§ 13-7 磁场的能量
当电键打开后，电源已不再向灯泡供应能量了。
它突然闪亮一下，所消耗的能量从哪里来的？
? K
L
R
?
由于使灯泡闪亮的电流是线圈中的自感电动势
产生的电流，而这电流随着线圈中的磁场的消失而
逐渐消失，所以，可以认为使灯泡闪亮的能量是原
来储存在通有电流的线圈中的，或者说是储存在线
圈内的磁场中，称为 磁能 。
? K
L
R
?
磁场的能量
1K
LR
2K
?
设电路接通后回路中某瞬时的电流为,自感电
动势为,由欧姆定律得
I
tIL dd?
IRtIL ?? dd?
??? ?? tIt tRIILItI 0 200 ddd 0?
磁场的能量
在自感和电流无关的情况下
?? ?? tt tRILItI 0 220 d21d 0?
是 时间内电源提供的部分能量转化为消耗
在电阻 上的焦耳 -楞次热；?
t tRI
0
2 d
R
是回路中建立电流的暂态过程中电源电动势克
服自感电动势所作的功，这部分功转化为载流回路的
能量；
2021 LI
当回路中的电流达到稳定值后，断开,并同时
接通,这时回路中的电流按指数规律衰减，此电
流通过电阻时，放出的焦耳 -楞次热为
1K
2K
磁场的能量
??? 0 2 d tRIQ ? ? ?? 0 22 d teRI tLR
2
02
1 LI?
2
02
1 LIW
m ?
磁能
对于一个很长的直螺线管
VnLnIB 2,?? ???
B H VVBW m
2
1
2
1 2 ???
?
磁场的能量
磁能
密度
BHHB
V
Ww m
m 2
1
2
1
2
1 22 ????? ?
?
VBHVwW mm d21dd ??
???? VBHW m d21
???? VBHLI d2121 2
总磁
能
磁场的能量
例 13-7 求两个相互邻近的电流回路的磁场能量，这
两个回路的电流分别是 I1和 I2。
1L M
1i1K
2L
2i2K
解,为了求出此状态时的磁能，设想 I1和 I2是按
下述步骤建立的。
2
111 2
1 ILW ?
（ 1）先合上电键 K1，使 i1从零增大到 I1。 这一过程中
由于自感 L1的存在，由电源 作功而储藏到磁场中
的能量为 1?
磁场的能量
（ 2）再合上电键 K2，调节 R1使 I1保持不变, 这时 i2由零
增大到 I2。这一过程中由于自感 L2的存在，由电源 作
功而储藏到磁场中的能量为 2?
2
222 2
1 ILW ?
注意到当 i2增大时，在回路 1中会产生互感电动势
12?
t
iM
d
d 2
1212 ???
2L
2i2K
1L M
1i1K
磁场的能量
ttiIMtIW dddd 211211212 ? ??? ?
要保持电流 I1不变，电源 还必须反抗此电
动势作功。这样由于互感的存在，由电源 作功
而储藏到磁场中的能量为
1?
1?
?? ?? 22 0 211210 12 dd II iIMiIM
2112 IIM?
2L
2i2K
1L M
1i1K
磁场的能量
经过上述两个步骤后，系统达到电流分别是 I1
和 I2的状态，这时储藏到磁场中的能量为
1221 WWWW m ???
如果上述两个步骤反向进行，则储藏到磁场
中的能量为
2121
2
22
2
11 2
1
2
1 IIMILILW
m ????
2112
2
22
2
11 2
1
2
1 IIMILIL ???
2L
2i2K
1L M
1i1K
磁场的能量
由于两种通电方式的最后状态相同，所以
mm WW ??
最后储藏到磁场中的总能量为：
21
2
22
2
11 2
1
2
1 IMIILILW
m ????
MMM ?? 2112
2L
2i2K
1L M
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磁场的能量
由于两种通电方式的最后状态相同，所以
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最后储藏到磁场中的总能量为：
21
2
22
2
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1
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2L
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磁场的能量
当电键打开后，电源已不再向灯泡供应能量了。
它突然闪亮一下，所消耗的能量从哪里来的？
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由于使灯泡闪亮的电流是线圈中的自感电动势
产生的电流，而这电流随着线圈中的磁场的消失而
逐渐消失，所以，可以认为使灯泡闪亮的能量是原
来储存在通有电流的线圈中的，或者说是储存在线
圈内的磁场中，称为 磁能 。
? K
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磁场的能量
1K
LR
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?
设电路接通后回路中某瞬时的电流为,自感电
动势为,由欧姆定律得
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磁场的能量
在自感和电流无关的情况下
?? ?? tt tRILItI 0 220 d21d 0?
是 时间内电源提供的部分能量转化为消耗
在电阻 上的焦耳 -楞次热；?
t tRI
0
2 d
R
是回路中建立电流的暂态过程中电源电动势克
服自感电动势所作的功，这部分功转化为载流回路的
能量；
2021 LI
当回路中的电流达到稳定值后，断开,并同时
接通,这时回路中的电流按指数规律衰减，此电
流通过电阻时，放出的焦耳 -楞次热为
1K
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磁场的能量
??? 0 2 d tRIQ ? ? ?? 0 22 d teRI tLR
2
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2
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磁能
对于一个很长的直螺线管
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B H VVBW m
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磁场的能量
磁能
密度
BHHB
V
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???? VBHW m d21
???? VBHLI d2121 2
总磁
能
磁场的能量
例 13-7 求两个相互邻近的电流回路的磁场能量，这
两个回路的电流分别是 I1和 I2。
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解,为了求出此状态时的磁能，设想 I1和 I2是按
下述步骤建立的。
2
111 2
1 ILW ?
（ 1）先合上电键 K1，使 i1从零增大到 I1。 这一过程中
由于自感 L1的存在，由电源 作功而储藏到磁场中
的能量为 1?
磁场的能量
（ 2）再合上电键 K2，调节 R1使 I1保持不变, 这时 i2由零
增大到 I2。这一过程中由于自感 L2的存在，由电源 作
功而储藏到磁场中的能量为 2?
2
222 2
1 ILW ?
注意到当 i2增大时，在回路 1中会产生互感电动势
12?
t
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磁场的能量
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要保持电流 I1不变，电源 还必须反抗此电
动势作功。这样由于互感的存在，由电源 作功
而储藏到磁场中的能量为
1?
1?
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2112 IIM?
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磁场的能量
经过上述两个步骤后，系统达到电流分别是 I1
和 I2的状态，这时储藏到磁场中的能量为
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如果上述两个步骤反向进行，则储藏到磁场
中的能量为
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磁场的能量
由于两种通电方式的最后状态相同，所以
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最后储藏到磁场中的总能量为：
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2
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磁场的能量
由于两种通电方式的最后状态相同，所以
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最后储藏到磁场中的总能量为：
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磁场的能量
