斜波产生的根源
普朗特 — 梅耶膨
胀波
斜激波关系式
流过尖楔与圆锥
的超音速流
激波干扰与反射
脱体激波
激波 -膨胀波理论及其在
超音速翼型中的应用
图 9.5 第九章路线图
Wave angle,β激波角,激波与激波上游来流的夹角。
Deflection angle:θ,通过斜激波的气流偏转角
β θ
? What is the physical mechanism that creates waves in a supersonic
flow? 超音速流中产生波的物理机理是什么？
If the upstream flow is subsonic,as shown in Fig.9.2a,the disturbances
have no problem working their way upstream,thus giving the incoming
flow plenty of time to move out of the way of the body,
如图 9.2a所示，如果上游是亚音速的,扰动可以毫不困难地传播
到远前方上游，因此，给了来流足够的时间以绕过物体。
The information is propagated
upstream at approximately the
local speed of sound,
物体存在的信息以近似等于
当地音速的速度传播到上游
去。
On the other hand,if the upstream flow is supersonic,as shown in
Fig.9.2b,the disturbances cannot work their way upstream; rather,at
some finite distances from the body,the disturbance waves pile up and
coalesce,forming a standing wave in front of the body,
在另一方面,如图 9.2b所示，如果上游是超音速的,扰动不能一直向上
游传播，而是在离开物体某一距离处聚集并接合，形成一静止波。
Hence,the physical generation of waves in a supersonic
flow— both shock and expansion waves— is due to the
propagation of information via molecular collisions and
due to the fact that such propagation cannot work its way
into certain regions of the supersonic flow,
因此,超音速流中激波和膨胀波产生的物理原因是, 通
过分子碰撞引起的信息传播和这种传播不能到达超音
速流中某些区域,
? Why are most waves oblique rather than normal to the upstream
flow? 为什么大部分激波与来流成斜角而不是垂直的呢?
MV
a
Vt
at 1s i n ????
M
1s i n 1??? (9.1)
马赫波
马赫角
If the disturbances are stronger than a simple sound wave,then the wave
front becomes stronger than a Mach wave,creating an oblique shock
wave at an angle to the freestream,where β>μ,This comparison is shown
in Fig,9.4, However,the physical mechanism creating an oblique shock
is is essentially the same as that described above for the Mach wave,
如果扰动比一个简单声波强,其引起的波前就会比马赫波强,产生一
个与来流夹角为 β的斜激波,且 β>μ。这一比较在图 9.4中给出。然而，
斜激波产生的物理机理与上面描述的马赫波的产生完全相同。
９,2 OBLIQUE SHOCK RELATIONS (斜激波关系式）
2211 uu ?? ?
以上图虚线包围区域为控制体，应用连续方程,
(9.2)
21 ww ?
(9.５ ) 通过斜激波流动的切向速度分量保持不变,
22222111 upup ?? ???
(9.7)
22
2
2
2
2
1
1
uhuh ???
(9.12)
通过斜激波的流动特性变化只由垂直
于斜激波的速度分量决定,
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方程 (9.2),(9.7),(9.12)与正激波控制方程 (8.2),(8.6),(8.10)完全
相同，我们只要将正激波关系式中所有的 M1用 Mn,1代替，就可以得
到通过斜激波的流动特性变化量,
(9.14)
(9.13)
(9.15)
(9.16)
注意！ Mn,2是斜激波
后的法向马赫数,
2
1
1
2
1
2
?
?
p
p
T
T ? (9.17)
方程 (9.14)-(9.17)表明对于量热完全气体,斜激波的特性只依赖于
上游马赫数的垂直分量 Mn,1,但是,由 (9.13)知,Mn,1即依赖于 M1又
依赖于 β,
)s in (
2,
2 ?? ??
nMM
Mn,2是斜激波后的法向马赫数，所以有,
(9.18)
方程 (9.18)引入了偏转角 θ进入斜激波分析，为计算我们 M2我们
必须知道 θ。然而,θ不是一个独立的自变量即第三个参数，而
是 M1和 β的函数。 下面推导 θ与 M1和 β的函数。
(9.19)
2
2)t a n (
w
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M
M
(9.22)
(9.23)
方程 (9.23) 被称为 θ-β-M 关系式，它限定了 θ 为 M1和 β
的唯一函数。 这是分析斜激波特性的最重要的关系式，
其结果在图 9.7中给出（ γ=1.4）。
图 9.7 给出的是以波前马赫数为参数，激波角 β随偏转角 θ的变化曲
线，这个图非常重要，我们要用它来求解和分析斜激波特性。
图 9.7说明了许多与斜激波
相关的物理现象,例如,
1,对于一个给定的上游马赫
数 M1,存在一个最大偏转角
θmax,如果物体几何形状的 θ
>θmax,那么就不存在直的斜
激波 ; 相反,对应这种情况激
波会在凹角处或物体的头部
脱体,形成脱体弓形激波,图
9.8说明了这种情况,观察图
9.7我们发现,θmax的值随 M1
的增大而增大,当 M1趋于无
穷大时,θmax存在一极限值,
对于 γ=1.4的量热完全气体,
θmax=45.50,
2.对于给定的任意一个小于 θmax的 θ值,对应每一个给定的波
前马赫数 M1,存在两个直线斜激波解,较小的 β对应的解称为
弱激波解,较大的 β对应的解称为强激波解,,弱,与, 强, 的
分类是根据以下事实确定的：当给定 M1时,β越大则 Mn,1
越大，因此压强比 p2/p1越大。因此，在图 9.9中，较大的激
波角对应的斜激波比较小的激波角对应的斜激波对气流的
压缩作用大。在实际情况中，通常出现的是弱解情况。
图 9.7中连接所有 θmax而连成的线 （这一曲线近乎水平地扫过图
9.7的中间）将弱激波解和强激波解分开。这一曲线的上边，对
应强激波解（图 9.7中用虚线表示）；这一曲线的下边，对应弱
激波解（图 9.7中用实线表示）。靠近这条曲线下面有另一条曲
线也近似水平地扫过图 9.7，这条曲线将其上、下两部分分成
M2<1和 M2>1两部分。对于强激波解，激波下游马赫数始终小
于 1，流动是亚音速的；对于弱激波解，当 θ非常靠近 θmax时，
下游是亚音速的，但很少出现这种情况，对于绝大多数弱解情
况，激波下游仍然是超音速的。因为弱激波解几乎对应自然界
中发生的绝大多数情况，我们可以认为，直线贴体斜激波的下
游几乎是超音速的。
3,如果 θ=0,那么 β=900或 β= μ（ 马赫角 ） 。 β=900的情况对应
正激波（即我们第八章讨论的问题属于强激波解）。 β= μ对应
图 9.3b所示的马赫波。对于这两种情况，通过波流线不发生偏
转。
4,我们考虑这样的实验，超音速流流过半顶角为 θ的尖楔，入图
9.10所示。现在，我们增加来流马赫数 M1。随着 M1的增加，我们
观察到 β角减少，但激波是增强的，这是因为随着 M1的增加,
Mn,1是增大的。相反，降低来流马赫数 M1，激波角 β增大，激波
变弱。如果 M1降低到一定程度，激波将会脱体。对于 θ=200，
M1<1.84时激波将会脱体。
5,考虑另外一个实验。让我们保持 M1不变而增大偏转角 θ。如图
9.11所示。随着 θ的增大, 激波角 β增大, Mn,1是增大的,激波将
会变强。但是，一旦 θ角超过 θmax,激波会变成脱体激波。对于图
9.11中 M1=2.0的情况,θ>230时就会出现脱体激波。
小结,
1、对于一个给定的波前马赫数，存在一个 θmax,θ <θmax存在
贴体直线斜激波； θ >θmax出现弯的脱体激波。
0
m a x 5.45lim
1
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?
M
2、对应一个 θ值（ <θmax）,存在两个 β值 。 不同 M1对应的
θmax组成的连线上部分对应强解，下部分对应弱解。另外一
条稍低于 θmax连线的曲线为 M2=1的连线，上部分对应波后为
亚音速流情况，下部分对应波后为超音速流情况。
3,θ=00,对应 β=900 和 β=μ。
4,对于相同的 θ,波前马赫数 M1越大, 激波角 β越小, Mn1越
大，所以激波越强。
5,对于相同的波前马赫数 M1, θ越大, 激波角 β越大, Mn1越
大，所以激波越强。
例 9.1 考虑一超音速来流,来流马赫数 M1=2,p1=1atm,T1=288K,
流动通过一个 20o的拐角压缩, 计算形成的斜激波之后的马赫数
M2,压强 p2,温度 T2,总压 p0,2,总温 T0,2,
解, 已知 M1=2,θ=20o,由图 9.7可查知,β=53.4o,
因此有 Mn,1=M1sinβ=2sin53.4o=1.606,查附表 B,得,
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82.2)1(82.2
21.1
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6 6 8 4.0
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8 9 5 2.0 388.1 82.2 6 6 8 4.0
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对于 M1=2,由附表 A可知,p0,1/p0,2=7.824,T0,1/T1=1.8,因此,
a t ma t mp
p
p
p
p
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1
1,0
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TT 4.5 1 8)2 8 8(8.11
1
1,0
1,02,0 ????
注意, 附表 B中的 p0,2/p1不能用于本题 p0,2的计算,
例 9.2 考虑一激波角为 30度的斜激波,上游马赫数为 2.4.计算通
过斜激波的气流偏转角 θ,压强比 p2/p1,温度比 T2/T1以及波后马
赫数 M2,
解, 由图 9.7可查知,对于 M1=2.4,β=30o,有 θ=6.5o,
因此 Mn,1=M1sinβ=2.4sin30o=1.2
查附表 B,可得,
11.2
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8422.0
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8422.0
128.1
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因此：
本例说明了如下两点,
1,这是一个相当弱的激波,通过激波压强只有 51%的增加量,仔
细观察图 9.7我们会发现,在这种情况下激波非常靠近马赫波,
马赫角 μ=arcsin(1/M)=24.6o,激波角 30o比马赫角 24.6o大不了
多少,偏转角 θ=6.5o,也是小量,与弱激波的特征相符,
2,仅需要两个物理特性给定,就可唯一确定给定斜激波的特性,
例 9.1给定了 M1和 θ,例 9.2给定了 M1和 β,
例 9.3 考虑一激波角为 35o的斜激波,波前波后的压力比
p2/p1=3,计算激波上游马赫数 M1,
解, 由附表 B可查得,对应 p2/p1=3,Mn,1=1.64(近似 )
所以 有,
86.2
35s in
64.1
s in 0
1,
1 ??? ?
nMM
注意,本例再一次说明了斜激波是由两个物理特性唯
一确定,
例 9.4 考虑一来流马赫数为 3的流动,我们希望将这个流动减速
为亚音速流动,考虑两种不同的方法,(1) 直接通过一道正激波
减速 ;(2)首先通过一个激波角为 400的斜激波,然后再通过一个
正激波,这两种情况在图 9.2中表示出来,计算这两种情况的最终
总压比,即计算第二种情况激波后的总压与第一种情况激波后
的总压比,讨论此结果的意义,
解, 对第一种情况,M1=3,由附表 B可得,
3 2 8 3.0
11,0
2,0 ?
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c a s e
p
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对于第二种情况,我们有 Mn,1=M1sinβ=3sin40o=1.93.由附表 B
可得,
588.0 7535.0 2,
1,0
2,0 ??
nMp
p
和
由图 9.7,对于 M1=3,β=40o,我们得到偏转角 θ=22o,因此,
90.1)2240s in ( 588.0)s in ( 2,2 ????? ?? nMM
由附表 B,对于上游马赫数为 1.90的正激波,我们有 p0,3/p0,2=0.7674,
因此,对第二种情况,有,
578.0)7535.0)(7674.0(
1,0
2,0
2,0
3,0
2
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3,0
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p
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c a s e
因此,得到我们要求的两种情况总压比,
76.1
3283.0
578.0
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2,0
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3,0 ??
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c a s ec a s e
p
p
p
p
例 9.4的这一结果指出,第二种情况对应的多激波系波后的总压
比第一种情况对应的单一正激波后的总压高 76%.从理论上讲,
总压是气体可做多少有用功的量度,我们将在 10.4节中描述并
讨论,若其他条件相同,总压越高,流动越有用,总压损失是流动效
率的量度,总压损失越小,流动过程的效率越高, 在这个例子中,
第二种情况比第一种情况更有效地将流动减速为亚音速,因为
通过多个激波系的第二种情况的总压损失比通过单独正激波的
第一种情况小, 这一结果的物理意义很明显,当马赫数增加时,
通过正激波的总压损失越来越大,查看附表 B很容易证明这一点,
如果流动的马赫数在通过正激波前就被降低,总压损失就会变
小,这是因为较小的波前马赫数对应较弱的正激波,这就是第二
种情况中斜激波的作用,即使流动在通过正激波前降低速度,尽
管通过斜激波也有总压损失,但对于同一个上游马赫数来说比
正激波的要小得多,斜激波降低流动马赫数的作用补偿了通过
斜激波引起的总压损失,因此通过多激波系的第二种情况引起
的总压损失小于通过单一正激波引起的总压损失,
这些结果的实际应用之一就是超音速进气道的设计,
Supersonic Inlet,超音速进气道
Jet Engine,喷气发动机
Lip of the Inlet,进气道唇口
9.3 SUPERSONIC FLOW OVER WEDGES AND CONES
流过尖楔和圆锥的超音速流
比较两个流动，共同之处是都有一个由头部开始的贴体直
斜激波．不同之处可归纳为如下三点,
（１）圆锥上的激波较弱
（２）圆锥表面的压强较小
（３）圆锥表面上方的流线是弯的,
原因：三维效应 （ three-dimensional relieving effect)
例 9.5 考虑如图 9.15所示,来流马赫数为 5,绕 15o半顶角尖楔的
流动, 计算这一尖楔的阻力系数,(假设尖楔底部压力为自由来
流静压,如图 9.15 所示 ),
解, 设单位展长的阻力为 D’,则
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由图 9.7,M1=5,θ=15o,可知,β=24.2o,因此
Mn,1=M1sinβ=5sin(24.2o)=2.05
由附表 B,
因此,
736.4
1
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p
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注意, 对于这个例子阻力为有限值, 在无粘超音速和高超音速
流动中,二维物体总是受到一定的阻力的, 阻力产生的根源是
激波的出现, 激波是一个耗散的,产生阻力的机制, 因此,这种情
况下的阻力被称为 波阻,
Note,The drag is finite for this case,In a supersonic or
hypersonic inviscid flow over a two-dimensional body,the
drag is always finite,The fundamental reason for the
generation of drag here is the presence of shock waves,
Shocks are always a dissipative,drag-producing mechanism,
For this reason,the drag in this case is called wave drag,
复习,
D’Alembert’s paradox,
低速无粘流动中二维物体的阻力为零,
普朗特 — 梅耶膨
胀波
斜激波关系式
流过尖楔与圆锥
的超音速流
激波干扰与反射
脱体激波
激波 -膨胀波理论及其在
超音速翼型中的应用
图 9.5 第九章路线图
Wave angle,β激波角,激波与激波上游来流的夹角。
Deflection angle:θ,通过斜激波的气流偏转角
β θ
? What is the physical mechanism that creates waves in a supersonic
flow? 超音速流中产生波的物理机理是什么？
If the upstream flow is subsonic,as shown in Fig.9.2a,the disturbances
have no problem working their way upstream,thus giving the incoming
flow plenty of time to move out of the way of the body,
如图 9.2a所示，如果上游是亚音速的,扰动可以毫不困难地传播
到远前方上游，因此，给了来流足够的时间以绕过物体。
The information is propagated
upstream at approximately the
local speed of sound,
物体存在的信息以近似等于
当地音速的速度传播到上游
去。
On the other hand,if the upstream flow is supersonic,as shown in
Fig.9.2b,the disturbances cannot work their way upstream; rather,at
some finite distances from the body,the disturbance waves pile up and
coalesce,forming a standing wave in front of the body,
在另一方面,如图 9.2b所示，如果上游是超音速的,扰动不能一直向上
游传播，而是在离开物体某一距离处聚集并接合，形成一静止波。
Hence,the physical generation of waves in a supersonic
flow— both shock and expansion waves— is due to the
propagation of information via molecular collisions and
due to the fact that such propagation cannot work its way
into certain regions of the supersonic flow,
因此,超音速流中激波和膨胀波产生的物理原因是, 通
过分子碰撞引起的信息传播和这种传播不能到达超音
速流中某些区域,
? Why are most waves oblique rather than normal to the upstream
flow? 为什么大部分激波与来流成斜角而不是垂直的呢?
MV
a
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at 1s i n ????
M
1s i n 1??? (9.1)
马赫波
马赫角
If the disturbances are stronger than a simple sound wave,then the wave
front becomes stronger than a Mach wave,creating an oblique shock
wave at an angle to the freestream,where β>μ,This comparison is shown
in Fig,9.4, However,the physical mechanism creating an oblique shock
is is essentially the same as that described above for the Mach wave,
如果扰动比一个简单声波强,其引起的波前就会比马赫波强,产生一
个与来流夹角为 β的斜激波,且 β>μ。这一比较在图 9.4中给出。然而，
斜激波产生的物理机理与上面描述的马赫波的产生完全相同。
９,2 OBLIQUE SHOCK RELATIONS (斜激波关系式）
2211 uu ?? ?
以上图虚线包围区域为控制体，应用连续方程,
(9.2)
21 ww ?
(9.５ ) 通过斜激波流动的切向速度分量保持不变,
22222111 upup ?? ???
(9.7)
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(9.12)
通过斜激波的流动特性变化只由垂直
于斜激波的速度分量决定,
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方程 (9.2),(9.7),(9.12)与正激波控制方程 (8.2),(8.6),(8.10)完全
相同，我们只要将正激波关系式中所有的 M1用 Mn,1代替，就可以得
到通过斜激波的流动特性变化量,
(9.14)
(9.13)
(9.15)
(9.16)
注意！ Mn,2是斜激波
后的法向马赫数,
2
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方程 (9.14)-(9.17)表明对于量热完全气体,斜激波的特性只依赖于
上游马赫数的垂直分量 Mn,1,但是,由 (9.13)知,Mn,1即依赖于 M1又
依赖于 β,
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Mn,2是斜激波后的法向马赫数，所以有,
(9.18)
方程 (9.18)引入了偏转角 θ进入斜激波分析，为计算我们 M2我们
必须知道 θ。然而,θ不是一个独立的自变量即第三个参数，而
是 M1和 β的函数。 下面推导 θ与 M1和 β的函数。
(9.19)
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M
(9.22)
(9.23)
方程 (9.23) 被称为 θ-β-M 关系式，它限定了 θ 为 M1和 β
的唯一函数。 这是分析斜激波特性的最重要的关系式，
其结果在图 9.7中给出（ γ=1.4）。
图 9.7 给出的是以波前马赫数为参数，激波角 β随偏转角 θ的变化曲
线，这个图非常重要，我们要用它来求解和分析斜激波特性。
图 9.7说明了许多与斜激波
相关的物理现象,例如,
1,对于一个给定的上游马赫
数 M1,存在一个最大偏转角
θmax,如果物体几何形状的 θ
>θmax,那么就不存在直的斜
激波 ; 相反,对应这种情况激
波会在凹角处或物体的头部
脱体,形成脱体弓形激波,图
9.8说明了这种情况,观察图
9.7我们发现,θmax的值随 M1
的增大而增大,当 M1趋于无
穷大时,θmax存在一极限值,
对于 γ=1.4的量热完全气体,
θmax=45.50,
2.对于给定的任意一个小于 θmax的 θ值,对应每一个给定的波
前马赫数 M1,存在两个直线斜激波解,较小的 β对应的解称为
弱激波解,较大的 β对应的解称为强激波解,,弱,与, 强, 的
分类是根据以下事实确定的：当给定 M1时,β越大则 Mn,1
越大，因此压强比 p2/p1越大。因此，在图 9.9中，较大的激
波角对应的斜激波比较小的激波角对应的斜激波对气流的
压缩作用大。在实际情况中，通常出现的是弱解情况。
图 9.7中连接所有 θmax而连成的线 （这一曲线近乎水平地扫过图
9.7的中间）将弱激波解和强激波解分开。这一曲线的上边，对
应强激波解（图 9.7中用虚线表示）；这一曲线的下边，对应弱
激波解（图 9.7中用实线表示）。靠近这条曲线下面有另一条曲
线也近似水平地扫过图 9.7，这条曲线将其上、下两部分分成
M2<1和 M2>1两部分。对于强激波解，激波下游马赫数始终小
于 1，流动是亚音速的；对于弱激波解，当 θ非常靠近 θmax时，
下游是亚音速的，但很少出现这种情况，对于绝大多数弱解情
况，激波下游仍然是超音速的。因为弱激波解几乎对应自然界
中发生的绝大多数情况，我们可以认为，直线贴体斜激波的下
游几乎是超音速的。
3,如果 θ=0,那么 β=900或 β= μ（ 马赫角 ） 。 β=900的情况对应
正激波（即我们第八章讨论的问题属于强激波解）。 β= μ对应
图 9.3b所示的马赫波。对于这两种情况，通过波流线不发生偏
转。
4,我们考虑这样的实验，超音速流流过半顶角为 θ的尖楔，入图
9.10所示。现在，我们增加来流马赫数 M1。随着 M1的增加，我们
观察到 β角减少，但激波是增强的，这是因为随着 M1的增加,
Mn,1是增大的。相反，降低来流马赫数 M1，激波角 β增大，激波
变弱。如果 M1降低到一定程度，激波将会脱体。对于 θ=200，
M1<1.84时激波将会脱体。
5,考虑另外一个实验。让我们保持 M1不变而增大偏转角 θ。如图
9.11所示。随着 θ的增大, 激波角 β增大, Mn,1是增大的,激波将
会变强。但是，一旦 θ角超过 θmax,激波会变成脱体激波。对于图
9.11中 M1=2.0的情况,θ>230时就会出现脱体激波。
小结,
1、对于一个给定的波前马赫数，存在一个 θmax,θ <θmax存在
贴体直线斜激波； θ >θmax出现弯的脱体激波。
0
m a x 5.45lim
1
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M
2、对应一个 θ值（ <θmax）,存在两个 β值 。 不同 M1对应的
θmax组成的连线上部分对应强解，下部分对应弱解。另外一
条稍低于 θmax连线的曲线为 M2=1的连线，上部分对应波后为
亚音速流情况，下部分对应波后为超音速流情况。
3,θ=00,对应 β=900 和 β=μ。
4,对于相同的 θ,波前马赫数 M1越大, 激波角 β越小, Mn1越
大，所以激波越强。
5,对于相同的波前马赫数 M1, θ越大, 激波角 β越大, Mn1越
大，所以激波越强。
例 9.1 考虑一超音速来流,来流马赫数 M1=2,p1=1atm,T1=288K,
流动通过一个 20o的拐角压缩, 计算形成的斜激波之后的马赫数
M2,压强 p2,温度 T2,总压 p0,2,总温 T0,2,
解, 已知 M1=2,θ=20o,由图 9.7可查知,β=53.4o,
因此有 Mn,1=M1sinβ=2sin53.4o=1.606,查附表 B,得,
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82.2)1(82.2
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对于 M1=2,由附表 A可知,p0,1/p0,2=7.824,T0,1/T1=1.8,因此,
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TT 4.5 1 8)2 8 8(8.11
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1,0
1,02,0 ????
注意, 附表 B中的 p0,2/p1不能用于本题 p0,2的计算,
例 9.2 考虑一激波角为 30度的斜激波,上游马赫数为 2.4.计算通
过斜激波的气流偏转角 θ,压强比 p2/p1,温度比 T2/T1以及波后马
赫数 M2,
解, 由图 9.7可查知,对于 M1=2.4,β=30o,有 θ=6.5o,
因此 Mn,1=M1sinβ=2.4sin30o=1.2
查附表 B,可得,
11.2
)5.630s in (
8422.0
)s in (
8422.0
128.1
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2,
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因此：
本例说明了如下两点,
1,这是一个相当弱的激波,通过激波压强只有 51%的增加量,仔
细观察图 9.7我们会发现,在这种情况下激波非常靠近马赫波,
马赫角 μ=arcsin(1/M)=24.6o,激波角 30o比马赫角 24.6o大不了
多少,偏转角 θ=6.5o,也是小量,与弱激波的特征相符,
2,仅需要两个物理特性给定,就可唯一确定给定斜激波的特性,
例 9.1给定了 M1和 θ,例 9.2给定了 M1和 β,
例 9.3 考虑一激波角为 35o的斜激波,波前波后的压力比
p2/p1=3,计算激波上游马赫数 M1,
解, 由附表 B可查得,对应 p2/p1=3,Mn,1=1.64(近似 )
所以 有,
86.2
35s in
64.1
s in 0
1,
1 ??? ?
nMM
注意,本例再一次说明了斜激波是由两个物理特性唯
一确定,
例 9.4 考虑一来流马赫数为 3的流动,我们希望将这个流动减速
为亚音速流动,考虑两种不同的方法,(1) 直接通过一道正激波
减速 ;(2)首先通过一个激波角为 400的斜激波,然后再通过一个
正激波,这两种情况在图 9.2中表示出来,计算这两种情况的最终
总压比,即计算第二种情况激波后的总压与第一种情况激波后
的总压比,讨论此结果的意义,
解, 对第一种情况,M1=3,由附表 B可得,
3 2 8 3.0
11,0
2,0 ?
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对于第二种情况,我们有 Mn,1=M1sinβ=3sin40o=1.93.由附表 B
可得,
588.0 7535.0 2,
1,0
2,0 ??
nMp
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和
由图 9.7,对于 M1=3,β=40o,我们得到偏转角 θ=22o,因此,
90.1)2240s in ( 588.0)s in ( 2,2 ????? ?? nMM
由附表 B,对于上游马赫数为 1.90的正激波,我们有 p0,3/p0,2=0.7674,
因此,对第二种情况,有,
578.0)7535.0)(7674.0(
1,0
2,0
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3,0
2
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因此,得到我们要求的两种情况总压比,
76.1
3283.0
578.0
11,0
2,0
21,0
3,0 ??
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例 9.4的这一结果指出,第二种情况对应的多激波系波后的总压
比第一种情况对应的单一正激波后的总压高 76%.从理论上讲,
总压是气体可做多少有用功的量度,我们将在 10.4节中描述并
讨论,若其他条件相同,总压越高,流动越有用,总压损失是流动效
率的量度,总压损失越小,流动过程的效率越高, 在这个例子中,
第二种情况比第一种情况更有效地将流动减速为亚音速,因为
通过多个激波系的第二种情况的总压损失比通过单独正激波的
第一种情况小, 这一结果的物理意义很明显,当马赫数增加时,
通过正激波的总压损失越来越大,查看附表 B很容易证明这一点,
如果流动的马赫数在通过正激波前就被降低,总压损失就会变
小,这是因为较小的波前马赫数对应较弱的正激波,这就是第二
种情况中斜激波的作用,即使流动在通过正激波前降低速度,尽
管通过斜激波也有总压损失,但对于同一个上游马赫数来说比
正激波的要小得多,斜激波降低流动马赫数的作用补偿了通过
斜激波引起的总压损失,因此通过多激波系的第二种情况引起
的总压损失小于通过单一正激波引起的总压损失,
这些结果的实际应用之一就是超音速进气道的设计,
Supersonic Inlet,超音速进气道
Jet Engine,喷气发动机
Lip of the Inlet,进气道唇口
9.3 SUPERSONIC FLOW OVER WEDGES AND CONES
流过尖楔和圆锥的超音速流
比较两个流动，共同之处是都有一个由头部开始的贴体直
斜激波．不同之处可归纳为如下三点,
（１）圆锥上的激波较弱
（２）圆锥表面的压强较小
（３）圆锥表面上方的流线是弯的,
原因：三维效应 （ three-dimensional relieving effect)
例 9.5 考虑如图 9.15所示,来流马赫数为 5,绕 15o半顶角尖楔的
流动, 计算这一尖楔的阻力系数,(假设尖楔底部压力为自由来
流静压,如图 9.15 所示 ),
解, 设单位展长的阻力为 D’,则
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由图 9.7,M1=5,θ=15o,可知,β=24.2o,因此
Mn,1=M1sinβ=5sin(24.2o)=2.05
由附表 B,
因此,
736.4
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注意, 对于这个例子阻力为有限值, 在无粘超音速和高超音速
流动中,二维物体总是受到一定的阻力的, 阻力产生的根源是
激波的出现, 激波是一个耗散的,产生阻力的机制, 因此,这种情
况下的阻力被称为 波阻,
Note,The drag is finite for this case,In a supersonic or
hypersonic inviscid flow over a two-dimensional body,the
drag is always finite,The fundamental reason for the
generation of drag here is the presence of shock waves,
Shocks are always a dissipative,drag-producing mechanism,
For this reason,the drag in this case is called wave drag,
复习,
D’Alembert’s paradox,
低速无粘流动中二维物体的阻力为零,
