( ) )? ? ? ? ? ?
0 1 1 2 2
?
? 利用下列条件得到的：
E
E x j k
E j k
i
i ji
j j
( )
( ),,,,
( ) ?,,,,,
?
?
? ?
?
? ?
? ?
0
0 1 2
0 1 2
?
?
? 如果 x2为随机变量，且与随机误差项相关；选
择 z作为它的工具变量。在应该用 x2乘方程两边
时，不用 x2，而用 z。
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????????
????????
????????
????????
kiikikiikii
ikikiii
iikikiiii
ikikiii
xxxxxy
xxxy
xxxxxy
)xxx(y
)(
)(
)(
22110
22110
1221101
22110
?????
?????
?????
?????
?
?
?
?
?
ii
zz
? 得到采用工具变量法的正规方程组：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???????
???????
???????
???????
kikikiikii
ikikiiii
ikikiiii
kikiii
xxxxxy
zxxxzy
xxxxxy
)xxx(y
)????(
)????(
)????(
????
22110
22110
1221101
22110
????
????
????
????
?
?
?
?
?
? 求解该方程组即可得到关于原模型参数的工具变
量法估计量。
? 对于矩阵形式：
Y=XB+N
采用工具变量法 （假设 2X 与随机项相关，
用工具变量 Z 替代）得到的正规方程组为：
? ? ?Z Y Z X ??
通常, 对于没有选择另外的变量作为工具变量的
解释变量, 可以认为用自身作为工具变量 。 于是被
称为 工具变量矩阵 。
参数估计量为：
?
( )? ? ? ?
?
Z X Z Y
1
其中
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
Z
1 1 1
11 12 1
1 2
1 2
?
?
?
?
?
x x x
z z z
x x x
n
n
k k kn
3、工具变量法估计量是无偏估计量
一元线性模型中，用工具变 量法所求的
参数估计量 1
??
与总体参数真值 1? 之间的关系
为
?
?
?
?
??
?
?
ii
ii
ii
iii
xz
z
xz
xz ?
?
??
?
1
1
1
)(
?
两边取概率极限得：
?
?
??
iin
iin
xzP
zP
P
1
1
11
li m
li m
)?li m (
?
??
如果工具变量 z 选取恰当，即有
?
?? 0),c o v (
1
l i m
iiii
zz
n
P ??
，
?
?? 0),c o v (
1
l i m
iiii
xzxz
n
P
则有,11 )
?
l i m ( ?? ?P
? 对于多元线性模型
E E( ? ) (( ) )? ? ? ??Z X Z Y1
? ? ? ?
? ? ?
?
?( ) ( ( ))
( )
Z X Z X
Z
1 E
E
? ?
? ?
?
其中利用了工具变量与随机误差项不相关。
4、几点注解
? 工具变量并没有替代模型中的解释变量,只是
在估计过程中作为“工具”被使用。
? 如果模型中有两个以上的随机解释变量与随机
误差项相关，就必须找到两个以上的工具变量。
但是,一旦工具变量选定，它们在估计过程被
使用的次序不影响估计结果。 为什么？
? OLS可以看作工具变量法的一种特殊情况。 为
什么？
五、案例：消费模型
1,OLS估计结果
D e p e n d e n t V a r i a b l e, C O N S
M e t h o d, L e a st S q u a r e s
D a t e, 0 3 / 2 0 / 0 3 T i m e, 2 2, 0 5
S a m p l e ( a d j u st e d ), 1 9 8 1 1 9 9 6
I n cl u d e d o b se r v a t i o n s,1 6 a f t e r a d j u st i n g e n d p o i n t s
V a r i a b l e C o e f f i ci e n t S t d, E r r o r t - S t a t i st i c P r o b,
C 5 4 0, 5 2 8 6 8 4, 3 0 1 5 3 6, 4 1 1 8 4 8 0, 0 0 0 0
G D P 0, 4 8 0 9 4 8 0, 0 2 1 8 6 1 2 2, 0 0 0 3 5 0, 0 0 0 0
C O N S 1 0, 1 9 8 5 4 5 0, 0 4 7 4 0 9 4, 1 8 7 9 6 9 0, 0 0 1 1
R - sq u a r e d 0, 9 9 9 7 7 3 M e a n d e p e n d e n t v a r 1 3 6 1 8, 9 4
A d j u st e d R - sq u a r e d 0, 9 9 9 7 3 9 S, D, d e p e n d e n t v a r 1 1 3 6 0, 4 7
S, E, o f r e g r e ssi o n 1 8 3, 6 8 3 1 A ka i ke i n f o cr i t e r i o n 1 3, 4 3 1 6 6
S u m sq u a r e d r e si d 4 3 8 6 1 3, 2 S ch w a r z cr i t e r i o n 1 3, 5 7 6 5 2
L o g l i ke l i h o o d - 1 0 4, 4 5 3 3 F - st a t i st i c 2 8 6 8 2, 5 1
D u r b i n - W a t so n st a t 1, 4 5 0 1 0 1 P r o b ( F - st a t i st i c) 0, 0 0 0 0 0 0
2,IV估计结果
D e p e n d e n t V a r i a b l e, C O N S
M e t h o d, T w o - S t a g e L e a st S q u a r e s
D a t e, 0 3 / 2 0 / 0 3 T i m e, 2 2, 0 7
S a m p l e ( a d j u st e d ), 1 9 8 1 1 9 9 6
I n cl u d e d o b se r v a t i o n s,1 6 a f t e r a d j u st i n g e n d p o i n t s
I n st r u m e n t l i st, C G D P G D P 1
V a r i a b l e C o e f f i ci e n t S t d, E r r o r t - S t a t i st i c P r o b,
C 5 5 7, 7 3 0 7 8 5, 6 7 8 1 2 6, 5 0 9 6 0 5 0, 0 0 0 0
G D P 0, 4 8 9 1 0 0 0, 0 2 2 7 6 7 2 1, 4 8 2 6 4 0, 0 0 0 0
C O N S 1 0, 1 8 0 7 5 9 0, 0 4 9 3 9 4 3, 6 5 9 5 1 6 0, 0 0 2 9
R - sq u a r e d 0, 9 9 9 7 7 1 M e a n d e p e n d e n t v a r 1 3 6 1 8, 9 4
A d j u st e d R - sq u a r e d 0, 9 9 9 7 3 6 S, D, d e p e n d e n t v a r 1 1 3 6 0, 4 7
S, E, o f r e g r e ssi o n 1 8 4, 6 7 4 8 S u m sq u a r e d r e si d 4 4 3 3 6 2, 1
F - st a t i st i c 2 8 3 7 3, 3 1 D u r b i n - W a t so n st a t 1, 3 8 7 1 1 9
P r o b ( F - st a t i st i c) 0, 0 0 0 0 0 0
五、广义矩估计（ GMM） 的概念
? 如果 1个随机解释变量可以找到多个互相独立
的工具变量，人们希望充分利用这些工具变量
的信息，就形成了 广义矩方法（ GMM） 。
? 一般讲，矩条件大于待估参数的数量，就是 广
义矩方法 。
? GMM是近 20年计量经济学理论方法发展的重
要方向之一。
? L,Hansen,Large Sample Properties of GMM
Estimators,Econometrics,50,1982.
? 显然，在 GMM中，如何求解成为它的核心问题。
))()'((m i nar g? 1 ??? mWm ??
?
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iJi
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ii
i
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ez
n
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m
m
m
m
1
1
1
)(
)(
)(
)(
2
1
2
1
?
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?
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?
?
? 参考, 高等计量经济学,§ 3.6
? 在应用软件中可以方便地实现。
? IV是 GMM的一个特例。
? OLS是 GMM的一个特例。
GMM估计结果
D e p e n d e n t V a r i a b l e, C O N S
M e t h o d, G e n e r a l i ze d M e t h o d o f M o m e n t s
D a t e, 0 3 / 2 0 / 0 3 T i m e, 2 2, 2 6
S a m p l e ( a d j u st e d ), 1 9 8 1 1 9 9 6
I n cl u d e d o b se r v a t i o n s,1 6 a f t e r a d j u st i n g e n d p o i n t s
N o p r e w h i t e n i n g
B a n d w i d t h, Fi x e d ( 2 )
K e r n e l, B a r t l e t t
C o n v e r g e n ce a ch i e v e d a f t e r, 3 w e i g h t m a t r i ci e s,4 t o t a l co e f i t e r a t i o n s
I n st r u m e n t l i st, C G D P G D P 1 C O N S G
V a r i a b l e C o e f f i ci e n t S t d, E r r o r t - S t a t i st i c P r o b,
C 5 6 5, 0 0 0 9 6 8, 1 2 4 0 9 8, 2 9 3 7 0 1 0, 0 0 0 0
G D P 0, 4 9 1 4 2 8 0, 0 1 1 0 7 5 4 4, 3 7 4 2 1 0, 0 0 0 0
C O N S 1 0, 1 7 4 9 9 2 0, 0 2 3 8 0 9 7, 3 4 9 9 5 2 0, 0 0 0 0
R - sq u a r e d 0, 9 9 9 7 6 9 M e a n d e p e n d e n t v a r 1 3 6 1 8, 9 4
A d j u st e d R - sq u a r e d 0, 9 9 9 7 3 3 S, D, d e p e n d e n t v a r 1 1 3 6 0, 4 7
S, E, o f r e g r e ssi o n 1 8 5, 6 3 8 2 S u m sq u a r e d r e si d 4 4 8 0 0 0, 1
D u r b i n - W a t so n st a t 1, 3 6 0 7 8 6 J - st a t i st i c 0, 0 2 9 8 3 7
综合练习一
? 自己选择研究对象，完成建立模型、收集数据、
估计模型和检验模型的全过程。
? 6月 23日交打印稿。
? 尽可能用统计年鉴数据，以减少收集数据的工
作量。
? 必须列出数据表，以便于检查。
