§ 9-8 电荷间相互作用能 静电场的能量
电荷之间具有相互作用能（电势能），当电荷间
相对位置发生变化或系统电荷量发生变化时，静电能
转化为其它形式的能量。
1,点电荷间的相互作用能
1.1 两个点电荷
假设 q1,q2从相距无穷远移至相距为 r。
先把 q1从无限远移至 A点，因 q2与 A点相距仍然为无
限，外力做功等于零。
1q
A
1q 2q
再把 q2从无限远移至 B点，外力要克服 q1的电场力
做功，其大小等于系统电势能的增量。
1q
A
1q 2q
)( 22 ??? VVqA
2q
Br
V2是 q1在 B点产生的电势,V∞是 q1在无限远处的电势。
r
qV 1
0
1 4
1
??
? 0??V
所以 22VqA ? r
qq 21
04
1
??
?
点电荷间的相互作用能
同理，先把 q2从无限远移 B点，再把 q1移到点，
外力做功为
1q
A
1q 2q2q
Br
11VqA ? r
qq 21
04
1
??
?
V1是 q2在 A点产生的电势。
两种不同的迁移过程，外力做功相等。
根据功能原理，外力做功等于系统的相互作用能 W。
r
qqAW 21
04
1
??
??
点电荷间的相互作用能
可改写为
r
qq
r
qqW 1
0
2
2
0
1 4
1
2
1
4
1
2
1
????
?? 2211
2
1
2
1 VqVq ??
?
?
?
2
12
1
i
iiVq
两个点电荷组成的系统的相互作用能（电势能）
等于每个电荷在另外的电荷所产生的电场中的电势
能的代数和的一半。
点电荷间的相互作用能
1.2 三个点电荷
依次把 q1, q2,q3从无限远移至所在的位置。
A
1q
把 q1 移至 A点，外力做功 01 ?A
再把 q2 移至 B点，外力做功
2q
B12r
120
1
22 4 r
qqA
??
?
最后把 q3 移至 C点，外力做功
3q
C
13r
23r
)
44
(
230
2
130
1
33 r
q
r
qqA
????
??
点电荷间的相互作用能
三个点电荷组成的系统的相互作用能量（电势能）
A
1q 2q
B12r
3q
C
13r
23r
321 AAAW ???
)
44
(
4 230
2
130
1
3
120
1
2 r
q
r
qq
r
qq
??????
???
点电荷间的相互作用能
可改写为
)
44
()
44
([
2
1
230
3
120
1
2
130
3
120
2
1 r
q
r
qq
r
q
r
qqW
????????
????
)]
44
(
230
2
130
1
3 r
q
r
qq
????
??
)(21 332211 VqVqVq ??? i
i
iVq?
?
?
3
12
1
V1是 q2和 q3在 q1 所在处产生的电势，余类推。
点电荷间的相互作用能
1.3 多个点电荷
推广至由 n个点电荷组成的系统，其相互作用能
（电势能）为
i
n
i
iVqW ?
?
?
12
1
Vi是除 qi外的其它所有电荷在 qi 所在处产生的电势。
点电荷间的相互作用能
2,电荷连续分布时的静电能
以体电荷分布为例，设想不断把体电荷元 ?dV从
无穷远处迁移到物体上,系统的静电能为
????
V
VW d21 ??
?是体电荷元处的电势。
同理，面分布电荷系统的静电能为：
???
S
SW d21 ??
电荷连续分布时的静电能
3,静电场的能量
平板电容器的能量
VESdECUW AB 222 212121 ?? ???
电能贮藏在电场中，静电场能量的体密度为
DEEVWw e 2121 2 ??? ?
任一带电体系的总能量
VDEVwW
VV
e d2
1d ?? ??? ? ??
静电场的能量
例题 9-8 如图所示，在一边长为 d的立方体的每个
顶点上放有一个点电荷 -e，立方体中心放有一个点
电荷 +2e。求此带电系统的相互作用能量。
+2e
?e?e
?e?e
?e?e
?e?e
静电场的能量
解一 相邻两顶点间的距离为 d，八个顶点上负电荷分别与
相邻负电荷的相互作用能量共有 12对，即 ；面
对角线长度为 。 6个面上 12对对角顶点负电荷间的相互
作用能量是 ；立方体对角线长度为,
4对对角顶点负电荷间的相互作用能量是 ；
立方体中心到每一个顶点的距离是,故中心正电荷
与 8个负电荷间的相互作用能量是
d
e
0
2
412 ??
d2
d
e
2412 0
2
??
d3
d
e
34
4
0
2
??
2/3d
2/348 0
2
d
e
???
静电场的能量
所以，这个点电荷系统的总相互作用能量为
???
?
???
? ????
d
e
d
e
d
e
d
eW
3
32
3
4
2
1212
4
1 2222
0??
解二 任一顶点处的电势为
d
e
d
e
d
e
d
e
V
i
2
3
4
2
)
34
(
)
24
(3)
4
(3
0
0
00
??
??
????
?
?
?
?
?
?
?
静电场的能量
在体心处的电势为
按式可得这个点电荷系的总相互作用能为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
d
e
V
2
3
4
8
0
0
??
结果与解一相同,
? ? ? ?
d
e
d
e
d
e
d
e
VeVeW
i
0
2222
0
0
34.0
3
28
2
1212
4
1
2
2
1
2
1
8
???
???
?
?
?
?
?
?
???
?????
静电场的能量
例 9-9 求半径为 R带电量为 Q的均匀带电球的静电能 。
)(4 3
0
RrRQrE ??,??
)(4 1 3
0
RrrQrE ??,??
??
?
??
?
???
?? rrR
QrdVEW R d4
422
1 2
2
0 3
0
02
0 ???
??
解一,计算定域在电场中的能量
球内 r 处电场
R
Qrr
r
Q
R
0
2
2
2
2
0
0
20
3d4
42 ??
?
??
? ??
?
??
?
??
?
?
静电场的能量
解二,计算带电体系的静电能
3
3
4 rq ?? ??
再聚集 rrr d?? 这层电荷 dq，需做功：
? ??? )4(4 2
0
drr
r
qdqUdW ??
??外外
3
3
4
R
Q
?
? ?
而 ??
??
?
??? ?
R
QdWW R
5
3
4
1 2
0
0 ??外外所以
球体是一层层电荷逐渐聚集而成，某一层内已聚集电荷
静电场的能量
例题 9-10 一平行板空气电容器的板极面积为 S，间
距为 d，用电源充电后两极板上带电分别为 ± Q。断
开电源后再把两极板的距离拉开到 2d。求（ 1）外力
克服两极板相互吸引力所作的功；（ 2）两极板之间
的相互吸引力。（空气的电容率取为 ε0）。
d
SC
d
SC
2,0201 ?? ??
S
dQW
S
dQ
C
QW
0
2
2
0
2
10
2
1
2
2
1
2
1
2
1
???
????,
板极上带电 ± Q时所储的电能为
解 （ 1 ）两极板的间距为 d和 2d时，平行板电容器
的电容分别为
静电场的能量
S
dQWWW
0
2
12 2
1
??? －＝
（ 2）设两极板之间的相互吸引力为 F，拉开两极板
时所加外力应等于 F，外力所作的功 A=Fd,所以
S
Q
d
AF
0
2
2 ?
??
故两极板的间距拉开到 2d后电容器中电场能量的
增量为
静电场的能量
例 9-11 平行板空气电容器每极
板的面积 S= 3× 10-2m2, 板极间
的距离 d = 3× 10-3m 。 今以厚度
为 d’ = 1× 10-3m的铜板平行地插
入电容器内 。 （ 1） 计算此时电
容器的电容； （ 2） 铜板离板极
的距离对上述结果是否有影响？
（ 3） 使电容器充电到两极板的
电势差为 300V后与电源断开,
再把铜板从电容器中抽出, 外
界需作功多少功？
d
SC 0??解,（ 1）铜板未插入前的电容为
d1 d2
d
d?
+? ??
C1 C2
A B
静电场的能量
设平行板电容器两板极上带有电荷 ± q,铜板平行地
两表面上将分别产生感应电荷，面密度也为 ± σ,
如图所示，此时空气中场强不变，铜板中场强为零。
两极板 A,B的电势差为
dd
S
VV
qC
BA ??
??? 0?－
所以铜板插入后的电容 C’为
? ? ? ?S ddqVddEdEdEVVU BBA
0
02010 ?
??????? ＝＋－
2） 由上式可见, C’ 的值与 d1和 d2无关 （ d1增大时,
d2减小 。 d1+ d2=d-d' 不变 ）, 所以铜板离极板的距
离不影响 C’的值
静电场的能量
（ 3） 铜板未抽出时, 电容器被充电到 U=300V,此
时所带电荷量 Q=C’U,电容器中所储静电能为
能量的增量 W-W’ 应等于外力所需作的功, 即
C
QW 2
2
1?
当电容器与电源切断后再抽出铜板, 电容器所储的静
电能增为
1
2
2
1
C
QW
???
静电场的能量
代入已知数据, 可算得
JA 61099.2 ???
? ? 2
2
0
0
22
22
11
2 dd
UdS
S
dQ
CC
QWWWA
??
???
?
??
?
?
????
?
? ＝＝－－＝＝
静电场的能量
代入已知数据, 可算得
JA 61099.2 ???
? ? 2
2
0
0
22
22
11
2 dd
UdS
S
dQ
CC
QWWWA
??
???
?
??
?
?
????
?
? ＝＝－－＝＝
静电场的能量