哈尔滨工业大学：电工学：ex05

61 一、 例题精选 【例题5.1】 有一电容元件，C=0.5F，今通入一三角波形的周期电流(图5.1（b）)， （1）求电容元件两端电压u C ；（2）作出u C 的波形；（3）计算t=2.5s时电容元件的电 场中储存的能量。设u C0 = 0。 i C 0.5F 0 C0 =u -5 12 3 4 O 5 s/t (a) (b) i / A 图5. 1 例题5.1的图 【解】 先写出图5.1（b）各段电流波形的时间函数式： 0≤t≤1s时， i=5t A； 1s≤t≤3s时，i=-5t+10 A； 3s≤t≤4s时，i=5t - 20 A。 (1) 求电容元件两端电压u C ： 0≤t≤1s时，u C 0 =0 V 5d5 5.0 1 d 1 2 C ∫∫ === tttti C u 1s≤t≤3s时 Kttttti C u ++?=+?== ∫∫ 205d)105( 5.0 1 d 1 2 C 当t 1 =1s时，u C1 =5V，代入上式，得K=-10，故 V10205 2 C ?+?= ttu 3s≤t≤4s时 Kttttti C u +?=?== ∫∫ 405d)205( 5.0 1 d 1 2 C 当t 3 =3s时， ，代入上式，得K=80，故 5103203 =?×+×?=u V5 2 C3 V80405 2 C +?= ttu 10 /st C u 1 2 3 4O 5 /V (2) u C 的波形如图5.2所示。 (3) 计算t=2.5s时电容元件的电场中储存的能量 图5.2 u C 的波形 0 22 =×== CW J1.1975.85. 11 V75.8105.2205.25 22 5.2C 2 C2.5 × =?×+×?= u u 【例题5.2】电路如图5.3所示。已知 R=3?,ωL=3?, ?= 27 1 Cω , u(t)=60+ 100sin(ωt+30°)+72sin3ωt V。求电流i L = ? 第五章 非正弦周期电流电路 62 【解】直流电压U 0 = 60V单独作用时，电容开路，电感短路，通过L的直流分量 A20 3 60 o o === R U I u 1 =100sin(ωt+30°) V单独作用时, 取 V,301001m °∠= ? U 则 A4.7825 27j3j 27j 273j )27j(3j 3 30100 1 jj j 1 1 jj j 1 j m1 L1m o o & & ∠ = ? ? × ? ?× + ∠ = ω ?ω ω × ω ?ω ω ?ω + = C L C C L C L R U I 所以 i L1 =25sin( tω +78.4°)V u ?=×=ω= ?=×== 9333 927 3 1 3 1 L3 3C3C LX XX 图5.3 例题5.2的图 L C L i R u 1 =72sin3 tω V单独作用时, 取U则因为 V,072 m3 °∠= & X L3 =X C 3 = 9? 所以电路处于并联谐振状态。又因为通过R的电流为零，所以 A)903sin(8)4.78sin(2520 A)903sin(8 A908 9j 072 j L3L10 L L3 L3 m3 L3m °?ω+°+ω+=++= °?ω= °?∠= °∠ == ttiiIi ti X U I & & 【例题5.3】电路如图5.5所示。 已知V)603sin(230)30sin(240 °++°+= ttu ωω，R=10?。 求：（1）电流的瞬时表达式；（2） ○ A ○ V的读数（有效值）；（3） ○ W的读数。 【解】 U u i R V A W A4 1 1 == R I A)30sin(24 1 °+= ti ω A3 3 3 == R U I A)603sin(23 3 °+= ti ω 电流i的瞬时表达式 图5.5 例题5.3 的图 A)603sin(23)30sin(24 °++°+= tti ωω ○ A和 ○ V的读数 V503040 A534 22 31 22 21 22 22 =+== =+=+= +UUU III 第五章 非正弦周期电流电路 63 ○ W表的读数 W25090160 22 31 =+=+= RIRIP 【例题5.4】 图5.5电路中，已知u S (t) = 311sin(314t+20°) V， i S (t) = 2.83sin942t A， R 1 =50，R? 2 =20?，L=225.4mH，C=5μF。 求电压源和电流源各发出多少功率？ 【解】 由题意可知，只要求出u S (t) 单独作用时通过u S (t) 的基波电流，即可求出 u S (t)发出的功率。同理i S (t)为3次谐波，只要求出i S (t)单独作用时i S (t)的两端电压，即 可求出i S (t) 发出的功率。因为不同频率的电压和电流不产生功率。 u ? U S 1R Cω 1 (b) 2R L C )( S t 1R (a) )( S ti ? 1 I 1R 2R 1 (c) ? 3 U ? S I Lω Lω3 图5.5 例题5.4的图 Lω = 314×225.4×10 –3 =70.8? 3 Lω =212? 101 6 ?= 212 3 1 Cω ?= × = 637 5314Cω u S (t)单独作用时，如图5.5所示，取U则 V,20220 S °∠= & A7834.2 7.79j50 20220 1 jj ) 1 j(j 1 S 1 °∠= ? °∠ = ? ? + = C L C L R U I ω ω ω ω & & 所以 A)78314sin(234.2 1 °+= ti u S (t)发出的功率 W27458cos34.2220 cos u 11Su =°×= = P IUP ? i S (t)单独作用时，如图5.5 (b) 所示，则 A020 2 83.2 S °∠=°∠=I & C L ω ω 3 1 3 = 因为 所以通过R 1 的电流也是 , 则 I S & V0140270)2050(2)( 21S3 °∠=×=+=+= RRIU && 所以 V 942sin2140 3 tu = 第五章 非正弦周期电流电路 64 i S (t)发出的平均功率 W2800cos2140cos 3331 =°×== ?IUP 【例题5.5】 图5.6电路为滤波电路，要求4ω的谐波电流能传送至负载，而基波 电流无法达到负载。如果C=1μF, ω =1 000/s求L 1 和L 2 。 【解】若基波电流无法达到负载R L ，则L 1 和C并联电路必定产生并联谐振，即 H1 100001 11 622 1 = × == ? C L ω C L ω ω 1 1 = 若满足4ω谐波电流传送至负载R L ，则必有Z(4ω )=0，电路对于4ω谐波产生串 联谐振，即 u C R 1 L 2 L 04j 4j 1 4j 4j 1 4j 2 1 1 =+ + ? L C L C L ω ω ω ω ω 解得 图5.6 例题5.5的图 66== L L mH7. 116 1 2 1 2 ?CLω 【例题5.6】 图5.7电路中，已知 , u=20sin3 tω +5sin5 tω V。 === C R ω ω ?1 1 L 求 ：(1) i =? R CLu i (2) i和u的有效值I和U为多少? （3）电路消耗的功率P=? 【解】因为u 1 =20sinωt V , 取 , 则 20=U V0 1m °∠ & 图5.7 例题5.6的图 20jj( =+=U A020 0)1 )j j 11 ( 1m 1m °∠ °∠×? ++= C LR I & & ω ω 所以 i 1 =20sin tω A 因为 u 3 = 9 sin tω V ，取U则 V,09 3m °∠= & A4.696.2524j909)3j 3j 1 1()5j 3j 11 ( 3m3m °∠=+=°∠×++=++= UC LR I && ω ω 所以 i 3 =25.6sin(3 tω +69.4°) A 因为 u 5 = 5sinωt V，取U , 则 V05 5m °∠= & A2.785.2424j505)5j 5j 1 1()5j 5j 11 ( 5m5m °∠=+=°∠×++=ω+ ω += UC LR I && 所以 i 5 =24.5sin(5 tω +78.2°) A 有效值 第五章 非正弦周期电流电路 65 A8.28) 2 5.24 () 2 6.25 () 2 20 ( 222 2 3 2 2 2 1 =++=++= IIII A)2.785(5.24)4.693sin(6.25sin20 321 °+ω+°+ω+ω=++= tttiiii V9.15) 2 5 () 2 9 () 2 20 ( 222 2 3 2 2 2 1 =++=++= UUUU 平均功率 W2535.125.40200 2.78cos 2 5.24 2 5 4.69cos 2 6.25 2 9 0cos 2 20 2 20 coscoscos 555333111 =++= °×+°×+°×= ?+?+?= IUIUIUP 或W253)( 2 5 2 3 2 1 2 5 2 3 2 1 =++=++= UUU R U R U R U P 二、习题精选 【习题5.1】 图5.8电路中， 的读数为115V，i=2sin100 t+sin(300t –15°)A， 的读数为120W。求R和C之值。 V W W u V R C u i N 图5.8 习题5.1的图 图5.9 习题5.2的图 【习题5.2】 电路如图5.9。已知无源网络N的电压和电流为 u (t)=100sin314t +50sin(942t -30°) V i (t)=10sin314t +1.755sin(942t +α ) A 如果N可以看做是R、L、C串联电路，试求： （1）R、L、C的值； （2）α的值； （3）电路消耗的功率。 【习题5.3】 有一电容元件，C = 0.01μF，在其两端加一三角波形的周期电压(图 5.10(b))，(1) 求电流i；（2）作出i的波形；（3）计算i的平均值及有效值。 O s/t (a) (b) u / V 1 -1 0.05 0.1 0.2 i C u 第五章 非正弦周期电流电路 66 图5.10 习题5.3的图 【习题5.4】 以(50 sin tω +20sin3 tω +15sin5 tω )V所表示的电压施加到串联的LCR 电路，其中L= 0.506H、R =5和C = 20μF。 ? 试计算基波电流的有效值以及与各次谐波相对应的电流。外施电压的基波分量的 频率为50Hz。并确定电容器两端的三个电压分量。 【习题5.5】 已知R = 1，C = 1F，u的波形如图5.11(b)所示。试画出电流i的波 形图。 ? i Ri C u i RC O t / s u / V 3 (a) (b) 图5.11 习题5.5的图 【习题5.6】 施加到串联电路上的电压是以(2 000sin tω +600sin3 tω +400sin5 tω )V 来表示。如果电路的电阻为10?，电容为30μF，而电感值将使得电路与电压的三次谐 波发生谐振。试估算该电路中将流过的电流的有效值。基波频率为50Hz。 并计算出在 这些条件下，电感线圈端钮间的电压有效值。 【习题5.7】 电容量为3.18μF的电容器与1 000?电阻并联，该组合又与1 000Ω 电阻器串联连接到以u=350sin tω +150sin(3 tω +30)V表示的电压上。试确定： （1）如果ω =314rad/s，电路中消耗的功率； （2）串联电阻器两端的电压； （3）总电流中谐波含量的百分数。 【习题5.8】10?电阻与电感为6.36mH的线圈串联，电源电压以u=300sin314t+ 50sin942t+40sin1570t V表示。 试求：（1）电流瞬时值的表达式； （2）消耗的功率。 【习题5.9】 电路由200μF电容器与7Ω电阻器串联组成，供电电压的瞬时值以 200sin(314t)+20sin(942t–90°)V来表示。 试推导出电流的表达式，并计算总电流的有效 值、总功率和功率因数。 【习题5.10】由10 ?电阻器与0.015H电感器串联组成的电路流过的电流以 i=10sin314t+5cos942tA来表示。试确定电路两端电压的表达式，并计算电压的有效值和 功率因数、吸收的总功率。 二、 习题答案 【习题5.1】 R = 48?， C = 166MF。 【习题5.2】(1) R=10?，L=31.8mH，C=166μF。 (2) α = - 99.5 °。 (3) P = 515.4W。 第五章 非正弦周期电流电路 67 【习题5.3】(1) 0≤t≤0.05s时， i=0.2μA 0.05s≤t≤0.15s时，i=- 0.2μA 0.15s≤t≤0.2s时，i= 0.2μA (2)波形略 (3)I 0 = 0 I = 0.2μA 【习题5.4】 7.07A , 0.3 mA , 0.139mA , 1 125V , 1.76V , 0.442V 。 【习题5.5】 0≤t≤2 ? + 2≤t≤5 ? ? 5≤t≤6 ? ?3 t≥6 图略 ? ? ? = 0 5.1 3 5.15.1 t t i 【习题5.6】 45.6 A , 2 220 V。 【习题5.7】 (1) 46.3 W (2) 222 sin ( tω +18.5°)+131sin(3 tω +15.3°) V (3) 59% 【习题5.8】 29.4sin ( tω -11.3 ) +4.28sin (3 o tω –31 ) +2.83sin(5 o tω –45 )A , o 4 454 W。 【习题5.9】 11.5sin (314t- 66 o )+2.28sin (942t –52 o 41 ′ 75 ′) A , 8.3A， 483 W, 0.41。 【习题5.10】110.5sin (314t+25 o ) +86.5sin (942t+31 ′ °54 93 ′) V , 99 V, 0.8, 625 W。