1,电场强度通量
均匀电场中穿过与电场垂直的平面 S的电场线总
数，称为通过该平面的电场强度通量。
将曲面分割为无限多个面
元，称为 面积元矢量
ds
nS ?? Sdd ?
则电场穿过该面元的电通量为
SE ?? dd ??e?
电场穿过某曲面的电通量为 SE
S
e
?? d?? ???
§ 8-3 高斯定理
ESe ?? n?
? 不闭合曲面：
? 闭合曲面：
面元的法向单位矢量可
有两种相反取向，电通量可
正也可负；
规定面元的法向单
位矢量取向外为正。
电场线穿出，电通量为
正，反之则为负。 n?
n?
n?
n?
电场强度通量
+q
2,高斯定理
SrSE
????
d
4
1d
0
???? ???? 3
SS
e r
q
??
?
S
r
q d
4 S20 ??
?
??
2
2
0
4
4
r
r
q ?
??
??
0?
q
?
1.1 当点电荷在球心时
S?d
E?
r
高斯定理
高斯
+q
1.2 任一闭合曲面 S包围该电荷
在闭合曲面上任取一面积元
dS，通过面元的电场强度通量
r
0?
q?
SE ?? d?? ??
S
e?
S
2,高斯定理
1.1 当点电荷在球心时
SE ?? dd ??e? S
r ?? d
4 20
??
rr
q
??
S
r
q dco s ?
?? 204
?
2
04 r
Sdq ??
??
S?d
E?
高斯定理
S
0?
q?
SE ?? d?? ??
S
e?
2,高斯定理
1.1 当点电荷在球心时
S?d
E?
+
?c osdd SS ??
1.2 任一闭合曲面 S包围该电荷
是 dS在垂直于电场方向的投影。
dS对电荷所在点的立体角为
?d
2d r
Sd ???
?
??
? d
4
d
0
q
e ??
高斯定理
q1 q
2
q3
S
SE ?? d?? ??
S
e?
2,高斯定理
1.1 当点电荷在球心时
S?d
E?
+
1.2 任一闭合曲面 S包围该电荷
?d
?
??
? d
4
d
0
q
e ?
???
S
e
q ?
??
? d
4 0
?
??
4
4 0
?? q
0?
q?
0?
q?高斯定理
SE ?? d?? ??
S
e?
2,高斯定理
1.1 当点电荷在球心时
1.2 任一闭合曲面 S包围该电荷
0?
q?
SE ?? d?? ??
S
e?
0?
q?
1.3 闭合曲面 S不包围该电荷 S?d
E?
+
?d
1S
2S
闭合曲面可分成两部分 S1、
S2，它们对点电荷张的立体
角绝对值相等而符号相反。
???
S
e
q ?
??
? d
4 0
0?
高斯定理
SE ?? d?? ??
S
e?
2,高斯定理
1.1 当点电荷在球心时
1.2 任一闭合曲面 S包围该电荷 SE
?? d?? ??
S
e?
0?
q?
1.3 闭合曲面 S不包围该电荷
0?
q?
SE ?? d?? ??
S
e? 0?
1.4 闭合曲面 S包围多个电荷 q1-qk，同时面外也有多个
电荷 qk+1-qn
由电场叠加原理 ??
i i
EE ?? ?? ??? ??
n
ki n
k
i i
EE
11
??
SE ?? d?? ??
Se
? ? ??? ?? ??? ????
n
ki S
i
k
i S
i SESE
11
dd ????
0?
?
? 内S
iq
高斯定理
SE ?? d?? ??
S
e?
2,高斯定理
1.1 当点电荷在球心时
1.2 任一闭合曲面 S包围该电荷 SE
?? d?? ??
S
e?
0?
q?
1.3 闭合曲面 S不包围该电荷
0?
q?
SE ?? d?? ??
S
e? 0?
1.4 闭合曲面 S包围多个电荷 q1-qk，同时面外也有多个
电荷 qk+1-qn
0?
?
? 内S
iq
SE ?? d?? ??
S
e?
高斯定理
高斯定理,
高斯定理表明静电场是有源场，电荷就是静电场的源。
虽然电通量只与高斯面内电荷有关，但是
面上电场却与面内、面外电荷都有关。
注意：
??? ???? V
S
e SE Vd
1d
0
?
?
?
??
??? ???
内S
i
S
e qSE
0
1d
?
?
??
在真空中，静电场通过任意闭合曲面的
电通量，等于面内所包围的自由电荷代数和除以真
空介电常数。
点电荷系
连续分布带电体
高斯定理
3,高斯定理的应用
1,均匀带电球面的电场
4,均匀带电球体的电场
3,均匀带电无限大平面的电场
2,均匀带电圆柱面的电场
条件,电荷分布具有较高的空间对称性
5,均匀带电球体空腔部分的电场
高斯定理的应用
rR +
+
+
+
+
+ + ++
+ +
+
+
+
+ +
q
例 1,均匀带电球面的电场，球面半径为 R,带电为 q。
电场分布也应有球对称性，方向沿径向。
作同心且半径为 r的高斯面,
r?R时，高斯面无电荷，
24d rESE
S ?????
??
0?E
0?
?? q
解：
2
04 r
q
E
??
??
高斯定理的应用
r0
E
R
+R
+
+
+
+
+ +
+
++
+
++
++ +
r
q
r?R时，高斯面包围电荷 q，
2
04 r
qE
??
?
E? r 关系曲线
2
04 R
q
??
均匀带电球面的电场分布
2?? r
高斯定理的应用
例 8-11 无限长均匀带电圆柱面的电场。圆柱半径为 R，
沿轴线方向单位长度带电量为 ?。
r
l
作与带电圆柱同轴的圆柱形高斯面,
电场分布也应有柱对称性，方向沿径向。
高为 l,半径为 r
???? ?? 侧面 SSE ???? dd Es
（ 1）当 r<R 时，
由高斯定理知
lr
q
E
02??
??
? ? 0q
0?E
解：
rlE ?2?
高斯定理的应用
l
r
（ 2）当 r>R 时，
? ? lq ?
r
E
02??
??
均匀带电圆柱面的电场分布
r0
E
R
E? r 关系曲线
R02??
?
1?? r
高斯定理的应用
E
σ
E
例 8-10 均匀带电无限大平面的电场,
电场分布也应有面对称性，
方向沿法向。
解：
高斯定理的应用
作轴线与平面垂直的圆柱形高斯面，底面积为
S，两底面到带电平面距离相同。
σ
E
S
E
ESEEs 2dd ???? ?? 两底 SS ????
圆柱形高斯面内电荷 ? ? Sq ?
由高斯定理得
0/2 ?? SES ?
02 ?
??E
高斯定理的应用
Rr
例 8-9 均匀带电球体的电场。球半径为 R，体电
荷密度为 ?。
电场分布也应有球对称性，方向沿径向。
作同心且半径为 r的高斯面
24 rESE
S
?????? ?? d
0?
?? q
a.r?R时，高斯面内电荷
3r
3
4Vq ???? ? ??? dr
3E 0?
??
b.r?R时，高斯面内电荷 3
3
4 Rq ??? ??
2
0
3 1
3 r
RE
?
??
解：
2
04 r
qE
??
??
高斯定理的应用
E
O rR
R
Rrr ?
03 ?
?
Rr
r
R ?
2
0
3 1
3 ?
?
?E
均匀带电球体的电场分布
03?
?R
E? r 关系曲线
2?? r
高斯定理的应用
例 2,均匀带电球体空腔部分的电场，球半径为 R，
在球内挖去一个半径为 r（ r<R）的球体。
试证：空腔部分的电场为匀强电场，并求出该电场。
r
证明,用补缺法证明。
OPΕ
03 ?
??
1
?
c
po
在空腔内任取一点 p,E?
设想用一个半径为 r且体电荷密度与大球相
同的小球将空腔补上后,p点场强变为 1E?
设该点场强为
R
1E?
2E?
小球单独存在时,p点的场强为 cpE
0
2 3?
???
高斯定理的应用
EEE 21 ???? ??
???? 21 EEE ??? oc
03?
?
因为 oc为常矢量，所以空腔内为匀强电场。
?? )(3
0
cpop??
r
c
po
R
1E?
2E?
高斯定理的应用
EEE 21 ???? ??
???? 21 EEE ??? oc
03?
?
因为 oc为常矢量，所以空腔内为匀强电场。
?? )(3
0
cpop??
r
c
po
R
1E?
2E?
高斯定理的应用