rb
?
a
b
1,静电场力的功
q
静电场对移动带电体要做功，说明静电场具有能量。
§ 8-4 静电场的环路定理
1.1 点电荷电场中
试验电荷 q0从 a点经任意路径到达 b点。
q0
在路径上任一点附近取元位移 l?d
rr+dr
lF ?? dd ??A
θcosd ??? lEq 0 drrEq 0 d??
ra?
? AA d
lE ?? d0 ?? ?baq
lE ?? d?? 0q
E?
l?d
1.2 任意带电体系的电场中
将带电体系分割为许多电荷元，根据电场的叠加性
nEEEE
????? ????
21
电场力对试验电荷 q0做功为
lEqA ba ?? d0 ?? ?
lEqlEqlEq ba nbaba ??????? ddd 000 ??????? ???
n21 AAA ???? ?
总功也与路径无关。
静电场力的功
结论：
试验电荷在任意给定的静电场中移动时，电
场力对 q0做的功仅与试验电荷的电量及路径的起
点和终点位置有关，而与具体路径无关。
静电场是保守场，静电场力是保守力。
静电场力的功
1.3 静电场的环路定理
试验电荷 q0在静电场中沿任意闭合路径 L
运动一周时，电场力对 q0做的功 A=？
静电场力的功
安培
在闭合路径 L上任取两点 P1,P2，将 L分
成 L1,L2两段，
P2
P1
L2
L1
??? ? lFA L ?? d
??? ? lEq pp ?? d210
(L2)(L1)
??? ? lEq pp ?? d210
(L1) (L2)
电场力做功与路径无关，故
0d0 ??? ? lEqA L ??即 0d ??? lEL ??
lEq L ?? d0 ??
lEq pp ?? d120 ??
)d2 lEp ?? ??
静电场力的功
静电场的环路定理
0d ??? lEL ??
在静电场中，场强沿任意闭合路径的线积
分（称为场强的环流）恒为零。
静电场力的功
静电力的功，等于静电势能的减少。
2,电势
由环路定理知，静电场是保守场。
保守场必有相应的势能，对静电场
则为电势能。
选 b为静电势能的零点，用,0”表示，则
lE ?? d0 ?? ? BAAB qA BA WWE ?????
lE ?? d"0"0 ?? ?AA qW
2.1 电势能
电 势
高压发生器
某点电势能 Wa与 q0之比只取决于电场，定义为
该点的 电势
2.2 电势
2.3 电势差
电势零点的选取是任意的。
电场中两点电势之差
沿着电场线方向，电势降低。
0q
WV A
A ?
BAAB VVV ?? A
BlE ?? d?? ?B
A
lE ?? d"0" ?? ?A
电 势
3.电势的计算
1.1 点电荷的电势
点电荷的电场
1.2 点电荷系的电势
1.3 连续分布带电体的电势 q3
q1
r1r2
V
r+ rE ?
?
3
04
1
r
q
???
lE ?? d?? ??rV
i
i
i r
qV ??
04
1
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r
qV d
4
1
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r
q
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1
??
?
q2
q4
r3
r4
Pr
r
q
r d4
1
2
0
??? ??
电势的计算
电势的计算例题
例 1,均匀带电薄圆盘轴线上的电势
例 8-13,均匀带电球面的电势
例 8-12,电偶极子的电势
电势的计算例题
例 8-14,均匀带电线的电势
例 1.半径为 R的均匀带电薄圆盘轴线上的电势分布。
解,以 O为圆心，取半径为 L?L+dL的薄圆环，带电
dq=?ds= ??2?L ?dL
到 P点距离
P点电势：
O
L
dL
22 Lxr ??
r
qU d??
04
1
??
? ??? R Lx LL0 22
0
24 1 d???? )( xxR ??? 22
02 ?
?
p
x
R
电势的计算例题
由高斯定理知，电场分布为
R
解：
例 8-13,求一均匀带电球面的电势分布。
P.
?E
Rr ?0
Rrrq
o
?24 1??1.当 r<R 时
3.电势分布
?? ?? rV rE ?? d ?? ? ????
R
R
r rErE dd
rrq
R
d2
04
1???
??
2.当 r> R 时
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q
04
1
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?V RrRq ?04 1??
Rrrq
o
???4 1
r
R
q
04
1
??
?
电势的计算例题
电势分布曲线
场强分布曲线
E
V
R
R r
rO
O
结论,均匀带电球面，球内的电势等于球表面的电势，
球外的电势等效于将电荷集中于球心的点电荷的电势。
2
04 R
q
??
2 ? ?r
1 ? ?r
R
q
04??
电势的计算例题
例 8-12 计算电偶极子电场中任一点的电势 。
??
?? rqrqV P
00 44 ????
式中 r+与 r-分别为 +q和 -q到
P点的距离, 由图可知
y P
x
+q?q ?
re/2 re/2O
r+
r?
r
解, 设电偶极子如图放置，电
偶极子的电场中任一点 P的电势
为
电势的计算例题
3
0
2
0 44
c o s
r
rP
r
qrV ee
P ????
? ???
由于 r>> re, 所以 P点的电势可写为
2
200 c os
2
c os
4
c os
2
1
c os
2
1
4
?
?
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P
r
r
rq
r
r
r
r
q
V
因此
?c o s2errr ＋－ ??c o s2errr ???
电势的计算例题
解,令无限长直线如图放置, 其上电荷线密度为 λ 。
计算在 x轴上距直线为的任一点 P处的电势 。
y
rO P
P
1
xr
1
因为无限长带电直线的电荷分布
延伸到无限远的，所以在这种情
况下不能用连续分布电荷的电势
公式来计算电势 V，否则必得出无
限大的结果，显然是没有意义的。
同样也不能直接用公式来计算电
势，不然也将得出电场任一点的
电势值为无限大的结果。
例 8-14 计算无限长均匀带电直线电场的电势分布。
电势的计算例题
为了能求得 P点的电势，可先应用电势差和场
强的关系式，求出在轴上 P点 P1和点的电势差。无
限长均匀带电直线在 X轴上的场强为
rE 02??
??
于是, 过 P点沿 X轴积分可算得 P点与参考点
P1的电势差
r
r
r
rrEVV r
r
r
rPP
1
00
ln
2
d
2
d 11
1 ??
?
??
? ?????
?? ?
?
由于 ln1=0,所以本题中若选离直线为 r1=1 m
处作为电势零点, 则很方便地可得 P点的电势为
电势的计算例题
? ? mP rV ln2
0??
???
由上式可知, 在 r>1 m处,VP为负值；在 r<1 m
处,VP为正值 。 这个例题的结果再次表明, 在静电
场中只有两点的电势差有绝对的意义, 而各点的电
势值却只有相对的意义 。
电势的计算例题
? ? mP rV ln2
0??
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由上式可知, 在 r>1 m处,VP为负值；在 r<1 m
处,VP为正值 。 这个例题的结果再次表明, 在静电
场中只有两点的电势差有绝对的意义, 而各点的电
势值却只有相对的意义 。
电势的计算例题
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a
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1,静电场力的功
q
静电场对移动带电体要做功，说明静电场具有能量。
§ 8-4 静电场的环路定理
1.1 点电荷电场中
试验电荷 q0从 a点经任意路径到达 b点。
q0
在路径上任一点附近取元位移 l?d
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1.2 任意带电体系的电场中
将带电体系分割为许多电荷元，根据电场的叠加性
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电场力对试验电荷 q0做功为
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lEqlEqlEq ba nbaba ??????? ddd 000 ??????? ???
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总功也与路径无关。
静电场力的功
结论：
试验电荷在任意给定的静电场中移动时，电
场力对 q0做的功仅与试验电荷的电量及路径的起
点和终点位置有关，而与具体路径无关。
静电场是保守场，静电场力是保守力。
静电场力的功
1.3 静电场的环路定理
试验电荷 q0在静电场中沿任意闭合路径 L
运动一周时，电场力对 q0做的功 A=？
静电场力的功
安培
在闭合路径 L上任取两点 P1,P2，将 L分
成 L1,L2两段，
P2
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L2
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(L2)(L1)
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(L1) (L2)
电场力做功与路径无关，故
0d0 ??? ? lEqA L ??即 0d ??? lEL ??
lEq L ?? d0 ??
lEq pp ?? d120 ??
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静电场力的功
静电场的环路定理
0d ??? lEL ??
在静电场中，场强沿任意闭合路径的线积
分（称为场强的环流）恒为零。
静电场力的功
静电力的功，等于静电势能的减少。
2,电势
由环路定理知，静电场是保守场。
保守场必有相应的势能，对静电场
则为电势能。
选 b为静电势能的零点，用,0”表示，则
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2.1 电势能
电 势
高压发生器
某点电势能 Wa与 q0之比只取决于电场，定义为
该点的 电势
2.2 电势
2.3 电势差
电势零点的选取是任意的。
电场中两点电势之差
沿着电场线方向，电势降低。
0q
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电 势
3.电势的计算
1.1 点电荷的电势
点电荷的电场
1.2 点电荷系的电势
1.3 连续分布带电体的电势 q3
q1
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电势的计算
电势的计算例题
例 1,均匀带电薄圆盘轴线上的电势
例 8-13,均匀带电球面的电势
例 8-12,电偶极子的电势
电势的计算例题
例 8-14,均匀带电线的电势
例 1.半径为 R的均匀带电薄圆盘轴线上的电势分布。
解,以 O为圆心，取半径为 L?L+dL的薄圆环，带电
dq=?ds= ??2?L ?dL
到 P点距离
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电势分布曲线
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结论,均匀带电球面，球内的电势等于球表面的电势，
球外的电势等效于将电荷集中于球心的点电荷的电势。
2
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电势的计算例题
例 8-12 计算电偶极子电场中任一点的电势 。
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式中 r+与 r-分别为 +q和 -q到
P点的距离, 由图可知
y P
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电势的计算例题
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因为无限长带电直线的电荷分布
延伸到无限远的，所以在这种情
况下不能用连续分布电荷的电势
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限大的结果，显然是没有意义的。
同样也不能直接用公式来计算电
势，不然也将得出电场任一点的
电势值为无限大的结果。
例 8-14 计算无限长均匀带电直线电场的电势分布。
电势的计算例题
为了能求得 P点的电势，可先应用电势差和场
强的关系式，求出在轴上 P点 P1和点的电势差。无
限长均匀带电直线在 X轴上的场强为
rE 02??
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于是, 过 P点沿 X轴积分可算得 P点与参考点
P1的电势差
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处作为电势零点, 则很方便地可得 P点的电势为
电势的计算例题
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由上式可知, 在 r>1 m处,VP为负值；在 r<1 m
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场中只有两点的电势差有绝对的意义, 而各点的电
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电势的计算例题
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由上式可知, 在 r>1 m处,VP为负值；在 r<1 m
处,VP为正值 。 这个例题的结果再次表明, 在静电
场中只有两点的电势差有绝对的意义, 而各点的电
势值却只有相对的意义 。
电势的计算例题
