§ 3.2 非线性单计量经济学模型
20世纪 70年代至 80年代初，关于非线性模型理
论与方法的研究成为一个热点。非线性模型理论与
方法已经形成了一个与线性模型相对应的体系，包
括从最小二乘原理出发的一整套方法和从最大似然
原理出发的一整套方法，也包括随机误差项违背基
本假设的非线性问题的估计方法。
一,非线性单方程计量经济学模型概述
? 解释变量非线性问题
? 可化为线性的包含参数非线性的问题
? 不可化为线性的包含参数非线性的问题
解释变量非线性问题
现实经济现象中，变量之间往往呈现非线性关系，
但在许多情况下，又可通过简单的变换，使之成为线性。
解释变量非线性问题就属于这种情况。例如需求函数模
型中需求量与价格之间的关系为：
11
Qp
? ? ?? ? ?
通过变量置换就可以化为线性模型。
可化为线性的包含参数非线性的问题
? 计量经济学模型，一旦包含参数非线性，一般
情况下通过简单的变换难以化为线性问题。但
非线性模型的参数估计远比线性复杂，所以还
应该尽可能地将它们化为线性问题。
如 CD 生 产 函 数 模 型,
Q AK L???
C E S 生 产 函 数 模 型,
1
12
()Q A K L
?? ?
??
?
??
??
在 假 设 随 机 误 差 项 的 对 数 形 式 服 从 正 态 分 布 的 情 况
下, 即 引 入 随 机 误 差 项 后 可 以 写 成,
Q AK L?? ??
1
12
()Q A K L
?? ?
? ? ?
?
??
??
尽管包含参数非线性，仍然可以首先化为线性问题。
l n l n l n l n l nQ A K L? ? ?? ? ? ?
12
1
l n l n l n ( ) l nQ A K L
??
? ? ?
?
??
? ? ? ?
将式中
12l n( )KL
???? ?? ?
在
0? ?
处展开台劳级数，取关
于
?
的线性项，即可得,
2
1 2 1 2
1
l n l n l n l n ( l n ( ) ) l n
2
K
Q A K L
L
? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?
例 1,下表给出了某种家用电器 1 9 8 4 - 1991 年的需求量（ Y,万台）
的统计资料。
年份 需求量 t
1 9 8 4 1, 3 1
1 9 8 5 1, 5 2
1 9 8 6 1, 8 3
1 9 8 7 2 4
1 9 8 8 1, 9 5
1 9 8 9 2 6
1 9 9 0 2, 2 7
1 9 9 1 2, 1 8
考虑半对数模型
1 lnYt ????
，用 OL S 法估计该模型，并预测
1 9 9 2 年市场对该产品的需求量。
不可以化为线性的包含参数非线性的问题是下面讨论的真
正非线性模型。它的一般表达式为
(,)iif X B ???iy
1,2,.,,,in?
其中
f
是非线性函数。如上述生产函数模型，如果随机误差
项直接服从正态分布，在引入随机误差项后模型写成,
Q A K L?? ???
1
12
()Q A K L
?? ?
? ? ?
?
??
? ? ?
就是典型的非线性模型。
不可化为线性的包含参数非线性的问题
二、非线性普通最小二乘法
1,OL S 原 理
对于只有一个参数的非线性模型,可以写成,
(,)iifx ????iy
1,2,.,,,in?
如果参数估计值已经得到，则应使得残差平方和最小。即,
2
1
( ) [ (,) ]
n
ii
i
S y f x??
??
?
?? ?
达最小。
取极小值的一 阶条件为,
1
(,)
2 [ (,) ] [ ] 0
n
i
ii
i
d f xdS
y f x
dd
?
?
??
?
?
??
?
?
? ? ? ??
即
1
(,)
[ (,) ] [ ] 0
n
i
ii
i
d f x
y f x
d
?
?
?
?
?
?
?
???
现在的问题是在于如何求解上述非线性方程。
对于多参数非线性模型，用矩阵形式表示为,
(,)Y f X B N??
其中各符号的含义与线性模型相同。向量 B 的普通最小平方估
计 ?B 应该使得残差平方和
( ) [ (,) ] ' [ (,) ]S B Y f X B Y f X B
? ? ?
? ? ?
达到最小值。即 ?B 应该满足下列条件,
( ( ) )
2 [ (,) ] ' [ (,) ] 0
SB
f X B Y f X B
BB
?
??
??
??
? ? ? ?
??
[ (,) ] ' [ (,) ] 0f X B Y f X B
B
??
?
?
??
?
即
其 中
[ (,) ] 'f X B
B
?
?
?
?
是 一 个
? ?kn?
阶 偏 微 分 矩 阵 。
其 中 第
? ?,ji
个 元 素 为
[ (,) ] '
j
f X B
?
??
?
2,高斯 - 牛顿 ( Ga u s s - Ne w t o n ) 迭代法
( 1 ) 高斯 - 牛顿迭代法的原理
根据经验给出参数估计值
?
的初值
? ?0
?
?,将
(,)
i
fx ?
? 在
? ?0
?
? 处展开台
劳级数，即有,
( 0 )
( 0 ) ( 0 )
(,)
(,) (,) | ( )
i
ii
d f x
f x f x
d
?
?
? ? ? ?
?
?
?
? ? ? ?
?
? ? ?
令
(,)
()
i
i
d f x
z
d
?
?
?
?
?
?
?
于是
( 0 )
( 0 )
(,)
|
i
d f x
d
?
?
?
?
?
?
?
?i
z ( ) =
代入
2
1
( ) [ (,) ]
n
ii
i
S y f x??
??
?
???
，得到,
2
( 0 ) ( 0 ) ( 0 )
1
( ) [ (,) ) ( ) ]
n
ii
i
S y f x? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
?
? ? ? ??
i
z(
2
( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )
1
[ (,) ) ) ]
n
ii
i
y f x ? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
?
? ? ? ??
ii
z ( z (
2
( 0 ) ( 0 )
1
[ ( ) ) ]
n
i
i
y ? ? ?
? ? ?
?
???
i
z(
其中
( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )
( ) (,) ( )
i i i
y y f x? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ?
i
z
。
对于给出了初值
? ?0?
?,我们可以计算
( 0 )()iy ?
? 和
( 0 )()?
?
iz
的确定的观测值。于是
只要求
2
( 0 ) ( 0 )
1
[ ( ) ) ]
n
i
i
y ? ? ?
? ? ?
?
??
i
z(
的极小值即可。
如果有一个线 性模型
( 0 ) ( 0 ) i( ) )iy ? ? ? ?
? ? ?
?? iz(
很容易求得其参数
?
? 的普通最小二乘估计值
? ?1?
?,该估计值使得残差平方和
2
( 1 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 1 )
1
( ) [ ( ) ) ]
n
i
i
Sy ? ? ? ?
? ? ? ?
?
???
i
z(
最小。
将
? ?1?
? 作为新的估计值，将
(,)ifx ?
? 在
? ?1?
? 处展开台劳级
数，取了阶近似值，又可以构造一个新的线性伪模型，
对其进行普通最小二乘估计，得取参数
?
? 的第二次迭代
值
? ?2?
?,如此迭代下去。
( 2) 高斯 - 牛顿迭代法的步骤,
第一步：给出参数估计值
?
? 的初值
? ?0
?
?,将
(,)
i
fx ?
? 在
? ?0
?
? 处
展开台劳级数，取一阶近似值；
第二步：计算
( 0 )
)?
?
i
z(
和
( 0 )
()
i
y ?
? 的样本观测值；
第三步：采用 O L S 方法估计模型
( 0 ) ( 0 ) i
( ) )
i
y ? ? ? ?
? ? ?
??
i
z(
，
得到估计值
? ?1
?
? ；
第四步：用
? ?1
?
? 替代第一步中
? ?0
?
?,重复这一过程，直到收敛
为止。
3, N e w t o n R a p h s o n?牛顿 拉夫森( - ) 迭代法
取二阶近似值；
( 0 ) ( 0 )
2
2
( 0 ) ( 0 ) ( 0 )
2
( ) 1 ( )
( ) ( ) | ( ) | ( )
2
d S d S
SS
d d
??
??
? ? ? ? ? ?
? ?
??
??
? ? ? ? ? ?
??
? ? ? ? ?
()
0
dS
d
?
?
?
?
?
即
( 0 ) ( 0 )
2
2
( 0 )
2
( ) ( ) ( )
| | ( ) 0
d S d S d S
dd d
??
? ? ?
??
?? ?
??
? ? ?
??
? ? ?
? ? ? ?
则有
( 0 ) ( 0 )
2
1
( 0 )
2
( ) ( )
( | ) |
d S d S
dd
??
??
??
??
??
??
??
?
??
??
§ 3.4 非因果关系单方程模型
所谓计量经济学模型，专指那
些在数学上采用回归分析的方
法，在经济意义上揭示因果关
系的经济数学模型。下面简单
地介绍得到普遍应用的增长曲
线模型，这类模型同样也采用
回归分析的方法估计模型参数，
一、增长曲线模型概述
? 增长曲线模型描述经济变量随时间变化的规律
性，从已经发生的经济活动中寻找这种规律性，
并用于未来经济预测。但是，时间并不是经济
活动变化的原因，所以增长曲线模型不属于因
果关系模型。
1,多项式增长曲线模型
2
0 1 2
k
tky t t t? ? ? ?? ? ? ? ?
其中
ty
是第 t 个时间单位的某个经济指标值,t 是时间，
0 1 2,,,,k? ? ? ?
为模型参数 。
2,简单指数型增长曲线模型
t
ty ab?
显然，当
0,1ab??
时,y 随着 t 的增加无限 的增大；而
0,0 1ab? ? ?
时,y 随着 t 的增加趋向于 0 。
3,修正指数型增长曲线模型
t
ty k ab??
其中 k 是 y 的逼近值，当
0,1ab??
时,y 随着 t 的
减少直至 ?? 而逼近于 k ；而
0,0 1ab? ? ?
时,y 随
着 t 的增加直至 ?? 趋向于 k 。
4,Logistic增长曲线模型
5,Gompertz增长曲线模型
二、逻辑增长曲线模型
? 逻辑增长曲线模型，俗称, S曲线,,由
Verhulst 1845年提出，当时主要目的是模拟人
口的增长。
其一般形式为,
()
1
t t
K
y
e
?
?
?
其中：
2
0 1 2()
k
kt t t t? ? ? ? ?? ? ? ? ?
。后来经过逐步简化，
目前常见的形式是,
1
t bt
K
y
ae
?
?
?
也称狭义的逻辑增长曲线模型。
逻辑增长曲线有二个重要的特征,
一是 y 随着 t 的减少直至
??
而逼近于 K,即 K 是 y
的饱和点；反过来，当
t ? ? ?
时，
0y ?
。
二是增长速度越来越慢，逐渐趋近于 0 。
现实生活中许多经济现象的增长过程具有这二个特
征，如：一种新产品的普及率，一种耐用品的存量等。
例：下表内的数据给出了美国 1 7 9 0 ~ 1 9 7 0 年每
10 年人口统计资料（单位：百万人）。要求：分
别应用人口增长模型,
指数增长模型：
t
ty ab?
L o g is ti c 增长模型：
1
t t
K
y
e
?? ?
?
?
预测美国 1 9 8 0 年,1 9 9 0 年,2 0 0 0 年的人口数。
year
人口数
（ P ）
year
人口数
（ P ）
1790 3.929 1900 75.994
1800 5.308 1910 91.972
1810 7.239 1920 105.71
1820 9.638 1930 122.775
1830 12.866 1940 131.669
1840 17.069 1950 151.325
1850 23.191 1960 179.323
1860 31.443 1970 203.211
1870 39.818 1980
1880 50.155 1990
1890 62.947 2000
三,GOMPERTZ增长曲线模型
GO M P E R T Z 增长曲线 1 8 2 5 年由 Go m p e r tz 提出的，
其数学形式为,
bt
ty K a?
其中 K 和 a,b 为待估参数,K 为 y 的上限逼近值,0
为 y 的下限逼近值。所以 Go m p e r tz 曲线和 L o g is ti c
曲线很相似，只是二者的拐点的位置不同。
Go m p e r tz 曲线的参数估计方法有很多，如最简单
的是作如下变换,
btty a
K
?
则有：
l n ( l n ) l n ( l n ) l nt
y
a t b
K
??
对于给定的 K，上述模型是一个简单线性模型。关键是
如何确定 K：
? 根据模型的经济背景给出 K的上、下限。例如：一种
新产品的普及率则上限为 100%，下限是已经实现的
普及率。
? 然后分别根据上、下限作为 K的给定值，估计模型，
计算残差平方和。
? 给出不同的新的 K值，反复试算，直到得到的残差平
方和最小的 K值为止。
四、时间序列分析模型概述
1, 确定性时间序列分析模型
对于一个时间序列
1 2 3,,,,ny y y y
确定性模型主要有以
下几种,
（ 1 ） 滑动平均模型。
将平均数
11? t t t N
t
y y y
y
N
? ? ?
? ? ?
?
tN?
称为时间序列
ty
的滑动平均数序列，称为滑动平均模型。
（ 2 ）加权滑动平均模型
0 1 1 1 1
?
t t N t N
tw
a y a y a y
y
N
? ? ? ?
? ? ?
?
tN?
称为时间序列
ty
的加权滑动平均数序列。其中,
0 1 2 1,,,,Na a a a ?
为加权因子，满足
1
0
1
N
i
i
a
N
?
?
?
?
称为加权滑动平均模型
（ 3 ）二次滑动平均模型
所谓二次滑动平均是对经过一次滑动平均产生的序
列再进行滑动平均。即,
11?? t t t N
t
y y y
y
N
? ? ?
? ? ?
?
tN?
（ 4 ）指数平滑模型
如果采用下式求得序列的平滑预测值
1 1 1()t t t ty y y y?? ? ?? ? ?
01 ???
则称此预测模型为指数平滑模型，其中
?
称为平滑常数，
01 ??? 。
（ 5 ）二次指数平滑模型
在一次指数平滑模型的基础上，再进行指数平滑计算，
即构成二次指数平滑模型。同样还可以构成三次指数
平滑模型。
2,随机时间序列分析模型
（ 1 ）自回归模型（ AR ）
（ 2 ）平滑平均模型（ MA ）
（ 3 ）自回归平滑平均模型（ A R M A ）
（ 4 ） A R I M A 模 型
20世纪 70年代至 80年代初，关于非线性模型理
论与方法的研究成为一个热点。非线性模型理论与
方法已经形成了一个与线性模型相对应的体系，包
括从最小二乘原理出发的一整套方法和从最大似然
原理出发的一整套方法，也包括随机误差项违背基
本假设的非线性问题的估计方法。
一,非线性单方程计量经济学模型概述
? 解释变量非线性问题
? 可化为线性的包含参数非线性的问题
? 不可化为线性的包含参数非线性的问题
解释变量非线性问题
现实经济现象中，变量之间往往呈现非线性关系，
但在许多情况下，又可通过简单的变换，使之成为线性。
解释变量非线性问题就属于这种情况。例如需求函数模
型中需求量与价格之间的关系为：
11
Qp
? ? ?? ? ?
通过变量置换就可以化为线性模型。
可化为线性的包含参数非线性的问题
? 计量经济学模型，一旦包含参数非线性，一般
情况下通过简单的变换难以化为线性问题。但
非线性模型的参数估计远比线性复杂，所以还
应该尽可能地将它们化为线性问题。
如 CD 生 产 函 数 模 型,
Q AK L???
C E S 生 产 函 数 模 型,
1
12
()Q A K L
?? ?
??
?
??
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在 假 设 随 机 误 差 项 的 对 数 形 式 服 从 正 态 分 布 的 情 况
下, 即 引 入 随 机 误 差 项 后 可 以 写 成,
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1
12
()Q A K L
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尽管包含参数非线性，仍然可以首先化为线性问题。
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l n l n l n ( ) l nQ A K L
??
? ? ?
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将式中
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在
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处展开台劳级数，取关
于
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的线性项，即可得,
2
1 2 1 2
1
l n l n l n l n ( l n ( ) ) l n
2
K
Q A K L
L
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例 1,下表给出了某种家用电器 1 9 8 4 - 1991 年的需求量（ Y,万台）
的统计资料。
年份 需求量 t
1 9 8 4 1, 3 1
1 9 8 5 1, 5 2
1 9 8 6 1, 8 3
1 9 8 7 2 4
1 9 8 8 1, 9 5
1 9 8 9 2 6
1 9 9 0 2, 2 7
1 9 9 1 2, 1 8
考虑半对数模型
1 lnYt ????
，用 OL S 法估计该模型，并预测
1 9 9 2 年市场对该产品的需求量。
不可以化为线性的包含参数非线性的问题是下面讨论的真
正非线性模型。它的一般表达式为
(,)iif X B ???iy
1,2,.,,,in?
其中
f
是非线性函数。如上述生产函数模型，如果随机误差
项直接服从正态分布，在引入随机误差项后模型写成,
Q A K L?? ???
1
12
()Q A K L
?? ?
? ? ?
?
??
? ? ?
就是典型的非线性模型。
不可化为线性的包含参数非线性的问题
二、非线性普通最小二乘法
1,OL S 原 理
对于只有一个参数的非线性模型,可以写成,
(,)iifx ????iy
1,2,.,,,in?
如果参数估计值已经得到，则应使得残差平方和最小。即,
2
1
( ) [ (,) ]
n
ii
i
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??
?
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达最小。
取极小值的一 阶条件为,
1
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2 [ (,) ] [ ] 0
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现在的问题是在于如何求解上述非线性方程。
对于多参数非线性模型，用矩阵形式表示为,
(,)Y f X B N??
其中各符号的含义与线性模型相同。向量 B 的普通最小平方估
计 ?B 应该使得残差平方和
( ) [ (,) ] ' [ (,) ]S B Y f X B Y f X B
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达到最小值。即 ?B 应该满足下列条件,
( ( ) )
2 [ (,) ] ' [ (,) ] 0
SB
f X B Y f X B
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??
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?
??
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即
其 中
[ (,) ] 'f X B
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?
?
?
?
是 一 个
? ?kn?
阶 偏 微 分 矩 阵 。
其 中 第
? ?,ji
个 元 素 为
[ (,) ] '
j
f X B
?
??
?
2,高斯 - 牛顿 ( Ga u s s - Ne w t o n ) 迭代法
( 1 ) 高斯 - 牛顿迭代法的原理
根据经验给出参数估计值
?
的初值
? ?0
?
?,将
(,)
i
fx ?
? 在
? ?0
?
? 处展开台
劳级数，即有,
( 0 )
( 0 ) ( 0 )
(,)
(,) (,) | ( )
i
ii
d f x
f x f x
d
?
?
? ? ? ?
?
?
?
? ? ? ?
?
? ? ?
令
(,)
()
i
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d f x
z
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?
?
于是
( 0 )
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d f x
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?i
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代入
2
1
( ) [ (,) ]
n
ii
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( 0 ) ( 0 ) ( 0 )
1
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对于给出了初值
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?,我们可以计算
( 0 )()iy ?
? 和
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的确定的观测值。于是
只要求
2
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的极小值即可。
如果有一个线 性模型
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很容易求得其参数
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? 的普通最小二乘估计值
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?,该估计值使得残差平方和
2
( 1 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 1 )
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( ) [ ( ) ) ]
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i
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最小。
将
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? 作为新的估计值，将
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? 处展开台劳级
数，取了阶近似值，又可以构造一个新的线性伪模型，
对其进行普通最小二乘估计，得取参数
?
? 的第二次迭代
值
? ?2?
?,如此迭代下去。
( 2) 高斯 - 牛顿迭代法的步骤,
第一步：给出参数估计值
?
? 的初值
? ?0
?
?,将
(,)
i
fx ?
? 在
? ?0
?
? 处
展开台劳级数，取一阶近似值；
第二步：计算
( 0 )
)?
?
i
z(
和
( 0 )
()
i
y ?
? 的样本观测值；
第三步：采用 O L S 方法估计模型
( 0 ) ( 0 ) i
( ) )
i
y ? ? ? ?
? ? ?
??
i
z(
，
得到估计值
? ?1
?
? ；
第四步：用
? ?1
?
? 替代第一步中
? ?0
?
?,重复这一过程，直到收敛
为止。
3, N e w t o n R a p h s o n?牛顿 拉夫森( - ) 迭代法
取二阶近似值；
( 0 ) ( 0 )
2
2
( 0 ) ( 0 ) ( 0 )
2
( ) 1 ( )
( ) ( ) | ( ) | ( )
2
d S d S
SS
d d
??
??
? ? ? ? ? ?
? ?
??
??
? ? ? ? ? ?
??
? ? ? ? ?
()
0
dS
d
?
?
?
?
?
即
( 0 ) ( 0 )
2
2
( 0 )
2
( ) ( ) ( )
| | ( ) 0
d S d S d S
dd d
??
? ? ?
??
?? ?
??
? ? ?
??
? ? ?
? ? ? ?
则有
( 0 ) ( 0 )
2
1
( 0 )
2
( ) ( )
( | ) |
d S d S
dd
??
??
??
??
??
??
??
?
??
??
§ 3.4 非因果关系单方程模型
所谓计量经济学模型，专指那
些在数学上采用回归分析的方
法，在经济意义上揭示因果关
系的经济数学模型。下面简单
地介绍得到普遍应用的增长曲
线模型，这类模型同样也采用
回归分析的方法估计模型参数，
一、增长曲线模型概述
? 增长曲线模型描述经济变量随时间变化的规律
性，从已经发生的经济活动中寻找这种规律性，
并用于未来经济预测。但是，时间并不是经济
活动变化的原因，所以增长曲线模型不属于因
果关系模型。
1,多项式增长曲线模型
2
0 1 2
k
tky t t t? ? ? ?? ? ? ? ?
其中
ty
是第 t 个时间单位的某个经济指标值,t 是时间，
0 1 2,,,,k? ? ? ?
为模型参数 。
2,简单指数型增长曲线模型
t
ty ab?
显然，当
0,1ab??
时,y 随着 t 的增加无限 的增大；而
0,0 1ab? ? ?
时,y 随着 t 的增加趋向于 0 。
3,修正指数型增长曲线模型
t
ty k ab??
其中 k 是 y 的逼近值，当
0,1ab??
时,y 随着 t 的
减少直至 ?? 而逼近于 k ；而
0,0 1ab? ? ?
时,y 随
着 t 的增加直至 ?? 趋向于 k 。
4,Logistic增长曲线模型
5,Gompertz增长曲线模型
二、逻辑增长曲线模型
? 逻辑增长曲线模型，俗称, S曲线,,由
Verhulst 1845年提出，当时主要目的是模拟人
口的增长。
其一般形式为,
()
1
t t
K
y
e
?
?
?
其中：
2
0 1 2()
k
kt t t t? ? ? ? ?? ? ? ? ?
。后来经过逐步简化，
目前常见的形式是,
1
t bt
K
y
ae
?
?
?
也称狭义的逻辑增长曲线模型。
逻辑增长曲线有二个重要的特征,
一是 y 随着 t 的减少直至
??
而逼近于 K,即 K 是 y
的饱和点；反过来，当
t ? ? ?
时，
0y ?
。
二是增长速度越来越慢，逐渐趋近于 0 。
现实生活中许多经济现象的增长过程具有这二个特
征，如：一种新产品的普及率，一种耐用品的存量等。
例：下表内的数据给出了美国 1 7 9 0 ~ 1 9 7 0 年每
10 年人口统计资料（单位：百万人）。要求：分
别应用人口增长模型,
指数增长模型：
t
ty ab?
L o g is ti c 增长模型：
1
t t
K
y
e
?? ?
?
?
预测美国 1 9 8 0 年,1 9 9 0 年,2 0 0 0 年的人口数。
year
人口数
（ P ）
year
人口数
（ P ）
1790 3.929 1900 75.994
1800 5.308 1910 91.972
1810 7.239 1920 105.71
1820 9.638 1930 122.775
1830 12.866 1940 131.669
1840 17.069 1950 151.325
1850 23.191 1960 179.323
1860 31.443 1970 203.211
1870 39.818 1980
1880 50.155 1990
1890 62.947 2000
三,GOMPERTZ增长曲线模型
GO M P E R T Z 增长曲线 1 8 2 5 年由 Go m p e r tz 提出的，
其数学形式为,
bt
ty K a?
其中 K 和 a,b 为待估参数,K 为 y 的上限逼近值,0
为 y 的下限逼近值。所以 Go m p e r tz 曲线和 L o g is ti c
曲线很相似，只是二者的拐点的位置不同。
Go m p e r tz 曲线的参数估计方法有很多，如最简单
的是作如下变换,
btty a
K
?
则有：
l n ( l n ) l n ( l n ) l nt
y
a t b
K
??
对于给定的 K，上述模型是一个简单线性模型。关键是
如何确定 K：
? 根据模型的经济背景给出 K的上、下限。例如：一种
新产品的普及率则上限为 100%，下限是已经实现的
普及率。
? 然后分别根据上、下限作为 K的给定值，估计模型，
计算残差平方和。
? 给出不同的新的 K值，反复试算，直到得到的残差平
方和最小的 K值为止。
四、时间序列分析模型概述
1, 确定性时间序列分析模型
对于一个时间序列
1 2 3,,,,ny y y y
确定性模型主要有以
下几种,
（ 1 ） 滑动平均模型。
将平均数
11? t t t N
t
y y y
y
N
? ? ?
? ? ?
?
tN?
称为时间序列
ty
的滑动平均数序列，称为滑动平均模型。
（ 2 ）加权滑动平均模型
0 1 1 1 1
?
t t N t N
tw
a y a y a y
y
N
? ? ? ?
? ? ?
?
tN?
称为时间序列
ty
的加权滑动平均数序列。其中,
0 1 2 1,,,,Na a a a ?
为加权因子，满足
1
0
1
N
i
i
a
N
?
?
?
?
称为加权滑动平均模型
（ 3 ）二次滑动平均模型
所谓二次滑动平均是对经过一次滑动平均产生的序
列再进行滑动平均。即,
11?? t t t N
t
y y y
y
N
? ? ?
? ? ?
?
tN?
（ 4 ）指数平滑模型
如果采用下式求得序列的平滑预测值
1 1 1()t t t ty y y y?? ? ?? ? ?
01 ???
则称此预测模型为指数平滑模型，其中
?
称为平滑常数，
01 ??? 。
（ 5 ）二次指数平滑模型
在一次指数平滑模型的基础上，再进行指数平滑计算，
即构成二次指数平滑模型。同样还可以构成三次指数
平滑模型。
2,随机时间序列分析模型
（ 1 ）自回归模型（ AR ）
（ 2 ）平滑平均模型（ MA ）
（ 3 ）自回归平滑平均模型（ A R M A ）
（ 4 ） A R I M A 模 型
