1,绝热过程
系统在状态变化过程中始终与外界没有热交换。
00 ?? QorQ d
)()( 1212 TTCMEEA V ??????
?
绝热膨胀过程中，系统对外作的功，是靠内
能减少实现的，故温度降低；绝热压缩过程中，
外界对气体作功全用于增加气体内能，故温度上
升。
§ 7-3 绝热过程 *多方过程
1CpV ??
21 CTV ???
绝热过程方程,
31 CpT ??? ??
绝热过程
绝热线
BA ?
绝热过程
降低
不变
p
TV??
CA ?
等温过程
降低更多
降低
p
TV??
绝热线
p
V
O
A
B
C
等温线、绝热线的斜率分别为：
V
p
V
p
T
???
?
??
?
?
d
d
V
p
V
p
Q
????
?
??
?
?
d
d 绝热线比等温线陡。
绝热过程
系统从 1-2 为绝热过程，据绝热
方程，可得过程中的 p— V 关系。 绝热线
p
V
O
1
2
???? 2211 VpVVpVp ?? ??
系统对外作功为：
?
??
?
?
?
?? ??
?
1
dd
1122
11
2
1
2
1
VpVp
VVVpVpA
V
V
V
V
绝热过程
2.绝热过程方程的推导
对绝热过程，据热力学第一定律，有
EA dd ??
即
RTMpV
?
?
TRMpVVp ddd
?
??
pVCVpRC VV dd ??? )(
TCMVp v dd
?
??
状态方程
消去 dT 得
pVCVpRC VV dd)( ???
???? VppV CCCRC /?
0dd ???
V
V
p
p ?
CVp ?? lnln ?积分得
1CpV ??即
3
1
2
1
CpTor
CTVor
?
?
??
?
??
?
绝热过程方程
绝热过程方程的推导
例题 7-2 设有氧气 8g，体积为 0.41?10-3m3,温度为
300K。如氧气作绝热膨胀，膨胀后的体积为 4.1?10-3 m3 。
问：气体作功多少？氧气作等温膨胀，膨胀后 的
体积也是 4.1?10-3m3,问这时气体作功多少？
解,氧气的质量为 M=0.008kg,摩尔质量
Mmol=0.032kg。 原来温度 T1=300K。
另 T2为氧气绝热膨胀后的温度, 则有,? ?
12 TTCM
MA
v
m o l
??
根据绝热方程中 T 与 V 的关系式：
212111 TVTV ?? ? ??
绝热过程
得：
1
2
1
12
?
?
?
?
?
?
??
?
V
VTT
以 T1=300K,V1＝ 0.41?10-3 m3,V2＝ 4.1?10-3 m3
及 ?=1.40代入上式, 得：
KKT 1 1 9
10
13 0 0 140.1
2 ???
??
?
?? ?
绝热过程方程的推导
如氧气作等温膨胀, 气体所作的功为
J
J
V
V
RT
M
M
A
m o l
3
1
2
1
1044.1
10ln30031.8
4
1
ln
??
??? ＝
因 i=5,所以 Cv=iR/2=20.8J(mol?K),可得：
? ?
J
JTTC
M
M
A v
m o l
9 4 1
1 8 18.20
4
1
12
?
?????绝热过程方程的推导
例题 7-3 两个绝热容器, 体积分别是 V1和 V2,用一带有活
塞的管子连起来 。 打开活塞前, 第一个容器盛有氮气温度
为 T1 ；第二个容器盛有氩气, 温度为 T2, 试证打开活塞后
混合气体的温度和压强分别是
21
21
2
2
1
1
2
2
2
1
1
1
v
m o l
v
m o l
v
m o l
v
m o l
C
M
M
C
M
M
TC
M
M
TC
M
M
T
＋
＋
?
RTM MM MVVp
m o lm o l
?
?
??
?
??
2
2
1
1
21
1 ＋
＋
式中 Cv1,Cv2分别是氮气和氩气的摩尔定体热容, M1,M2
和 Mmol1, Mmol2分别是氮气和氩气的质量和摩尔质量 。
绝热过程方程的推导
解,打开活塞后, 原在第一个容器中的氮气向第二个容器中
扩散, 氩气则向第一个容器中扩散, 直到两种气体都在两容
器中均匀分布为止 。 达到平衡后, 氮气的压强变为 p1',氩气
的压强变为 p2', 混合气体的压强为 p= p1' + p2' ；温度均为 T
。 在这个过程中, 两种气体相互有能量交换, 但由于容器是
绝热的, 总体积未变, 两种气体组成的系统与外界无能量交
换, 总内能不变, 所以
? ? 02121 ???? EEEE ＋＝＋
已知 ? ?11
1
1 TTCM
ME
v
m o l
???
? ?22
2
2 TTCM
ME
v
m o l
???
绝热过程方程的推导
代入式得：
? ? ? ? 022
2
11
1
＝＋ TTC
M
MTTC
M
M
v
m o l
v
m o l
??
21
21
2
2
1
1
2
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m o l
v
m o l
v
m o l
v
m o l
C
M
M
C
M
M
TC
M
M
TC
M
M
T
＋
＋
?
又因混合后的氮气与压强仍分别满足理想气
体状态方程,
绝热过程方程的推导
RTM MVVp
m o l 1
1
21
1
1
＋?
?
RTM MVVp
m o l 2
2
21
2
1
＋?
?
由此得：
RT
M
M
M
M
VV
p
m o lm o l
???
?
???
??
2
2
1
1
21
1 ＋
＋
两者相加即得混合气体的压强：
绝热过程方程的推导
3.多方过程
气体的许多过程，即不是等值过程，也不是绝
热过程，其压力和体积的关系满足如下关系
n 称为多方指数，这类过程称为多方过程 。
CPV n ?
作功 1 221121 1121 dd ????? ?? n vpvpvv v vpvv vvPA n
n
对一摩尔气体 dQ=dE+PdV
dE=CVdT
利用多方方程和状态方程：
故：
为一常数 Rn
n
n
RCC
vm )1)(1(1 ??
??
?
??
?
?
n=0,Cm=Cp,等压过程；
n=1,Cm=?,等温过程 ;
n=?,Cm=0,绝热过程；
n= ?, Cm=CV,等体过程 ;
讨论
多方过程
)1/(ddd ???? ntRVPA
)1/(ddd ??? nTRTCQ y
定义 为多方过程的摩尔热容，则 TQC m d/d?
利用多方方程和状态方程
故
为一常数 Rn
n
n
RCC
vm )1)(1(1 ??
??
?
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n=0,Cm=Cp,等压过程；
n=1,Cm=?,等温过程 ;
n=?,Cm=0,绝热过程；
n= ?, Cm=CV,等体过程 ;
讨论
)1/(ddd ???? ntRVPA
)1/(ddd ??? nTRTCQ y
定义 为多方过程的摩尔热容，则 TQC m d/d?
多方过程
系统在状态变化过程中始终与外界没有热交换。
00 ?? QorQ d
)()( 1212 TTCMEEA V ??????
?
绝热膨胀过程中，系统对外作的功，是靠内
能减少实现的，故温度降低；绝热压缩过程中，
外界对气体作功全用于增加气体内能，故温度上
升。
§ 7-3 绝热过程 *多方过程
1CpV ??
21 CTV ???
绝热过程方程,
31 CpT ??? ??
绝热过程
绝热线
BA ?
绝热过程
降低
不变
p
TV??
CA ?
等温过程
降低更多
降低
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绝热线
p
V
O
A
B
C
等温线、绝热线的斜率分别为：
V
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Q
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d 绝热线比等温线陡。
绝热过程
系统从 1-2 为绝热过程，据绝热
方程，可得过程中的 p— V 关系。 绝热线
p
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O
1
2
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系统对外作功为：
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1
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11
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绝热过程
2.绝热过程方程的推导
对绝热过程，据热力学第一定律，有
EA dd ??
即
RTMpV
?
?
TRMpVVp ddd
?
??
pVCVpRC VV dd ??? )(
TCMVp v dd
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状态方程
消去 dT 得
pVCVpRC VV dd)( ???
???? VppV CCCRC /?
0dd ???
V
V
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CVp ?? lnln ?积分得
1CpV ??即
3
1
2
1
CpTor
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绝热过程方程
绝热过程方程的推导
例题 7-2 设有氧气 8g，体积为 0.41?10-3m3,温度为
300K。如氧气作绝热膨胀，膨胀后的体积为 4.1?10-3 m3 。
问：气体作功多少？氧气作等温膨胀，膨胀后 的
体积也是 4.1?10-3m3,问这时气体作功多少？
解,氧气的质量为 M=0.008kg,摩尔质量
Mmol=0.032kg。 原来温度 T1=300K。
另 T2为氧气绝热膨胀后的温度, 则有,? ?
12 TTCM
MA
v
m o l
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根据绝热方程中 T 与 V 的关系式：
212111 TVTV ?? ? ??
绝热过程
得：
1
2
1
12
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V
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以 T1=300K,V1＝ 0.41?10-3 m3,V2＝ 4.1?10-3 m3
及 ?=1.40代入上式, 得：
KKT 1 1 9
10
13 0 0 140.1
2 ???
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绝热过程方程的推导
如氧气作等温膨胀, 气体所作的功为
J
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M
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1
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1
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10ln30031.8
4
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因 i=5,所以 Cv=iR/2=20.8J(mol?K),可得：
? ?
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9 4 1
1 8 18.20
4
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12
?
?????绝热过程方程的推导
例题 7-3 两个绝热容器, 体积分别是 V1和 V2,用一带有活
塞的管子连起来 。 打开活塞前, 第一个容器盛有氮气温度
为 T1 ；第二个容器盛有氩气, 温度为 T2, 试证打开活塞后
混合气体的温度和压强分别是
21
21
2
2
1
1
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1
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v
m o l
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m o l
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式中 Cv1,Cv2分别是氮气和氩气的摩尔定体热容, M1,M2
和 Mmol1, Mmol2分别是氮气和氩气的质量和摩尔质量 。
绝热过程方程的推导
解,打开活塞后, 原在第一个容器中的氮气向第二个容器中
扩散, 氩气则向第一个容器中扩散, 直到两种气体都在两容
器中均匀分布为止 。 达到平衡后, 氮气的压强变为 p1',氩气
的压强变为 p2', 混合气体的压强为 p= p1' + p2' ；温度均为 T
。 在这个过程中, 两种气体相互有能量交换, 但由于容器是
绝热的, 总体积未变, 两种气体组成的系统与外界无能量交
换, 总内能不变, 所以
? ? 02121 ???? EEEE ＋＝＋
已知 ? ?11
1
1 TTCM
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绝热过程方程的推导
代入式得：
? ? ? ? 022
2
11
1
＝＋ TTC
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又因混合后的氮气与压强仍分别满足理想气
体状态方程,
绝热过程方程的推导
RTM MVVp
m o l 1
1
21
1
1
＋?
?
RTM MVVp
m o l 2
2
21
2
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＋?
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由此得：
RT
M
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M
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VV
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m o lm o l
???
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???
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2
2
1
1
21
1 ＋
＋
两者相加即得混合气体的压强：
绝热过程方程的推导
3.多方过程
气体的许多过程，即不是等值过程，也不是绝
热过程，其压力和体积的关系满足如下关系
n 称为多方指数，这类过程称为多方过程 。
CPV n ?
作功 1 221121 1121 dd ????? ?? n vpvpvv v vpvv vvPA n
n
对一摩尔气体 dQ=dE+PdV
dE=CVdT
利用多方方程和状态方程：
故：
为一常数 Rn
n
n
RCC
vm )1)(1(1 ??
??
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??
?
?
n=0,Cm=Cp,等压过程；
n=1,Cm=?,等温过程 ;
n=?,Cm=0,绝热过程；
n= ?, Cm=CV,等体过程 ;
讨论
多方过程
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定义 为多方过程的摩尔热容，则 TQC m d/d?
利用多方方程和状态方程
故
为一常数 Rn
n
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n=0,Cm=Cp,等压过程；
n=1,Cm=?,等温过程 ;
n=?,Cm=0,绝热过程；
n= ?, Cm=CV,等体过程 ;
讨论
)1/(ddd ???? ntRVPA
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定义 为多方过程的摩尔热容，则 TQC m d/d?
多方过程
