§ 8-5 等势面 电场与电势梯度的关系
点电荷的等势面
1,等势面
在静电场中，电势相等的点所组成的面称为等势面。
1.1 典型等势面
电偶极子的等势面
+
等势面
电平行板电容器电场的等势面
++ ++++ +++
等势面
在等势面上移动不作功
即
结论：电力线与等势面垂直。
q0在等势面上移动,E dl与 成 角。θ
θ
E
dlq0
1.2 等势面与电场线的关系
lE0 ?? dd ?? qA
0?
0000 ??? lEq d
0c o s ?? ?
E d l?
S
?c o sd ??? lEq 0
等势面
1.3 等势面图示法
等势面画法规定：相邻两等势面之间的电
势间隔相等。
U U+?U U+2?U U+3?U
等势面
2,场强与电势的关系 电势梯度
2.1 电势梯度
在电场中任取两相距很近的等势面 1和 2，
1
U U+dU
2
P1
n
P2
P3
?
电势分别为 U和 U+dU，且 dU>0
等势面 1上 P1点的单位法向矢量为 n
与等势面 2正交于 P2 点。
在等势面 2任取一点 P3,设
npp d?21 lpp d?31
则 ?c o sdd ?? ln ?c o s
d
d
d
d
n
U
l
U ?
场强与电势的关系 电势梯度
U+dU
1
U
2
P1
P2
P3
?
定义电势梯度 n?
n
UU
d
dg r a d ?
方向与等势面垂直，并
指向电势升高的方向。
其量值为该点电势增
加率的最大值。
场强与电势的关系 电势梯度
nE ?? E?
场强也与等势面垂直，但指
向电势降低的方向。
电荷 q从等势面 1移动到等势面 2，电场力做功
lE ?? dd ?? qA
电场力做功等于电势能的减少量 UqA dd ???
n
UE
d
d???
写成矢量形式 U
n
U g r a d
d
d ???? nE ??
在直角坐标系中 )( kjiE
????
z
U
y
U
x
U
?
??
?
??
?
???
1
U
2
P1
P2
P3
?
U+dU
n
E
?c o sd ??? lqE nqE d??
2.2 电势梯度与电场强度的关系
场强与电势的关系 电势梯度
2.3 场强与电势梯度的关系的应用
电势叠加为标量叠加，故可先算出电势，再
应用场强与电势梯度的关系算出场强。
例 8-15 电偶极子较远处的电场
例 2 均匀带电圆环轴线上的电场
例 8-16 均匀带电圆盘轴线上的电场
场强与电势的关系 电势梯度
例 8-15 计算电偶极子较远处的电场。
解,在直角坐标系中先写出电势的表达式，
y
P(x,y)
-L/2
+q-q
L/2
??
???
r
q
r
qU
00 4
1
4
1
???? ??
?? ??
rr
rrq
04 ??
r- r+r
O
?
2
0
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2
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P
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2/322
0 )(4 yx
Px
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x
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2/522
0
22
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yx
yxP
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??
y
UE
y ?
???
2/522
0 )(4
3
yx
P x y
?
??
??
X
等势面 电场强度与电势梯度的关系
讨论：
1,在 X轴上,y=0，则
3
02 x
PE
x ??? 0?yE
与用叠加原理得到的结果一致。
3
02 y
PE
x ???? 0?yE
P(x,0)
-L/2 L/2
x
y
O
E
+q-q
P(0,y)
E
2,在 Y轴上,x=0，则
等势面 电场强度与电势梯度的关系
例 2.计算均匀带电圆环轴线上的电场。
Xo
p
x
R r
解,P点电势
r
qU d??
04
1
??
2/122
0 )(4 xR
q
?? ??
2122
04
1
/)(
d
xR
q
?? ? ??
P点电场
x
UEE
x ?
????
2/322
0 )(4 xR
qx
?
?
??
与用叠加原理得到的结果一致。
E
等势面 电场强度与电势梯度的关系
例 8-16 计算均匀带电圆盘轴线上的电场。
p O
)(
2
22
0
xxRU ???
?
?
x
UEE
x ?
????
)1(
2 220 xR
x
?
??
?
?
与用叠加原理得到的结果一致。
x
讨论,当 R??时，
02?
??E
即无穷大均匀带电平面的电场。
解：
R
等势面 电场强度与电势梯度的关系
例 8-16 计算均匀带电圆盘轴线上的电场。
p O
)(
2
22
0
xxRU ???
?
?
x
UEE
x ?
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2 220 xR
x
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与用叠加原理得到的结果一致。
x
讨论,当 R??时，
02?
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即无穷大均匀带电平面的电场。
解：
R
等势面 电场强度与电势梯度的关系
点电荷的等势面
1,等势面
在静电场中，电势相等的点所组成的面称为等势面。
1.1 典型等势面
电偶极子的等势面
+
等势面
电平行板电容器电场的等势面
++ ++++ +++
等势面
在等势面上移动不作功
即
结论：电力线与等势面垂直。
q0在等势面上移动,E dl与 成 角。θ
θ
E
dlq0
1.2 等势面与电场线的关系
lE0 ?? dd ?? qA
0?
0000 ??? lEq d
0c o s ?? ?
E d l?
S
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等势面
1.3 等势面图示法
等势面画法规定：相邻两等势面之间的电
势间隔相等。
U U+?U U+2?U U+3?U
等势面
2,场强与电势的关系 电势梯度
2.1 电势梯度
在电场中任取两相距很近的等势面 1和 2，
1
U U+dU
2
P1
n
P2
P3
?
电势分别为 U和 U+dU，且 dU>0
等势面 1上 P1点的单位法向矢量为 n
与等势面 2正交于 P2 点。
在等势面 2任取一点 P3,设
npp d?21 lpp d?31
则 ?c o sdd ?? ln ?c o s
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场强与电势的关系 电势梯度
U+dU
1
U
2
P1
P2
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?
定义电势梯度 n?
n
UU
d
dg r a d ?
方向与等势面垂直，并
指向电势升高的方向。
其量值为该点电势增
加率的最大值。
场强与电势的关系 电势梯度
nE ?? E?
场强也与等势面垂直，但指
向电势降低的方向。
电荷 q从等势面 1移动到等势面 2，电场力做功
lE ?? dd ?? qA
电场力做功等于电势能的减少量 UqA dd ???
n
UE
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写成矢量形式 U
n
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在直角坐标系中 )( kjiE
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y
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2
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U+dU
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2.2 电势梯度与电场强度的关系
场强与电势的关系 电势梯度
2.3 场强与电势梯度的关系的应用
电势叠加为标量叠加，故可先算出电势，再
应用场强与电势梯度的关系算出场强。
例 8-15 电偶极子较远处的电场
例 2 均匀带电圆环轴线上的电场
例 8-16 均匀带电圆盘轴线上的电场
场强与电势的关系 电势梯度
例 8-15 计算电偶极子较远处的电场。
解,在直角坐标系中先写出电势的表达式，
y
P(x,y)
-L/2
+q-q
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等势面 电场强度与电势梯度的关系
讨论：
1,在 X轴上,y=0，则
3
02 x
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与用叠加原理得到的结果一致。
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P(x,0)
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E
2,在 Y轴上,x=0，则
等势面 电场强度与电势梯度的关系
例 2.计算均匀带电圆环轴线上的电场。
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解,P点电势
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与用叠加原理得到的结果一致。
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等势面 电场强度与电势梯度的关系
例 8-16 计算均匀带电圆盘轴线上的电场。
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与用叠加原理得到的结果一致。
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讨论,当 R??时，
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即无穷大均匀带电平面的电场。
解：
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等势面 电场强度与电势梯度的关系
例 8-16 计算均匀带电圆盘轴线上的电场。
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与用叠加原理得到的结果一致。
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讨论,当 R??时，
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即无穷大均匀带电平面的电场。
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等势面 电场强度与电势梯度的关系
