计量经济学
第三章
扩展的单方程计量经济学模型
理论与方法
计量经济学
? 本章讨论各种扩展模型，主要包括将常参数扩
展为变参数的变参数模型、将线性关系扩展为
非线性关系的非线性模型等。
? 讨论分布滞后模型，包括用于分布滞后模型参
数估计的 Almon,koyck估计方法。
计量经济学
§ 3.1 变参数单方程计量经济
学模型
计量经济学
在 模 型
t t tyx? ? ? ? ? ?
1,2,.,,,tn?
中, 认 为 参 数
??、
在 样 本 期 内 是 常 数, 即 认
为 产 生 样 本 观 测 值 的 经 济 结 构 保 持 不 变, 解 释
变 量 对 被 解 释 的 影 响 保 持 不 变 。
计量经济学
一, 确定性变参数模型
将上述模型，改写成,
t t t t tyx? ? ? ? ? ?
1,2,.,,,tn?
认为参数
tt??、
是变量，但不是随机变量，
而是确定性变量，我们称之为确定性变参数
模型。
计量经济学
1,参数随某一个变量呈规律性变化
如果：
01tt p? ? ? ? ?
01tt p? ? ? ? ?
其中参数
? ? ? ?? ? ? ?、,,
是常数。
在实际经济问题中，
p
往往是一个政策变量，表
示由于政策的变化改变了解释变量对被解释变量的影
响程度。
计量经济学
在实际经济问题中，
p
往往是一个政策变量，表示由于
政策的变化改变了解释变量对被解释变量的影响程度。
如在消费模型，描述消费是如何决定于收入的。从经济
学意义上讲，参数
?
表示边际消费倾向，边际消费倾向
与边际储蓄之各等于 1,而边际储蓄倾向与当时的利率有
关，所以边际消费倾向也随利率而变化。
计量经济学
把
01tt p? ? ? ? ?
，
01tt p? ? ? ? ?
代入
t t t t tyx? ? ? ? ? ?
可得：
0 1 0 1t t t t t ty p x p x? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
1,2,.,,,tn?
因为
p
为确定性变量，与随机误差项不相关，可以
用 OLS 估计。并可通过对
????、
检验是否为 0,来
检验变量
p
是否对
??、
有影响。
计量经济学
GLM
? Proc glm data=a;
? Class a;
? Model y=x a;
? Run;
计量经济学
2,参数作间断性变化
如果有,
01tt
tt
p
p
??
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
当
0
0
10
1
t
t
t n p
n t n p
? ? ??
?
? ? ??
表示模型中的参数在
0n
发生了突发性变化。
计量经济学
当
0n
已 知 时, 可 以 分 段 建 立 模 型, 分 段 估 计 模 型, 即 将 模 型
改 写 为,
01t t tyx ?? ? ? ? ? ?
01,2,..,,tn?
0 1 2)t t tyx ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
0 1,,t n n??
计量经济学
也可建立一个统一的模型,
01 )t t t t ty D D x??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
1,2,.,,,tn?
即,
01t t t t t ty D x D x??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
1,2,.,,,tn?
其中 D 为虚变量，其样本观测值为
0
0
10
1
t n D
n t n D
? ? ??
?
? ? ??
计量经济学
当
0n
未 知时,但
12( ) ( )ttV a r V a r?? ?
,一 般 可 选 择 不 同 的
0n
,
按 上 面 的 方 法 进 行 试 估 计, 然 后 从 多 次 估 计 中 选 择 最 优 者 。 选
择 标 准 是 使 模 型 的 残 差 平 方 和 最 小 。
计量经济学
当
0n
未知时，但
12( ) ( )ttV a r V a r?? ?
，此时，将
0n
看作待
估参数，模型采用
01t t tyx ?? ? ? ? ? ?
01,2,..,,tn?
0 1 2)t t tyx ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
0 1,,t n n??
并假设：
2
11 ( 0,)t N ??
，
2
22 ( 0,)t N ??
但不存在自相关。
计量经济学
G o l d f e l d 和 Q u a n d t 于 1 9 7 3 年研究并提出用最大似然估计进行估计。构造关
于
0n
的 对数或然函数为
0 0 0
0
01
2
12
22
0 0 0 1 0 122
112
l n (,| ) l n ( 2 ) l n ( ) l n
2
11
( ) ( ( ) ( ) )
22
tt
nn
tt
t t n
n
L n n n n
y x y x
? ? ? ?
??
???
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???
遍 取 12 n，,为
0n
的 值, 代 入 对数或然函数为, 选 择 使 得 对数或然函数为 最
大 的
0n
作 为 突 变 点 的 估 计 值 。
计量经济学
二、随机变量参数模型
1, 参数在一常数附近随机变化
如果模型参数只在一常数附近随机变化，即,
t t t t? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，
其中
tt??，
为具有 0 均值的随机项。
计量经济学
于是有：
t t tyx? ? ? ? ? ?
其中,
t t t t tx? ? ? ? ? ? ?
0tE ??
2( ) ( ) 0
t t t t t t t tE x E x x x? ? ? ? ? ? ? ?
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 ( 2 )
t t t t t t t t t
tt
V a r E E E E x
xx? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
计量经济学
显然，模型有异方差性，而且已经推导出随机误差项的方差与解释
变量之间的函数据关系，所以可以采用有关异方差的参数估计方法。
由 H i l d r e t h 和 H o u c k 于 1 9 8 6 年提出了如下的变量参数模型,
0 1 1 2 2t t t t t t k t k t ty x x x? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ?
1,2,.,,,tn?
j t j j t? ? ? ? ?
2()
j t jV a r ???
0,1,2,.,,,jk?
被称为 Hild r e t h - H o u c k 模型。
计量经济学
2,参数随一变量作规律性变化，同时受随机因素影响
在这种情况下，参数可以表示为,
t t tp? ? ? ? ? ? ?
t t tp? ? ? ? ? ? ?
则相应的模型可表示为,
t t t t t t t t ty p x p x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
1,2,.,,,tn?
显然，这是一个具有异方差性的多元线性模型。可参考有关
参数估计方法。
计量经济学
3, 自适应回归模型
如果模型
t t t tyx? ? ? ? ? ?
1,2,.,,,tn?
中的参数
t?
可以表示为,
11
2
( ) 0
()
t t t
t
t
t
E
V a r ?
??
? ? ? ? ?
??
??
? ? ?
则称该模型为自适应回归模型。
计量经济学
自适应回归模型是由影响
t?
的变量具有一阶自相
关性所引起的。例如,
0
1
tt
t t t
p
pp
?
? ? ? ? ?
? ? ? ?
则：
01t t tp ?? ? ? ? ? ? ? ? ?
如果
1? ?
，即具有较高程度自相关，于是有,
1t t t??? ? ? ? ?
就引出自适应回归模型。
计量经济学
? 在消费方程中，国家的消费政策（刺激、鼓励、
一般或抑制的政策）使得自发性消费是一个随
机变量，而国家的消费政策往往具有一阶自相
关性，引起自发性消费也具有一阶自相关性。
计量经济学
对自适应回归模型,将
11t t t??? ? ? ? ?
代入（ 3, 1, 2 ）得到
11t t t t tyx ??? ? ? ? ? ? ? ?
选择
1n ?? ? ?
则有
nn? ? ? ? ?
11n n n??? ? ? ? ? ? ?
,
,
1 1 1nn ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
计量经济学
于 是, 模 型 可 改 写 为,
11t t t n n tyx ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
1,2,.,,,tn?
相当于
t t tyx? ? ? ? ? ?
2()
tV a r ? ???
2()
tVa r ? ???
11
11
()
nn
nn
Co v
? ? ????????? ? ? ? ???????? ???? ? ???????? ? ?????????
? ? ? ? ????? ? ?? ? ? ? ???? ???? ? ???????? ? ????????? ?
? ? ????
?? ? ???????????????? ? ????????????? ????? ? ????? ? ? ? ??????
??? ?????????????????? ??????????????
2
?
?
??
??
??
??
??
??
??
?????? ????????? ??????? ? ? ???
??
其中
2
2
?
?
?
?
??
计量经济学
当 ? 已知时，可采用广义最小二乘法估计模型
参数；
当 ? 未知时，可选择不同的 ? 值试估计，选择
拟合最好者。
计量经济学
自 适 应 回 归 模 型 的 另 一 种 形 式 是
?
不 变,
?
具 有 一 阶 处 相 关, 即,
t t t tyx? ? ? ? ? ?
11t t t??? ? ? ? ?
这 类 模 型 也 是 具 有 代 表 性 。 如, 在 消 费 方 程 中,
t?
表 示 边 际 消 费 倾
向, 在 生 产 方 程 中,
t?
表 示 某 种 投 入 要 素 的 产 出 弹 性, 而 前 面 提 到
的 影 响 边 际 消 费 倾 向 的 利 率, 影 响 投 入 要 素 产 出 弹 性 的 投 入 要 素 的
比 例, 都 具 有 一 阶 自 相 关 性 。
计量经济学
假 设,
2
( ) ( 1 )
t
V a r ?
?
? ? ? ? ?
2()
tV a r ? ?? ? ? ?
其 中,
01???
,为 了 简 单 但 又 不 失 一 般 性, 可 以
假 设
????
为 单 位 阵, 取
1n ?? ? ?
类 似 上 面 的 模 型 推 导, 并 得 出 模 型 的 参 数 估 计 。
计量经济学
§ 3.2 非线性单方程计量经济学模型
2010-5-17
20世纪 70年代至 80年代初，关于非线性模型理
论与方法的研究成为一个热点。非线性模型理论与
方法已经形成了一个与线性模型相对应的体系，包
括从最小二乘原理出发的一整套方法和从最大似然
原理出发的一整套方法，也包括随机误差项违背基
本假设的非线性问题的估计方法。
计量经济学
一,非线性单方程计量经济学模型概述
? 解释变量非线性问题
? 可化为线性的包含参数非线性的问题
? 不可化为线性的包含参数非线性的问题
计量经济学
解释变量非线性问题
现实经济现象中，变量之间往往呈现非线性关系，
但在许多情况下，又可通过简单的变换，使之成为线性。
解释变量非线性问题就属于这种情况。例如需求函数模
型中需求量与价格之间的关系为：
11
Qp
? ? ?? ? ?
通过变量置换就可以化为线性模型。
计量经济学
可化为线性的包含参数非线性的问题
? 计量经济学模型，一旦包含参数非线性，一般
情况下通过简单的变换难以化为线性问题。但
非线性模型的参数估计远比线性复杂，所以还
应该尽可能地将它们化为线性问题。
计量经济学
如 CD 生 产 函 数 模 型,
Q AK L???
C E S 生 产 函 数 模 型,
1
12
()Q A K L
?? ?
??
?
??
??
在 假 设 随 机 误 差 项 的 对 数 形 式 服 从 正 态 分 布 的 情 况
下, 即 引 入 随 机 误 差 项 后 可 以 写 成,
Q AK L?? ??
1
12
()Q A K L
?? ?
? ? ?
?
??
??
计量经济学
尽管包含参数非线性，仍然可以首先化为线性问题。
l n l n l n l n l nQ A K L? ? ?? ? ? ?
12
1
l n l n l n ( ) l nQ A K L
??
? ? ?
?
??
? ? ? ?
将式中
12l n( )KL
???? ?? ?
在
0? ?
处展开台劳级数，取关
于
?
的线性项，即可得,
2
1 2 1 2
1
l n l n l n l n ( l n ( ) ) l n
2
K
Q A K L
L
? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?
计量经济学
例 1,下表给出了某种家用电器 1 9 8 4 - 1991 年的需求量（ Y,万台）
的统计资料。
年份 需求量 t
1 9 8 4 1, 3 1
1 9 8 5 1, 5 2
1 9 8 6 1, 8 3
1 9 8 7 2 4
1 9 8 8 1, 9 5
1 9 8 9 2 6
1 9 9 0 2, 2 7
1 9 9 1 2, 1 8
考虑半对数模型
1 lnYt ????
，用 OL S 法估计该模型，并预测
1 9 9 2 年市场对该产品的需求量。
计量经济学
不可以化为线性的包含参数非线性的问题是下面讨论的真
正非线性模型。它的一般表达式为
(,)iif X B ???iy
1,2,.,,,in?
其中
f
是非线性函数。如上述生产函数模型，如果随机误差
项直接服从正态分布，在引入随机误差项后模型写成,
Q A K L?? ???
1
12
()Q A K L
?? ?
? ? ?
?
??
? ? ?
就是典型的非线性模型。
不可化为线性的包含参数非线性的问题
计量经济学
非线性方程的类型
计量经济学
计量经济学
二、非线性普通最小二乘法
1,OL S 原 理
对于只有一个参数的非线性模型,可以写成,
(,)iifx ????iy
1,2,.,,,in?
如果参数估计值已经得到，则应使得残差平方和最小。即,
2
1
( ) [ (,) ]
n
ii
i
S y f x??
??
?
?? ?
达最小。
计量经济学
取极小值的一 阶条件为,
1
(,)
2 [ (,) ] [ ] 0
n
i
ii
i
d f xdS
y f x
dd
?
?
??
?
?
??
?
?
? ? ? ??
即
1
(,)
[ (,) ] [ ] 0
n
i
ii
i
d f x
y f x
d
?
?
?
?
?
?
?
???
现在的问题是在于如何求解上述非线性方程。
计量经济学
对于多参数非线性模型，用矩阵形式表示为,
(,)Y f X B N??
其中各符号的含义与线性模型相同。向量 B 的普通最小平方估
计 ?B 应该使得残差平方和
? ? ?( ) [ (,) ] ' [ (,) ]S B Y f X B Y f X B? ? ?
达到最小值。即 ?B 应该满足下列条件,
?( ( ) )
? ?2 [ (,) ] ' [ (,) ] 0
? ?
SB
f X B Y f X B
BB
??
? ? ? ?
??
计量经济学
? ?[ (,) ] ' [ (,) ] 0
?
f X B Y f X B
B
?
??
?
即
其中
?[ (,) ] '
?
f X B
B
?
?
是一个
? ?kn?
阶偏微分矩阵。
其中第
? ?,ji
个元素为
?[ (,) ] '
j
f X B
?
?
?
计量经济学
2,高斯 - 牛顿 ( G a u s s - N e w t on ) 迭代法
( 1) 高斯 - 牛顿迭代法的原理
根据经验给出参数估计值
?
的初值
? ?0
??
，将
?(,)
ifx ?
在
? ?0
??
处展开台
劳级数，即有,
( 0 )
?( 0 ) ( 0 )
?
(,)
? ? ? ?
(,) (,) | ( )
?
i
ii
d f x
f x f x
d
?
?
? ? ? ?
?
? ? ?
令 ?
(,)
?
()
?
i
i
d f x
z
d
?
?
?
?
于是
( 0 )
?( 0 )
?
(,)
?
|
?
i
d f x
d
?
?
?
?
i
z ( ) =
计量经济学
代入
2
1
( ) [ (,) ]
n
ii
i
S y f x??
??
?
???
，得到,
2
( 0 ) ( 0 ) ( 0 )
1
( ) [ (,) ) ( ) ]
n
ii
i
S y f x? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
?
? ? ? ??
i
z(
2
( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )
1
[ (,) ) ) ]
n
ii
i
y f x ? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
?
? ? ? ??
ii
z ( z (
2
( 0 ) ( 0 )
1
[ ( ) ) ]
n
i
i
y ? ? ?
? ? ?
?
???
i
z(
其中
( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )
( ) (,) ( )
i i i
y y f x? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ?
i
z
。
计量经济学
对于给出了初值
? ?0?
?,我们可以计算
( 0 )()iy ?
? 和
( 0 )()?
?
iz
的确定的观测值。于是
只要求
2
( 0 ) ( 0 )
1
? ? ?[ ( ) ) ]
n
i
i
y ? ? ?
?
??
i
z(
的极小值即可。
如果有一个线性模型
( 0 ) ( 0 ) i( ) )iy ? ? ? ?
? ? ?
?? iz(
很容易求得其参数
?
? 的普通最小二乘估计值
? ?1?
?,该估计值使得残差平方和
2
( 1 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 1 )
1
? ? ? ?( ) [ ( ) ) ]
n
i
i
Sy ? ? ? ?
?
???
i
z(
最小。
计量经济学
将
? ?1?
? 作为新的估计值，将
(,)ifx ?
? 在
? ?1?
? 处展开台劳级
数，取了阶近似值，又可以构造一个新的线性伪模型，
对其进行普通最小二乘估计，得取参数
?
? 的第二次迭代
值
? ?2?
?,如此迭代下去。
计量经济学
( 2) 高斯 - 牛顿迭代法的步骤,
第一步：给出参数估计值
?
? 的初值
? ?0
?
?,将
(,)
i
fx ?
? 在
? ?0
??
处
展开台劳级数，取一阶近似值；
第二步：计算
( 0 )
? )?
iz(
和
( 0 )
?()
iy ?
的样本观测值；
第三步：采用 O L S 方法估计模型
( 0 ) ( 0 ) i
? ? ?( ) )
iy ? ? ? ??? iz(
，
得到估计值
? ?1
??；
第四步：用
? ?1
??
替代第一步中
? ?0
??
，重复这一过程，直到收敛
为止。
计量经济学
3, N e w t o n R a p h s o n?牛顿 拉夫森( - ) 迭代法
取二阶近似值；
( 0 ) ( 0 )
2
2
( 0 ) ( 0 ) ( 0 )
2
( ) 1 ( )
( ) ( ) | ( ) | ( )
2
d S d S
SS
d d
??
??
? ? ? ? ? ?
? ?
??
??
? ? ? ? ? ?
??
? ? ? ? ?
()
0
dS
d
?
?
?
?
?
即
( 0 ) ( 0 )
2
2
( 0 )
2
( ) ( ) ( )
| | ( ) 0
d S d S d S
dd d
??
? ? ?
??
?? ?
??
? ? ?
??
? ? ?
? ? ? ?
则有
( 0 ) ( 0 )
2
1
( 0 )
2
( ) ( )
( | ) |
d S d S
dd
??
??
??
??
??
??
??
?
??
??
计量经济学
SAS上机指导
? Proc nlin data =a;
? 模型的完全形式；
? 偏导数的形式；
? Run;
计量经济学
§ 3.3 非因果关系单方程模型
计量经济学
所谓计量经济学模型，专指那些在数学上
采用回归分析的方法，在经济意义上揭示因果
关系的经济数学模型。下面简单地介绍得到普
遍应用的增长曲线模型，这类模型同样也采用
回归分析的方法估计模型参数，揭示经济变量
的某种变化规律，但并不反映经济活动中的因
果关系。
计量经济学
一、增长曲线模型概述
? 增长曲线模型描述经济变量随时间变化的规律
性，从已经发生的经济活动中寻找这种规律性，
并用于未来经济预测。但是，时间并不是经济
活动变化的原因，所以增长曲线模型不属于因
果关系模型。
计量经济学
1,多项式增长曲线模型
2
0 1 2
k
tky t t t? ? ? ?? ? ? ? ?
其中
ty
是第 t 个时间单位的某个经济指标值,t 是时间，
0 1 2,,,,k? ? ? ?
为模型参数 。
计量经济学
2,简单指数型增长曲线模型
t
ty ab?
显然，当
0,1ab??
时,y 随着 t 的增加无限 的增大；而
0,0 1ab? ? ?
时,y 随着 t 的增加趋向于 0 。
计量经济学
3,修正指数型增长曲线模型
t
ty k ab??
其中 k 是 y 的逼近值，当
0,1ab??
时,y 随着 t 的
减少直至 ?? 而逼近于 k ；而
0,0 1ab? ? ?
时,y 随
着 t 的增加直至 ?? 趋向于 k 。
计量经济学
4,Logistic增长曲线模型
5,Gompertz增长曲线模型
计量经济学
二、逻辑增长曲线模型
? 逻辑增长曲线模型，俗称, S曲线,,由
Verhulst 1845年提出，当时主要目的是模拟人
口的增长。
计量经济学
其一般形式为,
()
1
t t
K
y
e
?
?
?
其中：
2
0 1 2()
k
kt t t t? ? ? ? ?? ? ? ? ?
。后来经过逐步简化，
目前常见的形式是,
1
t bt
K
y
ae
?
?
?
也称狭义的逻辑增长曲线模型。
计量经济学
逻辑增长曲线有二个重要的特征,
一是 y 随着 t 的减少直至 ?? 而逼近于 K,即 K 是 y
的饱和点；反过来，当
t ? ? ?
时，
0y ?
。
二是增长速度越来越慢，逐渐趋近于 0 。
现实生活中许多经济现象的增长过程具有这二个特
征，如：一种新产品的普及率，一种耐用品的存量等。
计量经济学
例：下表内的数据给出了美国 1 7 9 0 ~ 1 9 7 0 年每
10 年人口统计资料（单位：百万人）。要求：分
别应用人口增长模型,
指数增长模型：
t
ty ab?
L o g is ti c 增长模型：
1
t t
K
y
e
?? ?
?
?
预测美国 1 9 8 0 年,1 9 9 0 年,2 0 0 0 年的人口数。
计量经济学
year
人口数
（ P ）
year
人口数
（ P ）
1790 3.929 1900 75.994
1800 5.308 1910 91.972
1810 7.239 1920 105.71
1820 9.638 1930 122.775
1830 12.866 1940 131.669
1840 17.069 1950 151.325
1850 23.191 1960 179.323
1860 31.443 1970 203.211
1870 39.818 1980
1880 50.155 1990
1890 62.947 2000
计量经济学
三,GOMPERTZ增长曲线模型
GO M P E R T Z 增长曲线 1 8 2 5 年由 Go m p e r tz 提出的，
其数学形式为,
bt
ty K a?
其中 K 和 a,b 为待估参数,K 为 y 的上限逼近值,0
为 y 的下限逼近值。所以 Go m p e r tz 曲线和 L o g is ti c
曲线很相似，只是二者的拐点的位置不同。
计量经济学
Go m p e r tz 曲线的参数估计方法有很多，如最简单
的是作如下变换,
btty a
K
?
则有：
l n ( l n ) l n ( l n ) l nt
y
a t b
K
??
计量经济学
对于给定的 K，上述模型是一个简单线性模型。关键是如
何确定 K：
? 根据模型的经济背景给出 K的上、下限。例如：一种新产品的
普及率则上限为 100%，下限是已经实现的普及率。
? 然后分别根据上、下限作为 K的给定值，估计模型，计算残差
平方和。
? 给出不同的新的 K值，反复试算，直到得到的残差平方和最小
的 K值为止。
计量经济学
四、时间序列分析模型概述
1, 确定性时间序列分析模型
对于一个时间序列
1 2 3,,,,ny y y y
确定性模型主要有以
下几种,
（ 1 ） 滑动平均模型。
将平均数
11? t t t N
t
y y y
y
N
? ? ?
? ? ?
?
tN?
称为时间序列
ty
的滑动平均数序列，称为滑动平均模型。
计量经济学
（ 2 ）加权滑动平均模型
0 1 1 1 1
?
t t N t N
tw
a y a y a y
y
N
? ? ? ?
? ? ?
?
tN?
称为时间序列
ty
的加权滑动平均数序列。其中,
0 1 2 1,,,,Na a a a ?
为加权因子，满足
1
0
1
N
i
i
a
N
?
?
?
?
称为加权滑动平均模型
计量经济学
（ 3 ）二次滑动平均模型
所谓二次滑动平均是对经过一次滑动平均产生的序
列再进行滑动平均。即,
11?? t t t N
t
y y y
y
N
? ? ?
? ? ?
?
tN?
计量经济学
（ 4 ）指数平滑模型
如果采用下式求得序列的平滑预测值
1 1 1()t t t ty y y y?? ? ?? ? ?
01 ???
则称此预测模型为指数平滑模型，其中
?
称为平滑常数，
01 ??? 。
计量经济学
（ 5 ）二次指数平滑模型
在一次指数平滑模型的基础上，再进行指数平滑计算，
即构成二次指数平滑模型。同样还可以构成三次指数
平滑模型。
计量经济学
2,随机时间序列分析模型
（ 1 ）自回归模型（ AR ）
（ 2 ）平滑平均模型（ MA ）
（ 3 ）自回归平滑平均模型（ A R M A ）
（ 4 ） A R I M A 模 型
计量经济学
§ 3.2分布滞后模型
计量经济学
一般地，分布滞后模型可表达为,
1(,) ( 1 )t t t t p tY f X X X p???? ? ?
其中,
tjX ?
又可表为
()Xj ?
，带有滞后变量的模型称为动态模
型。
? 在涉及时间序列数据的回归分析中，如果回归模型
不仅含有解释变量的当前值，还含有它们的滞后值，
就把它称为分布滞后模型 (distributed-lag model)
计量经济学
为了说明“滞后”在经济学中的作用我们先考虑下
面一个例子,
假定某人的年薪增加了 2000 元，并假定它是一
种“永久性”增加，即这一薪金的增加将一直保持
下去。那么，这种收入的增加将会对个人的年消费
支出产生什么影响？
计量经济学
在得到收入的这种增加之后，人们通常不急于把全部增加的
收入马上花掉。比如说，受益者也许决定在收入增加后第一年增
加 800 元消费支出，下一年增加 600 元，再下一年增加 400 元，
而把所余的部分用于储蓄。到第三年未，此人的年消费支出增加
1800 元。于是我们可把消费函数写成,
120,4 0,3 0,2t t t t ty c x x x u??? ? ? ? ?
其中 Y 是消费支出,X 是收入。
计量经济学
一、滞后及其在经济研究中的作用
滞后的概念
? 在经济研究中，一个变量与另一个变量的相关
关系很少是瞬时的。经济出现这样的情况：一
个变量对另一个变量的反应具有一定的时间间
隔。我们就称这种间隔为滞后（ lagging）。
计量经济学
（消费函数）
消费函数研究的一种最新见解就是假定存在消费“习惯的
持久性”，如现在的消费水平取决于过去的消费水平，现在的收
入、过去的收入水平以及其它因素，即有关系式,
1 2 1 1,2,(,,,,)t t t t t t t tC f C C Y Y X X ?? ? ???
计量经济学
（投资函数）
投资计划取决于过去的产量（
tsX ?
），未来的期望利润（
t?
），
资本存量（
1tK ?
）和其他因素（如利润率（
tsr ?
）等），即有模型,
1,1,1(,,,)t t t t t t t tI f X X K r r ?? ? ?? ? ?
计量经济学
产生滞后的原因
? 心理因素，经济社会离不开人的参与，是一个有机系统。在这个
系统中，人们的心理因素对经济变量的变化有很大的影响。特别
是经济转轨时期，人们由于心理定势与, 习惯的持久性,,难以
及时适应新的经济条件与经济状况，表现出行为、决策具有滞后
的倾向。
? 技术因素，从投入到产出，需要一段时间，如工业生产中，当年
的产出在某种程度上依赖于过去若干期内投资形成的固定资产。
? 制度原因，契约、管理等因素也会形成一定程度的滞后。如：企
业受过去订立的合同制约而不能随意改变生产方向。
计量经济学
滞后在经济研究中的作用
? 滞后现象在经济领域是普遍的，是经济研究所必须
考虑的重要因素之一。这是出于对滞后现象在经济
研究中的作用的考虑。这些作用大体有如下几个方
面。
(1)消费行为都与滞后有关。
(2)经济调整过程需要时间，所需时间的长短取决于具
体现象的性质。
计量经济学
( 3) 滞后在经济决策中是头等的主要的，如政府官员要了解
经过多长时间后，经济组织才能尽快地对各种政策变量的
变化作出反应？消费者对征收消费税或信用紧缩的反应有
多快？
( 4) 滞后对于管理决策（如价格、质量、款式、广告等）有
重要的作用，也许是使它们不断变化的最有效的方法。滞
后模型对于用模型来表示经济行为提供很大的灵活性。
( 5) |短期价格（收入）弹性 ? 相应的长期弹性。
计量经济学
二、分布滞后模型的建立变量滞后模型通常有两种,
（ 1 ） 分布滞后模型
0 1 2 1 1t t t s t s tY b b X b X b X ?? ? ?? ? ? ? ? ?
滞后的长度没有设定，称为元有限分布滞后模型；
滞后的长度的设定为有限值，称为有限分布滞后模型；
计量经济学
在这 个 模型中，解释变量包括 X 的本期值及若干
期滞后
tiX ?
，而系数表示 乘数 的概念
1b
：短期乘数，表示 X 对 Y 的本期线性作用的大小；
ib
：动态乘数或延迟乘数，表示在各滞后期的 X 对 Y
的本期线性作用的大小；
0
j
i
i
b
?
?
：中期乘数，表示到前
j
个时期 X 对 Y 的本期
线性作用的大小；
计量经济学
0
s
i
i
b
?
?
：长期乘数，表示 X 变动一个单位，
因变量 Y 累积各期所产生的总影响。
全部
12,,sb b b
便作成一个滞后分布。
计量经济学
对于我们上面所讲的例子,
120,4 0,3 0,2t t t t ty c x x x u??? ? ? ? ?
? 0.4 是短期乘数，表示短期边际消费倾向,
? 长期乘数是 0,4+0.3 +0.2=0,9,是长期边际消费倾向。
计量经济学
( 2) 自回归模型
1 1 2 2
0 1 2 1 1
t t t p t p
t t s t s t
Y a Y a Y a Y
b b X b X b X ?
? ? ?
? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ?
对于分布滞后模型，经过一些变换（如
K o yc k 变换）可化为自回归模型。另一类自回
归模型是由期望模型所产生的，如局部调整模
型和适应性期望模型。
计量经济学
K o yc k 变换：对于无限分布滞 后模型,
0 1 1 ( 1 )t t t p t p tY X X X p? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ?
现设想全部
?
都有相同的符号,K o y c k 假定它们是按如下的
几 何 级 数 衰 减 的
0,0,1,2,
k
k k? ? ???
其中
?
称为分布滞后衰减率，
1 ??
称为调整速率，即可把
原模型简化为,
0 1 1( 1 ) ( )t t t t tY X Y? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?
计量经济学
适应性期望模型,
假如我们设如下一个模型,
*
01t t t
Y X u??? ? ?
其中,Y 对货币（实际现金余额）的需求； X ＊ 均衡、最优、
预期的长期或正常利率。
由于预期变量是不可直接观测的，我们对预期的形式做如下的
设想,
* * *
11
()
t t t t
X X X X?
??
? ? ?
其中
?
为
01 ???
，称期望系数。
计量经济学
上面 调整模型的含义是：经济行为者将根据过去的经验修改
他们的期望，特别要从错误中学习“，或者说，经济行为者每
期都按变量的现期值与前期期望值之间的差距的一个分数
?
去
修改期望值。这种调整的另一个表示方式是,
*
1( 1 )t t tX X X??
?
?? ? ?
说明时刻
t
的期望 X ＊ 是时刻
t
的真实值与它的前期的 期望值
各以
?
和
1 ??
为权的加权平均。
计量经济学
综合 *
01
* * *
11
()
t t t
t t t t
Y X u
X X X X
??
?
??
? ? ? ??
?
? ? ???
，可得,
0 1 1
0 1 1
( 1 )
( 1 ) )
t t t t
t t t
Y X X u
X Y v
? ? ? ?
? ? ? ? ?
?
?
?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
其中：
1( 1 )t t tv u u? ?? ? ?
计量经济学
存量调整模型,
在考虑经济理论中，该模型假定在给定的技术状态、利率等
条件下，存在有给定的产出所需酱存量的均衡、最优、理想或长
期额度。假如我们设理想的资本水平
tY
?
是产出
tX
的线性函数,
01t t tY X u??
? ? ? ?
由于理想的资本是不可直接观测的，所以得出部分调整假设,
11 ()t t t tY Y Y Y?
?
??? ? ?
其中
?
为
01 ???
，称调整系数。
计量经济学
这种调整的另一个表示方式是,
1( 1 )t t tY Y Y??
?
?? ? ?
说明时刻
t
观测到的资本存量是该时刻的理想资本存量与前一时期
已有的资本存量分别以
?
和
1 ??
为权的加权平均。
综合
01
11
()
t t t
t t t t
Y X u
Y Y Y Y
??
?
?
?
??
? ? ? ??
?
? ? ???
，可得,
0 1 1
0 1 1
( ) ( 1 )
( 1 ) )
t t t t
t t t
Y X u Y
X Y u
? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
?
?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
计量经济学
普通最小二乘法不能用于估计分布滞后变量模型，
期主要原因有：
? 滞后变量的各个时期的数据一般都是高度相关的，
这样就容易产生严重的多重共线性；
? 如果滞后期较长，有效样本观察值较小，将缺乏足
够的自由度进行估计和检验；
? 没有先验准则确定滞后期的长度。
计量经济学
上面所提到的自回归模型均可表示为
1t t t tY X Y? ? ? ??? ? ? ?
这类 模型优点 是,
（ 1 ） 以一个滞后变量代替了大量的滞后解释变量，最大限度
地节省自由度，解决了滞后长度 s 难以确定的问题。
（ 2 ） 滞后一期的因变量
1tY ?
与
tX
的线性相关程度可以肯定小
于 X 的各期滞后值之间的相关程度，从而在很大的程度
上缓解了多重共线性。
三、自回归模型的估计法
计量经济学
模型的不足之处,
（ 1 ） 随机误差项存在 自相关；
（ 2 ） 随机误差与前定变量
1tY ?
之间相关。
对于这类模型的估计，由于随机误差项存在自相
关，所以一般采用 工具变量法 。 还 可 以 采 用 最 大
似 然 估 计 等 技 术 。
计量经济学
Durbin h检验
对一般的模型
0 1 2 1t t t tY X Y? ? ? ??? ? ? ?
在参数估计之前探测随机扰动项的自相关性
是很生要的，对于一阶自相关的情形，可采
用 D u r bi n h 检验。
计量经济学
（ 1 ） 直接用 O L S 估计模型，得到参数估计
2??
、一价自
相关系数的参数估计
??
，与 DW 统计量；
（ 2 ） 计算 h 统计量
22
? ( 1 )
?1 ( ) 2 1 ( )
n d n
h
n V a r n V a r
?
??
? ? ?
??
（ 3 ） 给出显著性水平
?
，查正态分布表得到临界值
h?
，
确定检验准则,
若
hh ??
，则存在自相关；若
hh ??
，则不存在自相关；
计量经济学
注意：当
2?( ) 1n V a r ? ?
时，此检验失效。
计量经济学
例如：某地区劳动从数 E （万人）、社会总产值 Y
（亿元）的资料如下表所示。考虑劳动力需求模型
*2
0 0 1 2t t tE Y t t? ? ? ? ?? ? ? ? ?
其中：
t?
是随机扰动项,*E 为劳动力需求水平。
要求应用局部调整假设：
? ?*11t t t tE E E E???? ? ?
估计模型。
劳动力需求
计量经济学
解：从上述二个式子中，消去 *E 后可得,
2
1 0 1 2( 1 )t t t tE E Y t t? ?? ?? ?? ?? ???? ? ? ? ? ? ?
即有,
2
1 0 1 2( 1 )t t t tE E Y t t? ?? ?? ?? ?? ???? ? ? ? ? ? ?
计量经济学
四,Almon多项式滞后模型A l m o n 估计适用于有限分布滞后的滞后变量模型。即,
0 1 2 1 1t t t s t s tY b b X b X b X ?? ? ?? ? ? ? ? ?
经过一个特殊的变化，化为另一模型,
0 1 2 1t t t r r tY a a W a W a W ??? ? ? ? ? ?
计量经济学
其中
r
是 A l m o n 多项式
2
0 1 2()
r
rf z a a z a z a z? ? ? ?
的
次数，显然经过 Alm o n 变换，前后的系数之间的关系有如下,
0 0
1 1
2 2
( 0) 1 0 0
( 1 ) 1 1 1
( 2) 1 2 2
( ) 1
r
r
s r
b af
b af
b af
b af s s s
?? ??? ? ? ?
?? ??? ? ? ?
?? ??? ? ? ?
?? ??? ? ? ???
?? ??? ? ? ?
?? ??? ? ? ?
? ? ? ? ????
? ? ? ? ????
变量之间的关系如下,
0
11
2 2 2
22
1 1 1 1 1
0 1 2 3
0 1 2 3
0 1 2 3
t
t
t
r r r
tsr
XW
XW s
XW s
XW s
?
?
?
???? ??
???? ??
???? ??
???? ???
???? ??
???? ??
???? ??
???? ??
计量经济学
Almon估计的优点是：
? 计算比较简单；
? 提供了对近似多项式次数的直接检验；
? 即使增加额外的 W解释变量以改变多项
式的次数，也不会改变以前的变量。
计量经济学
例如：为了研究美国制造业资本存量 Y 与销
售额 X 之间的关系，收集了美国 1 9 5 5 年 ~ 1 9 7 4
年的资料。（单位：百万美元，选自,E c o n o m i c
R e p o r t o f t h e p r e s id e n t,T a b le C - 4 1,F e b, 1 9 7 5 ）
计量经济学
year Y X year Y X
1955 4 5 0 6 9 2 6 4 8 0 1965 6 8 2 2 1 4 1 0 0 3
1956 5 0 6 4 2 2 7 7 4 0 1966 7 7 9 6 5 4 4 8 6 9
1957 5 1 8 7 1 2 8 7 3 6 1967 8 4 6 5 5 4 6 4 4 9
1958 5 0 0 7 0 2 7 2 8 0 1968 9 0 8 7 5 5 0 2 8 2
1959 5 2 7 0 7 3 0 2 1 9 1969 9 7 0 7 4 5 3 5 5 5
1960 5 3 8 1 4 3 0 7 9 6 1970 1 0 1 6 4 5 5 2 8 5 9
1961 5 4 9 3 9 3 0 8 9 6 1971 1024 45 5 5 9 1 7
1962 5 8 2 1 3 3 3 1 1 3 1972 1 0 7 7 1 9 6 2 0 1 7
1963 6 0 0 4 3 3 5 0 3 2 1973 1 2 0 8 7 0 7 1 3 9 8
1964 6 3 3 8 3 3 7 3 3 5 1974 1 4 7 1 3 5 8 2 0 7 8
计量经济学
为研究之便，现设现时的资本存量只与现时的销售及前三年的
销售有关，即,
0 1 1 2 2 3 3t t t t t tY X X X X? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?
现用 A lm o n 估计建立其资本存量函数。
1, 建立基本模型,
如何给出自变量的形式；结果如何看？
2, 作 DW 检验和考虑 ;
A l m o n 估计的做的优点：可以避免自回归模型所引起的估计上
的问题。
A l m o n 估计的不足在于：最大滞后 s 及多项式次数 r 不易确定。
计量经济学
滞后长度的确定
为了确定分布的滞后模型的滞后长度，我们给出一
个函数
2( ) l n l n l n ( 1 ) l nSC m m n RSS m n?? ? ? ? ?
这里
m
是滞后长度，
n
是观测个数。
著名的 S c h wa r z 准则：使
()S C m
达到极小的
m
即
为滞后长度。
计量经济学
例如：设某种商品的销售量 Y 与居民年收入 X 的时间序列
资料如下所示
序号 X Y
1 175 315
2 197 346
3 227 376
4 249 396
5 267 423
6 289 463
7 329 547
8 405 673
9 450 746
10 504 853
经分析，其销售量主要取决于居民的当年收入 X 与前两年的
收入，试用 K o y c k 法求其消费函数。
第三章
扩展的单方程计量经济学模型
理论与方法
计量经济学
? 本章讨论各种扩展模型，主要包括将常参数扩
展为变参数的变参数模型、将线性关系扩展为
非线性关系的非线性模型等。
? 讨论分布滞后模型，包括用于分布滞后模型参
数估计的 Almon,koyck估计方法。
计量经济学
§ 3.1 变参数单方程计量经济
学模型
计量经济学
在 模 型
t t tyx? ? ? ? ? ?
1,2,.,,,tn?
中, 认 为 参 数
??、
在 样 本 期 内 是 常 数, 即 认
为 产 生 样 本 观 测 值 的 经 济 结 构 保 持 不 变, 解 释
变 量 对 被 解 释 的 影 响 保 持 不 变 。
计量经济学
一, 确定性变参数模型
将上述模型，改写成,
t t t t tyx? ? ? ? ? ?
1,2,.,,,tn?
认为参数
tt??、
是变量，但不是随机变量，
而是确定性变量，我们称之为确定性变参数
模型。
计量经济学
1,参数随某一个变量呈规律性变化
如果：
01tt p? ? ? ? ?
01tt p? ? ? ? ?
其中参数
? ? ? ?? ? ? ?、,,
是常数。
在实际经济问题中，
p
往往是一个政策变量，表
示由于政策的变化改变了解释变量对被解释变量的影
响程度。
计量经济学
在实际经济问题中，
p
往往是一个政策变量，表示由于
政策的变化改变了解释变量对被解释变量的影响程度。
如在消费模型，描述消费是如何决定于收入的。从经济
学意义上讲，参数
?
表示边际消费倾向，边际消费倾向
与边际储蓄之各等于 1,而边际储蓄倾向与当时的利率有
关，所以边际消费倾向也随利率而变化。
计量经济学
把
01tt p? ? ? ? ?
，
01tt p? ? ? ? ?
代入
t t t t tyx? ? ? ? ? ?
可得：
0 1 0 1t t t t t ty p x p x? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
1,2,.,,,tn?
因为
p
为确定性变量，与随机误差项不相关，可以
用 OLS 估计。并可通过对
????、
检验是否为 0,来
检验变量
p
是否对
??、
有影响。
计量经济学
GLM
? Proc glm data=a;
? Class a;
? Model y=x a;
? Run;
计量经济学
2,参数作间断性变化
如果有,
01tt
tt
p
p
??
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
当
0
0
10
1
t
t
t n p
n t n p
? ? ??
?
? ? ??
表示模型中的参数在
0n
发生了突发性变化。
计量经济学
当
0n
已 知 时, 可 以 分 段 建 立 模 型, 分 段 估 计 模 型, 即 将 模 型
改 写 为,
01t t tyx ?? ? ? ? ? ?
01,2,..,,tn?
0 1 2)t t tyx ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
0 1,,t n n??
计量经济学
也可建立一个统一的模型,
01 )t t t t ty D D x??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
1,2,.,,,tn?
即,
01t t t t t ty D x D x??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
1,2,.,,,tn?
其中 D 为虚变量，其样本观测值为
0
0
10
1
t n D
n t n D
? ? ??
?
? ? ??
计量经济学
当
0n
未 知时,但
12( ) ( )ttV a r V a r?? ?
,一 般 可 选 择 不 同 的
0n
,
按 上 面 的 方 法 进 行 试 估 计, 然 后 从 多 次 估 计 中 选 择 最 优 者 。 选
择 标 准 是 使 模 型 的 残 差 平 方 和 最 小 。
计量经济学
当
0n
未知时，但
12( ) ( )ttV a r V a r?? ?
，此时，将
0n
看作待
估参数，模型采用
01t t tyx ?? ? ? ? ? ?
01,2,..,,tn?
0 1 2)t t tyx ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
0 1,,t n n??
并假设：
2
11 ( 0,)t N ??
，
2
22 ( 0,)t N ??
但不存在自相关。
计量经济学
G o l d f e l d 和 Q u a n d t 于 1 9 7 3 年研究并提出用最大似然估计进行估计。构造关
于
0n
的 对数或然函数为
0 0 0
0
01
2
12
22
0 0 0 1 0 122
112
l n (,| ) l n ( 2 ) l n ( ) l n
2
11
( ) ( ( ) ( ) )
22
tt
nn
tt
t t n
n
L n n n n
y x y x
? ? ? ?
??
???
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???
遍 取 12 n，,为
0n
的 值, 代 入 对数或然函数为, 选 择 使 得 对数或然函数为 最
大 的
0n
作 为 突 变 点 的 估 计 值 。
计量经济学
二、随机变量参数模型
1, 参数在一常数附近随机变化
如果模型参数只在一常数附近随机变化，即,
t t t t? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，
其中
tt??，
为具有 0 均值的随机项。
计量经济学
于是有：
t t tyx? ? ? ? ? ?
其中,
t t t t tx? ? ? ? ? ? ?
0tE ??
2( ) ( ) 0
t t t t t t t tE x E x x x? ? ? ? ? ? ? ?
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 ( 2 )
t t t t t t t t t
tt
V a r E E E E x
xx? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
计量经济学
显然，模型有异方差性，而且已经推导出随机误差项的方差与解释
变量之间的函数据关系，所以可以采用有关异方差的参数估计方法。
由 H i l d r e t h 和 H o u c k 于 1 9 8 6 年提出了如下的变量参数模型,
0 1 1 2 2t t t t t t k t k t ty x x x? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ?
1,2,.,,,tn?
j t j j t? ? ? ? ?
2()
j t jV a r ???
0,1,2,.,,,jk?
被称为 Hild r e t h - H o u c k 模型。
计量经济学
2,参数随一变量作规律性变化，同时受随机因素影响
在这种情况下，参数可以表示为,
t t tp? ? ? ? ? ? ?
t t tp? ? ? ? ? ? ?
则相应的模型可表示为,
t t t t t t t t ty p x p x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
1,2,.,,,tn?
显然，这是一个具有异方差性的多元线性模型。可参考有关
参数估计方法。
计量经济学
3, 自适应回归模型
如果模型
t t t tyx? ? ? ? ? ?
1,2,.,,,tn?
中的参数
t?
可以表示为,
11
2
( ) 0
()
t t t
t
t
t
E
V a r ?
??
? ? ? ? ?
??
??
? ? ?
则称该模型为自适应回归模型。
计量经济学
自适应回归模型是由影响
t?
的变量具有一阶自相
关性所引起的。例如,
0
1
tt
t t t
p
pp
?
? ? ? ? ?
? ? ? ?
则：
01t t tp ?? ? ? ? ? ? ? ? ?
如果
1? ?
，即具有较高程度自相关，于是有,
1t t t??? ? ? ? ?
就引出自适应回归模型。
计量经济学
? 在消费方程中，国家的消费政策（刺激、鼓励、
一般或抑制的政策）使得自发性消费是一个随
机变量，而国家的消费政策往往具有一阶自相
关性，引起自发性消费也具有一阶自相关性。
计量经济学
对自适应回归模型,将
11t t t??? ? ? ? ?
代入（ 3, 1, 2 ）得到
11t t t t tyx ??? ? ? ? ? ? ? ?
选择
1n ?? ? ?
则有
nn? ? ? ? ?
11n n n??? ? ? ? ? ? ?
,
,
1 1 1nn ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
计量经济学
于 是, 模 型 可 改 写 为,
11t t t n n tyx ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
1,2,.,,,tn?
相当于
t t tyx? ? ? ? ? ?
2()
tV a r ? ???
2()
tVa r ? ???
11
11
()
nn
nn
Co v
? ? ????????? ? ? ? ???????? ???? ? ???????? ? ?????????
? ? ? ? ????? ? ?? ? ? ? ???? ???? ? ???????? ? ????????? ?
? ? ????
?? ? ???????????????? ? ????????????? ????? ? ????? ? ? ? ??????
??? ?????????????????? ??????????????
2
?
?
??
??
??
??
??
??
??
?????? ????????? ??????? ? ? ???
??
其中
2
2
?
?
?
?
??
计量经济学
当 ? 已知时，可采用广义最小二乘法估计模型
参数；
当 ? 未知时，可选择不同的 ? 值试估计，选择
拟合最好者。
计量经济学
自 适 应 回 归 模 型 的 另 一 种 形 式 是
?
不 变,
?
具 有 一 阶 处 相 关, 即,
t t t tyx? ? ? ? ? ?
11t t t??? ? ? ? ?
这 类 模 型 也 是 具 有 代 表 性 。 如, 在 消 费 方 程 中,
t?
表 示 边 际 消 费 倾
向, 在 生 产 方 程 中,
t?
表 示 某 种 投 入 要 素 的 产 出 弹 性, 而 前 面 提 到
的 影 响 边 际 消 费 倾 向 的 利 率, 影 响 投 入 要 素 产 出 弹 性 的 投 入 要 素 的
比 例, 都 具 有 一 阶 自 相 关 性 。
计量经济学
假 设,
2
( ) ( 1 )
t
V a r ?
?
? ? ? ? ?
2()
tV a r ? ?? ? ? ?
其 中,
01???
,为 了 简 单 但 又 不 失 一 般 性, 可 以
假 设
????
为 单 位 阵, 取
1n ?? ? ?
类 似 上 面 的 模 型 推 导, 并 得 出 模 型 的 参 数 估 计 。
计量经济学
§ 3.2 非线性单方程计量经济学模型
2010-5-17
20世纪 70年代至 80年代初，关于非线性模型理
论与方法的研究成为一个热点。非线性模型理论与
方法已经形成了一个与线性模型相对应的体系，包
括从最小二乘原理出发的一整套方法和从最大似然
原理出发的一整套方法，也包括随机误差项违背基
本假设的非线性问题的估计方法。
计量经济学
一,非线性单方程计量经济学模型概述
? 解释变量非线性问题
? 可化为线性的包含参数非线性的问题
? 不可化为线性的包含参数非线性的问题
计量经济学
解释变量非线性问题
现实经济现象中，变量之间往往呈现非线性关系，
但在许多情况下，又可通过简单的变换，使之成为线性。
解释变量非线性问题就属于这种情况。例如需求函数模
型中需求量与价格之间的关系为：
11
Qp
? ? ?? ? ?
通过变量置换就可以化为线性模型。
计量经济学
可化为线性的包含参数非线性的问题
? 计量经济学模型，一旦包含参数非线性，一般
情况下通过简单的变换难以化为线性问题。但
非线性模型的参数估计远比线性复杂，所以还
应该尽可能地将它们化为线性问题。
计量经济学
如 CD 生 产 函 数 模 型,
Q AK L???
C E S 生 产 函 数 模 型,
1
12
()Q A K L
?? ?
??
?
??
??
在 假 设 随 机 误 差 项 的 对 数 形 式 服 从 正 态 分 布 的 情 况
下, 即 引 入 随 机 误 差 项 后 可 以 写 成,
Q AK L?? ??
1
12
()Q A K L
?? ?
? ? ?
?
??
??
计量经济学
尽管包含参数非线性，仍然可以首先化为线性问题。
l n l n l n l n l nQ A K L? ? ?? ? ? ?
12
1
l n l n l n ( ) l nQ A K L
??
? ? ?
?
??
? ? ? ?
将式中
12l n( )KL
???? ?? ?
在
0? ?
处展开台劳级数，取关
于
?
的线性项，即可得,
2
1 2 1 2
1
l n l n l n l n ( l n ( ) ) l n
2
K
Q A K L
L
? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?
计量经济学
例 1,下表给出了某种家用电器 1 9 8 4 - 1991 年的需求量（ Y,万台）
的统计资料。
年份 需求量 t
1 9 8 4 1, 3 1
1 9 8 5 1, 5 2
1 9 8 6 1, 8 3
1 9 8 7 2 4
1 9 8 8 1, 9 5
1 9 8 9 2 6
1 9 9 0 2, 2 7
1 9 9 1 2, 1 8
考虑半对数模型
1 lnYt ????
，用 OL S 法估计该模型，并预测
1 9 9 2 年市场对该产品的需求量。
计量经济学
不可以化为线性的包含参数非线性的问题是下面讨论的真
正非线性模型。它的一般表达式为
(,)iif X B ???iy
1,2,.,,,in?
其中
f
是非线性函数。如上述生产函数模型，如果随机误差
项直接服从正态分布，在引入随机误差项后模型写成,
Q A K L?? ???
1
12
()Q A K L
?? ?
? ? ?
?
??
? ? ?
就是典型的非线性模型。
不可化为线性的包含参数非线性的问题
计量经济学
非线性方程的类型
计量经济学
计量经济学
二、非线性普通最小二乘法
1,OL S 原 理
对于只有一个参数的非线性模型,可以写成,
(,)iifx ????iy
1,2,.,,,in?
如果参数估计值已经得到，则应使得残差平方和最小。即,
2
1
( ) [ (,) ]
n
ii
i
S y f x??
??
?
?? ?
达最小。
计量经济学
取极小值的一 阶条件为,
1
(,)
2 [ (,) ] [ ] 0
n
i
ii
i
d f xdS
y f x
dd
?
?
??
?
?
??
?
?
? ? ? ??
即
1
(,)
[ (,) ] [ ] 0
n
i
ii
i
d f x
y f x
d
?
?
?
?
?
?
?
???
现在的问题是在于如何求解上述非线性方程。
计量经济学
对于多参数非线性模型，用矩阵形式表示为,
(,)Y f X B N??
其中各符号的含义与线性模型相同。向量 B 的普通最小平方估
计 ?B 应该使得残差平方和
? ? ?( ) [ (,) ] ' [ (,) ]S B Y f X B Y f X B? ? ?
达到最小值。即 ?B 应该满足下列条件,
?( ( ) )
? ?2 [ (,) ] ' [ (,) ] 0
? ?
SB
f X B Y f X B
BB
??
? ? ? ?
??
计量经济学
? ?[ (,) ] ' [ (,) ] 0
?
f X B Y f X B
B
?
??
?
即
其中
?[ (,) ] '
?
f X B
B
?
?
是一个
? ?kn?
阶偏微分矩阵。
其中第
? ?,ji
个元素为
?[ (,) ] '
j
f X B
?
?
?
计量经济学
2,高斯 - 牛顿 ( G a u s s - N e w t on ) 迭代法
( 1) 高斯 - 牛顿迭代法的原理
根据经验给出参数估计值
?
的初值
? ?0
??
，将
?(,)
ifx ?
在
? ?0
??
处展开台
劳级数，即有,
( 0 )
?( 0 ) ( 0 )
?
(,)
? ? ? ?
(,) (,) | ( )
?
i
ii
d f x
f x f x
d
?
?
? ? ? ?
?
? ? ?
令 ?
(,)
?
()
?
i
i
d f x
z
d
?
?
?
?
于是
( 0 )
?( 0 )
?
(,)
?
|
?
i
d f x
d
?
?
?
?
i
z ( ) =
计量经济学
代入
2
1
( ) [ (,) ]
n
ii
i
S y f x??
??
?
???
，得到,
2
( 0 ) ( 0 ) ( 0 )
1
( ) [ (,) ) ( ) ]
n
ii
i
S y f x? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
?
? ? ? ??
i
z(
2
( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )
1
[ (,) ) ) ]
n
ii
i
y f x ? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
?
? ? ? ??
ii
z ( z (
2
( 0 ) ( 0 )
1
[ ( ) ) ]
n
i
i
y ? ? ?
? ? ?
?
???
i
z(
其中
( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )
( ) (,) ( )
i i i
y y f x? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ?
i
z
。
计量经济学
对于给出了初值
? ?0?
?,我们可以计算
( 0 )()iy ?
? 和
( 0 )()?
?
iz
的确定的观测值。于是
只要求
2
( 0 ) ( 0 )
1
? ? ?[ ( ) ) ]
n
i
i
y ? ? ?
?
??
i
z(
的极小值即可。
如果有一个线性模型
( 0 ) ( 0 ) i( ) )iy ? ? ? ?
? ? ?
?? iz(
很容易求得其参数
?
? 的普通最小二乘估计值
? ?1?
?,该估计值使得残差平方和
2
( 1 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 1 )
1
? ? ? ?( ) [ ( ) ) ]
n
i
i
Sy ? ? ? ?
?
???
i
z(
最小。
计量经济学
将
? ?1?
? 作为新的估计值，将
(,)ifx ?
? 在
? ?1?
? 处展开台劳级
数，取了阶近似值，又可以构造一个新的线性伪模型，
对其进行普通最小二乘估计，得取参数
?
? 的第二次迭代
值
? ?2?
?,如此迭代下去。
计量经济学
( 2) 高斯 - 牛顿迭代法的步骤,
第一步：给出参数估计值
?
? 的初值
? ?0
?
?,将
(,)
i
fx ?
? 在
? ?0
??
处
展开台劳级数，取一阶近似值；
第二步：计算
( 0 )
? )?
iz(
和
( 0 )
?()
iy ?
的样本观测值；
第三步：采用 O L S 方法估计模型
( 0 ) ( 0 ) i
? ? ?( ) )
iy ? ? ? ??? iz(
，
得到估计值
? ?1
??；
第四步：用
? ?1
??
替代第一步中
? ?0
??
，重复这一过程，直到收敛
为止。
计量经济学
3, N e w t o n R a p h s o n?牛顿 拉夫森( - ) 迭代法
取二阶近似值；
( 0 ) ( 0 )
2
2
( 0 ) ( 0 ) ( 0 )
2
( ) 1 ( )
( ) ( ) | ( ) | ( )
2
d S d S
SS
d d
??
??
? ? ? ? ? ?
? ?
??
??
? ? ? ? ? ?
??
? ? ? ? ?
()
0
dS
d
?
?
?
?
?
即
( 0 ) ( 0 )
2
2
( 0 )
2
( ) ( ) ( )
| | ( ) 0
d S d S d S
dd d
??
? ? ?
??
?? ?
??
? ? ?
??
? ? ?
? ? ? ?
则有
( 0 ) ( 0 )
2
1
( 0 )
2
( ) ( )
( | ) |
d S d S
dd
??
??
??
??
??
??
??
?
??
??
计量经济学
SAS上机指导
? Proc nlin data =a;
? 模型的完全形式；
? 偏导数的形式；
? Run;
计量经济学
§ 3.3 非因果关系单方程模型
计量经济学
所谓计量经济学模型，专指那些在数学上
采用回归分析的方法，在经济意义上揭示因果
关系的经济数学模型。下面简单地介绍得到普
遍应用的增长曲线模型，这类模型同样也采用
回归分析的方法估计模型参数，揭示经济变量
的某种变化规律，但并不反映经济活动中的因
果关系。
计量经济学
一、增长曲线模型概述
? 增长曲线模型描述经济变量随时间变化的规律
性，从已经发生的经济活动中寻找这种规律性，
并用于未来经济预测。但是，时间并不是经济
活动变化的原因，所以增长曲线模型不属于因
果关系模型。
计量经济学
1,多项式增长曲线模型
2
0 1 2
k
tky t t t? ? ? ?? ? ? ? ?
其中
ty
是第 t 个时间单位的某个经济指标值,t 是时间，
0 1 2,,,,k? ? ? ?
为模型参数 。
计量经济学
2,简单指数型增长曲线模型
t
ty ab?
显然，当
0,1ab??
时,y 随着 t 的增加无限 的增大；而
0,0 1ab? ? ?
时,y 随着 t 的增加趋向于 0 。
计量经济学
3,修正指数型增长曲线模型
t
ty k ab??
其中 k 是 y 的逼近值，当
0,1ab??
时,y 随着 t 的
减少直至 ?? 而逼近于 k ；而
0,0 1ab? ? ?
时,y 随
着 t 的增加直至 ?? 趋向于 k 。
计量经济学
4,Logistic增长曲线模型
5,Gompertz增长曲线模型
计量经济学
二、逻辑增长曲线模型
? 逻辑增长曲线模型，俗称, S曲线,,由
Verhulst 1845年提出，当时主要目的是模拟人
口的增长。
计量经济学
其一般形式为,
()
1
t t
K
y
e
?
?
?
其中：
2
0 1 2()
k
kt t t t? ? ? ? ?? ? ? ? ?
。后来经过逐步简化，
目前常见的形式是,
1
t bt
K
y
ae
?
?
?
也称狭义的逻辑增长曲线模型。
计量经济学
逻辑增长曲线有二个重要的特征,
一是 y 随着 t 的减少直至 ?? 而逼近于 K,即 K 是 y
的饱和点；反过来，当
t ? ? ?
时，
0y ?
。
二是增长速度越来越慢，逐渐趋近于 0 。
现实生活中许多经济现象的增长过程具有这二个特
征，如：一种新产品的普及率，一种耐用品的存量等。
计量经济学
例：下表内的数据给出了美国 1 7 9 0 ~ 1 9 7 0 年每
10 年人口统计资料（单位：百万人）。要求：分
别应用人口增长模型,
指数增长模型：
t
ty ab?
L o g is ti c 增长模型：
1
t t
K
y
e
?? ?
?
?
预测美国 1 9 8 0 年,1 9 9 0 年,2 0 0 0 年的人口数。
计量经济学
year
人口数
（ P ）
year
人口数
（ P ）
1790 3.929 1900 75.994
1800 5.308 1910 91.972
1810 7.239 1920 105.71
1820 9.638 1930 122.775
1830 12.866 1940 131.669
1840 17.069 1950 151.325
1850 23.191 1960 179.323
1860 31.443 1970 203.211
1870 39.818 1980
1880 50.155 1990
1890 62.947 2000
计量经济学
三,GOMPERTZ增长曲线模型
GO M P E R T Z 增长曲线 1 8 2 5 年由 Go m p e r tz 提出的，
其数学形式为,
bt
ty K a?
其中 K 和 a,b 为待估参数,K 为 y 的上限逼近值,0
为 y 的下限逼近值。所以 Go m p e r tz 曲线和 L o g is ti c
曲线很相似，只是二者的拐点的位置不同。
计量经济学
Go m p e r tz 曲线的参数估计方法有很多，如最简单
的是作如下变换,
btty a
K
?
则有：
l n ( l n ) l n ( l n ) l nt
y
a t b
K
??
计量经济学
对于给定的 K，上述模型是一个简单线性模型。关键是如
何确定 K：
? 根据模型的经济背景给出 K的上、下限。例如：一种新产品的
普及率则上限为 100%，下限是已经实现的普及率。
? 然后分别根据上、下限作为 K的给定值，估计模型，计算残差
平方和。
? 给出不同的新的 K值，反复试算，直到得到的残差平方和最小
的 K值为止。
计量经济学
四、时间序列分析模型概述
1, 确定性时间序列分析模型
对于一个时间序列
1 2 3,,,,ny y y y
确定性模型主要有以
下几种,
（ 1 ） 滑动平均模型。
将平均数
11? t t t N
t
y y y
y
N
? ? ?
? ? ?
?
tN?
称为时间序列
ty
的滑动平均数序列，称为滑动平均模型。
计量经济学
（ 2 ）加权滑动平均模型
0 1 1 1 1
?
t t N t N
tw
a y a y a y
y
N
? ? ? ?
? ? ?
?
tN?
称为时间序列
ty
的加权滑动平均数序列。其中,
0 1 2 1,,,,Na a a a ?
为加权因子，满足
1
0
1
N
i
i
a
N
?
?
?
?
称为加权滑动平均模型
计量经济学
（ 3 ）二次滑动平均模型
所谓二次滑动平均是对经过一次滑动平均产生的序
列再进行滑动平均。即,
11?? t t t N
t
y y y
y
N
? ? ?
? ? ?
?
tN?
计量经济学
（ 4 ）指数平滑模型
如果采用下式求得序列的平滑预测值
1 1 1()t t t ty y y y?? ? ?? ? ?
01 ???
则称此预测模型为指数平滑模型，其中
?
称为平滑常数，
01 ??? 。
计量经济学
（ 5 ）二次指数平滑模型
在一次指数平滑模型的基础上，再进行指数平滑计算，
即构成二次指数平滑模型。同样还可以构成三次指数
平滑模型。
计量经济学
2,随机时间序列分析模型
（ 1 ）自回归模型（ AR ）
（ 2 ）平滑平均模型（ MA ）
（ 3 ）自回归平滑平均模型（ A R M A ）
（ 4 ） A R I M A 模 型
计量经济学
§ 3.2分布滞后模型
计量经济学
一般地，分布滞后模型可表达为,
1(,) ( 1 )t t t t p tY f X X X p???? ? ?
其中,
tjX ?
又可表为
()Xj ?
，带有滞后变量的模型称为动态模
型。
? 在涉及时间序列数据的回归分析中，如果回归模型
不仅含有解释变量的当前值，还含有它们的滞后值，
就把它称为分布滞后模型 (distributed-lag model)
计量经济学
为了说明“滞后”在经济学中的作用我们先考虑下
面一个例子,
假定某人的年薪增加了 2000 元，并假定它是一
种“永久性”增加，即这一薪金的增加将一直保持
下去。那么，这种收入的增加将会对个人的年消费
支出产生什么影响？
计量经济学
在得到收入的这种增加之后，人们通常不急于把全部增加的
收入马上花掉。比如说，受益者也许决定在收入增加后第一年增
加 800 元消费支出，下一年增加 600 元，再下一年增加 400 元，
而把所余的部分用于储蓄。到第三年未，此人的年消费支出增加
1800 元。于是我们可把消费函数写成,
120,4 0,3 0,2t t t t ty c x x x u??? ? ? ? ?
其中 Y 是消费支出,X 是收入。
计量经济学
一、滞后及其在经济研究中的作用
滞后的概念
? 在经济研究中，一个变量与另一个变量的相关
关系很少是瞬时的。经济出现这样的情况：一
个变量对另一个变量的反应具有一定的时间间
隔。我们就称这种间隔为滞后（ lagging）。
计量经济学
（消费函数）
消费函数研究的一种最新见解就是假定存在消费“习惯的
持久性”，如现在的消费水平取决于过去的消费水平，现在的收
入、过去的收入水平以及其它因素，即有关系式,
1 2 1 1,2,(,,,,)t t t t t t t tC f C C Y Y X X ?? ? ???
计量经济学
（投资函数）
投资计划取决于过去的产量（
tsX ?
），未来的期望利润（
t?
），
资本存量（
1tK ?
）和其他因素（如利润率（
tsr ?
）等），即有模型,
1,1,1(,,,)t t t t t t t tI f X X K r r ?? ? ?? ? ?
计量经济学
产生滞后的原因
? 心理因素，经济社会离不开人的参与，是一个有机系统。在这个
系统中，人们的心理因素对经济变量的变化有很大的影响。特别
是经济转轨时期，人们由于心理定势与, 习惯的持久性,,难以
及时适应新的经济条件与经济状况，表现出行为、决策具有滞后
的倾向。
? 技术因素，从投入到产出，需要一段时间，如工业生产中，当年
的产出在某种程度上依赖于过去若干期内投资形成的固定资产。
? 制度原因，契约、管理等因素也会形成一定程度的滞后。如：企
业受过去订立的合同制约而不能随意改变生产方向。
计量经济学
滞后在经济研究中的作用
? 滞后现象在经济领域是普遍的，是经济研究所必须
考虑的重要因素之一。这是出于对滞后现象在经济
研究中的作用的考虑。这些作用大体有如下几个方
面。
(1)消费行为都与滞后有关。
(2)经济调整过程需要时间，所需时间的长短取决于具
体现象的性质。
计量经济学
( 3) 滞后在经济决策中是头等的主要的，如政府官员要了解
经过多长时间后，经济组织才能尽快地对各种政策变量的
变化作出反应？消费者对征收消费税或信用紧缩的反应有
多快？
( 4) 滞后对于管理决策（如价格、质量、款式、广告等）有
重要的作用，也许是使它们不断变化的最有效的方法。滞
后模型对于用模型来表示经济行为提供很大的灵活性。
( 5) |短期价格（收入）弹性 ? 相应的长期弹性。
计量经济学
二、分布滞后模型的建立变量滞后模型通常有两种,
（ 1 ） 分布滞后模型
0 1 2 1 1t t t s t s tY b b X b X b X ?? ? ?? ? ? ? ? ?
滞后的长度没有设定，称为元有限分布滞后模型；
滞后的长度的设定为有限值，称为有限分布滞后模型；
计量经济学
在这 个 模型中，解释变量包括 X 的本期值及若干
期滞后
tiX ?
，而系数表示 乘数 的概念
1b
：短期乘数，表示 X 对 Y 的本期线性作用的大小；
ib
：动态乘数或延迟乘数，表示在各滞后期的 X 对 Y
的本期线性作用的大小；
0
j
i
i
b
?
?
：中期乘数，表示到前
j
个时期 X 对 Y 的本期
线性作用的大小；
计量经济学
0
s
i
i
b
?
?
：长期乘数，表示 X 变动一个单位，
因变量 Y 累积各期所产生的总影响。
全部
12,,sb b b
便作成一个滞后分布。
计量经济学
对于我们上面所讲的例子,
120,4 0,3 0,2t t t t ty c x x x u??? ? ? ? ?
? 0.4 是短期乘数，表示短期边际消费倾向,
? 长期乘数是 0,4+0.3 +0.2=0,9,是长期边际消费倾向。
计量经济学
( 2) 自回归模型
1 1 2 2
0 1 2 1 1
t t t p t p
t t s t s t
Y a Y a Y a Y
b b X b X b X ?
? ? ?
? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ?
对于分布滞后模型，经过一些变换（如
K o yc k 变换）可化为自回归模型。另一类自回
归模型是由期望模型所产生的，如局部调整模
型和适应性期望模型。
计量经济学
K o yc k 变换：对于无限分布滞 后模型,
0 1 1 ( 1 )t t t p t p tY X X X p? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ?
现设想全部
?
都有相同的符号,K o y c k 假定它们是按如下的
几 何 级 数 衰 减 的
0,0,1,2,
k
k k? ? ???
其中
?
称为分布滞后衰减率，
1 ??
称为调整速率，即可把
原模型简化为,
0 1 1( 1 ) ( )t t t t tY X Y? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?
计量经济学
适应性期望模型,
假如我们设如下一个模型,
*
01t t t
Y X u??? ? ?
其中,Y 对货币（实际现金余额）的需求； X ＊ 均衡、最优、
预期的长期或正常利率。
由于预期变量是不可直接观测的，我们对预期的形式做如下的
设想,
* * *
11
()
t t t t
X X X X?
??
? ? ?
其中
?
为
01 ???
，称期望系数。
计量经济学
上面 调整模型的含义是：经济行为者将根据过去的经验修改
他们的期望，特别要从错误中学习“，或者说，经济行为者每
期都按变量的现期值与前期期望值之间的差距的一个分数
?
去
修改期望值。这种调整的另一个表示方式是,
*
1( 1 )t t tX X X??
?
?? ? ?
说明时刻
t
的期望 X ＊ 是时刻
t
的真实值与它的前期的 期望值
各以
?
和
1 ??
为权的加权平均。
计量经济学
综合 *
01
* * *
11
()
t t t
t t t t
Y X u
X X X X
??
?
??
? ? ? ??
?
? ? ???
，可得,
0 1 1
0 1 1
( 1 )
( 1 ) )
t t t t
t t t
Y X X u
X Y v
? ? ? ?
? ? ? ? ?
?
?
?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
其中：
1( 1 )t t tv u u? ?? ? ?
计量经济学
存量调整模型,
在考虑经济理论中，该模型假定在给定的技术状态、利率等
条件下，存在有给定的产出所需酱存量的均衡、最优、理想或长
期额度。假如我们设理想的资本水平
tY
?
是产出
tX
的线性函数,
01t t tY X u??
? ? ? ?
由于理想的资本是不可直接观测的，所以得出部分调整假设,
11 ()t t t tY Y Y Y?
?
??? ? ?
其中
?
为
01 ???
，称调整系数。
计量经济学
这种调整的另一个表示方式是,
1( 1 )t t tY Y Y??
?
?? ? ?
说明时刻
t
观测到的资本存量是该时刻的理想资本存量与前一时期
已有的资本存量分别以
?
和
1 ??
为权的加权平均。
综合
01
11
()
t t t
t t t t
Y X u
Y Y Y Y
??
?
?
?
??
? ? ? ??
?
? ? ???
，可得,
0 1 1
0 1 1
( ) ( 1 )
( 1 ) )
t t t t
t t t
Y X u Y
X Y u
? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
?
?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
计量经济学
普通最小二乘法不能用于估计分布滞后变量模型，
期主要原因有：
? 滞后变量的各个时期的数据一般都是高度相关的，
这样就容易产生严重的多重共线性；
? 如果滞后期较长，有效样本观察值较小，将缺乏足
够的自由度进行估计和检验；
? 没有先验准则确定滞后期的长度。
计量经济学
上面所提到的自回归模型均可表示为
1t t t tY X Y? ? ? ??? ? ? ?
这类 模型优点 是,
（ 1 ） 以一个滞后变量代替了大量的滞后解释变量，最大限度
地节省自由度，解决了滞后长度 s 难以确定的问题。
（ 2 ） 滞后一期的因变量
1tY ?
与
tX
的线性相关程度可以肯定小
于 X 的各期滞后值之间的相关程度，从而在很大的程度
上缓解了多重共线性。
三、自回归模型的估计法
计量经济学
模型的不足之处,
（ 1 ） 随机误差项存在 自相关；
（ 2 ） 随机误差与前定变量
1tY ?
之间相关。
对于这类模型的估计，由于随机误差项存在自相
关，所以一般采用 工具变量法 。 还 可 以 采 用 最 大
似 然 估 计 等 技 术 。
计量经济学
Durbin h检验
对一般的模型
0 1 2 1t t t tY X Y? ? ? ??? ? ? ?
在参数估计之前探测随机扰动项的自相关性
是很生要的，对于一阶自相关的情形，可采
用 D u r bi n h 检验。
计量经济学
（ 1 ） 直接用 O L S 估计模型，得到参数估计
2??
、一价自
相关系数的参数估计
??
，与 DW 统计量；
（ 2 ） 计算 h 统计量
22
? ( 1 )
?1 ( ) 2 1 ( )
n d n
h
n V a r n V a r
?
??
? ? ?
??
（ 3 ） 给出显著性水平
?
，查正态分布表得到临界值
h?
，
确定检验准则,
若
hh ??
，则存在自相关；若
hh ??
，则不存在自相关；
计量经济学
注意：当
2?( ) 1n V a r ? ?
时，此检验失效。
计量经济学
例如：某地区劳动从数 E （万人）、社会总产值 Y
（亿元）的资料如下表所示。考虑劳动力需求模型
*2
0 0 1 2t t tE Y t t? ? ? ? ?? ? ? ? ?
其中：
t?
是随机扰动项,*E 为劳动力需求水平。
要求应用局部调整假设：
? ?*11t t t tE E E E???? ? ?
估计模型。
劳动力需求
计量经济学
解：从上述二个式子中，消去 *E 后可得,
2
1 0 1 2( 1 )t t t tE E Y t t? ?? ?? ?? ?? ???? ? ? ? ? ? ?
即有,
2
1 0 1 2( 1 )t t t tE E Y t t? ?? ?? ?? ?? ???? ? ? ? ? ? ?
计量经济学
四,Almon多项式滞后模型A l m o n 估计适用于有限分布滞后的滞后变量模型。即,
0 1 2 1 1t t t s t s tY b b X b X b X ?? ? ?? ? ? ? ? ?
经过一个特殊的变化，化为另一模型,
0 1 2 1t t t r r tY a a W a W a W ??? ? ? ? ? ?
计量经济学
其中
r
是 A l m o n 多项式
2
0 1 2()
r
rf z a a z a z a z? ? ? ?
的
次数，显然经过 Alm o n 变换，前后的系数之间的关系有如下,
0 0
1 1
2 2
( 0) 1 0 0
( 1 ) 1 1 1
( 2) 1 2 2
( ) 1
r
r
s r
b af
b af
b af
b af s s s
?? ??? ? ? ?
?? ??? ? ? ?
?? ??? ? ? ?
?? ??? ? ? ???
?? ??? ? ? ?
?? ??? ? ? ?
? ? ? ? ????
? ? ? ? ????
变量之间的关系如下,
0
11
2 2 2
22
1 1 1 1 1
0 1 2 3
0 1 2 3
0 1 2 3
t
t
t
r r r
tsr
XW
XW s
XW s
XW s
?
?
?
???? ??
???? ??
???? ??
???? ???
???? ??
???? ??
???? ??
???? ??
计量经济学
Almon估计的优点是：
? 计算比较简单；
? 提供了对近似多项式次数的直接检验；
? 即使增加额外的 W解释变量以改变多项
式的次数，也不会改变以前的变量。
计量经济学
例如：为了研究美国制造业资本存量 Y 与销
售额 X 之间的关系，收集了美国 1 9 5 5 年 ~ 1 9 7 4
年的资料。（单位：百万美元，选自,E c o n o m i c
R e p o r t o f t h e p r e s id e n t,T a b le C - 4 1,F e b, 1 9 7 5 ）
计量经济学
year Y X year Y X
1955 4 5 0 6 9 2 6 4 8 0 1965 6 8 2 2 1 4 1 0 0 3
1956 5 0 6 4 2 2 7 7 4 0 1966 7 7 9 6 5 4 4 8 6 9
1957 5 1 8 7 1 2 8 7 3 6 1967 8 4 6 5 5 4 6 4 4 9
1958 5 0 0 7 0 2 7 2 8 0 1968 9 0 8 7 5 5 0 2 8 2
1959 5 2 7 0 7 3 0 2 1 9 1969 9 7 0 7 4 5 3 5 5 5
1960 5 3 8 1 4 3 0 7 9 6 1970 1 0 1 6 4 5 5 2 8 5 9
1961 5 4 9 3 9 3 0 8 9 6 1971 1024 45 5 5 9 1 7
1962 5 8 2 1 3 3 3 1 1 3 1972 1 0 7 7 1 9 6 2 0 1 7
1963 6 0 0 4 3 3 5 0 3 2 1973 1 2 0 8 7 0 7 1 3 9 8
1964 6 3 3 8 3 3 7 3 3 5 1974 1 4 7 1 3 5 8 2 0 7 8
计量经济学
为研究之便，现设现时的资本存量只与现时的销售及前三年的
销售有关，即,
0 1 1 2 2 3 3t t t t t tY X X X X? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?
现用 A lm o n 估计建立其资本存量函数。
1, 建立基本模型,
如何给出自变量的形式；结果如何看？
2, 作 DW 检验和考虑 ;
A l m o n 估计的做的优点：可以避免自回归模型所引起的估计上
的问题。
A l m o n 估计的不足在于：最大滞后 s 及多项式次数 r 不易确定。
计量经济学
滞后长度的确定
为了确定分布的滞后模型的滞后长度，我们给出一
个函数
2( ) l n l n l n ( 1 ) l nSC m m n RSS m n?? ? ? ? ?
这里
m
是滞后长度，
n
是观测个数。
著名的 S c h wa r z 准则：使
()S C m
达到极小的
m
即
为滞后长度。
计量经济学
例如：设某种商品的销售量 Y 与居民年收入 X 的时间序列
资料如下所示
序号 X Y
1 175 315
2 197 346
3 227 376
4 249 396
5 267 423
6 289 463
7 329 547
8 405 673
9 450 746
10 504 853
经分析，其销售量主要取决于居民的当年收入 X 与前两年的
收入，试用 K o y c k 法求其消费函数。
