CHAPTER 9 OBLIQUE SHOCK AND EXPANSION WAVES
斜激波和膨胀波
9.1 引言
第八章我们讨论了正激波,本章我们讨论斜激波,及超音速流场
中的另一个重要特征 —— 膨胀波。
Wave angle,激波角,激波与激波上游来流的夹角。
A normal shock wave is simply a special case of the general family
of oblique shocks,namely,the case where the wave angle is 900,
β
Across the oblique shock wave,
the Mach number
discontinuously decreases,and
the pressure,density,and
temperature discontinuously
increase,
θ,Deflection angle (偏转角）
Across the expansion wave,the
Mach number continuously
increases,and the pressure,
density,and temperature
continuously decrease,
Hence,an expansion wave is the direct antithesis of a shock wave,
因此，膨胀波是激波的一个正相反的对应物。
Oblique shock and expansion waves are prevalent in two- and
three-dimensional supersonic flow,These waves are inherently two-
dimensional in nature,in contrast to the one-dimensional normal
shock waves discussed in Chap.8,That is,in Fig,9.1a and b,the
flow-field properties are a function x and y,The purpose of the
present chapter is to determine and study the properties of these
oblique waves,
斜激波和膨胀波在二维、三维超音速流动中是很普遍的。这些
波在本质上是二维的，与第八章讨论的一维正激波相反。即，
在图 9.1a和 b中，流场特性是 x, y的函数 。 本章的目的就是确
定和研究这些斜波（斜激波和膨胀波）的性质。
? What is the physical mechanism that creates waves in a supersonic
flow? 超音速流中产生波的物理机理是什么？
If the upstream flow is subsonic,as shown in Fig.9.2a,the disturbances
have no problem working their way upstream,thus giving the incoming
flow plenty of time to move out of the way of the body,
如图 9.2a所示，如果上游是亚音速的,扰动可以毫不困难地传播
到远前方上游，因此，给了来流足够的时间以绕过物体。
The information is propagated
upstream at approximately the
local speed of sound,
物体存在的信息以近似等于
当地音速的速度传播到上游
去。
On the other hand,if the upstream flow is supersonic,as shown in
Fig.9.2b,the disturbances cannot work their way upstream; rather,at
some finite distances from the body,the disturbance waves pile up and
coalesce,forming a standing wave in front of the body,
在另一方面,如图 9.2b所示，如果上游是超音速的,扰动不能一直向上
游传播，而是在离开物体某一距离处聚集并接合，形成一静止波。
Hence,the physical generation of waves in a supersonic
flow— both shock and expansion waves— is due to the
propagation of information via molecular collisions and
due to the fact that such propagation cannot work its way
into certain regions of the supersonic flow,
因此,超音速流中激波和膨胀波产生的物理原因是, 通
过分子碰撞引起的信息传播和这种传播不能到达超音
速流中某些区域,
? Why are most waves oblique rather than normal to the upstream
flow? 为什么大部分激波与来流成斜角而不是垂直的呢?
MV
a
Vt
at 1s i n ????
M
1s i n 1??? (9.1)
马赫波
马赫角
If the disturbances are stronger than a simple sound wave,then the wave
front becomes stronger than a Mach wave,creating an oblique shock
wave at an angle to the freestream,where β>μ,This comparison is shown
in Fig,9.4, However,the physical mechanism creating an oblique shock
is is essentially the same as that described above for the Mach wave,
如果扰动比一个简单声波强,其引起的波前就会比马赫波强,产生一
个与来流夹角为 β的斜激波,且 β>μ。这一比较在图 9.4中给出。然而，
斜激波产生的物理机理与上面描述的马赫波的产生完全相同。
补充：激波与膨胀波的形成机理的进一步理解
激波的形成,
以右图活塞在一维长管中压缩为
例．设有一根很长的直管，管内
气体原是静止的．热力学参数是
p1,ρ1,T1,从 t=0起到 t=t1为止活塞
向右作急剧地加速运动,t=t1 以
后匀速前进,
特征,
居后的波比前边的波快，每道波
都在追赶它前面的波．过渡区
AA-BB的长度随时间增长而越来
越短，最后压缩到一起形成激
波,
膨胀波的形成,
上例中一旦活塞停止运动，
活塞与前进气体之间在瞬时
内会出现真空．这时气体在
压差作用之下，必发生向后
的膨胀运动，以填真空．这
时气体微团是向左运动的，
但膨胀变化这个界线（膨胀
波）却会自动地在 p2气体中
向右推进,
特征：居后的波比前面的波
慢，越走，段落拉得越长，
不会集中起来,
在二维和三维流场中，物体以亚音速运动时，并不能
象活塞那样把前面的气体推者走．由于物体的扰动是
一音速传开去的，物体未到之前，气体微团早已开始
受到扰动，气体微团是以连续的运动在让路的，因而
没有大块气体被挤压的可能,
当气体以超音速运动时，扰动来不及传到前面去，路途上的
气体微团没有事先的准备，要等到物体冲到跟前，才受到压
缩，因而可以造成大块气体被压缩,
斜波产生的根源
普朗特 — 梅耶膨
胀波
斜激波关系式
流过尖楔与圆锥
的超音速流
激波干扰与反射
脱体激波
激波 -膨胀波理论及其在
超音速翼型中的应用
图 9.5 第九章路线图
９,2 OBLIQUE SHOCK RELATIONS (斜激波关系式）
?? ??
s
dSV 0
?
?
0222111 ??? AuAu ??
2211 uu ?? ?
以上图虚线包围区域为控制体，应用连续方程,
(9.2)
0)()( 22221111 ??? wAuwAu ??
21 ww ?
?? ?????
s s
dSpwdSV t a n g e n t i a l)()( ??
(9.３ )
(9.４ )
(9.５ )
积分形式动量方程的切向分量,
The tangential component of the flow velocity is constant
across an oblique shock,
通过斜激波流动的切向速度分量保持不变,
???? ???
ss
pdSudSV n o r m a l)()(
?
?
22222111 upup ?? ???
积分形式动量方程的法向分量,
(9.6)
(9.7)
)()()( 221122221111 ApApuAuuAu ?????? ??
（９,7）式中只出现激波的法向分量,
?? ?? ??????
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1
VhVh ???
2221222221212221 )()( uuwuwuVV ???????
积分形式的能量方程,
(9.８ )
(9.9)
(9.10)
(9.11)
22
2
2
2
2
1
1
uhuh ???
(9.12)
方程 (9.2),(9.7),(9.12)分别是斜激波的连续、动量、能量方程。
它们只包含斜激波的法向速度分量 u1,u2,而不包含斜激波
的切向速度分量 w1,w2,
Hence,we deduce that changes across an oblique shock
wave are governed only by the component of velocity
normal to the wave,因此，我们得出结论－ 通过斜激波
的流动特性变化只由垂直于斜激波的速度分量决定,
?s i n11,MM n ?
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2/)1(
2/11
2
1,
2
1,2
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??? nMp
p
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方程 (9.2),(9.7),(9.12)与正激波控制方程 (8.2),(8.6),(8.10)
完全相同，我们只要将正激波关系式中所有的 M1用 Mn,1代替，
就可以得到通过斜激波的流动特性变化量,
注意,
则有
注意！ Mn,2是斜激波后的法向马赫数,
(9.14)
(9.13)
(9.15)
(9.16)
2
1
1
2
1
2
?
?
p
p
T
T ?
)s in (
2,
2 ?? ??
nMM
(9.17)
Mn,2是斜激波后的法向马赫数，所以有,
(9.18)
Examine Eqs,(9.14) to (9.17),They state that oblique shock-
wave properties in a calorically perfect gas depend only on
the normal component of upstream Mach number
Mn,1.However,note from Eq,(9.13) that Mn,1 depends on
both M1 and β,
方程 (9.14)-(9.17)表明对于量热完全气体,斜激波的特性只依
赖于上游马赫数的垂直分量 Mn,1,但是,由 (9.13)知,Mn,1即依
赖于 M1又依赖于 β,
方程 (9.18)引入了偏转角 θ进入斜激波分析，为计算我们 M2我们
必须知道 θ。然而,θ不是一个独立的自变量即第三个参数，而
是 M1和 β的函数。 下面推导 θ与 M1和 β的函数。
(9.19)
2
2)t a n (
w
u?? ??
2
1
1
2
t a n
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u
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1
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w
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(9.20)
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1s i nc o t2t a n
2
1
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???
M
M
(9.22)
(9.23)
Equation (9.23) is an important equation,It is called
the θ-β-M relation,and it specifies θ as a unique
function of M1 and β, This relation is vital to the
analysis of oblique shock wave,and results from it are
plotted in Fig,9.7 for γ=1.4,
方程 (9.23) 被称为 θ-β-M 关系式，它限定了 θ 为 M1和 β
的唯一函数。 这是分析斜激波特性的最重要的关系式，
其结果在图 9.7中给出（ γ=1.4）。
斜激波和膨胀波
9.1 引言
第八章我们讨论了正激波,本章我们讨论斜激波,及超音速流场
中的另一个重要特征 —— 膨胀波。
Wave angle,激波角,激波与激波上游来流的夹角。
A normal shock wave is simply a special case of the general family
of oblique shocks,namely,the case where the wave angle is 900,
β
Across the oblique shock wave,
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discontinuously decreases,and
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increase,
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Mach number continuously
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因此，膨胀波是激波的一个正相反的对应物。
Oblique shock and expansion waves are prevalent in two- and
three-dimensional supersonic flow,These waves are inherently two-
dimensional in nature,in contrast to the one-dimensional normal
shock waves discussed in Chap.8,That is,in Fig,9.1a and b,the
flow-field properties are a function x and y,The purpose of the
present chapter is to determine and study the properties of these
oblique waves,
斜激波和膨胀波在二维、三维超音速流动中是很普遍的。这些
波在本质上是二维的，与第八章讨论的一维正激波相反。即，
在图 9.1a和 b中，流场特性是 x, y的函数 。 本章的目的就是确
定和研究这些斜波（斜激波和膨胀波）的性质。
? What is the physical mechanism that creates waves in a supersonic
flow? 超音速流中产生波的物理机理是什么？
If the upstream flow is subsonic,as shown in Fig.9.2a,the disturbances
have no problem working their way upstream,thus giving the incoming
flow plenty of time to move out of the way of the body,
如图 9.2a所示，如果上游是亚音速的,扰动可以毫不困难地传播
到远前方上游，因此，给了来流足够的时间以绕过物体。
The information is propagated
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local speed of sound,
物体存在的信息以近似等于
当地音速的速度传播到上游
去。
On the other hand,if the upstream flow is supersonic,as shown in
Fig.9.2b,the disturbances cannot work their way upstream; rather,at
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coalesce,forming a standing wave in front of the body,
在另一方面,如图 9.2b所示，如果上游是超音速的,扰动不能一直向上
游传播，而是在离开物体某一距离处聚集并接合，形成一静止波。
Hence,the physical generation of waves in a supersonic
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因此,超音速流中激波和膨胀波产生的物理原因是, 通
过分子碰撞引起的信息传播和这种传播不能到达超音
速流中某些区域,
? Why are most waves oblique rather than normal to the upstream
flow? 为什么大部分激波与来流成斜角而不是垂直的呢?
MV
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马赫波
马赫角
If the disturbances are stronger than a simple sound wave,then the wave
front becomes stronger than a Mach wave,creating an oblique shock
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in Fig,9.4, However,the physical mechanism creating an oblique shock
is is essentially the same as that described above for the Mach wave,
如果扰动比一个简单声波强,其引起的波前就会比马赫波强,产生一
个与来流夹角为 β的斜激波,且 β>μ。这一比较在图 9.4中给出。然而，
斜激波产生的物理机理与上面描述的马赫波的产生完全相同。
补充：激波与膨胀波的形成机理的进一步理解
激波的形成,
以右图活塞在一维长管中压缩为
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p1,ρ1,T1,从 t=0起到 t=t1为止活塞
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特征,
居后的波比前边的波快，每道波
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AA-BB的长度随时间增长而越来
越短，最后压缩到一起形成激
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膨胀波的形成,
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活塞与前进气体之间在瞬时
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压差作用之下，必发生向后
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斜波产生的根源
普朗特 — 梅耶膨
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斜激波关系式
流过尖楔与圆锥
的超音速流
激波干扰与反射
脱体激波
激波 -膨胀波理论及其在
超音速翼型中的应用
图 9.5 第九章路线图
９,2 OBLIQUE SHOCK RELATIONS (斜激波关系式）
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以上图虚线包围区域为控制体，应用连续方程,
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(9.４ )
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积分形式动量方程的切向分量,
The tangential component of the flow velocity is constant
across an oblique shock,
通过斜激波流动的切向速度分量保持不变,
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积分形式动量方程的法向分量,
(9.6)
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方程 (9.2),(9.7),(9.12)分别是斜激波的连续、动量、能量方程。
它们只包含斜激波的法向速度分量 u1,u2,而不包含斜激波
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Hence,we deduce that changes across an oblique shock
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完全相同，我们只要将正激波关系式中所有的 M1用 Mn,1代替，
就可以得到通过斜激波的流动特性变化量,
注意,
则有
注意！ Mn,2是斜激波后的法向马赫数,
(9.14)
(9.13)
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(9.16)
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(9.17)
Mn,2是斜激波后的法向马赫数，所以有,
(9.18)
Examine Eqs,(9.14) to (9.17),They state that oblique shock-
wave properties in a calorically perfect gas depend only on
the normal component of upstream Mach number
Mn,1.However,note from Eq,(9.13) that Mn,1 depends on
both M1 and β,
方程 (9.14)-(9.17)表明对于量热完全气体,斜激波的特性只依
赖于上游马赫数的垂直分量 Mn,1,但是,由 (9.13)知,Mn,1即依
赖于 M1又依赖于 β,
方程 (9.18)引入了偏转角 θ进入斜激波分析，为计算我们 M2我们
必须知道 θ。然而,θ不是一个独立的自变量即第三个参数，而
是 M1和 β的函数。 下面推导 θ与 M1和 β的函数。
(9.19)
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(9.22)
(9.23)
Equation (9.23) is an important equation,It is called
the θ-β-M relation,and it specifies θ as a unique
function of M1 and β, This relation is vital to the
analysis of oblique shock wave,and results from it are
plotted in Fig,9.7 for γ=1.4,
方程 (9.23) 被称为 θ-β-M 关系式，它限定了 θ 为 M1和 β
的唯一函数。 这是分析斜激波特性的最重要的关系式，
其结果在图 9.7中给出（ γ=1.4）。
