§ 9-6 有电介质时的高斯定理 电位移
1.有电介质时的高斯定理 电位移
同时考虑自由电荷和束缚电荷产生的电场
? ? ????S
S
qq
内
)(1d 0
0?
SE
??
总电场
束缚电荷
自由电荷
由电荷守恒定律和面上束缚
电荷，得面内束缚电荷
高 斯
定义：电位移矢量
PED ??? ?? 0?
? ???S
S
q
内
0d SD
??
有介质时的高斯定理
通过电介质中任一闭合曲面的电位移通量等
于该面包围的自由电荷的代数和。
有电介质时的高斯定理 电位移
? ? ?????
内S S
dSq ? ??? S SP dc o s ? ? ??? S SP
?? d
代入得
? ????S
S
q
内
00 d)( SPE
???
?
同时描述电场和电介质极化的复合矢量。
电位移线与电场线 性质不同。
电位移矢量
+
+
+
+
+
+
?? ?????? ??
+
+
+
+ +
+
+
+
+
+
?? ?????? ??
+
+
+
+
电场线 电位移线
有电介质时的高斯定理 电位移
PED ??? ?? 0?
EP ?? )1(0 ?? r?? EED
??? ??? ??
r0
有电介质存在时的高斯定理的应用
（ 1）分析自由电荷分布的对称性，选择适当的高斯
面，求出电位移矢量。
（ 2）根据电位移矢量与电场的关系，求出电场。
（ 3）根据电极化强度与电场的关系，求出电极化强度。
（ 4）根据束缚电荷与电极化强度关系，求出束缚电荷。
2,三矢量之间关系 PED ???,、
三矢量间关系
例 1,一无限长同轴金属圆筒，内筒半径为 R1，外筒半径
为 R2，内外筒间充满相对介电常数为 ?r的油，在 内外筒间
加上电压 U(外筒为正极），求电场及束缚电荷分布。
1R2R
解,根据自由电荷和电介质分布的对称性，电场强度和
电位移矢量均应有柱对称性。
设内圆筒单位长度带电为 ?，以 r为底半径,l为高作
一与圆筒同轴的圆柱面为高斯面，则
? ?????S
S
qrlD
内
02d ?SD
?? ??
内S
qrlD 02 1?
?D
10 Rr ?
212 RrRr ????
20 Rr ?
有电介质时的高斯定理 电位移
由电位移与电场的关系，知
?E
10 Rr ?
21
02
RrRr
r
????? ?
20 Rr ?
内外筒电势差
? ?? 12 dRRU lE ?? ?? 2
1
d
2 0
R
R
r
r
r???
?
1
2
0
ln
2 R
R
r???
??
代入得到电场的分布为：
?E
10 Rr ?
21
12 )/ln (
RrRRRr U ??
20 Rr ?
沿半径向里
1R2R
有电介质时的高斯定理 电位移
EP ?? )1(0 ?? r??由 得电极化强度矢量的分布
?P
10 Rr ?
21
12
0
)/ln (
)1( RrR
RRr
Ur ?????
20 Rr ?
沿半径向里
由 得束缚电荷的分布nP ?? ????
???
1
121
0
)/ln (
)1( Rr
RRR
Ur ????
2
122
0
)/ln (
)1( Rr
RRR
Ur ??? ??
束缚电荷在介质内表面为正，外表面为负。
1R
2R
有电介质时的高斯定理 电位移
例 2,一平板电容器 板间为真空时,两极板上所带电荷
的面密度分别为 +?和 -?，，电压 U0=200V。撤去充
电电源，在板间按图示充以三种介质，介质 1充满一
半空间，介质 2和 3的厚度相同。求介质表面的束缚
电荷。（忽略边缘效应）
??
??解：
1r?
2r?
3r?
忽略边缘效应，板间各
处, 均垂直于板面,
且在同一介质中相同。
E? D?
以 ?1,?2分别表示极板左半部及右半部分的面电荷密
度,表示各介质中的电场和电位移。、1E?,2E?,3E?、1D?,2D? 3D?
1??
1?? 2??
2??
有电介质时的高斯定理 电位移
1??
1??
1r?
2r?
3r?
2??
2??
电介质中高斯定理 ??? ?
??????? 侧面下底上底 SDSDSDSD ???????? ddddS ? ?? 下底 SD ?? d
?? ??? 下底 SDSD ???? ddS
分别考虑三种介质：
SD ??? 1 S??? 1? 介质 1
?? ??? 下底 SDSD ???? ddS SD ??? 2 S??? 2? 介质 2
?? ??? 下底 SDSD ???? ddS SD ??? 3 S??? 2? 介质 3
23211 ?? ???? DDD
在各电介质中作圆柱
形高斯面, 两底面平行于
极板, 上底在上极板内 。
侧面、上底面电场电位
移通量均为零。
有电介质时的高斯定理 电位移
可解得
323121
3
0
2 2
4
rrrrrr
rE
??????
?
?
?
???
323121
2
0
3 2
4
rrrrrr
rE
??????
?
?
?
???
323121
32
0
1 2
2
rrrrrr
rrE
??????
??
?
?
??
??
1??
1??
1r?
2r?
3r?
2??
2??
1???
1???
2???
2???
3???
3???
由电场与电位移关系得：
10
1
10
1
1
rr
DE
??
?
?? ?? 20
2
20
2
2
rr
DE
??
?
?? ?? 30
2
30
3
3
rr
DE
??
?
?? ??
平衡时导体是等势体 2/2/
321 dEdEdE ????
电荷守恒
SSS ??? ???? 2/2/ 21
有电介质时的高斯定理 电位移
nEnP ???? ?????? )1(0 r???由 得束缚电荷的分布
1101 )1( Er ??? ??? ??????? ???
323121
132
2
)1)((2
rrrrrr
rrr
??
??? 上负下正
2202 )1( Er ??? ???
上负下正 ?
??????
??
323121
23
2
)14
rrrrrr
rr
??
?? （
3303 )1( Er ??? ???
上负下正 ?
??????
??
323121
32
2
)14
rrrrrr
rr
??
?? （
有电介质时的高斯定理 电位移
例题 9-6 一半径为 R的金属球，带有电荷 q0,浸埋在均匀
“无限大”电介质（电容率为 ε），求球外任一点 P的场
强及极化电荷分布。
解, 根据金属球是等势体，而
且介质又以球体球心为中心对
称分布，可知电场分布必仍具
球对称性，用有电介质时的高
斯定理来。
如图所示，过 P点作一半
径为 r并与金属球同心的闭合
球面 S，由高斯定理知
R Q0
r
P
S
?
有电介质时的高斯定理 电位移
2
0
4 r
qD
?
?
rrqD ?? 304??
所以
写成矢量式为
024d qrDSD ????? ?
??
ED ?? ??,所以离球心 r 处 P点的场强为因
rr
Er
r
qr
r
qDE
???????
?
??
??
???? 3
0
0
3
0
44
有电介质时的高斯定理 电位移
r
r
qr
r
qr
r
qP
r
r
r
???? ?
?
??
?
? ????
?
?
????
?
?
1
444 3
0
3
0
0
03
0
结果表明：带电金属球周围充满均匀无限大电介
质后，其场强减弱到真空时的 1/εr倍,可求出电极化强
度为
电极化强度 与 有关，是非均匀极化。在电介
质内部极化电荷体密度等于零，极化面电荷分布
在与金属交界处的电介质变面上（另一电介质表
面在无限远处），其电荷面密度为
P? r?
neP ?
? ????
有电介质时的高斯定理 电位移
??
?
?
??
?
? ?
???
r
r
R
q
?
?
?
? 1
4 2
0
rr
r qqq
??
? 0
00
1
???
?
?
??
?
? ?
?
因为 εr >1，上式说明 σ’恒与 q0反号，在交界
面处只有电荷和极化电荷的总电荷量为
总电荷量减小到自由电荷量的 1/εr倍，这是 离球
心 r处 P点的场强 减小到真空时的 1/εr倍的原因。
有电介质时的高斯定理 电位移
解 （ 1 ）设场强分别为 E1 和 E2,电位移分别为 D1
和 D2, E1和 E2 与板极面垂直，都属均匀场。先在两层
电介质交界面处作一高斯闭合面 S1，在此高斯面内的
自由电荷为零。由电介质时的高斯定理得
例题 9-7 平行板电容器两板极
的面积为 S，如图所示，两板极
之间充有两层电介质，电容率分
别为 ε1 和 ε2,厚度分别为 d1 和 d2,
电容器两板极上自由电荷面密度
为 ± σ。求（ 1）在各层电介质的
电位移和场强，（ 2）电容器的
电容,
+?
E1 E2
D1 D2
S2
S1
d1 d2A B
?1 ?2
有电介质时的高斯定理 电位移
所以 21 DD ＝
1D? 2D?即在两电介质内，电位移 和 的量值相等。由于
0d 21
1
＝＋ SDSD
S
????? SD ??
222111,EDED
???? ?? ＝＝
所以
1
2
1
2
2
1
r
r
E
E
?
?
?
? ????
可见在这两层电介质中场强并不相等，而是和
电容率（或相对电容率）成反比。
有电介质时的高斯定理 电位移
为了求出电介质中电位移和场强的大小，我们
可另作一个高斯闭合面 S2,如图中左边虚线所示，
这一闭合面内的自由电荷等于正极板上的电荷，按
有电介质时的高斯定理，得
?SSDSD
S
＝1
1
????
再利用 222111,EDED ???? ?? ＝＝ 可求得
011
1 ??
?
?
?
r
E ??
022
2 ??
?
?
?
r
E ??
方向都是由左指向右。
有电介质时的高斯定理 电位移
?
?
??
?
? ???
?
??
?
? ???
2
2
1
1
2
2
1
1
2211 ?????
dd
S
qdddEdEVV
BA ＝－
2
2
1
1
??
dd
S
VV
q
C
BA ?
??
－
q=σS是每一极板上的电荷，这个电容器的电容为
可见电容电介质的放置次序无关。上述结果可
以推广到两极板间有任意多层电介质的情况（每一层
的厚度可以不同，但其相互叠合的两表面必须都和电
容器两极板的表面相平行）。
（ 2）正、负两极板 A,B间的电势差为
有电介质时的高斯定理 电位移
?
?
??
?
? ???
?
??
?
? ???
2
2
1
1
2
2
1
1
2211 ?????
dd
S
qdddEdEVV
BA ＝－
2
2
1
1
??
dd
S
VV
q
C
BA ?
??
－
q=σS是每一极板上的电荷，这个电容器的电容为
可见电容电介质的放置次序无关。上述结果可以
推广到两极板间有任意多层电介质的情况（每一层的
厚度可以不同，但其相互叠合的两表面必须都和电容
器两极板的表面相平行）。
（ 2）正、负两极板 A,B间的电势差为
有电介质时的高斯定理 电位移
1.有电介质时的高斯定理 电位移
同时考虑自由电荷和束缚电荷产生的电场
? ? ????S
S
内
)(1d 0
0?
SE
??
总电场
束缚电荷
自由电荷
由电荷守恒定律和面上束缚
电荷，得面内束缚电荷
高 斯
定义：电位移矢量
PED ??? ?? 0?
? ???S
S
q
内
0d SD
??
有介质时的高斯定理
通过电介质中任一闭合曲面的电位移通量等
于该面包围的自由电荷的代数和。
有电介质时的高斯定理 电位移
? ? ?????
内S S
dSq ? ??? S SP dc o s ? ? ??? S SP
?? d
代入得
? ????S
S
q
内
00 d)( SPE
???
?
同时描述电场和电介质极化的复合矢量。
电位移线与电场线 性质不同。
电位移矢量
+
+
+
+
+
+
?? ?????? ??
+
+
+
+ +
+
+
+
+
+
?? ?????? ??
+
+
+
+
电场线 电位移线
有电介质时的高斯定理 电位移
PED ??? ?? 0?
EP ?? )1(0 ?? r?? EED
??? ??? ??
r0
有电介质存在时的高斯定理的应用
（ 1）分析自由电荷分布的对称性，选择适当的高斯
面，求出电位移矢量。
（ 2）根据电位移矢量与电场的关系，求出电场。
（ 3）根据电极化强度与电场的关系，求出电极化强度。
（ 4）根据束缚电荷与电极化强度关系，求出束缚电荷。
2,三矢量之间关系 PED ???,、
三矢量间关系
例 1,一无限长同轴金属圆筒，内筒半径为 R1，外筒半径
为 R2，内外筒间充满相对介电常数为 ?r的油，在 内外筒间
加上电压 U(外筒为正极），求电场及束缚电荷分布。
1R2R
解,根据自由电荷和电介质分布的对称性，电场强度和
电位移矢量均应有柱对称性。
设内圆筒单位长度带电为 ?，以 r为底半径,l为高作
一与圆筒同轴的圆柱面为高斯面，则
? ?????S
S
qrlD
内
02d ?SD
?? ??
内S
qrlD 02 1?
?D
10 Rr ?
212 RrRr ????
20 Rr ?
有电介质时的高斯定理 电位移
由电位移与电场的关系，知
?E
10 Rr ?
21
02
RrRr
r
????? ?
20 Rr ?
内外筒电势差
? ?? 12 dRRU lE ?? ?? 2
1
d
2 0
R
R
r
r
r???
?
1
2
0
ln
2 R
R
r???
??
代入得到电场的分布为：
?E
10 Rr ?
21
12 )/ln (
RrRRRr U ??
20 Rr ?
沿半径向里
1R2R
有电介质时的高斯定理 电位移
EP ?? )1(0 ?? r??由 得电极化强度矢量的分布
?P
10 Rr ?
21
12
0
)/ln (
)1( RrR
RRr
Ur ?????
20 Rr ?
沿半径向里
由 得束缚电荷的分布nP ?? ????
???
1
121
0
)/ln (
)1( Rr
RRR
Ur ????
2
122
0
)/ln (
)1( Rr
RRR
Ur ??? ??
束缚电荷在介质内表面为正，外表面为负。
1R
2R
有电介质时的高斯定理 电位移
例 2,一平板电容器 板间为真空时,两极板上所带电荷
的面密度分别为 +?和 -?，，电压 U0=200V。撤去充
电电源，在板间按图示充以三种介质，介质 1充满一
半空间，介质 2和 3的厚度相同。求介质表面的束缚
电荷。（忽略边缘效应）
??
??解：
1r?
2r?
3r?
忽略边缘效应，板间各
处, 均垂直于板面,
且在同一介质中相同。
E? D?
以 ?1,?2分别表示极板左半部及右半部分的面电荷密
度,表示各介质中的电场和电位移。、1E?,2E?,3E?、1D?,2D? 3D?
1??
1?? 2??
2??
有电介质时的高斯定理 电位移
1??
1??
1r?
2r?
3r?
2??
2??
电介质中高斯定理 ??? ?
??????? 侧面下底上底 SDSDSDSD ???????? ddddS ? ?? 下底 SD ?? d
?? ??? 下底 SDSD ???? ddS
分别考虑三种介质：
SD ??? 1 S??? 1? 介质 1
?? ??? 下底 SDSD ???? ddS SD ??? 2 S??? 2? 介质 2
?? ??? 下底 SDSD ???? ddS SD ??? 3 S??? 2? 介质 3
23211 ?? ???? DDD
在各电介质中作圆柱
形高斯面, 两底面平行于
极板, 上底在上极板内 。
侧面、上底面电场电位
移通量均为零。
有电介质时的高斯定理 电位移
可解得
323121
3
0
2 2
4
rrrrrr
rE
??????
?
?
?
???
323121
2
0
3 2
4
rrrrrr
rE
??????
?
?
?
???
323121
32
0
1 2
2
rrrrrr
rrE
??????
??
?
?
??
??
1??
1??
1r?
2r?
3r?
2??
2??
1???
1???
2???
2???
3???
3???
由电场与电位移关系得：
10
1
10
1
1
rr
DE
??
?
?? ?? 20
2
20
2
2
rr
DE
??
?
?? ?? 30
2
30
3
3
rr
DE
??
?
?? ??
平衡时导体是等势体 2/2/
321 dEdEdE ????
电荷守恒
SSS ??? ???? 2/2/ 21
有电介质时的高斯定理 电位移
nEnP ???? ?????? )1(0 r???由 得束缚电荷的分布
1101 )1( Er ??? ??? ??????? ???
323121
132
2
)1)((2
rrrrrr
rrr
??
??? 上负下正
2202 )1( Er ??? ???
上负下正 ?
??????
??
323121
23
2
)14
rrrrrr
rr
??
?? （
3303 )1( Er ??? ???
上负下正 ?
??????
??
323121
32
2
)14
rrrrrr
rr
??
?? （
有电介质时的高斯定理 电位移
例题 9-6 一半径为 R的金属球，带有电荷 q0,浸埋在均匀
“无限大”电介质（电容率为 ε），求球外任一点 P的场
强及极化电荷分布。
解, 根据金属球是等势体，而
且介质又以球体球心为中心对
称分布，可知电场分布必仍具
球对称性，用有电介质时的高
斯定理来。
如图所示，过 P点作一半
径为 r并与金属球同心的闭合
球面 S，由高斯定理知
R Q0
r
P
S
?
有电介质时的高斯定理 电位移
2
0
4 r
qD
?
?
rrqD ?? 304??
所以
写成矢量式为
024d qrDSD ????? ?
??
ED ?? ??,所以离球心 r 处 P点的场强为因
rr
Er
r
qr
r
qDE
???????
?
??
??
???? 3
0
0
3
0
44
有电介质时的高斯定理 电位移
r
r
qr
r
qr
r
qP
r
r
r
???? ?
?
??
?
? ????
?
?
????
?
?
1
444 3
0
3
0
0
03
0
结果表明：带电金属球周围充满均匀无限大电介
质后，其场强减弱到真空时的 1/εr倍,可求出电极化强
度为
电极化强度 与 有关，是非均匀极化。在电介
质内部极化电荷体密度等于零，极化面电荷分布
在与金属交界处的电介质变面上（另一电介质表
面在无限远处），其电荷面密度为
P? r?
neP ?
? ????
有电介质时的高斯定理 电位移
??
?
?
??
?
? ?
???
r
r
R
q
?
?
?
? 1
4 2
0
rr
r qqq
??
? 0
00
1
???
?
?
??
?
? ?
?
因为 εr >1，上式说明 σ’恒与 q0反号，在交界
面处只有电荷和极化电荷的总电荷量为
总电荷量减小到自由电荷量的 1/εr倍，这是 离球
心 r处 P点的场强 减小到真空时的 1/εr倍的原因。
有电介质时的高斯定理 电位移
解 （ 1 ）设场强分别为 E1 和 E2,电位移分别为 D1
和 D2, E1和 E2 与板极面垂直，都属均匀场。先在两层
电介质交界面处作一高斯闭合面 S1，在此高斯面内的
自由电荷为零。由电介质时的高斯定理得
例题 9-7 平行板电容器两板极
的面积为 S，如图所示，两板极
之间充有两层电介质，电容率分
别为 ε1 和 ε2,厚度分别为 d1 和 d2,
电容器两板极上自由电荷面密度
为 ± σ。求（ 1）在各层电介质的
电位移和场强，（ 2）电容器的
电容,
+?
E1 E2
D1 D2
S2
S1
d1 d2A B
?1 ?2
有电介质时的高斯定理 电位移
所以 21 DD ＝
1D? 2D?即在两电介质内，电位移 和 的量值相等。由于
0d 21
1
＝＋ SDSD
S
????? SD ??
222111,EDED
???? ?? ＝＝
所以
1
2
1
2
2
1
r
r
E
E
?
?
?
? ????
可见在这两层电介质中场强并不相等，而是和
电容率（或相对电容率）成反比。
有电介质时的高斯定理 电位移
为了求出电介质中电位移和场强的大小，我们
可另作一个高斯闭合面 S2,如图中左边虚线所示，
这一闭合面内的自由电荷等于正极板上的电荷，按
有电介质时的高斯定理，得
?SSDSD
S
＝1
1
????
再利用 222111,EDED ???? ?? ＝＝ 可求得
011
1 ??
?
?
?
r
E ??
022
2 ??
?
?
?
r
E ??
方向都是由左指向右。
有电介质时的高斯定理 电位移
?
?
??
?
? ???
?
??
?
? ???
2
2
1
1
2
2
1
1
2211 ?????
dd
S
qdddEdEVV
BA ＝－
2
2
1
1
??
dd
S
VV
q
C
BA ?
??
－
q=σS是每一极板上的电荷，这个电容器的电容为
可见电容电介质的放置次序无关。上述结果可
以推广到两极板间有任意多层电介质的情况（每一层
的厚度可以不同，但其相互叠合的两表面必须都和电
容器两极板的表面相平行）。
（ 2）正、负两极板 A,B间的电势差为
有电介质时的高斯定理 电位移
?
?
??
?
? ???
?
??
?
? ???
2
2
1
1
2
2
1
1
2211 ?????
dd
S
qdddEdEVV
BA ＝－
2
2
1
1
??
dd
S
VV
q
C
BA ?
??
－
q=σS是每一极板上的电荷，这个电容器的电容为
可见电容电介质的放置次序无关。上述结果可以
推广到两极板间有任意多层电介质的情况（每一层的
厚度可以不同，但其相互叠合的两表面必须都和电容
器两极板的表面相平行）。
（ 2）正、负两极板 A,B间的电势差为
有电介质时的高斯定理 电位移
